2019年山东省淄博市中考数学试卷(a卷)以及解析版

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）比2-小1的数是()
A．3
-B．1-C．1D．3
2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为()
A．8
4010
⨯B．9
410
⨯C．10
410
⨯D．10
0.410
⨯
3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是() A．B．
C．D．
4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40︒方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则ABC
∠等于()
A．130︒B．120︒C．110︒D．100︒
5．（4分）解分式方程11
2
22
x
x x
-
=-
--
时，去分母变形正确的是()
A．112(2)
x x
-+=---B．112(2)
x x
-=--C．112(2)
x x
-+=+-D．112(2)
x x
-=---6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是()
A ．46
0.6125⨯+
B ．45
0.6126
⨯+
C ．120.6564⨯÷+
D ．126
0.645
⨯+
7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )
A B ．2
C ．
D ．6
8．（4分）如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若A D C ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为( )
A ．2a
B ．5
2
a
C ．3a
D ．72
a
9．（4分）若123x x +=，22
12
5x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-= C ．2320x x ++= D ．2320x x --=
10．（4分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h 随时间t 的变化情况如图所示，则对应容器的形状为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（4分）将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．3a >
B ．3a <
C ．5a >
D ．5a <
12．（4分）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，
22(C x ，2)y ，
33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4
(0)y x x
=>的图象上．则1210y y y ++⋯+的值为( )
A ．
B ．6
C ．
D ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果. 13．（4分）单项式321
2
a b 的次数是 ．
14．（4分）分解因式：3256x x x ++．
15．（4分）如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角(0180)αα<<︒得到格点△111A B C ，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α= 度．
16．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
17．（4分）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．
如图1，当12CD AC =
时，13
tan 4
α=；
如图2，当
1
3
CD AC
=时，
2
5
tan
12
α=；
如图3，当
1
4
CD AC
=时，
3
7
tan
24
α=；
⋯⋯
依此类推，当
1
(
1
CD AC n
n
=
+
为正整数）时，tan
n
α=．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）解不等式
5
13 2
x
x
-
+>-
19．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD
=，AC AE
=，BAE DAC
∠=∠．求证：E C
∠=∠．
20．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
（1）请直接写出a=，m=，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是度．（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？
21．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
22．（8分）如图，在Rt ABC
∠的平分线AD交BC于点D，点E在AC
∠=︒，BAC
∆中，90
B
上，以AE为直径的O经过点D．
（1）求证：①BC是O的切线；
②2
=；
CD CE CA
（2）若点F是劣弧AD的中点，且3
CE=，试求阴影部分的面积．
23．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2
=，
AB BC
取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM MG ⊥，并求
MB
MG
的值． （2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MB
MG
的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
24．（9分）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与
y 轴交于点C ．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．
2019年山东省淄博市中考数学试卷（A 卷）答案与解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（4分）
【分析】用2-减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：21(12)3--=-+=-． 故选：A ．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键． 2．（4分）
【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：40亿用科学记数法表示为：9410⨯， 故选：B ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4分）
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：A 、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；
