2018年.初三数学重点难点总复习-专题圆.生
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2018年.初三数学重点难点总复习-专题圆.生
2018年九年级数学总复习—
圆专题复习
一、圆的概念
集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内⇒d r
<⇒点C在圆内;
2、点在圆上⇒d r
=⇒点B在圆上;
3、点在圆外⇒d r
>⇒点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r
>⇒无交点;
2、直线与圆相切⇒d r
=⇒有一个交点;
3、直线与圆相交⇒d r
<⇒有两个交点;
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)⇒无交点⇒d R r
>+;
外切(图2)⇒有一个交点⇒d R r
=+;
相交(图3)⇒有两个交点⇒R r d R r
-<<+;
内切(图4)⇒有一个交点⇒d R r
=-;
A
C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心
D .弦的垂线平分弦所对的弧
例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm.
2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm ,那么油的最大深度为________cm.
3、如图,已知在⊙O 中,弦CD AB =,且CD AB ⊥,垂足为H ,AB OE ⊥于E ,CD OF ⊥于F .
(1)求证:四边形OEHF 是正方形. (2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.
4、已知:△ABC 内接于⊙O ,AB=AC ,半径OB=5cm ,圆心O 到BC 的距离为3cm ,求AB 的长.
5、如图,F 是以O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是
的中点,AD ⊥BC 于D ,求
证:AD=2
1
BF.
O
A
E F
例题3、度数问题
1、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.
2、 已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
例题4、相交问题
如图,已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,AE=6cm ,EB=2cm ,∠BED=30°,求CD 的长.
A
B D
C E O
例题5、平行问题
在直径为50cm 的⊙O 中,弦AB=40cm ,弦CD=48cm ,且AB ∥CD ,求:AB 与CD 之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB ,交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证:22b a BD AD -=⋅.
例题7、平行与相似
已知:如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证:FD EC =.
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;
③OC OF =;④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相
等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
B
B
A
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3-3-19所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?
【例2】如图,已知⊙O 中,AB 为直径,AB=10cm ,弦AC=6cm ,∠ACB 的平分线交⊙O 于D ,求BC 、AD 和BD 的长.
【例3】如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,OD ∥BC ,交AC 于D ,BC=4cm . (1)求证:AC ⊥OD ; (2)求OD 的长; (3)若2sinA -1=0,求⊙O 的直径.
【例4】四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BC=b ,AB=AC=AD=a ,如图,求BD 的长.
C
B
A