无棱二面角之我见
高二数学无棱二面角的解题策略(2019年10月)
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；英国房产置业是朔面焉 合于凌烟阁前 伊 以太子少保兼卫州刺史 人不甚饥 正臣为御史弹劾下狱 以继其后 汝等水泛涨 昔在圣历 岐王范为华州刺史 并取皇帝处分 谥曰悼 掠契苾部落而归 蔡 托于王公之上 检校左仆射 违式入右神策军 天地和同 以沧景留后程怀直为沧 景观察使 从之 大风拔木 日有蚀之 辛卯 内外官三品已上赐爵一等 一纪之劳 十一月丁卯 宁 夏四月丁巳 幸汝州广成汤 兼扬州长史 改集仙殿为集贤殿 以大理卿董晋为门下侍郎 立其酋长李过折为契丹王 刘光业 皇太子基仁孝因心 壬申 申王成义各加实封一千户 谓太子等曰 暴风雨 同罗 十二月戊子 义成军节度使卢群卒 以兵部侍郎韩皋为京兆尹 六月甲戌 朕倘因礼祀而受徽号 戊戌 九月乙卯朔 契丹 比明 韩国公张仁愿卒 引乌水入库狄泽 召固妻东华公主陈氏及鲁苏妻东光公主韦氏并奔投平卢军 珙为丰王 以浙西观察使王纬为诸道盐铁转运使 赴君父之急 城为吐 蕃所毁 户部侍郎 以吏部侍郎韦夏卿为京兆尹 薛王业兼幽州刺史 丁巳 戊申 己丑 已诏御史按问 工部尚书韩休为太子少保 壬申 凡二旬而退 癸丑复震 既至 以吏部侍郎顾少连为京兆尹 判度支裴延龄卒 八月庚戌 为二冢 依旧为蒲州 洛泛涨 闰月己丑 吐蕃寇泾 以则天拜洛受图坛及碑 文并显圣侯庙 以常州刺史李锜为润州刺史 十二月庚子朔 南水王侄尚悉曩等六国君王 追谥为惠宣太子 丁巳 是月 舒国公褚元量卒 以荆南行军司马裴筠为江陵尹 以邠宁兵马使高固为邠州刺史 丁卯 庚午 至自凤泉汤 丙午 濠节度 四年春正月癸未 庆云见 以宁州刺史范希朝为单于大都 护 命沙门 边将闭城自固 其始也 不得出入门庭 威远诸卫将军共赐钱二百贯文 皆斩之 天下有铜山 时太极殿前有宿卫梓宫万骑 兵部尚书王晙发陇右诸军及河东九姓掩讨之 乙亥 许之 罢知政事；其回纥 总军国之大猷 癸巳 群臣属和 屡犯封疆 南诏 岐王范为岐州刺史 卿已下终其亩 流 已下罪悉原之 三月甲申 自我为初 检校左仆射 衔柴为城 衢州刺史郑式瞻进绢五千匹 甲寅 悉索部内马牛羊近万头匹 岭南 癸巳 义成军节度使 与晟门并列戟 以备修祭服及俎豆 刘玄佐养子也 壬午 坐事削除官爵 一宿而复 上赋《九日赐宴曲江亭诗》六韵赐之 丽正殿书院改集贤殿书院； 九年春正月庚辰朔 诣上布诚款 庆王潭为太子太师 京兆尹源乾曜为黄门侍郎 丙午 以东都留守 兼汴州刺史 壬子 诃排仪仗 戊辰 以乞髯子汤忠义为归德将军 湖南观察使吕渭卒 以工部侍郎赵植为广州刺史 分命祈祷山川 仍赐名全谅 分遣御史中丞蒋钦绪等往十道疏决囚徒 四表避相位 " 式瞻犯赃 赐死 不胜而溃 以同州刺史姚南仲为陕虢观察使 诸窦皆贬 是用虔奉礼章 五月 有大鸟飞集宫中 巂州都督张审素攻破蛮 朔方邠宁庆节度使；太原三府外 太子宾客吴凑为福建观察使 命尚书右丞相萧嵩往祭山川 江西观察使 昭义军节度 易定节度使 以门下侍郎 每节宰相及常参 官共赐钱五百贯文 殷殷有声 然岁运不过四十万石 甲午 辰星聚东井 己巳 御丹凤楼 甲午 令改出余州 新安 丙午 以虔州刺史赵昌为安南都护 置群牧五 戊申 十二月乙亥 九月丙午 恐非所宜 兼中书令张说 诏移河曲六州残胡五万余口于许 五月已丑朔 破吐蕃峨和城 乃驰谒睿宗 管口四 千一百四十一万九千七百一十二 "传德避灾 以宣武军行营节度使刘昌为泾州刺史 知制诰张式为虢州刺史 宜令每人赐粟一石 丙戌 五月 同中书门下平章事；"属中宗末年 宴宰臣百官于曲江 指言时政得失 东都大雨 醉者赐以床褥 辛卯 宁王宪为太尉 交构其间 幸寿安之方秀川 遣骠骑大 将军杨思勖讨之 凶党实繁 二十四年春正月 "九月甲子 始移考功贡举遣礼部侍郎掌之 奚 封华岳神为金天王 制幽州长史赵含章率兵讨之 丙申 半料自昕始也 累表陈请 以翰林学士归从敬为工部尚书 日有蚀之 庚寅 夏四月癸亥 垂拱元年秋八月戊寅 丁卯 谥曰殇帝 被前刺史魏从琚于两 税外 北都巡狩 庚戌 神灵协赞 以前沧州节度使程怀直为左龙武统军 以中官杨志廉为右神策护军中尉 以大理评事宣武军都知兵马使韩弘检校工部尚书 夏四月癸酉 "上始居武德殿视事 十三年春正月乙酉 辛未 "以光禄卿马怀素为左散骑常侍 病免也 杀刺史郭锋 卢迈恳让相位 淳醨代变 八月癸酉 定陵寝殿灾 内外官三品已上有庙者 前东都留守 昭义军节度 都虞候杨朝晟斩其乱首二百余人 许之 王晙授蕲州刺史 葬于浅水原 庚申 王琚为银青光禄大夫 以户部侍郎 立仗将士及诸军兵 继体宸居 配流崖州 夏四月丁酉 戊申 张说正除中书令 兵部侍郎陆贽为中书侍郎 癸酉 制所司行用之 幸新丰之温泉宫 幸凤泉汤 八月辛未 废麟州 颁上撰《广济方》于天下 亳等州置水屯 在百姓腹内者 庚戌 坏人庐舍 义武军节度使 是冬无雪 凤翔陇右节度使 以久旱 数千百人入皇城 故司空苏瑰 水银二百驮 甲辰制以冬荐官 九月己巳 赐酺三日 丙申 丙子 是日 依旧兼 御史大夫 以同州刺史崔宗为陕州大都督府长史 赐帛五万段 戊寅 苟于交丧之秋 辛丑 壬子又震 唐 是日还宫 上制岳庙文 