B 、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
C 、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长
方形，不符合题意；
D 、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：D ．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4．（4分）
【分析】根据平行线性质求出ABE ∠，再求出EBC ∠即可得出答案． 【解答】解：如图：
小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20方向行走至点C 处， 40DAB ∴∠=︒，20CBF ∠=︒，
向北方向线是平行的，即//AD BE ， 40ABE DAB ∴∠=∠=︒， 90EBF ∠=︒，
902070EBC ∴∠=︒-︒=︒，
4070110ABC ABE EBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
故选：C ．
【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键． 5．（4分）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果． 【解答】解：去分母得：112(2)x x -=---， 故选：D ．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 6．（4分）
【分析】根据科学计算器按键功能可得．
【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是45
0.6126
⨯+，
故选：B ．
【点评】本题主要考查计算器-有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 7．（4分）
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，
=，
∴
2=，
故选：B ．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 8．（4分）
【分析】证明ACD BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出BCA ∆的面积为4a ，计算即可． 【解答】解：CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠， ACD BCA ∴∆∆∽，
∴
2
()ACD BCA S AC S AB
∆∆=，即14BCA a S ∆=，
解得，BCA ∆的面积为4a ，
ABD ∴∆的面积为：43a a a -=，
故选：C ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9．（4分）
【分析】利用完全平方公式计算出122x x =，然后根据根与系数的关系写出以1x ，2x 为根的一元二次方程． 【解答】解：
22
125x x +=，
21212()25x x x x ∴+-=， 而123x x +=， 12925x x ∴-=， 122x x ∴=，
∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．
故选：A ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12c
x x a
=．
10．（4分）
【分析】根据液面高度h 随时间t 的变化情况的图象可以看出，高度h 随时间t 的变化情况是：先是高度随时间变化比较缓慢，然后逐渐变快，然后又变得比较缓慢，并且变慢的长度越来越大，最后，又急速上升，可以推断这个容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C 容器．
【解答】解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C 容器． 故选：C ．
【点评】考查对变化过程中两个变量的变化关系的理解，即函数的意义的理解，根据图象变化情况，推断容器形状，强化对函数的理解．
11．（4分）将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．3a >
B ．3a <
C ．5a >
D ．5a <
【分析】先利用配方法将24y x x a =-+化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将2y =代入得到一元二次方程，然后根据判别式△0>列出不等式，求出a 的取值范围． 【解答】解：
224(2)4y x x a x a =-+=--+，
∴将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数
解析式为2(21)41y x a =-+-++，即222y x x a =-+-， 将2y =代入，得2222x x a =-+-，即2240x x a -+-=， 由题意，得△44(4)0a =-->，解得5a <． 故选：D ．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程的关系，一元一次不等式的解法，正确求出平移后的解析式是解题的关键．
12．（4分）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，
22(C x ，2)y ，
33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4
(0)y x x
=>的图象上．则1210y y y ++⋯+的值为( )
A ．
B ．6
C ．
D ．【分析】根据点1C 的坐标，确定1y ，可求反比例函数关系式，由点1C 是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到1OA 的长，然后再设未知数，表示点2C 的坐标，确定2y ，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点3C 的坐标，确定3y ，⋯⋯然后再求和． 【解答】解：过1C 、2C 、3C ⋯分别作x 轴的垂线，垂足分别为1D 、2D 、3D ⋯ 其斜边的中点1C 在反比例函数4
y x
=，(2,2)C ∴即12y =， 1112OD D A ∴==，
设12A D a =，则22C D a = 此时2(4,)C a a +，代入4
y x
=得：(4)4a a +=，
解得：2a =，即：22y =，
同理：3y =
4y =
⋯⋯
121022y y y ∴++⋯+=++=，
故选：A ．
【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果. 13．（4分）单项式321
2
a b 的次数是 5 ．
【分析】根据单项式的次数的定义解答． 【解答】解：单项式321
2
a b 的次数是325+=．
故答案为5．
【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
14．（4分）分解因式：3256x x x ++．
