学案9 函数的图象
2023年人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案
新人教版八年级数学下册第十九章《函数的图像及其画法》学案学习目标：了解函数图象的意义，会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律，经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值。
学习重难点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
学习过程：一、预习引导：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，如心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。
即使能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么使函数关系更直观。
一、问题导学与合作探究：学生看P75---P79并思考以下问题：1、什么是函数图像?2、如何作函数图像？具体步骤有哪些？3、如何判定一个图像是函数图像，你判断的依据是什么?4、有哪些方法表示函数关系？各自的优缺点是什么？（自学检测）：例：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春某天气温T如何随时间t变化而变化，你从图中得到了哪些信息？（1）这一天中时气温最低；时气温最高；（2）从时到时气温呈下降趋势，从时到时气温呈上升趋势，从时到时气温又呈下降趋势；总结：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系1、函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。
2、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；3、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。
三、巩固练习：例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时 间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多 少时间？ （4）小明读报用了多长时间？（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 2、下列式子中，对于x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x的函数，请画出这些函数的图象． 解：（1） 1、列表： x y2、描点：3、连线。
响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案：《第9课时 函数的图像》
一、【基础训练】1．为了得到32x y -=的图象，需把2x y =的图象上所有的点 ．2．函数()f x 对一切实数都满足(1)(1)f x f x +=-，()0f x =有3个实根，则这3个实根之和为 ．3.方程lg sin x x =的实数根的个数是 ．4. ()f x 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ．5．作出下列函数图象：（1）211x y x -=- （2）(1)2y x x =+- （3）|lg |y x =（4）|1|2x y +=6.函数ln 1x y e x =--的图象大致是 ．二、【重点讲解】1．常见函数的图象：（1）常函数： （2）一次函数：（3）反比例函数： （4）二次函数：（5）指数函数： （5）对数函数：（7）幂函数： （8）三角函数：2．函数图象的画法：三、【典题拓展】例1 已知函数()()f x x x m x R =-∈且(4)0f =（1）求实数m 的值；（2）作出函数()f x 的图像；（3）根据图像写出()f x 的单调减区间；（4）根据图像写出不等式()0f x >的解集例2 已知函数2))(()(---=b x a x x f ，m ，n 是方程0)(=x f 的两根，且b a <，n m <试判断实数a ，b ，m ，n 的大小关系．变式：2()()3f x x a b x ab =-++--，m ，n 是方程0)(=x f 的两根，且b a <，n m <试判断实数a ，b ，m ，n 的大小关系．例3 关于的方程243x x a x -+-=恰有 三个不相等的实数根，求实数的值．变式：直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围。
例4 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图中（2）的抛物线表示。
高中数学单个函数图像教案
高中数学单个函数图像教案
一、教学内容：数学-函数图像
二、教学目标：学生能够通过学习本节课的内容，理解函数图像的表示方法，掌握函数图像的基本特征和性质。
三、教学重点：函数图像的基本特征和性质。
四、教学难点：理解函数图像的概念和表示方法。
五、教学准备：
1. 教师准备PPT课件和教学素材。
2. 学生准备笔记本和作业本。
六、教学过程：
1.导入：通过展示一道关于函数图像的问题引入本节课的内容。
2.讲解：教师介绍函数图像的概念和表示方法，讲解函数图像的基本特征和性质。
3.示范：通过展示一个函数的图像，让学生理解函数图像的意义和表现形式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学的知识。
5.讨论：让学生讨论不同类型的函数图像可能的特征和性质。
6.总结：总结本节课的内容，强调函数图像的重要性和应用。
七、课后作业：
1.完成课后练习题。
2.总结本节课所学的知识，写一篇小结。
八、教学反馈：
1.检查学生的课后作业，给予及时的反馈。
2.收集学生的学习反馈，查看学生对本节课的理解和掌握情况。
以上就是本节课的教学内容，希望学生能够认真学习，掌握函数图像的基本特征和性质，提高数学学习的能力和水平。
愿学生在学习过程中取得更好的成绩！。
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
函数图像及图像的变换授课学案
授课学案学生姓名： 授课教师： 班主任： 科目： 上课时间： 年 月 日 时— 时函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，因此同学们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 一、基础知识1．作函数图象的一个基本方法------基本函数法 2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法． 一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象， 这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(1)平移变换函数y=f(x+a)(a ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(b ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b|个单位而得到． (2)伸缩变换函数y=Af(x)(A ＞0，A ≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)成原来的A 倍，横坐标不变而得到．函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）成原来的1倍，纵坐标不变而得到． (3)对称变换一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a－x) = 2b ，必要性得证。
