2017年高考数学压轴题大集合
(完整word版)2017年高考数学真题压轴题汇总,推荐文档
2017北京（19）（本小题13分）已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.2017江苏20.（本小题满分16分）已知函数()321(0,)fx =x ax bx a b +++>∈R 有极值，且导函数()f x ，的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2） 证明：b ²>3a ;（3） 若()f x ，()fx ， 这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a 的取值范围.2017全国Ⅰ卷（理）21.（12分）已知函数()f x =a e 2x +（a ﹣2）e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2017全国Ⅱ卷（理）21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230e()2f x --<<.2017全国Ⅲ卷（理）21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．2017山东理科（20）（本小题满分13分） 已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.2017天津（20）（本小题满分14分）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q∈U 满足041||p x q Aq -≥.2017浙江理科20．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x e x -（12x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间1[+)2，上的取值范围.。
Ks5u2017北京市高考压轴卷数学(理)含解析
KS5U2017北京市高考压轴卷理科数学第一部分（选择题共40分)一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R,A={x ｜x 2﹣4x+3≤0｝，B={x|log 3x ≥1｝，则A ∩B=（ ）A ．｛3}B ．{x|＜x ≤1｝C ．｛x ｜x ＜1}D ．{x ｜0＜x ＜1}2。
已知数列｛a n ｝为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列｛a n }的第三项，则m 的值为( ）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足,则与夹角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5。
如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ）A ．B ．C ．D ．46.已知函数,曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A.B。
C.D。
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8.已知函数，若m＜n，且f（m）=f(n）,则n﹣m的取值范围是( ）A．［3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2］C．[e﹣1，2] D．［e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分)二、填空题(共6个小题，每题5分，共30分）9.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1)处取得最小值，则实数k的取值范围是．10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间［451,750］的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ．12。
2017全国卷Ⅲ高考压轴卷 数学(理)附答案解析
绝密★启封前2017全国卷Ⅲ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ． 4 D ．32.若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（） A.)1,2(- B.)1,2(- C.)1,2( D )1,2(--3.若错误！未找到引用源。
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4．在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等（） A ．13 B.23 C ．12 D ．145．已知点A （1，2），B （3，4），C （—2，0），D （—3，3），则向量在向量上的投影为（）A ．5102 B ．5102- C ．510- D ．5106.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )7．设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点，点P 在C 上，且120PF PF ⋅=，若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点，则12||||PF PF ⋅的值等于（）A ．B ．6C ．14D ．168．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（） A ．48920B ．49660C ．49800D ．518679. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则()3f 的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2（10）榫卯（sŭn măo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为（A ）21 （B ）22.5 （C ）23.5 （D ）2511.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（） A ．34 B ．54 C. 74 D ．9412．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2017山东省高考压轴卷 数学(文) Word版含解析
2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4）C． D．（0，4）2. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43. 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4. 函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是（）A．和B．和C．和D．和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A． B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=16某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A ．1007B ．2015C ．2016D ．30247. 数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）O ππ3π211A ．3,1πϕω-== B ．3,2πϕω-==C ．32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “12的相关函数”至少有一个零点.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），数列{b n }满足，且b 1+b 2+…+b 10=65，则a n = ．12. 在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .13. 设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．14. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 ____________． 15. 如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．（I）求A；（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．17.