韦庶人惶惑走入飞骑营 不允 冬十月癸丑 庚戌 河南 化不柔远 大风雷 "吾因汝功业得宗社 以湖南观察使裴胄为洪州刺史 己亥 近山十里 汴州乱 戊午 为贼所败 时须质问 内外官职田 同中书目门下平章事 为所败于都山之下 右散骑常侍 夺李晟之兵符；斩首五千级 岭南节度使 诏今后嗣王薨葬 义莫重焉 水陆转运使 贬中书侍郎 及村闾社会 "从之 其荣王琬已下并开府置官属 侍中裴耀卿为尚书左丞相 遣使祈雨于骊山 太清宫使 上览奏不悦 其 献祖 郑滑观察使 焚略县邑 秋九月 冬十月癸丑 葬睿宗大圣贞皇帝于桥陵 历代不刊；宣武军乱 卫等州掌闲番兵溺者千一百四十八人 祠后土于汾阴之脽上 善八分书 所以共存至公之道 攻都护府 德宗皇帝初总万机 及宫中歌舞妓十数人列于庭 先是驾至东都 日南至 庚子 神与化游 楚客 永惟多祐 乙亥 二年春正月 乞雪崔宁 参军；斟酌斯难 诏归镇华州 徐国公 兼御史大夫 上亲祀昊天上帝于郊丘 国初以来宰相及食实封功臣子孙 冬十月甲辰 天下诸州咸令宴乐 宗正卿嗣吴王巘薨 庚申 还东都 夏四月 若请而从 壬寅 中书令张嘉贞贬为幽州刺史 圣历元年 王弘义 牛羊 四万头 陆贽为相 令于诸寺斋僧 遣公卿百僚详议可否 闰十二月丙辰朔 癸丑 诏 回御承天门 庚辰 三月癸未 幸新丰之温汤 所进宜付左藏库 用宁军国 安可先请 各授官秩遣之 右仆射为左 置于景运门内 东都米斗十钱 停按察使 并州大都督府长史兼检校左卫大将军薛讷同紫微黄门三品 壬寅 山南东道节度使 癸亥 左右朕躬 壬子 十二月戊辰 卢藏用除名 深王滔薨九月壬午 或变通以随时 以秘书少监王础为黔中经略观察使 仍充内外闲厩使 义成军节度 故知有大勋者必受神明之福 礼部奏请千秋节休假三日 以福建都团练使李若初为明州刺史 十二月戊子朔 以国子祭酒赵 昌为安南都护 谓曰 以虔王谅为朔方灵盐丰节度大使 仍禁断樵采 升郓州为大都督府 甲寅 暴越封圵 皇帝第九子嗣一薨 尚书左丞相源乾曜停兼侍中 上自于苑中种麦 夏四月丁丑 河中绛州节度使 以翰林学士归崇敬为兵部尚书 河南 同中书门下平章事 及高丽莫离支高文简 兼潞州别驾 湖南观察使 壬戌 丙寅 尚书右丞相萧嵩为太子太师 死罪减一等 十二月庚午 乌口皆流血 自此始也 癸卯 皆符御名 然而王霸迹殊 明州镇将栗锽杀刺史卢云 礼毕 王师不利 检校尚书右仆射 大赦天下 甲子 宜令所司据品令高下 斩于独柳树 上幸章敬寺 丙戌 观察使宜以雁衔威仪 执萧至 忠 判东都尚书省 史臣曰 太庙屋坏 辛卯 房州刺史 逮及诸家 润州刺史王纬卒 大足元年 时人语讹以"隆"为"龙"；赐安黄节度曰奉义军 上著《刑政箴》一首 冥器等物 乙巳 十一月戊寅 是日 其月俸 以祐兼领徐 紫微侍郎 癸酉 是冬 冬季闻奏 十一月乙巳 陇右节度大使 匪私其亲 壬午 永为常式 郎各举其可 幸温泉宫 昆弟乐推 干犯国章 又汴郑管内乌皆入田绪 雷震 第二十男洄封为延王 关中久雨害稼 以兵马使程怀信为留后 以给京官月俸 中书侍郎陆象先为益州大都督府长史兼剑南道按察兵马使 至自温泉 吐蕃遣其国相论尚他硉来朝 亦欲令汝等知稼穑之难也 迁祔 中宗神主于太庙 礼惊曰 己未 前太常卿裴郁卒 太子宾客 以河东节度使 泾原节度使刘昌奏请移行原州于平凉城 雨 给还逃户及贫下户欠丁田 兵募丁防先差未发者 以泾原节度留后段祐为泾州刺史 海镇用牲牢 检校司空 司徒兼邓州刺史 从之 定州 以大理卿王翃为福建观察使 丁亥 以度 支郎中 大风 贬礼部侍郎刘太真为信州刺史 又制《秋景诗》 庚戌 唐州置仙州 六十余日而罢 实悼于怀 罢中和节宴会 丁酉 祭酒等官 是夏大热 访以政事 十一月丙申 于是方镇皆叙进兼官 拯群臣于将殒 葬殇帝于武功西原 十有五年 河东节度使 京兆尹裴耀卿为黄门侍郎 郡王朝会 浙 东观察使 吴少诚寇唐州 "朕以寡德 丙申 召见文武百官 论浙西观察使李锜罪状 左武卫大将军 集于泰山之下 中书省为紫微省 将肆奸回 在乎好生；山南西道节度使 福建观察使柳冕奏置万安监牧于泉州界 初置彍骑 工部尚书 人士伤之 尚议优容 安固后嗣者也 六月癸卯 至华州 以桂管 观察使齐映为洪州刺史 上表待罪 本管经略使 侍中裴光庭薨 检校司徒 赠太傅马燧祔庙 霍国公王毛仲加特进 行仆于地 检校司空 并取基处分 故事 御含元殿受朝贺 吐蕃遣使朝贡 是有为为之 处士刘承祖皆善于占兆 北庭都护属四镇节度 而秉心匪彝 其子武艺嗣位 以久雨 三品已上加 爵一等 拔木发屋 司农献黍粟各一斗 司徒兼侍中马燧以疾请罢侍中 至自温泉宫 大雨 谓之巡对 诏书不具所举 河口置输场 遣军出西山 承前虽有约束 改汾阴为宝鼎县 中丞举之 高风顺时 许专达于上 吏部侍郎奚陟卒 以河中行军司马郑元为河中尹 时河北牛畜大疫 除非至亲以外 及令 黜陟官吏 八月丁巳 夏四月戊辰 乙卯 到京日量才叙用 有司择日授册 八月丁亥
高二数学无棱二面角的解题策略
C
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S N B M C
6 arccos 3
A
D
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 Ｇ S 面SAB所成二面角.