高一秋季学案(9)——幂函数及图像变换
高一秋季学案（9）——幂函数及图像变换【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R a a =Î的函数，叫做幂函数，其中a 为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如()yx R a a =Î的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21xy =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着a 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>a 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+¥上是增函数．特别地，当1>a 时，幂函数的图象下凸；当10<<a 时，幂函数的图象上凸；(3)0<a 时，幂函数的图象在区间),0(+¥上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于¥+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数()a f x k x =×是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
数学教案高中函数图像
数学教案高中函数图像教学目标：学生能够掌握各种函数的图像特征，能够准确地绘制函数的图像。
教学重点和难点：掌握各类函数的图像特征，理解函数图像的规律性。
教学准备：教师准备幻灯片、黑板、彩色粉笔、教材、作业本等。
教学过程：一、引入学习（5分钟）教师通过简单的例子引入学生，让学生了解学习高中函数图像的重要性和意义。
二、讲解函数图像的基本特征（15分钟）1. 直线函数：y = kx + b- 当k>0时，函数图像是一条斜率为正的直线，向上倾斜；- 当k<0时，函数图像是一条斜率为负的直线，向下倾斜；- 当b>0时，函数图像与x轴平行，但在y轴的位置不同；- 当b<0时，函数图像与x轴交于一点，该点为y轴截距。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c- 当a>0时，函数图像开口向上，顶点在下方；- 当a<0时，函数图像开口向下，顶点在上方。
3. 指数函数：y = a^x- 当a>1时，函数图像递增，经过(0,1)点；- 当0<a<1时，函数图像递减，经过(0,1)点。
4. 对数函数：y = loga(x)- 函数图像经过(1,0)点；- 当0<a<1时，函数图像斜率为正，向右上倾斜；- 当a>1时，函数图像斜率为负，向左上倾斜。
三、练习与讨论（20分钟）教师让学生分组进行练习，根据给定的函数绘制函数图像，并相互讨论、比较图像的差异和特点。
四、总结巩固（10分钟）教师总结各种函数图像的特征和规律性，强化学生对函数图像的理解和记忆。
五、作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，让学生巩固学习成果。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够初步掌握各类函数图像的特征，能够准确地绘制函数图像，提升了学生对函数图像的理解和应用能力。
初中函数图像优质课教案
初中函数图像优质课教案知识与技能：1. 了解一次函数、正比例函数、反比例函数的定义和性质。
2. 学会用描点法、解析法画出一次函数、正比例函数、反比例函数的图像。
3. 能够分析实际问题，选择合适的函数模型。
过程与方法：1. 通过观察、实验、探究等方法，发现一次函数、正比例函数、反比例函数的图像特点。
2. 学会用数形结合的思想方法分析函数问题。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队合作精神，提高学生解决实际问题的能力。
2. 培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性。
二、教学内容：1. 一次函数的定义和性质。
2. 正比例函数的定义和性质。
3. 反比例函数的定义和性质。
4. 用描点法、解析法画一次函数、正比例函数、反比例函数的图像。
5. 实际问题中的函数模型选择。
三、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念和作用。
2. 讲解：讲解一次函数、正比例函数、反比例函数的定义和性质，引导学生通过实验、观察发现函数图像的特点。
3. 实践：让学生动手用描点法、解析法画出一次函数、正比例函数、反比例函数的图像，培养学生的动手能力。
4. 应用：分析实际问题，让学生选择合适的函数模型，培养学生的应用能力。
5. 总结：通过总结，使学生对一次函数、正比例函数、反比例函数的概念、性质和图像有更深刻的理解。
四、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究。
2. 利用现代教育技术，如多媒体、网络等资源，提高教学效果。
3. 注重个体差异，因材施教，让每个学生都能在课堂上得到锻炼和发展。
4. 创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生积极参与，培养学生的创新精神。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维品质和合作能力。
2. 作业完成情况：检查学生对函数概念、性质和图像的理解和应用能力。
3. 实践报告：评估学生在实际问题中选择合适的函数模型的能力。
4. 学生自评、互评和他评：了解学生的学习情况，提高学生的自我认知和评价能力。
九年级数学上册学案：22.1.3二次函数 的图象和性质
22.1.3二次函数k ax y +=2的图象和性质学习目标：1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；学习重点：会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋b 的图象，理解二次函数y ＝ax 2＋b 的性质，理解函数y ＝ax 2＋b 与函数y ＝ax 2的相互关系。
学习难点：二次函数k ax y +=2的性质的应用 教学过程：（一）【创设情境，引入课题】1.直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
2.由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： 。
设计意图:通过回顾以前所学知识进行以下学习。
（二）【探究新知，练习巩固】1.在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象并填表。
