反三角函数与三角方程解读
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程
高二数学三角函数的反函数与解反三角函数方程三角函数是数学中非常重要的一门知识点，不仅在高中阶段学习，而且在大学阶段也是必不可少的。
在高二数学学习中，我们学习了三角函数的反函数以及如何解反三角函数方程。
本文将详细介绍三角函数的反函数及其性质，并提供解反三角函数方程的方法。
一、三角函数的反函数在介绍反函数之前，我们先回顾一下什么是函数。
在数学中，一个函数是指将一个集合的元素映射为另一个集合的元素的规则关系。
而反函数就是给定一个函数，找到它的逆映射的过程。
对于三角函数而言，它们的反函数如下：1. 正弦函数的反函数：反正弦函数，记作$\arcsin(x)$或$\sin^{-1}(x)$。
2. 余弦函数的反函数：反余弦函数，记作$\arccos(x)$或$\cos^{-1}(x)$。
3. 正切函数的反函数：反正切函数，记作$\arctan(x)$或$\tan^{-1}(x)$。
需要注意的是，三角函数的反函数的定义域和值域是有限制的。
例如，反正弦函数的定义域是$[-1, 1]$，值域是$[-\pi/2, \pi/2]$。
这是因为正弦函数的定义域是$[-\pi/2, \pi/2]$，而反正弦函数是正弦函数的逆映射。
二、三角函数反函数的性质了解三角函数反函数的性质对于解题非常有帮助。
下面是三角函数反函数的一些性质：1. 定义域和值域：我们已经提到，三角函数反函数的定义域和值域是有限制的。
2. 对称性：三角函数的反函数具有对称性。
例如，$\arcsin(x)$等于$\arcsin(-x)$。
3. 导数关系：三角函数反函数的导数与原函数的导数之间存在关系。
例如，$(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
根据这些性质，我们可以利用三角函数反函数来解决一些具体的问题。
三、解反三角函数方程的方法解反三角函数方程是高二数学中的一个重要内容。
下面我们介绍一些常用的解法。
1. 代入法：将反三角函数方程转化为一个二次方程或三次方程，然后利用代入法求解。
三角函数的反函数与方程
三角函数的反函数与方程正文：三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
反函数是指在某种条件下，两个函数互为逆函数关系。
对于三角函数而言，它们的反函数被称为反三角函数。
反三角函数的一些常用表示形式包括：arcsin、arccos、arctan等。
它们与对应的三角函数之间的关系可以用反函数的定义来表示。
在定义域内，如果对于给定的正弦、余弦或正切值，可以找到唯一的角度值，则该角度值就是反三角函数的取值。
以正弦函数为例，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。
如果给定一个实数x，满足-1 ≤ x ≤ 1，那么存在唯一的角度θ，使得sinθ = x。
这里的θ就是反正弦函数的取值，通常用arcsinx或者sin-1x表示。
除了反三角函数的定义，我们也可以通过三角函数的图像来理解它们的性质。
以正弦函数为例，它的图像是一条连续的曲线，图像的振幅是1，周期是2π。
在这个图像上，我们可以看到正弦函数的取值范围是[-1, 1]。
如果我们以θ为自变量，x为因变量绘制反正弦函数的图像，可以得到一条曲线，曲线的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
这个图像可以反映出反正弦函数的性质，它的取值范围是一个有限区间。
除了反正弦函数，还有反余弦函数和反正切函数等。
它们的定义和性质与反正弦函数类似，只是对应的三角函数不同。
反余弦函数的图像在定义域[-1, 1]上，值域是[0, π]；反正切函数的图像在定义域(-∞, +∞)上，值域是(-π/2, π/2)。
在实际应用中，反三角函数经常用于解决与角度相关的问题。
例如，在三角恒等式的推导中，可能需要借助反三角函数来确定特定角度的取值；在解三角方程中，可能需要使用反三角函数来求解特定的角度值。
除了反三角函数，我们还可以将三角函数与方程联系起来。
三角函数的方程通常以一个或多个三角函数的形式给出，而我们要做的是通过求解方程来确定变量的取值范围。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
反三角函数和三角函数的关系公式