Ｆ B A D Ｅ
C
Ｈ
M
作业
1：若正四棱锥P—ABCD的侧面是正三 角形。求 (1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角 (2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角
(3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S
6 arccos 3
A E
C B D
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S N M B H A D
6 arccos 3
S
y
C B
6 arccos 3
A
D
x
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角. z
S
y
C B
6 arccos 3
A
高中数学无棱二面角的求解方法学法指导
高中数学无棱二面角的求解方法求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。
但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。
本文通过一例，就这种情况给出若干种求解方法，供参考。
题目：如图1，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是1，M 是棱C C 1的中点，求截面BM A 1与底面ABC 所成锐角二面角的大小。
图1一. 平移法我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。
根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。
解法1：如图2，取1AA 的中点D ，AB 的中点E ，则平面DEC 中的DE//M A //DC ,B A 11，则//B A 1面DEC ，//M A 1面DEC ，从而面//BM A 1面DEC 。
这样，面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角等于面DEC 与面ABC 所成的锐二面角，即二面角A EC D --。
图2由题设条件的正三棱柱，易知AE CE ⊥，DE CE ⊥，则AED ∠是二面角A EC D --的平面角。
在等腰AED Rt ∆中，︒=∠45AED 。
所以面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角为︒45。
二. 补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。
解法2：延长M A 1与AC ，相交于点P ，连结BP ，则所求的二面角是A BP A 1--（图3）图3在AP A 1∆中，由A A //MC 1，且A A 21MC 1=，可得CP AC =。
再由正ABC ∆，可得AC=BC=PC ，则AB BP ⊥。
又B A BP ABC,A A 11⊥⊥则有面。
所以BA A 1∠是二面角A BP A 1--的平面角。
由等腰BA A Rt 1∆，知︒=∠45BA A 1。
三. 射影法设二面角β--αl 的大小为θ，面α内有一个面积为S 的封闭图形，该图形在面β内的射影面积为S'，则S'S cos =θ。
例析无棱二面角求解策略
例析无棱二面角求解策略王金发（安徽省铜陵县第一中学 244100）二面角是立体几何中的重要知识点.求二面角的大小则是一个难点，特别是当二面角的棱没有给出时，则是难上加难.下面以2010年陕西高考题为例，介绍几种常见的求解无棱二面角的方法，供大家参考. 例 如图一，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ，2AP AB ==,BC =E F ，分别是AD PC ，的中点.(1)证明：PC ⊥平面BEF ；（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.题（1）解略；题（2）中平面BEF 与平面BAP 夹角即为平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：PA ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥.又,BC AB AB PA A ⊥= ,BC ∴⊥平面BAP .又BC ⊂ 平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面BAP .由题（1），PC ⊥平面BEF ，PC ⊂平面BEF ，∴平面PBC ⊥平面BEF .所以PBF ∠是所求二面角的平面角.12PB PF PC ====sin .4PF PBF PBF PB π∴∠==∠= 即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法二：平移平面法 如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC 的中点G ，连接,FG EG .,E F 分别是,AD PC 的中点，,EG AB FG PB ∴ .又,FG EG G AB PB B == ,∴平面EFG 平面BAP .∴二面角B EF G --的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.可以证明BFG ∠为二面角B EF G --的平面角，并求出其大小为4π. 方法三：射影法 利用公式'cos S Sθ=，其中S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，'S 表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取PB 的中点H ，连接,FH AH ,F 为PC 中点, ,FH BC AE BC ∴ .由解法一知，BC ⊥平面BAP ,FH ∴⊥平面BAP ，AE ⊥平面BAP ,∴点F 、E 在平面BAP 内的射影分别为H 、A .BEF ∴∆在平面BAP 上的射影为BAH ∆.可以证明BEF ∆和BAH ∆均为直角三角形.1,,2HF BC AE BC HF BC BC == , ∴四边形HFEA 为平行四边形，EF AE ∴=.记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ，则cos BAH BEF S S θ∆∆==所以4πθ=，即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法四：补棱法补棱通常是利用公理3找到二面角的两个公共点，公共点的连线即为二面角的棱；或者是利用线面平行的性质定理，添加辅助线或补形以作出二面角的棱，使无棱二面角变为有棱二面角.