（本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：成绩人数A 9B 12C 31D 22E 6根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20. （本小题满分13分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21. （本小题满分14分）平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2【答案】A【解析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．故选B．4【答案】B【解析】由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象可知，A=2， T=﹣（﹣）=，故T=π=，解得ω=2；由“五点作图法”得：2×+φ=，解得：φ=﹣．所以，y=2sin（2x﹣）．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）．当k=0时，≤x≤；当k=1时，≤x≤；综上所述，函数y=2sin（2x﹣）在区间上的单调递减区间是[，]和[，]．故选：B．5【答案】D【解析】的焦点为（0，1），所以圆C 为，所以x 2+（y ﹣1）2=1， 故选：D ． 6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式： S=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+ =6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S 值是3024． 故选：D ． 7【答案】B【解析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同， 故选：B ．8.【答案】D 【解析】试题分析：因为0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦，由函数的图像可知，2,,22362T T Tπππππω=+=∴=∴== 所以2sin(2)3y x πφ∴=++，又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-，因为πφπ-<< 22,3πωφ==，应选D. 9【答案】 D 10【答案】A 11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），∴﹣=1，即b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，又b 1+b 2+…+b 10=65， ∴10b 1+×1=65，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1=，解得a n =．故答案为：．12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(AF AB AF AP AE AC AE AP μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43AC AB AC AP AB AC AB AP μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=AB AC AP AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65. 13【答案】﹣ 【解析】∵y=， ∴y ′=，∴曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k==﹣2，∵曲线y=在点（2，3）处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=，即a=﹣． 故答案为：﹣． 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5821813+=-=． 15【答案】【解析】因为作则，又有相同的底BC，所以，故答案为：16【解答】解：（I）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即cosA=又A∈（0，π），所以A=；（II）∵△ABC的面积为，∴=，∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4，∴3a2+b2+c2=8，∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7，∴a=．17【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）18【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．19【解答】（1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2，AE=1，所以，又BC=2所以设所求的高为h，则由等体积法得=所以．20【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|CD|的最大值为3．。
专题2-4 压轴解答题-2017年高考数学理走出题海之黄金1
1．已知函数()()2xf x x x e =-.（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x ax e -+≥恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程()()f x m m R =∈有两个正实数根12,x x ，求证： 121mx x m e-<++. 【答案】(1) 0x y +=;(2) 0a e ≤≤;（3）见解析.（3）依第（2）问，取a e =，有()2x x x e ex e -≥-，因为()y f x =在0x =处的切线方程为y x =-.设()()2(0)x x x x e x x ϕ=-+>，则()()()()22'11,''3x x x x x e x x x e ϕϕ=+-+=+，令()''0x ϕ=得3x =-或0x =.容易知道()'y x ϕ=在()(),3,0,-∞-+∞单调递增，在()3,0-单调递减，而()'00ϕ=，所以当0x >时， ()()'0,x y x ϕϕ>=单调递增.而()00ϕ=，所以，当0x >时， ()0x ϕ>恒成立.所以()2x x x e x -≥-.设y m =分别与y x =-和()1y e x =-的两个交点的横坐标为34,x x ，则3124x x x x <<<，所以12431mx x x x m e-<-=++. 2．如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线与轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ， M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当2a 取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）MPQ ∆的面积最大值为125622⨯．此时:MP y =+（2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b =，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由222221{434x y m m y mx+==-得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0y =，即23m P ⎛- ⎝⎭， 于是12112576,2,2333m m m PF PF a PF F F m ==-===，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为212y x =-， ()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+．联立)23{12y x y x=+=-，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝．所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为d，则2752d t ⎛=- ⎝⎭，当t =时，max 752d ==，所以MPQ ∆的面积最大值为12522⨯=:MP y =+ 3．