一、概述反三角函数是指arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等函数，它们是对应于正弦、余弦、正切函数的反函数。
反三角函数的存在对于解决三角函数相关的问题起到了重要的作用。
二、反三角函数的定义1. arcsin(x)函数的定义：当-1≤x≤1时，arcsin(x)是满足-sin(arcsin(x))=arcsin(-x)的唯一角度。
2. arccos(x)函数的定义：当-1≤x≤1时，arccos(x)是满足-cos(arccos(x))=arccos(-x)的唯一角度。
3. arctan(x)函数的定义：arctan(x)是满足-tan(arctan(x))=arctan(-x)的唯一角度。
三、反三角函数和三角函数的关系1. 反正弦函数和正弦函数的关系：当-sin(arcsin(x))=arcsin(-x)时，我们可以推导出-sin(arcsin(x))=-x，所以sin(arcsin(x))=x。
2. 反余弦函数和余弦函数的关系：同理，当-cos(arccos(x))=arccos(-x)时，我们可以推导出-cos(arccos(x))=-x，所以cos(arccos(x))=x。
3. 反正切函数和正切函数的关系：当-tan(arctan(x))=arctan(-x)时，我们可以推导出-tan(arctan(x))=-x，所以tan(arctan(x))=x。
四、反三角函数和三角函数的应用1. 在解三角方程中，反三角函数常用于求解角度。
2. 在物理学和工程学中，反三角函数也有广泛的应用，例如在计算机图形学中的3D建模和动画制作中。
五、结论反三角函数是三角函数的重要补充，它们之间具有密切的关系并在数学和应用中都有着重要的作用。
我们应该在学习和使用反三角函数时，深入理解其定义和性质，更好地掌握数学知识和解决实际问题。
六、反三角函数的图像与性质1. 反正弦函数的图像反正弦函数的图像可由y=arcsin(x)表示，该函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程
2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。
它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[0，π]。
反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。
定义域R，值域(-π/2，π/2)。
反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。
定义域R，值域(0，π)。
小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。
第五章 反三角函数与简单的三角方程第二节简单三角方程
由2 tan x 1 0,即tan x 1 得 : 2
x k 180
arctan
1 2
k
180
26 34k Z;
由tan x 1 0,即tan x 1,得 :
x k 180 arctan 1 k 180 45 k Z.
所以原方程的解集为:
x | x = k 180 26 34, k Z x | x k 180 45 , k Z.
,32
上又有惟一解:
x arcsin 1,即x 5.
2
22
66
因为正弦函数的周期是2 ,
图59
单位圆中适合sin
x=
1 2
所以对这两个解分别加上2k (kZ),就得到方程的通解为:
x=2k arcsin12和x 2k arcsin12(kZ). 即,x=2k+6 和x 2k+65(kZ).
a 1
aR aR
方程的解集
x|xk 1k arcsin a,kZ
x|x2k arcsin a,kZ
x|x2k arccosa,kZ x|x2k arccosa,kZ
x|xk arctan a,kZ x|xk arccot a,kZ
二、简单三角方程的解法
解三角方程，一般是应用三角函数式的恒等变形和解代数 方程的有关知识，先把三角方程化为一个或几个最简三角方程， 再求出适合原方程的解.下面举例介绍一些简单的三角方程的 解法.
sin x 12, 2sin2 x3cosx0, tan5xcos4x 等都是三角方程 适合三角方程成立的每一个角称为这个方程的一个解.三 角方程的所有解称为三角方程的通解.而求出方程的解或确定 方程无解的过程叫做解三角方程.