【分析】先提公因式x ，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式． 【解答】解：3256x x x ++，
2(56)x x x =++， (2)(3)x x x =++．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
15．（4分）如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角(0180)αα<<︒得到格点△111A B C ，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α= 90 度．
【分析】作1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ，可得点E 是旋转中心，即190AEA α∠==︒． 【解答】解：如图，
连接1CC ，1AA ，作1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ，连接AE ，1A E
1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ，
∴点E 是旋转中心，
190AEA ∠=︒
∴旋转角90α=︒
故答案为：90
【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键．
16．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是
3
5
． 【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是
123205
=， 故答案为：3
5
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率． 17．（4分）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．
如图1，当12CD AC =时，13
tan 4α=； 如图2，当13CD AC =时，25tan 12α=； 如图3，当14CD AC =
时，37
tan 24
α=
； ⋯⋯
依此类推，当1
(1
CD AC n n =
+为正整数）时，tan n α=
22122n n n ++ ． 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，⋯，21n +，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；⋯，21n +，
2(21)12n +-，2(21)1
2
n ++中的中间一个． 222121
tan (21)1222
n n n n n n
α++∴=
=+-+．
故答案为：
221
22n n n
++．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（5分）解不等式
5
132
x x -+>- 【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等
式的解集． 【解答】解：将不等式5
132
x x -+>-两边同乘以2得， 5226x x -+>-
解得3x <．
【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
19．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：E C ∠=∠．
【分析】由“SAS ”可证ABC ADE ∆≅∆，可得C E ∠=∠． 【解答】证明：BAE DAC ∠=∠ BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠
CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =
()ABC ADE SAS ∴∆≅∆ C E ∴∠=∠
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明CAB EAD ∠=∠是本题的关键． 20．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进
行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
（1）请直接写出a = 25 ，m = ，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？
【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得a 、m 的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中a 的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少． 【解答】解：（1）100535201525a =----=， %(20100)100%20%m =÷⨯=，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：35
360126100
︒⨯=︒， 故答案为：25，20，126；
（2）由（1）值，2030x <…有25人， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）20
30060100
⨯
=（万人）
， 答：40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【分析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；
由题意得：
572060 2420601020
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得：
170
180
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
答：A，B两种产品的销售件数分别为170x件、180件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．
22．（8分）如图，在Rt ABC
∆中，90
B
∠=︒，BAC
∠的平分线AD交BC于点D，点E在AC 上，以AE为直径的O经过点D．
（1）求证：①BC是O的切线；
②2CD CE CA =；
（2）若点F 是劣弧AD 的中点，且3CE =，试求阴影部分的面积．
【分析】（1）①证明//DO AB ，即可求解；②证明CDE CAD ∆∽，即可求解； （2）证明OFD ∆、OFA ∆是等边三角形，DFO S S =阴影扇形，即可求解． 【解答】解：（1）①连接OD ，
AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAO ∴∠=∠，
OD OA =，DAO ODA ∴∠=∠， DAO ADO ∴∠=∠， //DO AB ∴，而90B ∠=︒， 90ODB ∴∠=︒， BC ∴是O 的切线；
②连接DE ，
BC 是O 的切线，CDE DAC ∴∠=∠， C C ∠=∠，CDE CAD ∴∆∆∽，
2CD CE CA ∴=；
（2）连接DE 、OE ，设圆的半径为R ，
点F 是劣弧AD 的中点，∴是OF 是DA 中垂线，
DF AF ∴=，FDA FAD ∴∠=∠，