已知函数()322112,,32f x x ax a x b a b R =-+++∈． （1）若曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线与曲线()y f x =的公共点的横坐标之和为3，求的值； （2）当102a <≤时，对任意[],1,2c d ∈-，使()()8f cb f d M a '-+≥+恒成立，求实数M 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）223M ≤-（2）()32211232f c b c ac a c -=-++，令()32211232g c c ac a c =-++，则()()()2222g c c ac a c a c a =-++=-+-'，令()0g c '=，则c a =-或2c a =， 因为102a <≤，所以(]1,0,20,12a a ⎡⎫-∈-∈⎪⎢⎣⎭， 所以当[]1,c a ∈--和(]2,2c a ∈时， ()0g c '<，函数()g c 单调递减， 当(),2c a a ∈-时， ()0g c '>，函数()g c 单调递增，所以函数()g c 的极小值为()33331172326g a a a a a -=+-=-，又()282243g a a =-++， 令()()()327824263h a g g a a a a =--=++-，易知，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故()max 1250248h a h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，所以()()2g g a <-，即当[]1,2c ∈-时， ()()2min 82243g c g a a ==-++， 又()22229224a a f d d ad a d ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭'，其对应图像的对称轴为122a d =<，所以2d =时， ()()2min 2422f d f a a ==-++''， 所以()()220643f c b f d a a -+≥+-'，故有2206483a a M a +-≥+， 又22201226486333a a a a ⎛⎫+--=-- ⎪⎝⎭，因为102a <≤，所以2122226333a ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，所以223M ≤-． 4．设已知双曲线2:2C y px =的焦点为1F ，过1F 的直线与曲线C 相交于M N 、两点. (1)若直线的倾斜角为60︒，且163MN =，求p ； (2)若2p =，椭圆2212x y +=上两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.【答案】（1）2p =（2）（2）当直MN 斜率不存在时，直线PQ 斜率为0，此时4,PMQN MN PQ S ===四边形当直线MN 斜率存在时，直线()10MN y k x k =-≠：（），联立24y x =得()2222240(0)k x k x k -++=∆>，则242M N x x k+=+ ∴244M N MN x x p k =++=+ 由PQ MN ⊥可设直线PQ : ()()11k 0y x k=--≠，联立椭圆消去y 得， ()22224220(0)k x x k +-+-=∆>∴222422,22P Q P Q k x x x x k k-+==++∴)2212kPQ k +==+)()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形,令21(1)k t t +=>则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上， ()minPMQNS =四边形5．已知函数()2ln f x a x bx =+的图像在点()()1,1f 处的切线方程为 ()()10,2,x y g x af x t t R --==+∈且 2.t ≤（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求证： ()().x g x e f x t <++【答案】（Ⅰ）()ln .f x x =（Ⅱ）见解析.6．已知点C 是圆()22:116F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点F '与点F关于平面直角系的坐标原点对称，线段CF '的垂直平分线与线段CF 交于点P . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:l y kx =+E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎛ ⎝⎦【解析】试题分析：（1）根据圆的的性质及对称的几何性质可得，动点P 的轨迹是以,F F '为焦点，4为长（2）把直线:l y kx =+代入椭圆方程消去y 得： ()2234360k x +++=， 由0∆>得： 32k <-或32k >， 因为直线与椭圆相交于两点()11,A x y ， ()22,B x y ，则12x x +=1223634x x k =+，因为点(M ，直线与y 轴交于点(0,DABM ∆的面积12121•2ABM S MD x x x x ∆=-=-==243k ==+6122=≤=，=，即k=±时取等号，k=满足0∆>所心ΔABM面积的取值范围是⎛⎝⎦.7．已知函数()ln(,a xf x b a b Rx=+∈）的图像在点()()1,1f处的切线方程为1y x=-.（1）求实数,a b的值及函数()f x的单调区间；（2）当()()()1212f x f x x x=≠时，比较12x x+与2e（为自然对数的底数）的大小.【答案】（1）函数()f x的单调递增区间为()0,e，单调递减区间为(),e+∞;（2）122x x e+>.（2）当()()()1212f x f x x x =≠时， 12x x 2e +>.证明如下： 因为x e >时， ()f x 单调递减，且()lnxf x 0x=>， 又()f 10=，当1x e <<时， ()f x 单调递增，且()f x 0>.若()()()1212f x f x x x =≠，则12x x ，必都大于，且必有一个小于，一个大于. 不妨设121x e x <<<，当2x 2e ≥时，必有12x x 2e +>. 当2e x 2e <<时， ()()()()()22122222ln 2e x lnx f x f 2e x f x f 2e x x 2e x ---=--=--， 设()()ln 2e x lnx g x ,e x 2e x 2e x-=-<<-，则()()()()()()22222224e e x (1lnx)x ln x 2ex 2x1ln 2e x 1lnx g x x 2e x x 2e x ----++-'+--=-=-- ()()({}()222224e e x (1lnx)x 2ln x e e x 2e x ⎤--+---+⎦=- 因为e x 2e <<，所以()222e x e 0e --∈（，），故()(222ln x e e 0⎤---+>⎦.又()4e e x (1lnx)0-->，所以()g x 0'>，所以()f x 在区间()e,2e 内单调递增， 所以()()11g x g e 0e e>=-=，所以()()12f x f 2e x >-. 因为11x e <<， 2e x 2e <<，所以202e x e <-<， 又因为()f x 在区间()0,e 内单调递增， 所以12x 2e x >-，即12x x 2e +>. 综上，当()()()1212f x f x x x =≠时，.8．已知函数()2ln 2ln a x f x x a k x a=+-- （1）若0k =，证明()0f x >；（2）若()0f x ≥，求的取值范围；并证明此时()f x 的极值存在且与无关. 【答案】（1）见解析（2）见解析（1）若()2ln 2ln 0a a f x x a k x x =+--≥，变形得到2ln x a a k a x x+≥， 令=(0)x t t a >，得到22ln 1t t k t+≥ ()()()232ln 12ln 1,t t t t t g t g t t t='--+=，令()()l n 1,l n k t t t t k t t '=--=-，可得()k t 在(]0,1单增，在[)1,+∞单减，所以()()0,0k t g t '≤≤， ()g t 在()0,+∞单减，当(),0t g t →+∞→所以()0g t >，∴0k ≤（注：若令(0)a t t x=>），得到22ln t t t k -+≥ 令()()()22ln ,221ln g t t t t g t t t '=-+=-+，9．已知函数()()()221ln ,ln 1f x x x x g x x x ax =-+=--.（1）求证: 对()()1,,2x f x ∀∈+∞<；（2）若方程()0g x =有两个根，设两根分别为12,x x ,求证:1ln 12x > 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析 ：（1）即证对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，求导证明最小值大于0即可；（2）根据条件有11221211ln ,ln x ax x ax x x -=-=，两式相加，相减得211212ln1x x a x x x x +=-，代入得()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，令21(1)x t t x => 由（1）可知()12121221ln 2,ln 21x x t t x x t x x ++>->-，整理即得. 