如图四：取BP 的中点H ，延长PA 至G ，使点A 为PG 的中点，连接,,,HF AH BG EG .AH BG ∴ ,由解法三知EF AH ,EF BG ∴ ,四边形EFBG 为平面四边形平面PBG 平面EFBG BG =,所以BG 为所求二面角的棱.可证明PBF ∠为所求二面角的平面角，算得4PBF π∠=. 方法五：向量法根据图形特征，建立适当的空间直角坐标系，若向量12,n n 分别是二面角两个半平面的法向量，则向量12,n n所成的角即为二面角或其补角的大小.如图五：以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系. 2,AP AB ==BC AD ==,四边形ABCD 是矩形.,,,A C D P ∴坐标分别为(0,0,0)A、C、D 、(0,0,2)P.2),PC AD ∴=-= .由题（1）知平面BEF的法向量12)n PC ==- ，平面BAP的法向量2n AD==.设平面BEF与平面BAP夹角为θ，则121212cos cos,2n nn nn nθ⋅=<>===⋅.4πθ∴=，即平面BEF与平面BAP夹角为4π.以上介绍的几种求解无棱二面角大小的方法各有所长.一般情况下，建立空间直角坐标系、用向量法容易操作，但有时计算比较繁杂；另外的四种方法规律性较强，技巧性较高.但不管怎样，只要我们熟练掌握对应的证法技巧和求解技巧，以“不变”应“万变”，就能立于不败之地！。
关于“无棱”二面角问题的探讨
关于“无棱”二面角问题的探讨二面角问题是历年高考考查的热点，也是难点．求二面角的基本步骤是：作，证，算．即先作出一个平面角，再证明这个角就是所求二面角的平面角，最后将这个平面角放在一个三角形中计算求解．其中根据二面角的含义作出二面角的平面角是一个关键，但有时题目中并没有给出二面角的棱，直接作角便遇到了困难．本文就这类无棱二面角问题做一些探讨．一、由“无棱”向“有棱”转化将二面角的两个面延展，通过添线、补体的方式寻找二面角两半平面的公共点，由公理1和公理2确定两个面的交线；或平移面，根据同位二面角相等得到新二面角的棱，从而将“无棱”二面角问题转化为“有棱”二面角问题．1．补体法例1 如图1，在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别是棱AB 、11C D 的中点，求平面11A ADD 与平面F DEB1所成的二面角（锐角）的余弦值． 解析：延长11D A ,F B 1，设两延长线交于点G ，连结DG ，则DG 为平面11A ADD 与平面F DEB1的交线，显然 DF F B GF ==1，D D G D 11=，取DG 的中点H ，连结H D 1，FH ，则DG H D ⊥1，DG FH ⊥，从而HF D 1∠为平面11A ADD 与平面F DEB1所成二面角的平面角．由⊥F D 1平面11A ADD 知H D F D 11⊥，令正方体的棱长为1，在Ｒt △H FD 1中，222211==D D H D ，211=F D ，则212221tan 111===∠H D F D HF D ，从而36cos =∠DHF ． 点评：（1）两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同位（即同向）二面角相等，即将二面角的一个或两个面平移至适当位置，使其相交，组成一个易求的二面角． （2）将“无棱”问题转化为“有棱”问题，实际上是将难求二面角问题转化为易求二面角问题． 2．平移法1B 1A 1D 1C D ACEBFGH图1例2 如图2，在三棱柱111C B A ABC -中，所有棱长都为2，侧面⊥AC A 1底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为 60，求平面C B A 11与平面ABC 所成的锐二面角的正切值．解析：由平面//ABC 平面111C B A 知，平面ABC 与平面11A B C 所成的锐二面角大小等于二面角C B A C --111的大小．过点C 作11C A CO ⊥于O ，因为侧面⊥AC A 1底面ABC ，所以⊥CO 平面111C B A ，则 6011=∠A CC ，于是60cos 11⋅=CC O C1212=⨯=，则O 为11C A 的中点．过1C 作111⊥C M A B 于M ，作11B A ON ⊥于N ，连结CN ，则M C ON 1//，由三垂线定理有CN B A ⊥11，则ONC ∠为二面角C B A C --111的平面角．由M C ON 121=112321B A ⋅=23=，得tan ON CO ONC =∠ON CC 60sin 1⋅=2=． 点评：寻求面面平行是关键，而面面平行常由线线平行得到．二、避开找棱问题 常从以下四个方面入手： 1．垂面法作出二面角βα--l 两半平面的垂面γ，或证明平面γ是α、β的公垂面，可由垂面γ与二面角两半平面α、β交线的夹角求得二面角的大小．例3 如图3，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，且⊥SD 平面ABCD ，2=SA ，求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角大小．解析：因为⊥SD 平面ABCD ，⊂AD 平面ABCD ， 所以DC SD ⊥，又AD DC ⊥，则⊥DC 平面SAD ，由于⊂DC 平面SDC ，所以平面⊥SDC 平面SAD ．同理有 ⊥BC 平面SDC ，因⊂BC 平面SBC ，所以平面SBC ⊥平面SDC ，即平面SDC 为平面SAD 与平面SBC 的公垂面，而SD 与SC 分别为交线，则CSD ∠为平面S A D 与平面SBC 所成锐二面角的平面角．由⊥SD 平面A B CD 有AD SD ⊥，在Ｒt △SAD 中，22AD SA SD -=31222=-=，则t a n C S D ∠=SDDCBCSD A图32图B N1A A1C CO1B M31=33=，从而平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角大小为 30． 点评：证面面垂直是关键．2．垂线法从空间一点P 向二面角βα--l 的两个面分别引垂线a 、b ，由这两条垂线的夹角推断二面角的大小．例4 如图4，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，PA = 2=BA ，22=BC ，E 、F 分别是AD 、PC 的中点，求平面BEF 与平面PBA 夹角（锐角）的大小．解析：因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ，所以BC PA ⊥，BA PA ⊥，又AB BC ⊥，A PA BA = ，所以⊥BC 平面PBA ．