2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线x2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .3． 抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
设计意图： 引导学生认真观察，积极思考。
（三）【合作探究，尝试求解】1. 抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2.抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x = 时，y 有最 值是 。
设计意图：巩固函数y=ax 2+k 的图像和函数y=ax 2的图像之间联系。
（四）【概括提炼，课堂小结】 抛物线k ax y +=2特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 。
2021年人教版数学八年级下册学案 19.1.2《 函数的图象 》(含答案)
19.1.2 函数的图象第1课时函数的图象学习目标①知道函数图象的意义.②学会用列表、描点、连线画函数图象．③学会观察、分析函数图象信息．④能利用函数的图象解决实际问题重点难点：函数图象的画法；观察、分析、概括图象中的信息．学习过程一、自主学习（阅读教材并完成下列活动）【活动1】思考：如图是某人体检时的心电图，图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，y与x之间的函数关系能用式子表达吗？显然有些函数问题用函数关系式表示出来，然而可以通过来直观反映．【活动2】正方形的边长x与面积S的函数关系式为；在这个函数中，自变量是、它的取值范围是，是的函数，请根据这个函数关x 0 0.5 1 2 3 ……S ……思考与探究：如果把自变量的值当作横坐标，函数S的值作为纵坐标，组成一对有序实数对（x、S），这样的实数对有多少对？请在下面的直角坐标系中描出这些点，你有什么发现？二、探究新知识①一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的、坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的。
②画函数图象的一般步骤是：、、。
③在坐标平面内，若点P（x,y）向右上方移动，则y随x的增大而；若点P（x,y）向右下方移动，则y随x的增大而。
第2课时函数的表示方法学习目标①进一步理解函数及其图像的意义.②学会根据自变量的值求函数值；或根据函数值求自变量的值，掌握函数的表示方法.③熟练掌握求函数中自变量的取值范围的方法.重点难点：①怎样根据自变量的值求函数值；②怎样求函数自变量的取值范围；③根据函数图象解决实际问题.学习过程一、自主学习（阅读教材）【活动1】分析并解决下列列问题:1．用解析法表示函数关系优点： . 缺点： . 2．用列表表示函数关系优点： . 缺点： . 3．用图象法表示函数关系优点： . 缺点： . 【活动2】请用原来所学的知识完成下列填空：1、若错误!未找到引用源。
有意义，则x的取值范围是 .2、若错误!未找到引用源。
教案数学高中函数图像
教案数学高中函数图像
教学重点和难点：函数的图像概念和性质；绘制一元二次函数、绝对值函数、指数函数、对数函数的图像。
教学准备：黑板、彩色粉笔、教材、教学PPT。
教学过程：
一、导入
教师通过引导学生回顾函数的概念和性质，引出本节课的主题——函数的图像。
二、讲解
1. 函数的图像概念和性质：函数的图像是由函数的自变量和因变量按照一定规律对应所得到的图形。
图像的性质包括对称性、增减性、奇偶性等。
2. 绘制一元二次函数的图像：通过讲解一元二次函数的一般式和顶点式，并结合实例进行绘图。
3. 绘制绝对值函数、指数函数、对数函数的图像：讲解这些特殊函数的性质和图像特点，引导学生绘制图像。
三、练习
老师布置练习题，让学生通过计算和绘图来加深对函数图像的理解和掌握。
四、拓展
引导学生思考如何利用函数图像解决实际问题，例如通过函数图像分析函数的性质、求解方程等。
五、总结
总结本节课的重点内容，强调函数图像的重要性和应用价值。
六、作业
布置作业：练习册上的相关题目，让学生巩固和深化所学内容。
教学反思
通过本节课的教学，学生能够掌握函数图像的基本原理和方法，并能够独立绘制一些常见函数的图像。
同时，通过练习和实例分析，学生能够运用函数图像解决实际问题，提高了他们的数学建模能力。
教、学案：10、函数的图像及变换
教、学案：10、函数的图像及变换(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--10、函数的图像及图像变换知识点：1、 函数的图像2、 函数图像的变换3、 函数图像的应用知识梳理1.二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）(4)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。
2.常见函数的图像：⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；(4)其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；③对号函数)0(>+=a xax y ； 3．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x)(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻转变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 轴下面无图象）；3.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x -=对称. 题型归纳:一、 函数图像例1（1）（2019新课标3（7））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．（2）(2018新课标2)3．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为答案:（1）B.分析：已知函数显然是奇函数，排C ，取x=4代入验证得y ∈(7,8)，所以选B（2）B.分析：已知函数是奇函数，排A ，取x=1，得y=e- e -1>0，排D ，而C 是反比例函数图像，所以排除，选B 练习11(2018新课标3)9．函数422y x x =-++ 的图像大致为（ ）2（2016新课标（1）9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ） C3（2012年高考（四川理））函数的图象可能是4、已知a >0且a ≠1，则两函数f (x )＝a x 和g (x )＝log a （- x1）的图象只可能是 ( )5．数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）6、向高为 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 与水深 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）二、 图像的平移、对称与翻折变换例2、(1)已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为(2)已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=，构造函数)(x F，定义如下：当)()(x g xf ≥时，)()(x f x F =；当)()(x g x f <时，)()(x g x F -=那么)(x F ： A ．