小学数学教学论第八章 图形与几何的教学

❖ （3）渐进性 ❖ 小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的
认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。 ❖ 首先，小学生对几何概念的理解不是一步到位的，
而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思 维水平发展的阶段性相关。 ❖ 其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几 何对象的性质特征，但是对于不同对象的性质特 征关系的理解往往比较困难。 ❖ 再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二 维空间发展到三维空间是相当困难的。
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❖ （2）描述性 ❖ 小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概
念，对于精确的、严格的几何概念，往往很 难理解。但需要注意，直观具体的日常语言 描述几何概念具有两面性。
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❖ 一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于 学生逐步建立空间观念，如对“三角形”的描述， 会更多地借用日常经验中的“三角”，或对“正 方形”描述为“方块”，并会用这种描述来作为 图形的识别图式。
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❖ 3.精心设计问题，揭示解决问题的思维过程 ❖ 数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，
通过问题的解决来启迪和发展学生的思维， 在完成“图形与几何”知识学习的同时，培 养学生的思维能力。
❖ 三角形的面积计算 （视频）
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（二）“图形与几何”的实际背 景
❖ 1.生活实际背景 ❖ “图形与几何”教学应该从学生的生活经验
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❖ （三）有助于培养良好的思维习惯
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❖ 二、“图形与几何”的教学内容和编排 ❖ （一）图形与几何历史简介 ❖ 几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测
量的需要；
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古埃及地理位置
埃及是古代文明的 发祥地之一。
“埃及是尼罗河赐 予的礼物” ，尼罗河 由南向北纵贯埃及，在 红海、利比亚沙漠和撒 哈拉沙漠之间滋润出一 条狭长的绿洲，在这里 产生了古埃及文明。
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角——（视频）
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❖ 2.增加实验操作，再现结论的探究过程 ❖ 如一年级小学生在直观认识正方形时，通过
自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方 形“四边相等”这一特征。 ❖ 又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕 角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一 个平角，证明了三角形的内角和是180°。
系，强调活动经验的积累。 ❖ 4.“图形与位置”教学内容编排的特点 ❖ “图形与位置”教学内容的编排采用了辨认
方向——确定位置——描述路线的顺序。
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三、“图形与几何”的教学要 求
❖ （一）关注“图形与几何”知识的形成过程 ❖ 一般地说，在“图形与几何”教学过程中，教师
针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行 教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实 现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感 受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学 的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展 的过程。
小学数学教学论第八章 图形与几何 的教学
（二）有助于发展学生的空间观念
❖ 发展学生的空间观念是《全日制义务教育数学 课程标准》中的一个重要目标，也是“图形与 几何”教学的核心目标之一。
❖ 在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经 历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数 学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的 过程中，学生的空间观念将得到发展。
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❖ 3.几何发展史背景 ❖ 例如：教学“圆的认识”时介绍一下圆周率
的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算 过程 。
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（三）重视直观感性材料的作用
❖ 1.实物直观 ❖ 2.模型直观 ❖ 3.图像直观
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四、小学生几何思维的发展
❖ 在20世纪50年代末，范希尔夫妇（Pierre van Hiele & Dina van Hiele）在格式塔心理学和皮 亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平 的理论。从整体上把几何思维分为五个层次，
活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征 的某些部分，不能认识到其中的组成部分。
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❖ 2.水平1：视觉 ❖ 对小学生而言，他们能按照外观识别图形，
在心理上把这些图形表示为直观图形，例如 学生可能会因为“三角形像三明治，长方形 像门”区分三角形和长方形。 ❖ 然而，学生不关心图形的几何性质和本质特 征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认 为两种图形是“相等”的。
❖ 我国古代常用“步”作为长度单位 。在西方， 也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足 （foot），码（yard）则来源于腰围 （gyrgand）之长等。
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❖ 几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使 得数学理论的应用成为可能。
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（二）小学“图形与几何”教学内 容
❖ 第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面 图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物 体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动， 建立初步的空间观念。
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密铺的例子
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❖ 2. 小学生空间观念发展的心理特点 ❖ （1）直观性 ❖ 小学生的认知水平基本上处于“具体运算阶
段”，认识几何图形主要通过动手操作（做 一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动）， 尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重 于对象的直观性较强的属性特征，对那些不 太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的 理解比较困难。
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古代埃及的数学
吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）
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（2）中国数学的起源与早期发展
汉像砖伏羲女娲执规矩图
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黄
帝
女
时
娲
代
伏
隶
羲
首
执
作
规
数
矩
图
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中国考古文物上的几何图案
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❖ 测量几何量必须有一个单位，即“量具”。 最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最 方便的量具莫过于人体的某一部分。
❖ “图形与几何”的教学内容不是严格按照知识 的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线， 根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的 逻辑关系来构建内容体系。
❖ 采用“问题情境—建立模型—解释、应用于 拓展、反思”的基本模式展现内容，而不是 “公理定义—定理性质—例题—习题”的结 构形式。
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❖ 1.“图形的认识”教学内容的编排特点 ❖ “图形的认识”的编排顺序是：感知立体图
❖ 第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和 平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确 定物体位置的方法，发展空间观念。