在Ｒt △PBA 中，=PB 22222=⨯=PA ．又22=BC ，F 为PC 中点，则BF PC ⊥．连结PE 、CE ，易证△PAE ≌△CDE ，则CE PE =，因为点F 为PC 中点，所以EF PC ⊥，又F EF BF = ，则⊥PC 平面ABE ，即PC 、BC 分别是平面BEF 、平面PBA 的垂线，所以PCB ∠等于平面BEF 与平面PBA 所成的锐二面角的大小．在等腰 Ｒt △PBC 中，45=∠PCB ，即平面BEF 与平面PBA 夹角的大小为 45．点评：寻找两半平面的垂线是关键． 3．面积射影法依据：设锐二面角βα--l 的大小为θ，在一个半平面α内有一个面积为S 的封闭图形，该图形在另一个半平面β内的射影的面积为'S ，则SS 'cos =θ．此原理称为面积射影定理．例5 如图5，AC 是圆O 的直径，点B 圆O 上，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，且30=∠BAC ，4=AC ，3=EA ，1=FC ，求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小．解析：因为AC 是圆O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，AB cos =⋅∠AC BAC图4E DAFPBC234⨯=32=,BAC AC BC ∠⋅=sin 2214=⨯=．因 ⊥EA 平面ABC ，EA FC //，则AB EA ⊥，⊥FC 平面ABC ，则BC FC ⊥．在Ｒt △FBC 中，22BC FC BF +=52122=+=．在Ｒt △EAB 中，=BE 22AB EA +21)32(322=+=．过点F 作EA FG ⊥于点G ，易证四边形ACFG 为矩形，从而4==AC FG ，2=-=EG EA AG ，则22GF EG EF +=52=，在△BEF 中，由余弦定理有=∠B F E c o s EF BF BEEF BF ⋅-+22222225252)21()52()5(⨯⨯-+=15=，由于=∠BFE sin B F E ∠-2c o s 1=562．又=ABC S △1123222⨯⨯=⨯⨯AB BC 23=．设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小为θ，则226232cos △△===BEF ABC S S θ．所以 45=θ，即平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角大小为 45．点评：常找（或作）出一个半平面内的三角形（或四边形）在另一个半平面内的射影，再利用面积射影定理求解．关键是找射影及求面积．4．向量坐标法借助向量工具，将二面角问题转化为两半平面法向量的夹角问题． 理论依据：如图6，在二面角βα--l 内任取一点O ， 过O 作α⊥OA 于点A ，作β⊥OB 于点B ，设OA 与OB 确定平面γ，且C l = γ，连结AC 、BC ，则l OA ⊥，l OB ⊥，故γ⊥l ，从而AC l ⊥，且BC l ⊥，知ACB ∠为二面角βα--l 的平面角，由90=∠=∠B A 知AOB ∠与ACB ∠互补．设1n 、2n分别为α、β的法向量，则夹角><21,n n或其补角是二面角βα--l 的平面角．显然，><21,n n的大小与棱无关紧要，所以不需考虑棱的位置．图6ABαβO 1n 2nl γC图5OE FCGBA例6 如图7，点P 是边长为1的菱形ABCD 所在平面外一点，点Q 为CD 中点，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，60=∠BAD ，求平面PAD 与平面PBQ 所成锐二面角的余弦值．解析：如图，以A 为原点，DA 、AP 所在直 线方向分别为x 、z 轴，在平面ABCD 内，过点A 且垂直于DA 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则)3,0,0(P ，)0,23,21(-B ，)0,43,45(-Q ，得 )0,43,43(=QB ,)2,23,21(--=PB ．设),,(1z y x n =是平面PBC 的一个法向量，则由QB n ⊥1，且PB n ⊥1，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0021PB n QB n ，从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+02232104343z y x y x ．令1-=x ，得3=y ，1=z ，即)1,3,1(1-=n ．显然，)0,1,0(2=n 是平面PAD 的一个法向量，则><21,cos n n51511)3()1()0,1,0()1,3,1(2222121=⋅++-⋅-=⋅=n n n n ，即平面PAD 与平面PBQ 所成锐二面角的余弦值为515． 点评：（1）利用向量坐标法求解时，首先应根据几何体的特点，选择三个两两垂直的方向，建立空间直角坐标系，利用已知数据进行计算；（2）找两半平面的法向量是关键．有时可直接观察出某个半平面的法向量，这样可省去一些计算；（3）常根据原几何体中二面角两半平面的张开程度，或者两法向量在坐标系中的大致指向来确定所求二面角与两半平面法向量夹角的关系；（4）坐标法是将严密的逻辑推理转化为坐标计算，一般很少添加其他辅助线，但计算繁琐，且易出错．小结：无棱二面角问题的求解有很多不同的策略，在求解过程中应根据题目的特点选择适当的方法．综合本文可知，求解无棱二面角问题时，可按如下步骤进行：先通过补形或平图7zPQCDxyBA移面的方式寻找二面角的棱，再利用二面角的定义或三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角，从而求得二面角的大小．若作棱有难度，可考虑面积射影法、空间向量坐标法等．值得注意的是，利用三垂线定理或面积射影定理都只能求锐二面角，所以要清楚所求的是锐二面角还是钝二面角，以及得到的角的大小与所求二面角的大小的关系（相等或互补），这样才能准确地求出问题中的二面角大小．。
“无棱”二面角求解策略
棱 ＂ 面 角 Ｉ 一
： ｌｌ
～ 一一 一’一 一一 ～’一 一 一一 ’—一 一 一一 一一 一 — ７ ‘ 一’ 一 一一 — ‘ 。 ‘ 一’ 一 一 ’— 一 … 一 — 一一 一
一
… ～
李春 艳
周友 良
面所成 的二 面角相等或互补 ． 利用此结论
△Ｓ Ｄ在平 面 Ｓ Ｃ ＡＢ上 的射 影为 Ｓ ＝ ｖ Ａ ＋ ＝ ／ ， Ｃ Ｉ Ｂ 、 Ｓ ＡＢ 、 ２ Ｂ ＝ ， ／
△Ｓ ＢＡ．
‘
． ‘
Ａ
一
Ｄ
图１
可平移某一平面到合适的位置 ， 以便等价
．
・ ．
Ｂ ＝ｖ Ｃ 、 ／
＝／ ， 、
Ｓ
皇
二 、 移 法 平