有最小值0，无最大值 B ．有最小值-1，无最大值 C ．有最大值1，无最小值 D ．无最小值，也无最大值；(3)（15B ，福建，文15）．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 .分析：（1）y=-f(-x)与()y f x =的图像关于原点对称，y=-f(-x)的图像向右平移2个单位即得(2)y f x =--的图像，选B （2）画出图像可得答案B()2()x af x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m (1)(1)f x f x +=-(3)由已知 得其对称轴是x=1,则函数化为f(x)=2|x-1|，所以f(x)在[1, +∞）上单调增，所以m ≥1，即m 的最小值是1 练习21、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 得单调递减区间是________.2、 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．3、函数x x x f -=2)(的单调递减区间是__________________ _值域是______________ （画出图像）4、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-5．（2013年高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )= A.B.C.D.三、函数图像的应用例3（1）（15B ，北京，理7）如图，函数的图象为折线ACB ，则不等式的解集是 A. B. C. D. (2)（15C ，安徽，理9）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是A. B. C.D.()2()x af x a R -=∈)(x f ()1log )(2+≥x x f {}01≤<-x x {}11≤≤-x x {}11≤<-x x {}21≤<-x x 2)()(c x bax x f ++=0,0,0<>>c b a 0,0,0>><c b a 0,0,0<><c b a 0,0,0<<<c b a A-1BC22Oxy（3）已知()1,()2,()6,x f x x g x h x x =+==-+设函数()min{(),(),()}F x f x g x h x =，则()F x 的最大值为（ （A ）1 (B) 2 (C)72(D)4 （4）（2017全国3理15）设函数，则满足的的取值范围是_________.解析：（1）如图时，=1解集为. 注意定义域不包括-1.(2)由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. （3）画出图像即可得答案C（4）解析一 因为，， 即.由图像变换可作出与 的图像如图所示.由图可知，满足的解集为.x ≤0 解析二(分段讨论)：原不等式可化为 x+1+(x-21)+1>1 或 x>0 且x-21≤0 x- 21>0 ()1020xx x f x x +⎧=⎨>⎩，，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x 1x2()log (1)f x x )1(log )(2+≥∴x x f (]1,1-)1(log 2+x ()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1y f x =-()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭41)2-)2x +(x-21)+1>1 或 2x +2x-1/2>1 解之得，x>-1/4 归纳：函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.第（1）函数y=log 2(x+1)的定义域{x|x>-1},所以排B,然后由x=1时得 从而得答案C第（2）题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.（3）（4）题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.例4（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3－１｜＝k 无解有一解有两解分析：（1）利用f(-1)=f(1)求出m ；也可通分后利用前面归纳的模型得m=1 （2）画出函数|13|-=x y 的图像（即y=3x d 的图像向下平移1个单位后保留x 轴上方的部分，x 轴下面的沿x 轴翻折即可），再画y=k 的图像，按它们没有交点、只有一个交点、两个交点分别得k 的值：k<0时无解、k=0或k ≥1时一解、0<k<1时两解归纳：本题正确的画出图像，方程的解转化成函数图像交点的个数，主要考查函数图像的画法，数形结合思想，函数与方程、零点等基础知识. 训练数形结合的能力. 练习31.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .2()log (1)f x x2．（2013年高考湖南卷（理））函数的图像与函数的图像的交点个数为3．（2013年天津数学（理））函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4综合练习1（15C ，天津，文8）已知函数,函数,则函数的零点个数为A. B. C. D.2(2020新高考全国1)8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x x -≥的的取值范围是A ．[1,1][3,)-⋃+∞B ．[3,1][0,1]--⋃C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃3、已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩， （1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性； （3）写出函数()f x 的最大值和最小值。
【步步高】高三数学大一轮复习讲义 第2章 函数的图象学案 苏教版
学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图： (1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．(·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．(·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图 例2 (1)函数2log 2xy =|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)(·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(·重庆改编)函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．(·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称． 2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象．又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分) (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分) f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分) (4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12分) (5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分) ∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分) 可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。