试题解析 ：(1) ()()()1,,21ln 22x f x x x x ∀∈+∞⇔+-()()21211ln 2ln ln 0111x x x x x x x x x --+⇔>⇔>⇔->-++.下面证明：对()()211,,ln 01x x x x -∀∈+∞->+，令()()21ln (1)1x h x x x x -=->+，则()()()221'01x h x x x -=>+，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即()21ln 01x x x -->+，即证得对()()1,,2x f x ∀∈+∞<.10．已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，为常数）. （1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）对任意两个不相等的正数1x 、2x ，求证：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析;（2）见解析.()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∵()()22222310,0,022x x a x x x x x x +>>->++，∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时， ()0t x '<， ()t x 为减函数； 当()2,x x ∈+∞时， ()0t x '>， ()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞， ()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立.得证.11．在平面直角坐标系xOy 中， ,M N 是轴上的动点，且228OMON +=，过点,M N 分别作斜率为22-的两条直线交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）直线AB 的斜率为定值34-.12．动点P 在圆E ： ()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线，分别交轨迹E 于A ， B 两点和C ， D 两点，且12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）4,07⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭， 43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y k x =-， 则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立()221,{431,x y y k x +==-消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643ky y k +=-+，即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理： 2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk kk k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时， 0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 13．已知动圆P过定点()M且与圆(22:16N x y +=相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()3,0D 且斜率不为零的直线交曲线C 于A ， B 两点，在轴上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120．（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为3x my =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,{43,x y x my +==+得()224650m y my +++=，所以()62122122(4540,6{,45,4m my y m y y m∆=-⨯+>+=-+=+则()121222464x x m y y m +=++=+，()221212122364394m x x m y y m y y m-=+++=+， 假设存在定点(),0Q t ，使得直线AQ ， BQ 的斜率之积为非零常数，则()()()2121212x t x t x x t x x t--=-++22223642444m t t m m-=-⋅+++ ()22224362444t m t t m -+-+=+，所以121200AQ BQ y y k k x t x t--⋅=⋅--()22222544362444m t m t tm +=-+-++ ()2225436244t m t t=-+-+， 要使AQ BQ k k ⋅为非零常数，当且仅当2240,{362440,t t t -=-+≠解得2t =±，当2t =时，常数为553648164=-+，当2t =-时，常数为55136481610020==++，所以存在两个定点()12,0Q 和()22,0Q -，使直线AQ ， BQ 的斜率之积为常数，当定点为()12,0Q 时，常数为54；当定点为()22,0Q -时，常数为120． 14．已知函数()ln f x x x =，为自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在3x e -=处的切线方程；（Ⅱ）关于的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞恒成立，求实数λ的取值范围； （Ⅲ）关于的方程()f x a =有两个实根1x ， 2x ，求证： 12331122x x a e-<++. 【答案】（1）32y x e -=--（2）1λ=（3）见解析（2）记()()()1g x f x x λ=-- ()1xlnx x λ=--，其中0x >， 由题意知()0g x ≥在()0,∞+上恒成立，下求函数()g x 的最小值， 对()g x 求导得()1g x lnx λ'=+-，令()0g x '=，得1x e λ-=，当变化时， ()g x '， ()g x 变化情况列表如下：()()min g x g x ∴==极小 ()()111g e e λλλ--=- ()111e e λλλλ----=-， 1e λλ-∴-，记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-=-'，令()0G λ'=，得1λ=．当变化时， ()G λ'， ()G λ变化情况列表如下：()()()=10max G G G λλ∴==极大，故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号， 又10eλλ--≥，从而得到1λ=；从而'11x x ≤，当且仅当33e a -=-时取等号，由（2）知， ()1f x x ≥-，则()'221a x f x =-= 21x ≥-，从而'22x x ≤，当且仅当0a =时取等号， 故''122121x x x x x x -=-≤-= ()3a1a 122e ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭33a 1122e ++，因等号成立的条件不能同时满足，故1233a 1x x 122e-<++． 15．已知()()2212ln 22f x x ax x ax x =-+-，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a =，且曲线()f x 在x t =处的切线过原点，求直线的方程； （Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x ， 212()x x x <，证明()()212132f x f x a a +<+.【答案】（Ⅰ）0x =;（Ⅱ）当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值； 当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）见解析.