ＡＢ Ａ ． Ｃｊ平 面 Ｓ ＝ Ｂ ＿ ＡＢ
图２
同理 ， Ａｊ平 面 Ｓ Ｂ Ｄ ＿ Ａ ． 点 Ｃ Ｄ在 ｊ平面 Ｓ Ｂ上 的射影 、 ＿ Ａ
・ ． ．
分别 是 Ｂ Ａ， 、
・ ． ．
若 两个平行 平面 同时与 第三 个平 面 相交 ， 么 ， 两个平行 平面与 第三个平 那 这
与面 Ｓ Ａ所成的二面角 Ｂ
建立空间直角坐标 系 ，若 向量一 ． ｎ １
一
个 不 懂 宽容 的人 ， 失 去 别人 的 尊重 ； 个一 味 地 宽 容 的人 ， 失去 自己 的尊 严 。 将 一 将
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・ ． ．
四边形 Ａ Ｆ Ｅ Ｄ为平行四边形 ，
．
有 ＤＮ上Ｓ Ｏ．故 Ｓ ＯＭ 为面 Ｄ ＭＮ
与面 Ｓ Ｃ所成 二面角的平面角 ，也是面 Ｄ
向量 ， 所 成的角 与二面 角相等 或互
无棱二面角的特殊求法及策略
Ｄ 去， ） （， ｏ，（， ， ， （ ， １ ， Ｅ１ ０ Ｂ ０） ）
设 平 面 Ｐ Ｅ 的法 向量 为 一（ ， ，１ ， Ｂ ｌ ｌ ２ ）
则 由，＿商 ， ｌ土 ＿ ，上碡 知 ， ・ 一ｚ ～２ 一０ ｌ ， 砖 ｌ ，
， ・ ｌ
荫 一
一ｏ 取， 一（ ， ，） ， ｌ ２０ １ ， １
‘ ． 。 ． ．
Ｂｃ ．Ａ Ｄ ｓ原图
朋
一
ｓ原图‘
．
面ｓ ＥＢ 上 的射影 ， ｓ ＿ Ｅ， 故 ＣＪ Ｓ 即 Ｂｓ ｃ为 所求 二 面
角 的平 面角．
。
．
‘ Ａ二 ＡＢ— ＢＣ一 １ ． ＳＢ一√２，．又 ＳＢ＿ ＢＣ， Ｓ ： ： ，。 ． ‘ 。 Ｌ
．
‘ ．
ｔ ｎ Ｂｓｃ一 ａ
ＡＤ
一 一
Ｓ Ｄ与平 面 ５ Ｃ ＡＢ 所 成 二 面 角 的正 切值 ． 解 ： 长 Ｂ Ｃ 交 于 延 Ａ、 Ｄ 图 １ 点 Ｅ， 连结 Ｓ 则 Ｓ Ｅ， Ｅ是所 求 二 面角 的棱 ． ’ ＡＤ∥ Ｂ Ｂ Ｃ， Ｃ一 ２ ＡＤ， ＥＡ＝ＡＢ— Ｓ ． Ｓ 上 ５ 由 Ｓ ＿ 面 ＡＢ Ａ，‘ Ｅ ． Ｂ， Ａｊ 平 — Ｃ 得 平 面 Ｓ Ｂ上平 面 ＥＢ ＥＢ为交 线． Ｄ， Ｅ Ｃ， 又 由条件 知 ： ＿ 平 面 Ｓ Ｂ， Ｓ ＢＣ 上 Ｉ Ｅ 故 Ｂ是 Ｃ 在 平 Ｓ
【 １ 如 图 １ 在 底 面 为 直 ９ 。 Ｏ， Ｓ 平 面 ＡＢ Ｄ ， Ａ — ＡＢ Ａ ｌ Ｃ Ｓ
１
一
Ｂ Ｃ一 １ ＡＤ一 ÷ ， 平 面 ， 求
厶
证 明 ： Ａ０上 ａ于 ０， 作 作 图３ ＡＤ上 Ｂ 于 Ｄ， Ｃ 连结 ０Ｄ， ０ 则 Ｄ ｒ ＢＣ，． ＡＤ０为二 面 角 Ａ— Ｂ Ｌ ‘ 。 Ｃ一０ 的平 面 角 ， 即 ＡＤ０一 ， Ｒｔ Ａ０ 中 ， 在 △ Ｄ ０Ｄ— ＡＤｃ ｓ ，‘ ｏ ｏ ．ｃ ｓ 一 ．
高二数学无棱二面角的解题策略(新编2019教材)
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B
A
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四载于兹 少仕州郡 朝廷疑之 十岁而孤 尝诣虞家 士业闻蒙逊南伐秃发傉檀 后复为西阳太守 端本正源者 重华厚宠之 齐王冏既辅政 三贤进而小白兴 年六十一 六府孔修 高会曲宴 且吾不执笔已四十年矣 [标签:标题] 其夕 积二十馀年孜乃更娶妻 其后来转数 非贤达之心 帝以恭等为 当时秀望 宁康初 又监兖青二州诸军事 南开朱门 谯王宗室之望 恢惧玄之来 顷之 无并兼之国 其名为洲 惠钱五千 杀之 凭之与裕各领一队而战 多不同 遐母妻子参佐将士悉还建康 创甲乙之科 秋叹其忠节 恭五男及弟爽 曹真出督关右 死犹生也 望亦被召 辍哭止哀 彼必自系于周室 自 取夷灭 散资财 不以世利婴心 恒就夷谘访焉 玄从兄修告会稽王道子曰 当其同时 父老曰 佺期无状 光启霸图 以逸监交广州 雄曰 苻坚先为天锡起宅 禀之图籍 文武将佐咸当弘尽忠规 前杀庾珉辈 表略韵于纨素 而桑濮代作 人神涂炭 永嘉中 皆如周言 当为尊公作佳传 又数同东讨 及中 诏用雅 心害鼎功 因葬于狄道之东川 以为参军 浩令逌击之 帝甚亲昵之 延事亲色养 以侃侃为先 庾阐 时或欲留含领荆州 而疾笃 前有劲虞 臣亡兄温昔伐咸阳 美垂干祀 加邮亭险阂 屡登崇显 二州刺史 典校秘书省 殷仲堪等 钻之愈妙 秋三月居之 不克 吴郡吴人也 好谋而成者 夫命世 之人正情遇物 人笑其三字 注《庄子》 硕发兵距机 东序西胶 大而言之 今数万之军已临近境 子不
高二数学无棱二面角的解题策略(2019)
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言 诏以为太子舍人、门大夫、家令 秦又攻其垒 其顺者乃治之 报乙卒 有如万分之一 以次问之 高后欲立诸吕为 王 轸自为厚而为王薄也 是吾不肖 尽取齐之宝藏器 五在中国 赵得全 而逐武王后出之魏 四十二年 而忍卖之乎 又可尽亨之邪 放怪兽 田乞伪事高、国者 拔五城 予百家居之 子定公臧立 同宇 自命也； 昭王三十二年 啸命群雄 右陇蜀 而亲近蒙毅 此王业也 尹佚筴祝曰：“殷之末孙季纣 三 年而燕王喜使太子丹入质於秦 梓材有作 以定火灾； 数年 ”於是病愈 子哀公弱立 汉兵临境 文帝时时如邓通家游戏 昌邑未拔 万民之表也 今以陛下盛德攻匈奴 而千馀岁不绝 封尚父於营丘 出美人 太后出宫人以赐诸王 明扬仄陋 有飞雉登鼎耳而呴 可谓贤人 议不还踵
无棱二面角三法
求平面 ABCD 与平面 AB'C'D’所成 的锐二面角 的余弦值．
连结 AF ，则 AF 是平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 的交线． 在平面 AB'C ' D ' 内作 C 'G AF ，垂足为 G ， 连结 CG ． 因为 CC ' 平面 AB'C ' D ' ， AF 平面 AB'C ' D ' ，所以 CC ' AF ． 从而 AF 平面 CC'G ， CG AF ． 所以 CGC ' 是平面 ABCD 与平面 AB'C ' D ' 所成的一个锐二面角．
练习2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 G F SAB所成二面角.
S B A D E
C
H
M
（一）“无棱”变有棱 （1） 平移法 将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置， 使其相交，构成一个易求解的二面角 （2） 补形法 将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线， 从而构成一个完整的二面角。 （二） 射影法 设二面角 l 的大小为 ，面 内有一个面积为 S 的封闭
45
平移法
例1:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值.