初中所有函数及其图像教案
初中所有函数及其图像教案教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的性质。
2. 学会绘制常见函数的图像。
3. 能够运用函数图像解决实际问题。
教学内容：1. 函数的概念与性质2. 常见函数的图像3. 函数图像的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念：给出函数的定义，举例说明函数的概念。
2. 引导学生思考函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
二、探究常见函数的图像（15分钟）1. 正比例函数：引导学生观察正比例函数的图像，分析其特点。
2. 反比例函数：引导学生观察反比例函数的图像，分析其特点。
3. 二次函数：引导学生观察二次函数的图像，分析其特点。
4. 三角函数：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点。
三、函数图像的应用（15分钟）1. 图像变换：引导学生学习函数图像的平移、缩放等变换方法。
2. 实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数图像解决问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学内容。
2. 教师批改练习题，及时反馈学生的学习情况。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2. 教师引导学生反思学习过程，提高学生的学习效果。
教学评价：1. 学生能够理解函数的概念，掌握函数的性质。
2. 学生能够绘制常见函数的图像，并理解其特点。
3. 学生能够运用函数图像解决实际问题。
教学资源：1. 函数图像展示软件。
2. 练习题。
教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的动手能力。
2. 注重理论联系实际，提高学生的应用能力。
3. 注重学生之间的合作与交流，培养学生的团队精神。
以上是关于初中所有函数及其图像的教案，希望对您有所帮助。
编号9学案函数的表示方法
1.2.2函数的表示法课时：1 编写人：李美琴、李瑞娟审核人：编号：09一、学习目标1.通过具体实例，了解分段函数定义.理解一个分段函数不管分成几段只是一个函数.2.会求分段函数的函数值及会画出分段函数的图像,并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力.3.了解映射的概念，方向性及唯一性.4.了解映射是一种特殊的对应，而函数是一种特殊的映射.二、问题导学探究一分段函数问题1 学习本节中的例5，并思考：函数：||()y x x R=∈与函数,0,,0x xyx x≥⎧=⎨-<⎩在表达方式上有何区别？这个函数图像为什么是由两条射线组成的？问题2阅读例6注意：○1本题中自变量的范围是怎样得到的？○2自变量的范围为什么分成四个区间？○3区间端点是怎样确定的？○4每段上的函数解析式是怎样求出的？○5画图象时应注意什么？问题3通过例5、例6归纳什么是分段函数？这类函数的解析式和图像有什么特点？怎样作分段函数的图象？分段函数是一个函数吗？探究二映射问题4阅读课本22页，回答：①函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系”，如果将数集扩展到任何集合，会得到什么？②映射是函数概念的推广，函数是映射概念的特殊情形请认真比较函数与映射的概念，我们会发现这两个概念之间的关系.③通过学习课本中的例7，同学们认为判断一个对应关系是否为映射的关键是什么？④解决课本例7后面的“思考”问题.问题5映射是的推广，是一种特殊的映射，即是非空数集到非空数集的映射.三、达标检测必做题1. 课本23页练习3,4.2. 作出函数1,01,,1x y x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩的图像.，并指出其定义域，值域.3.已知函数232,1,(),1,x x f x x ax x +<⎧=⎨+≥⎩若f(f(0))=4a,这实数a 的值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.44.已知函数*8,0,()(1)7,,x f x f x x N =⎧=⎨-+∈⎩则(1)f 等于 . 5.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5千米以内（含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米按5千米计算）， 如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象.6.若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（ ）①A 中的任一元素在B 中必须有唯一元素与之对应；②B 中的多个元素可以在A 中有相同的元素与之对应；③B 中的元素可以在A 中没有元素与之对应；④A 中的所有元素在B 中对应的元素的全体就是集合B.7.设A={|04x x ≤≤}，B={|02y y ≤≤}，下列对应关系： ①1:;2f x x →②:f x ③21:;2f x x →④:2.f x x → 其中能称为集合A 到集合B 的映射的个数是（ ）A.0B. 1C.2D.3 8.在映射:f A B →中，A=B={（,x y ）|,x y R ∈}，且:(,)(,),f x y x y x y →-+则与A 中的元素（-1,2）对应的B 中的元素为选做题1.设函数22,2,()2,2,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则f(-4)= ;又知0()8f x =,则0x = . 2.从集合{1,2}到{5,6}的不同映射有（ ）个.3．已知集合A=Z ，{|21,}B x x n n Z ==+∈,C=R ,且从A 到B 的映射是:21,f x y x →=-从B 到C 的映射是1:31f x y x →=+，则从A 到C 的映射是 . .。