（Ⅱ）由()()22ln f x x ax x =- 2122ax x +-，可得()()22ln f x x a x =-'， ①当0a ≤时()0f x '>⇔ 1x >， ()0f x '<⇔ 01x <<， ()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-， ()f x 没有极大值；②当01a <<时()0f x '>⇔ 1x >或0x a <<， ()0f x '< 1a x ⇔<<. ()f x 在()0,a ， ()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极大值， 且()223ln 2f a a a a =-+， ()f x 在1x =时取到极小值，且()1122f a =-； ③当1a =时()0f x '≥恒成立， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增， ()f x 没有极大值也没有极小值；④当1a >时()0f x '>⇔ x a >或01x <<， ()0f x '<⇔ 1x a <<， ()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ()f x 在x a =时取到极小值，且()223ln 2f a a a a =-+. ()f x 在1x =时取到极大值，且()1122f a =-. 综上可得，当0a ≤时， ()f x 在1x =时取到极小值122a -， ()f x 没有极大值； 当01a <<时， ()f x 在x a =时取到极大值223ln 2a a a -+，在1x =时取到极小值122a -；当1a =时， ()f x 没有极大值也没有极小值；当1a >时， ()f x 在x a =时取到极小值223ln 2a a a -+. 在1x =时取到极大值122a -. （Ⅲ）由（Ⅱ）知当0a >且1a ≠时， ()f x 有两个极值()f x 点1x ， 2x ， 且()()12f x f x += ()()1f a f + 2231ln 222a a a a =-++-. 所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 21ln 2a a a ---< 21ln 1a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，设()1ln 1g a a a =-+，则()22111a g a a a a='-=-，所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，由0a >且1a ≠可得()()10g a g >=，所以()()12f x f x +- 2132a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭21ln 10a a a ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x +< 2132a a +.16．已知点P 为22142x y E +=：上的动点，点Q 满足13OQ OP =. （1）求点Q 的轨迹M 的方程；（2）直线:l y kx n =+与M 相切，且与圆2249x y +=相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值（其中O 为坐标原点）.【答案】（Ⅰ）2214299x y +=；（Ⅱ） 29.17．设函数()ln xf x ae x x =-，其中R a ∈，是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是()0,+∞上的增函数，求的取值范围； （Ⅱ）若22ea ≥，证明： ()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0xa x x ->，令()e ln xa F x x x=-，求出()F x 的导数，对分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln xf x a x '=-+， ()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln exxg x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭， 令()11ln h x x x =--， ()2110h x x x'=--<， ()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈， ()0h x >， ()0g x '>， ()g x 递增；当()1,x ∈+∞， ()0h x <， ()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时， ()g x 取得极大值且为最大值()11eg =， 所以1e a ≥，即的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．已知椭圆1C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为4，左、右焦点分别为1F 、2F ，且1C 与抛物线2C ： 2y x =的交点所在的直线经过2F . （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）分别过1F 、2F 作平行直线m 、，若直线m 与1C 交于A ， B 两点，与抛物线2C 无公共点，直线与1C 交于C ， D 两点，其中点A ， D 在轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）22184x y +=;（Ⅱ）5⎛ ⎝.【解析】试题分析：（I ）由焦距可得2c =，故椭圆与抛物线交点坐标为(，利用椭圆的定义求得a =222a b c =+解得2b =，由此求得椭圆的方程；（II ）设出直线m 的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用判别式小于零求得的取值范围.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，写出AB 的弦长，求得,m n 两条直线的距离，代入面积公式，化简后利用基本不等式求取值范围. 试题解析：（Ⅰ）依题意得24c =，则1F ， 2F .所以椭圆1C 与抛物线2C 的一个交点为(P ，于是12a PF = 2PF +=a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.19．已知动圆过定点()0,2，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（Ⅱ）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2||=PQ QA QB λ⋅，并求λ的值．【答案】(Ⅰ)98(Ⅱ)1（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-． 联立方程组002{24x y x yx y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=， 可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 20．已知函数()ln x f x x=， ()()1g x k x =-. （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f xg x ≤+成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'.。
2017山东省高考压轴卷数学(理)附答案解析
2017山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U=R，A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|log3x≥1}，则A∩B=（）A．{3} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2. 已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．B．（0，1] C．[0，1] D．3. 若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．4. 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．5. 二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx=（）A．ln2 B．ln2+1 C．1 D．6. 如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4B ．C ．D ．7设△A n B n C n 的三边长分别是a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ∈N *，若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，b n+1=，则（ ） A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （a ，b ，c ，*d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A ．