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❖ 事实上，小学“图形与几何”的教学内容经 历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念 和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观 念的培养的变化过程。
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（三）“图形与几何”的教学内 容的编排特点
养作了如下描述： ❖ “根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形
想象出所描述的实际物体； ❖ 想象出物体的方位和相互之间的位置关系； ❖ 描述图形的运动和变化； ❖ 依据语言描述画出图形等”。
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❖ 在学生数学学习中，空间观念主要包含如下 基本成分。
❖ （1）图形的识别与理解能力 ❖ （2）图形的分解与组合能力 ❖ （3）图形的建构与探索能力 ❖ （4）对图形的运动与变换的欣赏 ❖ （5）利用几何直观解决问题能力
《几何原本》前 6 卷。 • 首先引进「几何」一词。
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❖ 在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而 进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈 作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这 些图形的性质。
❖ 在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋 地基（图8-），并在出土的陶器碎片上发现 了大量的几何图形（图8-）。
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❖ 3.水平2：分析
❖ 学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测 量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特 征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形 的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形 之间的关系。例如，无论三角形在形状上有多大 的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质， 准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边 和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对应 边越长的性质。
❖ 而五、六年级的教学内容既包括长方体、正 方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质 பைடு நூலகம்包括二维平面图形圆的认识。
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❖ 教学内容的呈现大都采用直观几何、实验几 何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活 和日常经验，
❖ 使学生获得对简单的几何体和平面图形的直 观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的 形状、大小、位置关系。
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❖ 2.“测量”教学内容编排的特点 ❖ “测量”的教学内容不是单纯的图形面积和体积
的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学 生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和 测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技 能。
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❖ 3.“图形的运动”教学内容编排的特点 ❖ “图形的运动”教学内容突出了与生活的联
❖ 即视角辨认层次、 ❖ 分析层次或描述层次、 ❖ 非形式的演绎层次、 ❖ 形式演绎层次 ❖ 以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。
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❖ 为了更准确地反映小学生几何思维的发展， 应在范·希尔夫妇所说的五个水平上再增加一 个新的水平——水平0(前认知)。
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❖ 介绍小学生几何思维水平的发展阶段。 ❖ 1.水平0：前认知 ❖ 学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉
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❖ 几何这个词最早来自于希腊语
“
，由“
（土
地）和“
（测量）两个词
合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉
丁语化为“geometria”。
❖ 英语「geometry」几何
❖ 「geo」代表的是土地，
❖ 「metrein」指的是測量。
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❖ 中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛 窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启 所创。
❖ 另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会 影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确 的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语 “角是尖的”这一概念的干扰，对于平角和周角 的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶 点说”角”，影响了“从一点引出两条射线所组 成的图形”这一角的概念的形成。
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形—辨认平面图形—角和直角—长方形、正 方形的认识—锐角和钝角—认识线段、射线 和直线—角—相交和平行一认识平行四边形 和梯形—三角形—长方体和正方体—圆—圆 柱和圆锥。
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❖ 一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、 正方体、圆柱体、球体）的教学内容；
❖ 二至四年级编排了认识二维平面图形（角、 线段、直线、射线、长方形、正方形、三角 形、四边形）的教学内容；
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利瑪竇
❖ 利瑪竇 (Matteo Ricci; 1552 1610)
• 意大利傳教士 • 1606 年與徐光啟合
作翻譯《幾何原本》 前 6 卷。
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徐光啟
❖ 徐光启（1562 ? 1633） • 嘉靖 41 年 ? 崇祯 6 年 • 字子先，号玄扈，上海徐
家汇人。 • 1606 年与利玛窦合作翻译
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❖ 1.创设问题情景，展现知识的发现过程
❖ 创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际 问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思 考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜 想，为“图形与几何”知识的形成奠定感性基 础。以“角”这一概念的教学为例，首先设置 摸纸片的活动，“布袋里有五个硬纸片（图8），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？” 通过摸纸片，让学生初步感受角的形状特征。
和己有的知识出发，充分利用现实生活中的 实际背景去理解知识； ❖ 对称 （李彬课件）
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❖ 2.生产实践背景 ❖ 结合生产实践和生活实际去教学，探索知识
发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用 所学的知识，培养他们的创新能力。 ❖ 如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的 面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的 五个面的面积，
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❖ （4）标准性 ❖ 虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特
征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头 脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展， 混淆了几何图形的本质特征和非本质特征。因 此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运 用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经 验，促进学生对图形本质特征的认识。
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❖ 4.水平3：非形式化演绎 ❖ 学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形
性质之间的关系，可以提出非形式化的推论， 进一步探索图形的内在属性和其包含关系，因 而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与 定义对这些类别进行非形式化的论证。
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第二节 图形与几何概念与技能教学
❖ 一、图形的认识 ❖ （一）空间观念的理解 ❖ 1. 空间观念的基本成分 ❖ 《全日制义务教育数学课程标准》对空间观念培