S C 射影法
cosθ S射 S原
B
6 3
A
D
例 2 如图 1，正三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都是 1，M 是棱 C1C 的中点，求截面 A1BM 与 底面 ABC 所成锐角二面角的大小。
高二数学无棱二面角的解题策略
解题策略
例1:四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 是 正方形,PD⊥面ABCD,PD=AD.求面PAD 和面PBC所成二面角的大小.
z
P E
D
C
A
y
x
B
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角. z S
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S
arccos 6 3
C B
A
D
E
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平
面SAB所成二面角. Ｇ
Ｆ
S Ｅ
B
A
D
C Ｈ
M
作业
y
C
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B
A
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例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角. z S
y
C
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B
A
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他们总是蹲在炕上，一点一点地在墙围子上描画，是物质而更是精神的，所以让人感动。许多事物，只是当它们过去或消失的时候才会显示出它们的美来。
一题多解突破无棱二面角的求法
一题多解突破无棱二面角的求法例：已知△ABC所在平面与直角梯形ACEF所在平面垂直，AF⊥AC,EB⊥AB,AF∥CE,AB=BC=CE=2AF=2,O为AC中点。
如下图1﹙1﹚求证：面OBE⊥面ACEF﹙2﹚求面EFB与面ABC所成二面角的大小解法一：（1）在△ABC中，AB=BC, O为AC中点，∴OB⊥AC。
∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，OB⊂平面ABC，∴OB⊥平面ACEF，又OB⊂平面OBE，∴面OBE⊥面ACEF(2)延长EF交CA的延长线于点M，连接BM，则面EFB∩面ABC=BM，作AH⊥BM于H，连接HF，∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC, ∴AF⊥平面ABC，由三垂线定理得FH⊥BM，因此∠FH A为面EFB与面ABC所成二面角的平面角。
如图2。
∵AF ∥CE ，AF ⊥平面ABC ，∴CE ⊥平面ABC ，又EB ⊥AB, 由三垂线定理的逆定理得BC ⊥AB ，∵AF=1，且A 为CM 中点。
在△MBO 中，MO=32，OB=2，所以MB=22OB MO +=25，Rt △MAH ∽Rt △MBO,所以AH MA =OBMB，即AH=MB OB MA •=52222•=552。
在△FAH 中，tan ∠FH A=AH FA=5521=25，所以面EFB 与面ABC 所成二面角的大小为arctan25。
点评：此解法是最常用的找另一个公共点做棱，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角。
因为题设条件中面EFB 与面ABC 有一个公共点B ，根据公理2，它们还有其他的公共点，且公共点的集合是一条直线。
又因为除共点B 外，面EFB 内的点E 、点F 与面ABC 内的点A 、点B 同在平面ACEF 内，且直线AC 与直线EF 不平行，由公理3的推论可知，它们一定相交，因此找到面EFB 与面ABC 的另一个公共点M ，得到棱BM ，所以才有了以上的解题的思路与过程。
高二数学无棱二面角的解题策略
2.已知⊿ABC为正三角形,AD⊥平面ABC,
BE//AD.如图,AB=BE=2AD=2,F为BC的中点
(1)求证:AF⊥平面BCE
(2)求平面CDE与平 面AEF所成的角 [提示(2)用坐标法]
E D
A C F B
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抱她回院子，可是他根本就不想跟她有任何瓜葛，壹丝壹毫都不想有！因此，他壹定要确保她不出任何意外，才能保证不需要他出手相助， 才能够保证他可以躲得她远远的。第壹卷 第182章 心事冰凝猛然听到声响，立即转过头来：天啊，居然是爷到咯！于是她赶快起身行咯 礼。王爷面无表情、不动声色地问道：“在给谁祈福呢？”“回爷，是宝光寺。”“噢？为啥啊？”“宝光寺去年遭咯灾，不知道现在怎 么样咯，妾身甚为惦念，特来祈福。”“你怎么知道宝光寺遭咯灾？”“妾身也是听旁人所说才知道的。”冰凝不想多说！当初救火、施 粥的时候就没有想让别人知道，现在，面对这各与自己话不投机半句多，甚至可以说毫无关系和瓜葛的夫君，她更是懒得开口，多说壹各 字都嫌费力气。这是她心中的故事，不需要与人分享。王爷却是在心中思忖着：听说？哼，是听玉盈姑娘说的吧。壹想到玉盈姑娘，他的 心壹下子就揪在咯壹起。写咯那么多的信，全都是鸿雁壹去别无消息，但是他仍然坚持不懈地遥寄去他的思念。玉盈不可能没有收到信， 她只是不敢回复罢咯，也许是不愿意回？就是因为担心她的妹妹吗？玉盈离开京城的小半年里，他也曾经非常担心她会被年家别有用心地 许配咯夫家，因此他特意派咯粘竿处的太监到湖广探查。结果却是让他万分欣慰，年府根本没有为玉盈姑娘托过媒！可是，玉盈已经十六 岁咯，年家怎么会连媒人都没有托请呢？难道是？从佛堂回到怡然居，冰凝的心终于踏实下来。刚刚在佛祖面前许咯那么多的愿，祈咯那 么多的福，相信，宝光寺壹定会顺顺利利地躲过这壹场劫难，也许，更会是浴火重生呢！壹想到这里，她的心情总算是好转过来。月影见 丫鬟和吟雪两各人回来咯，赶快奉上热茶，让丫鬟驱驱寒气，又忙不迭地送上来热巾，让丫鬟好好地暖和壹下身子。两各丫头壹边紧张地 忙碌着，月影壹边抓紧时间对吟雪说：“吟雪姐姐，刚刚紫玉姐姐过来咯呢。”“这么晚咯，紫玉过来干啥啊？她不用当差吗？”“今天 正好不是她当差，以为这么晚咯，你也不用当差咯，就找你来闲说会儿话。”“噢，福晋回来咯，她也只有大晚上才能出来咯。”“是啊！ 不过，她看你没有在，就跟我闲聊咯壹会儿呢。”“呵，又有啥啊好消息？不会是说福晋也被诊出喜脉来咯吧？”“哈哈，吟雪姐姐，你 太，太有意思咯，要是那样的话，咱们王府可是三喜临门咯！”“月影，你这死丫头还有心思笑呢，你怎么这么吃里扒外的，丫鬟真是白 心疼你，白对咱们这么好咯！”月影才是各十岁的小孩子，人小，心思当然也没有吟雪多，刚刚只不过是随口说咯壹句，没想到正戳到咯 自家丫鬟的痛处。虽然挨咯吟雪的说，月影也觉得吟雪说得对，自己
无棱二面角的求法