高考数学一轮复习 专题10 函数的图象教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题10 函数的图象1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)伸缩变换12①y ＝f (x ) ――→a >1，横坐标缩短为原来的f(1, a )倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的f(1, a )倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．高频考点一 作函数的图象 例1、作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④. 【方法规律】画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【变式探究】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.高频考点二识图与辨图例2、(1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 【答案】 (1)D (2)B【方法规律】(1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复．④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 【训练2】(1)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )(2)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )方得到的，故选D. 【答案】 (1)B (2)D 高频考点三 函数图象的应用例3、(1)若方程x2－|x|＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值X 围是．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx，0≤x≤1，log2015x ，x>1.若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值X 围是( ) A ．(1,2015) B ．(1,2016) C ．[2,2 016]D ．(2,2016)【答案】 (1)(1，54) (2)D【解析】 (1)方程解的个数可转化为函数y ＝x2－|x|的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，如图：易知－14<1－a<0，∴1<a<54.(2)作出函数的图象，直线y ＝m 交函数图象如图，不妨设a<b<c ，由正弦曲线的对称性，可得A(a ，m)与B(b ，m)关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log2015x ＝1，解得x ＝2015.若满足f(a)＝f(b)＝f(c)，且a ，b ，c 互不相等，由a<b<c 可得1<c<2015，因此可得2<a ＋b ＋c<2016，即a ＋b ＋c∈(2,2016)．故选D.【感悟提升】(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．【变式探究】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 【解析】【答案】 51.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2.【2016年高考理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值X 围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值X 围是(,1)-∞-．3.【2016高考某某理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值X 围是________________. 【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：【2015高考某某，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)xy424ππ424yxxy424ππ424y【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x+=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．（2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()D P COAxA BC D【答案】B（2014·某某卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值X 围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 【答案】B【解析】 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值X 围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞)【答案】B 【解析】 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图12【答案】D（2013·某某卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4【答案】D 【解析】设l，l2距离为t，cos x＝2t2－1，得t＝cos x＋12.△ABC的边长为23，BE23＝1－t1，得BE＝23(1－t)，则y＝2BE＋BC＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x＝π2的情况可知选D.（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】C1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A ．向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动2个单位长度 D ．向左平行移动1个单位长度【解析】 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象． 【答案】 B2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.【答案】 C3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【答案】 D4．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )【解析】由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称．当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0.排除选项A，C，D，选B.【答案】 B5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值X围是( )A．(－1，0) B．[－1，0) C．(－2，0) D．[－2，0)【解析】在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.