三角函数的反函数与解三角方程
三角函数的反函数与解三角方程在高中数学中，我们学习过三角函数及其性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
而与之对应的反函数，即反三角函数，是用来解决一些三角方程的重要工具。
本文将详细介绍三角函数的反函数以及如何利用反函数来解决三角方程。
一、正弦函数的反函数正弦函数的反函数称为反正弦函数，常用符号为sin^(-1)，也可用arcsin表示。
反正弦函数可以表示为y = sin^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正弦函数的值。
二、余弦函数的反函数余弦函数的反函数称为反余弦函数，常用符号为cos^(-1)，也可用arccos表示。
反余弦函数可以表示为y = cos^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[0, π]。
反余弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反余弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反余弦函数的值。
三、正切函数的反函数正切函数的反函数称为反正切函数，常用符号为tan^(-1)，也可用arctan表示。
反正切函数可以表示为y = tan^(-1)(x)，其中x的取值范围为(-∞, +∞)，y的取值范围为(-π/2, π/2)。
反正切函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正切函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正切函数的值。
四、解三角方程利用三角函数的反函数可以解决一些三角方程。
一般来说，解三角方程的步骤如下：1. 将方程转化为三角函数的方程；2. 利用三角函数的性质和恒等式进行等式变形，将方程化简为形如sin^(-1)(x) = a或cos^(-1)(x) = a的形式；3. 根据反函数的定义，得到x的值。
需要注意的是，在解三角方程时，需要根据具体的题目要求确定解的范围，并且考虑到周期性的特点。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。
2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
讲义：反三角函数与三角方程
讲义：反三角函数与三角方程【反正弦函数】arcsin y x =一、反正弦函数 函数sin ,2y x ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在-2上的反函数称为反正弦函数，记作arcsin ,x y =改写：arcsin y x =。
对于任意的x ，有唯一的y 与之对应。
如若2x =，则3y π=。
定义域：[]1,1,,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域:-2 注：（1） arcsinx 是一个完整的记号 （2）arcsin y x =中自变量满足[]1,1x ∈-，当1x <时，函数无意义（3）arcsinx 表示一个角，arcsin ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由定义得 如果[]1,1,x ∈-则有 sin （arcsinx ）=x例1．求下列各反三角函数的值()1 （2）arcsin （－1） （3）arcsin ⎛ ⎝⎭一般地，如果[]1,1,x ∈-则有 arcsin （－x ）=－arcsinx例2．求下列各式的值()1arcsin sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()72arcsin sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭注：arcsin （sin α）不一定等于α二、正弦方程1．概念 sin x a =，称为最简正弦方程2．基本解法1a >时，解集是∅sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ 1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈3．例题例1．解下列方程（1）sin x =（2）1sin 2x =- （3）2sin 3x = （4）1sin 3x =-【反余弦函数】arccos y x =一、反正弦函数函数cos y x =在[]0,π上的反函数称为反余弦函数，记作arccos x y =，写成：arccos y x =。
三角函数三角函数的反函数与解方程
三角函数三角函数的反函数与解方程三角函数是数学中的一种重要概念，与解方程密切相关。
在本文中，我将讨论三角函数的反函数与解方程的关系。
一、三角函数的反函数1. 正弦函数的反函数正弦函数是根据一个角的弧度或角度给出其正弦值的函数。
其反函数被称为反正弦函数，常用符号为sin⁻¹(x)或arcsin(x)。
反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
2. 余弦函数的反函数余弦函数是根据一个角的弧度或角度给出其余弦值的函数。
其反函数被称为反余弦函数，常用符号为cos⁻¹(x)或arccos(x)。
反余弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
3. 正切函数的反函数正切函数是根据一个角的弧度或角度给出其正切值的函数。
其反函数被称为反正切函数，常用符号为tan⁻¹(x)或arctan(x)。
反正切函数的定义域是(-∞, +∞)，值域是[-π/2, π/2]。
二、解三角函数方程解方程是数学中常见的任务，而三角函数方程是其中的一种特殊类型。
我们可以利用三角函数的反函数来解决这类问题。
1. 解正弦函数方程正弦函数方程的一般形式为sin(x) = a，其中a为常数。
为了解这样的方程，我们可以利用反正弦函数。
根据sin⁻¹(a) = x，我们可以求得x的值。
需要注意的是，正弦函数是周期性的，所以方程有无穷多个解，可以表示为x = sin⁻¹(a) + kπ，其中k为整数。
2. 解余弦函数方程余弦函数方程的一般形式为cos(x) = a，其中a为常数。
我们可以利用反余弦函数来解决这类方程。
根据cos⁻¹(a) = x，我们求得x的值。
同样地，余弦函数也是周期性的，所以方程有无穷多个解，可以表示为x = cos⁻¹(a) ± 2kπ，其中k为整数。
3. 解正切函数方程正切函数方程的一般形式为tan(x) = a，其中a为常数。
高中数学之四《反三角函数和简单三角方程》
1，1，值域是 0， 。
一 般 地 ， 根 据 反 余 弦 函 数 的 定 义 可 得 cosarccos x x ， 其 中 x 1，1，
arccos x 0， 。
反余弦函数的性质：
（1） 反余弦函数 y arccos x 在区间 1，1上是减函数。
， 2
。
反正弦函数的性质：
（1） 反正弦函数 y arcsin x 在区间 1，1上是增函数。
（2） 反 正 弦 函 数 y arcsin x 的 图 像 关 于 原 点 对 称 ， 这 说 明 它 是 奇 函 数 ， 也 就 是
arcsin x arcsin x，x 1，1
（二）反余弦函数
（2） 反余弦函数 y arccos x 既不是奇函数也不是偶函数，对于任意 x 1，1，有
arccos x arccos x
（三）反正切函数与反余切函数
正切函数
y
tgx
x
2
， 2
的反函数叫做反正切函数，记作
y
arctgx
，它的定
义域是 ， ，值域是 ， 。
2 2
正余函数 y ctgxx 0， 的反函数叫做反余切函数，记作 y arcctgx ，它的定 义域是 ， ，值域是 0， 。
反三角函数和简单三角方程
（一）反正弦函数
一反三角函数
函数
y
sin
x
x
2
，
2
的反函数叫做反正弦函数，记作
x
arcsin
y
。定义域
是
1，1
，值域是Βιβλιοθήκη 2， 2。一 般 地 ， 根 据 反 正 弦 函 数 的 定 义 可 得 sinarcsin x x ， 其 中 x 1，1，
反三角函数性质
反三角函数的图象与性质及简单的三角方程
1． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2
π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
