伯努利方程的应用实际液体流动 (1)

vr Re
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由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数 Rec 。圆形管道的临界雷诺数Rec在1000 ~ 1500的 范围内。 当流速的值使雷诺数Re处于临界值Rec时，此时 的流速就是临界流速，大小为
Rec vc r
如果流速从低于vc增大到高于vc，那么流动将 会从层流转变为湍流。
8.3 8.8 13
影响液体和气体流动性的因素是不同的。
在国际单位制中黏度的单位是Pas (帕秒)。黏度也 常用P (泊)作单位
1 P = 0.1 Pa s
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二、 黏性流体的运动规律
p1
1 2

2 v1
gh1 p2
1 2

2 v2
gh2 w
黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作Biblioteka Baidu常流动
p A v A gh A 2 1
2
pB
1 2
v B ghB
5
2
练 习
题
B 例1：皮托管是测定流体流 Q A 速的仪器, 常用来测定气体的 流速。 它由两个同轴细管组 o 成, 内管的开口在正前方。外 h 管的开口在管壁上, 如图中B 所示。两管分别与U型管的两 臂相连, 在U型管中盛有液体(如水银), 构成了一个压 强计, 由U型管两臂的液面高度差h确定气体的流速。
关于理想流体的几个概念 (perfect fluid ) 1. 理想流体
理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。
2. 定常流动 一般情况下,同一时刻流体各处的流速不同,但有 些场合 , 流体质点流经空间任一给定点的速度是确 定的，且不随时间变化，称为定常流动。例如, 沿 着管道或渠道缓慢流动的水流, 在一段不长的时间 内可以认为是定常流动。
/ (10-3
Pas)
1.792 1.0050 0.6560 0.4688 0.3565 0.2838
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表 3
气 体
几种气体的黏度随温度的变化
空 气 0 20 671 18 18.1 42 二氧化碳 0 20 302 14 14.8 27 氢 气
温 度 /℃
-1
20 251
/ (10-6 Pas)
z
f
f
y
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表 1 流 体
酒精 甘油 水银 氧 氮 氦 表2 温 度/℃
几种流体的黏度 黏 度 / (10-3 Pas)
16 830 1.55 0.0196 0.0177 0.0196
温 度/℃
20 20 20 15 23 23
水的黏度随温度的变化 0 100 20 40 60 80
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*五、斯托克斯黏性公式 (Stokes’ viscosity resistance formula )
当固体物在黏性流体中作相对运动时，将受到流 体的阻力作用。
斯托克斯黏性公式 固体小球以不大的速率在流 体中运动时，所受黏性阻力大小为
F = 6rv
流体黏度，r小球半径，v小球相对流体运动速率。
1
3. 流线 为了形象地描述流体的 运动 , 在流体中画一系列 曲线 , 每一点的切线方向 与流经该点流体质点的速 度方向相同,称为流线。 定常流动中的流线 · 不随时间变化； · 质点的运动轨迹； · 任何两条流线不相交。 4. 流管 流线围成的管状区域。
· · · ·
· · · ·
2
理想流体的连续性方程 (the equation of continuity )
p A pB
vB 是待测气流的流速。
1
2
vB
2
7
如果压强计中液体的密度为 , 则
p A p B gh
比较上面两式得
1 2
所以
v B gh
2 gh
2
vB