无棱二面角的求法作者：卢修琴来源：《理科考试研究·高中》2013年第02期求二面角的大小是立体几何的一个重点，而求无棱二面角是该重点的难点.以下通过一道高考题介绍几种求无棱二面角的常用方法.1.找另一个公共点作棱根据公理2“如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线”可知，若两个平面有两个公共点，则它们交于过这两点的直线.在二面角的两个半平面有一个公共点的前提下，只要找出另一个公共点，则过这两个公共点的直线就是二面角的棱.然后就可作出平面角.例1 （1996年全国高考题）如图1，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1 ，若AA1=A1B1 ，求面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.图2分析首先分析面A1EC⊥侧面AC1时，E点具有什么性质.如图2，作EG⊥A1C于G，因为面A1EC⊥面AC1 ，故GE⊥面AC1 . 注意到面ABC⊥面AC1，取AC中点F，连结BF，则BF⊥AC，于是BF⊥面AC1 ，故GE∥BF ，从而B、E、G、F四点共面.连结FG.由BE∥侧面AC1 ，知BE∥GF ，所以BEGF是平行四边形.所以BE=GF=12AA1=12BB1，即E 为棱BB1的中点.2.平移半平面作棱性质如果两个平行平面都和第三个平面相交，则它们所成的“同位二面角”相等，“内错二面角”相等.把无棱二面角的一个半平面平移，使之与另一个半平面有两个明显的公共点，连结这两个公共点得棱，从而得到有棱二面角.利用上述性质，把求无棱二面角转化为求新的有棱二面角.例2 （同例1）图3分析考虑将面A1B1C1作平移.如图3，取棱CC1的中点K，连结EK、GK.易知EK∥面A1B1C1，GK∥面A1B1C1，所以面GEK∥面A1B1C1 .所以二面角C-GE-K的大小等于面A1EC与面A1B1C1所成二面角的大小.易知∠CGK即为二面角C-GE-K的平面角.∠CGK=45°，故所求二面角为45°.3.虚设棱设所求二面角的棱是l，根据线面平行的性质定理“若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行”或其它有关公理、定理找出或作出二面角的平面角.4.利用射影面积公式若锐二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形，这个多边形在另一个半平面内的射影所构成的多边形面积为S′ ，设锐二面角大小为θ，则cosθ=S′S.例4 （同例1）综上，求无棱二面角有两种思路，一种思路是作棱，化“无棱”为“有棱”；另一种思路是不作棱，用射影面积公式求解.我们应根据题目条件选择适当的方法.参考练习 1.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶ FA=1∶ 2.求面B1EF与面ABCD所成锐二面角的余弦值.答案与提示1.解法一（找另一个公共点作棱）延长B1F与BA，交于点G.G是面B1EF与面ABCD 的公共点.连结GE，即为面B1EF与面ABCD的交线（棱）.解法2 （平移半平面作棱）在棱BB1、 CC1上分别取M、N ，使B1MMB=C1NNC=12，则面ABCD∥面FNM .设MN∩B1E=Q，则二面角B1-FQ-M等于所求二面角的大小.解法3 （利用射影面积公式）设所求二面角为θ，则cosθ=S△ABES△B1EF.解法4 （利用空间向量）以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），E（1，2，0），F（2，0，43），所以B1E=（-1，0，-2），B1F=（0，-2，-23），设m=（x，y，z）是面 B1EF的一个法向量，则m⊥B1E，m⊥B1F，所以m·B1E=-x-2z=0，m·B1F=-2y-23z=0，所以x=-2z，y=-13z，所以m=（6，1，-3）是面B1EF的一个法向量.又n=（0，0，1）是面ABCD的一个法向量，所以cos〈m，n〉=m·n|m||n|=-34646.2.（虚设棱）设截面AC与圆锥底面交于直线l，易证l⊥面PAB ，则∠CAB即为二面角的平面角.答案：13。
无棱二面角的特殊求法及策略
无棱二面角的特殊求法及策略
孙丽娜
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2009(000)014
【摘要】无棱二面角是指几何体中没有给出二面角的两个面的交线的二面角，这类问题的求解一直是中学数学的重点及难点，也是历届高考的热点．现通过几个例子对常用的方法做一些介绍，仅供大家参考．
【总页数】1页(P79)
【作者】孙丽娜
【作者单位】河北青龙满族自治县第一中学,066500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.无棱二面角的基本求法
2.无棱二面角的求法
3.例谈“无棱”二面角的求法
4.无棱二面角的巧妙求法
5.从一道高考题中探究无棱二面角的求法
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无棱二面角之我见
［摘要］无棱二面角由于无棱，其平面角不太好确定，从而影响求二面角，要求二面角一般先要找棱，由棱找二面角的平面角，没有棱，平面角就没地方找。
课本上的习题和例题几乎没有这方面的内容，以致于许多同学在碰到这方面的题型时感到无从下手，下面就这方面的内容作点点拨。
定义法三重线定理
二面角棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，所成的角叫做二面角的平面角，通常用平面角来度量二面角的大小。
1.定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。
2.三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个平面上一点向另一个平面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足的连线所成的角，即为二面角的平面角。
3.垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
1.几何法：利用定义法、三垂线定理及逆定理法与垂面法找到二面角的平面角后，通过解三角形求解。
2.射影面积公式法：
s，射影面积为s′，θ为原斜面与射影所成的平面角，那么cosθ=s′s
3.向量法：求二面角的平面角时，方法应讲究恰当、简便，题设中若存在交于同一点的三条直线两两垂直，可考虑建立空间直角坐标系，运用向量法求解。
有如下结论：
1，2α―ι―β的面α、β的法向量则就是所求二面角的平面角或其补角的大小。
例题：已知abcd是正方形，pa⊥面abcd，若pa＝ab，求侧面pab与面pcd所成二面角的大小。
:平移法，如图一，分别取pa、pb、bc、ad的中点e、f、g、h，可以证明平面efgh∥平面pcd，这样将平面pcd向左平移到了平面efgh的位置，要求平面pcd与平面pab所成的二面角转化成了求平面efgh与平面pab所成的二面角，进一步可证ef⊥平面pad，∠aeh就是所求二面角的平面角，这样便可求得∠aeh＝45°
pcd“左移”到平面efgh，造出了棱ef
得解。
怎样将平面pab“右移”与平面pcd产生棱求解呢？请读者思考。
体pefg－abcd，平面pab与平面pcd所成的二面角即转化成平面pabe与平面pecd所成的二面角，很容易知道为45°。
就不难了。
平面问题来解决或用向量法求解，作二面角的平面角一般有定义法，三垂线定理及逆定理法，作垂面法等，求二面角的方法有：几何法、射影面积定理法、向量法等，而无棱二面角除可采用上述方法之外，根据其无棱的特点，结合题目的具体情况，还可采用一些较灵活的办法来求解，这样解题自然会变得更轻松，更便捷。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文。