227B ．6320C ．7825D ．109359. 已知偶函数f （x ）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且．当0＜x ＜1时，（1﹣x 2）ln （1﹣x 2）f'（x ）＞2xf （x ），则满足f （x ）＜0的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 如图1，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．37B ．47C．114D．1314二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．13. 给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．14. 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．15. 直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0），与f（x）图象的对称轴x=相邻的f（x）的零点为x=．（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=1，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．17. （本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB1、A1C1的中点．（1）求证：MN⊥AB1，MN∥平面BCC1B1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．18．（本小题满分12分）为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=ln （2ax+1）+3x 3﹣x 2﹣2ax （a ∈R ）．（1）若x=2为f （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若y=f （x ）在[3，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当a=﹣21时，方程f （1﹣x ）=x b 3)x 1(3+-有实根，求实数b 的最大值．20. （本小题满分13分）已知12F F ，是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点12P ⎛- ⎝⎭，在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）圆O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA OB λ⋅=，且满足2334λ≤≤时，求OAB 的面积S 的取值范围．21. （本小题满分14分）已知n 为正整数，在数列}{n a 中，,12,111+==+n n a a a 在数列}{n b 中，,11a b =当2≥n 时，.111121-+∙∙∙++=n n n a a a a b （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求nn n n a b a b 111+-++ 的值； （3）当2≥n 时，证明：.223)1()1)(1(2121n n n b b b b b b ->⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++2017山东高考压轴卷数学理word 版参考答案1【答案】A【解析】A={x|x 2﹣4x+3≤0}={x|1≤x ≤3}，B={x|log 3x ≥1}={x|x ≥3}， 则A ∩B={3}， 故选：A 2【答案】D【解析】∵函数，∴函数f （x ）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，当﹣1＜k≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则a∈[1，]，故选：D．3【答案】C【解析】依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥， =3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C4【答案】B【解析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥．∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7．故选：B．5【答案】C【解析】（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r=4得r=3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3 a3C73=﹣35a3=﹣280，∴a=2，∴dx=lnx=1．故选：C．6【答案】B【解析】∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得： =﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．7【答案】B【解析】b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，由题意，b n+1+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴b n+1﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．8【答案】A【解析】由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值，即4716155π<<,第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即47631520π<<,第四次用“调日法”后得11022=357是π的更为精确的过剩近似值，即3122107π<<,故选A.9【答案】C【解析】令g（x）=，则g′（x）=，∵当0＜x＜1时，（1﹣x2）ln（1﹣x2）f'（x）＞2xf（x），∴＞0，即g（x）=在（0，1）上为增函数，则f（x）在（0，1）上为减函数，又由函数f（x）为偶函数，且．故当x∈时，f（x）＜0，故选：C10【答案】D11【答案】1【解析】设z=a+bi，则==i，∴1﹣a﹣bi=﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．12【答案】20【解析】执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．13【答案】6【解析】画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．14【答案】【解析】设M点到抛物线准线的距离为d，则⇒p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为，渐近线为，所以，由题设可得，解得．故答案为：15【答案】[4，16]【解析】直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．16【解答】解：（Ⅰ） ==由与f（x）图象的对称轴相邻的零点为，得，所以ω=1，即令，函数y=sinz单调增区间是，k∈Z，由，得，k∈Z，设，，易知，所以当时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．（Ⅱ），则，因为0＜C＜π，所以，从而，解得．因为与向量共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，c2=a2+b2，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=217【解答】（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4∴CA，CB，CC1两两垂直以C为原点，CA，CB．CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）∴，∴∴MN⊥AB1，∵，∴∴MN∥BC1，∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：过A作AH⊥BC1于H，连接CH，则CH⊥BC1，∴∠AHC是二面角A﹣BC1﹣C的平面角在直角△BC1C中，CH=BCsin∠CBC1=4sin45°=2在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，∴cos∠AHC==∴二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为18【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x0）=0，∴当0＜x ＜x 0时，g′（x ）＜0，所以g （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x 0＜x ＜1，g′（x ）＞0，所以，g （x ）在（x 0，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g （x ）＜0，又g （1）=0． 因此当x=1时，b 取得最大值0．… 20【答案】（Ⅰ）因为20PM F M +=，所以 M 是线段2PF 的中点，所以OM 是12PF F 的中位线，又12OM F F ⊥，所以112PF F F ⊥,所以1c =，又因为22222111{2a b a b c +==+121222222111,.{12c OM F F PF PF a ba b c =⊥∴⊥∴+==+，解得2222,1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与O 211m k =+，即221m k =+联立221{2x y y kx m+==+得()222124220k x kmx m +++-=.设()()1122A x y B x y ，，，因为直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，所以212122242201212km m x x x x k k -∆>+=-⋅=++，，，()()2212122212m k y y kx m kx m k-⋅=+⋅+=+， 212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=⋅+⋅==+，又因为2334λ≤≤，所以222133124k k +≤≤+解得2112k ≤≤.1211122S AB x =⋅⋅=-=，设42u k k =+，则324u S ≤≤==，单调递增，所以()324S S S ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即23S ≤≤21.【答案】21【答案】 解：（1∵1121,1n n a a a +=+=∴()21213,12,14,121n n a a a a a +=+=+=+=+ ∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列。
2017届高考数学理-必做36道压轴题(高分突破题)
给力2017届高考数学理 必做36道压轴题近几年的高考数学试题收集起来进行分析，发现近三年高考数学压轴题最常见的考点是解析几何题或函数与导数题，只要找到了解压轴题 的窍门，几乎所有高考压轴题都都 有一个突破口，可以 依照固定的思路来解决，因此我们精心挑选了“36道必做的压轴题” 进行了深刻剖析，深层次解密压轴题精髓，高效培养自主解题能力。
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轻松搞定高考压轴题！第一部分 2017年高考数学理科真题压轴题精选解析几何1、（2017新课标卷1）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又32c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ 的距离221d k =+，所以∆OPQ 的面积221443214OPQk S d PQ k ∆-==+ ， 设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =-或722y x =--. …………………………12分 2、（2017新课标卷2）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .【答案】 (1) 21（2）72,7==b a【解析】 （1）.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=（2）72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可3、（2017辽宁卷）圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为3.图1-6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【解析】解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3m m 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0， 解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.4、（2017上海卷）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。
2017高考数学压轴题大集合
2017备战 高考数 学压轴题 集合1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛 物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨 迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方 法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在 抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠ 同理有41)1)(1(cos 102110110x x x x x x x x BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到 直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线 AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0， 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足Λ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明Λ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=Λ，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1Λ=+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122Λ=+=+<n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y yPF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。
2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析
2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4）C． D．（0，4）2. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43. 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4. 函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是（）A．和B．和C．和D．和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A． B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=16某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A ．1007B ．2015C ．2016D ．30247. 数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（ ）A． B． C． D．8. 设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）O ππ3π6211A ．3,1πϕω-== B ．3,2πϕω-==C ．32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；② 2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “12的相关函数”至少有一个零点. 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），数列{b n }满足，且b 1+b 2+…+b 10=65，则a n = ．