【答案】 A6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0【答案】 D7.函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0， ∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，∴a <0. 【答案】 C8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k的取值X 围为________．【解析】 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|. 因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞9.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．【解析】 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2，8]． 【答案】 (2，8]10．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0 11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值X 围是[－1，＋∞)．【答案】 [－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．13．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}． 14．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0，2]上的值不小于6，某某数a 的取值X 围．令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7. 故实数a的取值X围是[7，＋∞).。
函数的图像教案初中
教案：函数的图像教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 学会绘制简单的函数图像，并能分析图像的性质。
3. 能够运用函数图像解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和表示方法。
2. 函数图像的绘制和分析。
教学难点：1. 函数图像的绘制和分析。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 函数图像的示例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，引导学生思考生活中的函数例子，如温度随时间的变化等。
2. 介绍函数的表示方法，如函数表格、解析式等。
二、新课（20分钟）1. 讲解函数图像的概念，引导学生理解函数图像是对函数值与自变量之间关系的直观表示。
2. 演示如何绘制一些简单的函数图像，如线性函数、二次函数等。
3. 引导学生通过观察函数图像，分析函数的性质，如单调性、奇偶性等。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些函数图像的绘制，并分析其性质。
2. 引导学生运用函数图像解决实际问题，如找出函数的零点、最大值等。
四、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数图像的概念和性质。
2. 强调函数图像在实际问题中的应用价值。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习复杂函数的图像，如三角函数、指数函数等。
2. 让学生尝试运用计算机软件绘制函数图像，提高作图能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了函数的概念和表示方法，学会了绘制和分析函数图像。
在教学过程中，要注意引导学生观察和思考函数图像的性质，培养学生的空间想象能力。
同时，结合实际问题，让学生体验函数图像在解决问题中的作用，提高学生的数学应用能力。
学案：高三函数的图象教案
平陆中学高三年级理科数学教案课题：函数的图象教学目标：1.通过复习函数图象的画法，体会等价转化的思想和图象间的相互关系，提升逻辑推理的核心素养。
2.通过函数的性质来识别函数的图像，提升直观想象的核心素养。
3.通过函数图象的应用，体会数形结合和等价转化的数学思想。
教学重点：函数图象的画法 教学难点：函数图象的应用 学习过程：一.知识梳理1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．二.自我检测判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知函数y ＝|x －1|，则其图象关于________对称( ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－1解析：选C.y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，0，x ＝1，－x ＋1，x ＜1.其图象如图所示．故选C .函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1 D ．e－x －1解析：选D.曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________．解析：由f (x )的图象知f (x )为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0. 答案：0若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)三.典例分析分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝|lg x |； (3)y ＝x ＋2x －1.【解】 (1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图所示．(3)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，图象如图所示．将本例(3)的函数变为“y ＝x ＋2x ＋3”，函数的图象如何？解：y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 (1)易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D .(2)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，所以c <0. 令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)>0，所以b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba >0，所以a <0.故选C.【答案】 (1)D (2)C已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0，(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值． 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x <0，其图象如图．