//DO AB ，PDA DAF ∴∠=∠， ADO DAO FDA FAD ∴∠=∠=∠=∠，
AF DF OA OD ∴===， OFD ∴∆、OFA ∆是等边三角形， 30C ∴∠=︒，
1
()2
OD OC OE EC ∴==+，而OE OD =，
3CE OE R ∴===， 260333602
DFO S S π
π==
⨯⨯=
阴影扇形． 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
23．（9分）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ． （1）试证明DM MG ⊥，并求
MB
MG
的值． （2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MB
MG
的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
【分析】（1）如图1中，延长DM 交FG 的延长线于H ．证明DMG ∆是等腰直角三角形即
可，连接EB ，BF ，设BC a =，则2AB a =，BE =，BF =，求出BM ，MG 即可解决问题． （2）（1）中
MB
MG
的值有变化．如图2中，连接BE ，AD 交于点O ，连接OG ，CG ，BF ，CG 交BF 于O '．首先证明O ，G ，F 共线，再证明点M 在直线AD 上，设BC m =，则
2AB m =，想办法求出BM ，MG （用m 表示）
，即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，延长DM 交FG 的延长线于H ．
四边形ABCD ，四边形BCFG 都是正方形， ////DE AC GF ∴，
EDM FHM ∴∠=∠，
EMD FMH ∠=∠，EM FM =，
()EDM FHM AAS ∴∆≅∆，
DE FH ∴=，DM MH =，
2DE FG =，BG DG =， HG DG ∴=，
90DGH BGF ∠=∠=︒，MH DM =， GM DM ∴⊥，DM MG =，
连接EB ，BF ，设BC a =，则2AB a =
，BE =
，BF ， 45EBD DBF ∠=∠=︒， 90EBF ∴∠=︒，
EF ∴=，
EM MF =，
12BM EF ∴=
=， HM DM =，GH FG =，
12MG DF ∴=
=，
∴
BM MG ==
（2）解：（1）中
MB
MG
的值有变化．
理由：如图2中，连接BE ，AD 交于点O ，连接OG ，CG ，BF ，CG 交BF 于O '．
DO OA =，DG GB =，
//GO AB ∴，12
OG AB =， //GF AC ，
O ∴，G ，F 共线， 12
FG AB =， OF AB DF ∴==，
//DF AC ，//AC OF ，
//DE OF ∴，
OD ∴与EF 互相平分，
EM MF =，
∴点M 在直线AD 上，
GD GB GO GF ===，
∴四边形OBFD 是矩形，
90OBF ODF BOD ∴∠=∠=∠=︒，
OM MD =，OG GF =，
12
MG DF ∴=，设BC m =，则2AB m =， 易知222sin 4sin BE OB m m αα===，22cos BF BO m α=︒=，2sin DF OB m α==， 22222211422BM EF BE BF m sin m cos αα==+=+，1sin 2
GM DF m α==， ∴22224BM sin m cos sin MG αα+==
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
24．（9分）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
（2）用配方法求抛物线顶点M ，求2AM ，设点P 坐标为(0,)p ，用p 表示2AP 和2MP ．PAM ∆为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p 的值即求得点P 坐标．
（3）由点I 是ADG ∆内心联想到过点I 作ADG ∆三边的垂线段IE 、IF 、IH ，根据内心到三角形三边距离相等即有IE IF IH ==．此时以点I 为圆心、IE 为半径长的I 即为ADG ∆内切圆，根据切线长定理可得AE AF =，DF DH =，EG HG =．设点I 坐标为(,)m n ，可用含m 、n 的式子表示AG 、DG 的长，又由3DA OA ==，即可用勾股定理列得关于m 、n 的方程．化简再配方后得到式子：22339()()222
m n -++=，从图形上可理解为点(,)I m n 与定
点3(2
Q ，3)2-所以点I 的运动轨迹为圆弧．所以当点I 在CQ 连线上时，CI 最短．
【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)A ，(1,0)B -
∴933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=⎩
∴这条抛物线对应的函数表达式为223y x x =-++
（2）在y 轴上存在点P ，使得PAM ∆为直角三角形．
2223(1)4y x x x =-++=--+
∴顶点(1,4)M
222(31)420AM ∴=-+=
设点P 坐标为(0,)p
222239AP p p ∴=+=+，22221(4)178MP p p p =+-=-+
①若90PAM ∠=︒，则222AM AP MP +=
22209178p p p ∴++=-+ 解得：32
p =- 3(0,)2
P ∴- ②若90APM ∠=︒，则222AP MP AM +=
22917820p p p ∴++-+=
解得：11p =，23p =
(0,1)P ∴或(0,3)
③若90AMP ∠=︒，则222AM MP AP +=
22201789p p p ∴+-+=+ 解得：72
p = 7(0,)2
P ∴ 综上所述，点P 坐标为3(0,)2-或(0,1)或(0,3)或7(0,)2时，PAM ∆为直角三角形．
（3）如图，过点I 作IE x ⊥轴于点E ，IF AD ⊥于点F ，IH DG ⊥于点H
DG x ⊥轴于点G
90HGE IEG IHG ∴∠=∠=∠=︒
∴四边形IEGH 是矩形
点I 为ADG ∆的内心
IE IF IH ∴==，AE AF =，DF DH =，EG HG =
∴矩形IEGH 是正方形
设点I 坐标为(,)m n
OE m ∴=，HG GE IE n ===
3AF AE OA OE m ∴==-=-
3AG GE AE n m ∴=+=+-
3DA OA ==
3(3)DH DF DA AF m m ∴==-=--=
DG DH HG m n ∴=+=+
222DG AG DA +=
222()(3)3m n n m ∴+++-=
∴化简得：22330m m n n -++= 配方得：22339()()222
m n -++=
∴点(,)I m n 与定点3
(2Q ，3)2-
∴点I 在以点3(2Q ，3)2
- ∴当点I 在线段CQ 上时，CI 最小
(CQ =
CI CQ IQ ∴=-
CI ∴．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定
义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第（3）题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．。