这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算 出待测气流速率。
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例2：求水从容器壁小孔中流出时的速率。 解：水从小孔中流出时的流速可 以根据伯努利方程求解。设水面距 离小孔的高度为h，ABC为一条流 线(见图)。A和B分别是这条流线在 水面和小孔处的两点, 在这条流线 上运用伯努利方程, 得
对于不可压缩流体
v2
S2
S1 v1= S2 v2 或
S v = 恒量
v1
S1
上式称为理想流体的连续性方程。 在方程两边同乘以流体密度, 即
S v = 恒量
上式是一般流体的连续性方程。
3
伯努利(Bernoulli)方程
1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v 2 gh2 2 2
黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 算得流量 为
p1 p2 4 QV ( )r 8 l
l 和 r 分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶定律。
流阻 如果令 R f 8l ,那么上式可写成: 4
R
P P 1P 2 Q Rf Rf
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*四、湍流和雷诺数 (Turbulent flow ) 湍流 流体中沿垂直于管轴方向的速度分量的 不规则流动。 实验表明，发生湍流的临界流速与雷诺数 Re 相对应。 雷诺数
v B 2 gh
可见, 小孔处水的流速，与物体从h处自由 下落到小孔处的速率是相同的。
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3.粘滞流体在半径为R的水平流管中流动，流量为 Q，如在半径为R/4的水平流管中流动，其流 量为_____________。 4. 如图所示，在大水桶侧面开一小孔，要使流出液体 的射程L最大，其孔的高度h应开在______处。
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解：在A 处气流速率为零, 在流线OA上运用伯努 利方程, 得到
p A gh A pO ghO
对于流线QB
1
2
vO
2
p B ghB
1 2
v B pQ ghQ
2
1 2
vQ
2
点O和点Q非常接近, 可认为各量相等。又因皮托 管一般都很细, 点A与点B的高度相差很小, hA = hB 。 考虑到这些条件, 得
A
B
C
pA
1 2
v A gh A p B v B ghB
2
9
2
1
2
其中水面上点A和孔口处点B都与大气接触, 所以 那里的压强都等于大气压p0 。
取小孔处的高度为零，则 hA = h。容器的横截面 比小孔的截面大得多, 根据连续性方程, vA << vB ,故 认为vA = 0。将以上条件代入上式, 即可求得小孔处 的流速为
p1 gh1 p2 gh2 w
或
( p1 p2 ) g (h1 h2 ) w
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可见，由于黏力的存在, 要流体在管道中作定常 流动,须保证管道两端的压强差 (p1p2) 或保证管道 两端的高度差 (h1h2) 或者两者兼而有之。
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*三、泊肃叶定律 (Poiseuille’s law )
24
2
25
H h
L
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5.伯努力方程的适用条件是( ) 6. 注射器活塞面积为1.2cm2，注射用针头截面积为 1mm2，当注射器水平放置时用4.9N的力推动活塞， 使活塞移动了4cm，问水从注射器中流出所需的 时间为多少？ 7.课本第38页,全部掌握.
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黏性流体的运动
一、流体的黏性 (viscosity of fluid ) 黏性 作相对运动的两层流体之间的接触面上, 存在一对阻碍两流体层相对运动的大小相等而方 向相反的摩擦力 ,这种摩擦力称为流体的黏力, 或内摩擦力。 由于黏性的存在 , 管道中流动的流体出现了分层 流动, 各层只作相对滑动而彼此不相混合, 这种现象 z 称为层流。 v 图示为充满两个平行板之 间的流体的流动。两板之间 各流体层的速率梯度的大小 14 为 dv / dz ，在此处是常量。o
若流体密度为，小球密度为，半径为r，速率为 v，则小球所受的三个力平衡，即 23
4 3 4 3 r g 6 r v r g 3 3
由此可得小球下落的速率
2r v ( ) g 9
假如测出速率v，可求出液体的黏度 ; 若流体的 黏度已知, v已测出，可求得小球(或液滴)的半径。
y
一般情况下, 速率梯度的大小不是常量, z0 处速 率梯度的大小为 dv ( ) z0 dz 实验表明, 流体内部相邻两流体层间黏力的大小 正比于接触面积, 正比于该处速率梯度的大小，即
f 的方向如图中的箭头。 比例系数称为流体的黏 z0 度, 是流体黏性的量度， o 与温度有密切关系。
dv f ( ) z0 S dz
S2
v2
S′ 2
1 p v 2 gh 恒量 2
S1
v1 ′ S1 h1 h2
上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流 体作定常流动时的基本规律。
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例1、有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子。A点 的压强为2×105N/m2,A点的截面积为100cm2,B点截面积 为60cm2。假设水的内摩擦可以忽略不计，求A、B点的 流速和B点的压强。 解：由连续性方程，得 SA vA= SB vB=Q 得vA= ？ vB=？ 由伯努利(Bernoulli)方程 得PB=?