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2. (3)由图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0<a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a24. 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24（0<a ≤2），1－a （a >2）.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}【解析】 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，知g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．【答案】 C(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)【解析】 当0＜m ≤1时，需满足1＋m ≥(m －1)2，解得0≤m ≤3，故这时0＜m ≤1.当m ＞1时，需满足(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0，故这时m ≥3.综上可知，正实数m 的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 B四.巩固练习1. 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图中实线部分．2. (2018·长沙市统一模拟考试)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A.令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.3．下列区间中，函数f (x )＝|lg(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．⎣⎡⎦⎤－1，43 C ．⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1，2)解析：选D.用图象法解决，将y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得到y ＝lg(－x )的图象，再向右平移两个单位，得到y ＝ lg[－(x －2)]的图象，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f (x )＝|lg(2－x )|的图象．由图象，在选项中的区间上f (x )是增函数的显然只有D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解析：选B.由题意可得直线y ＝x 与函数f (x )＝2(x >m )有且只有一个交点．而直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象至多有两个交点．题目需要三个交点，则需满足直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象有两个交点，画图可知，函数y ＝x 与f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象交点为A (－2，－2)，B (－1，－1)，故有m ≥－1.而当m ≥2时，直线y ＝x 和射线y ＝2(x >m )无交点，故实数m 的取值范围是[－1，2)．故选B.五.课堂小结 1.函数图象的画法[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 2.辨识函数图象的5个切入点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 3. 利用函数图象求解问题的策略(1)对称性信息转化为中点坐标关系，注重形与数的结合． (2)“渐近线”信息转化为函数的定义域或值域．(3)方程根的个数转化为两曲线的交点个数，注重数与形的结合． (4)图象的“最高点”“最低点”信息转化为最值问题．六.作业1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)4.已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝e x ln xB ．f (x )＝e －x ln|x | C ．f (x )＝e x ln|x | D ．f (x )＝e |x |ln|x |5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 9．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．。
函数y的图像
⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πx 函数()ϕω+=x A y sin 的图象一、从函数x y sin =到函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换实践：用“五点法”在同一坐标系中分别作出下列函数的图像1、x y sin =与⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πx y3π+xx2、x y sin =与x y 2sin =3、x y sin =与x y sin 3= 观察：上述各组函数图象之间有什么关系？ 讨论：函数()()00A sin 〉，〉，ωϕω+=x A y 的图像可以由函数x y sin =的图像怎样变换得来？路径一：________________________________________。
路径二：___________________________。
例：作出函数）（42sin 3π+=x y 在一个周期内的图像。
练习：作出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2πx y 在一个周期内的图像 二、函数()()00A sin 〉，〉，ωϕω+=x A y 的性质1、单调性： 单调增区间为：____________________2、周期性： 最小正周期为：___________3、对称性： 对称轴方程为：_____________________.4、值域：________最大值为：_____;最大值点为：_________ ;最小值为：___;最小值点为：______例：求函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2πx y 的周期、单增区间、最大值及函数取最大值时相应的自变量值。
三、函数()，ϕω+=x A y sin 的解析式例1 下图是函数()ϕω+=x A y sin ，其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π，的图象， 试确定A 、ω、φ的值，并写出函数解析式．分析：1、A 值得确定：_________2、ω的确定：__________3、ϕ值得确定：__________例2、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ϕ)(ω＞0)的图象如右图所示， 求函数解析式。