2．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1],
arcsin(sin x )＝x , x ∈[－
2π，2
π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0, π]的运用的条件； 3． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctg x ＋arcctg x ＝2π的应用。
2.1．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；
2．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练
地写出最简单的三角方程的解；
3．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若sin α＝sin β，则α＝k π＋(－1)k β；若cos α＝cos β，则α＝2k π±β； 若tg α＝tg β，则α＝k π＋β；若ctg α＝ctg β，则α＝k π＋β；
4．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
第25讲_反三角函数与三角方程
第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2 ]．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2；tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x 2； tan(arcsin x )＝ x1－x 2； cos(arctan x )＝11＋x 2； tan(arccos x )＝ 1－x 2x． 证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2 ，即cos(arcsin x )＝1－x 2 ；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x 1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x 2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2－β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1] 解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2． ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β) 3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6]B ．[-π2，π3]C ．[π6，π]D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ＝113＋1211－113⨯121＝ 18 ．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数．说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0． ∴ cot[x ]＝1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })， ∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4]C ．(- 3π4，3π4)D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin n x ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1， n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1． 解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin n x ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin n x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解．⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin n x ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin n x ≥0，故只能在2k π＋3π2≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos n x －sin n x ＝|cos n x |＋|sin n x |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解．所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2}B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}第 11 页 共 11 页 4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4)，则α＝ ； 5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根； 6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根． 7．解方程：⎝⎛⎭⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos n x ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．。
三角函数的反三角函数与解析式
三角函数的反三角函数与解析式三角函数是学习高中数学时不可避免的一个重要概念，它涉及到我们求解三角形各种问题时必不可少的工具。
而在三角函数的学习中，反三角函数的概念也是十分重要的，它在解决各种三角函数运算问题中起着关键的作用。
本文将着重探讨三角函数的反三角函数以及与其相关的解析式。
一、反三角函数的概念反三角函数是指以三角函数的某种值为自变量，求解出一个角的函数。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
这些函数的定义域和值域与基本三角函数有所不同，具体如下：1. 反正弦函数y=yyy^−1(y)，定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
2. 反余弦函数y=yyy^−1(y)，定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
3. 反正切函数y=yyy^−1(y)，定义域为实数集y，值域为(-π/2,π/2)。
二、反三角函数的解析式反三角函数可以使用解析式的形式来表示，这样有利于求解各种三角函数运算问题。
下面是一些常见的反三角函数的解析式：1. 反正弦函数的解析式反正弦函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)2. 反余弦函数的解析式反余弦函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)3. 反正切函数的解析式反正切函数的解析式为：y=yyy^−1(y) ⇒y=yyy(y)通过这些解析式，我们可以根据给定的反三角函数值，求解出角的具体数值。
三、反三角函数的性质反三角函数作为三角函数的逆运算，具有一些特性：1. 函数值对称性：反三角函数的值域关于原函数的定义域对称。
2. 值域范围限定：反正弦函数的值域范围为[-π/2,π/2]，反余弦函数的值域范围为[0,π]，反正切函数的值域范围为(-π/2,π/2)。
3. 特殊角值：反三角函数在特殊角值处的函数值非常重要，如yyy^−1(1)=y/2，yyy^−1(0)=y/2，yyy^−1(0)=0。
4. 三角恒等式：反三角函数与基本三角函数之间有一系列的恒等式，如yyy(yyy^−1(y))=y，yyy(yyy^−1(y))=y等。