12. 在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .13. 设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．14. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 ____________． 15. 如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．（I）求A；（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．17.（本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20. （本小题满分13分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21. （本小题满分14分）平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2【答案】A【解析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．故选B．4【答案】B【解析】由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象可知，A=2， T=﹣（﹣）=，故T=π=，解得ω=2；由“五点作图法”得：2×+φ=，解得：φ=﹣．所以，y=2sin（2x﹣）．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）．当k=0时，≤x≤；当k=1时，≤x≤；综上所述，函数y=2sin（2x﹣）在区间上的单调递减区间是[，]和[，]．故选：B．5【答案】D【解析】的焦点为（0，1），所以圆C为，所以x2+（y﹣1）2=1，故选：D．6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．7【答案】B【解析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同， 故选：B ．8.【答案】D 【解析】试题分析：因为0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦，由函数的图像可知，2,,22362T T T πππππω=+=∴=∴==所以2sin(2)3y x πφ∴=++，又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-，因为πφπ-<< 22,3πωφ==，应选D. 9【答案】 D 10【答案】A 11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），∴﹣=1，即b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，又b 1+b 2+…+b 10=65， ∴10b 1+×1=65，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1=，解得a n=．故答案为：．12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65. 13【答案】﹣ 【解析】∵y=， ∴y ′=，∴曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k==﹣2，∵曲线y=在点（2，3）处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=，即a=﹣．故答案为：﹣． 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5821813+=-=． 15【答案】【解析】因为作则，又有相同的底BC ，所以，故答案为：16【解答】解：（I ）由正弦定理可知，2cosA （sinBcosC+sinCcosB ）=sinA ， 即2cosAsinA=sinA ， 因为A ∈（0，π）， 所以sinA ≠0，所以2cosA=1，即cosA= 又A ∈（0，π）， 所以A=；（II ）∵△ABC的面积为，∴=，∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4，∴3a2+b2+c2=8，∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7，∴a=．17【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）18【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．19【解答】（1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2，AE=1，所以，又BC=2所以设所求的高为h，则由等体积法得=所以．20【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|CD|的最大值为3．。
2017高考数学压轴题大集合
2017备战高考数学压轴题集合1 .(本小题满分14分)如图，设抛物线c : y = X 2的焦点为F ,动点P 在直线丨：x - y - 2二0上运动，过P 作抛 物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1 )求厶APB 的重心 G 的轨 迹方程. (2)证明/ PFA= / PFB.2 2解: ( 1 )设切点 A 、B 坐标分别为(x, X 0 )和(x 1 , X-I )((x ^^ x 0),•••切线AP 的方程为:2x °x - y - x ： =0；切线BP 的方程为:解得P 点的坐标为:x 。
X 1,y^X 0X 1所以△ APB 的重心的坐标为X 0 X 1 X pX p ,3y G 二X ； X ； X 0X 1 (X 0X 1)2-X °X 13_4X P 2 - y p2所以y p 二-3y G ' 4&，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为:21 x-(-3y 4x )-2=0，即卩y(4x 3-x 2).2(2 )方法1 ：因为FA =化，x 0,X °X 1由于P 点在抛物线外，则| FP F 0.• cos AFP 二旦竺|FP||FA|X 0 X 121 2X 0 (X 0X 1)(X 0 4(x 。
2-：)4| FP h X o-1) 4X 0X 1 1 一 4 |FP |FP 同理有cos ・BFP =| FP || FB |一X 0 +X 1FB _ ~2~ 1 2 1X 1 (X 0X 1 )(X 1 ) 4 41、2 4，|FP|： X 12(X 1^ J1 4|FP|X 0X 1•••/ AFP= / PFB.即(x 2 —」)x —my 亠=0.4 42.(本小题满分12分)D 两点• 并求直线 AB ‘使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问 题的能力•(I)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y =k(x T )，3,代入3X 2 y 2整理得(k 2 3)x 2 -2k(k-3)x (k-3)2 - ■ =0.①设A(X 1, yj, B (X 2 ,y 2),则X 1 x 是方程①的两个不同的根,方法2 :①当x/o = 0时，由于X 1 -X o ,不妨设X 。
2017山东省高考压轴卷 数学(文) Word版含解析
KS5U2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4）C． D．（0，4）2. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43. 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4. 函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是（）A．和B．和C．和D．和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A． B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=16某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A ．1007B ．2015C ．2016D ．30247. 数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（ ）A． B． C． D．8. 设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）O ππ3π211A ．3,1πϕω-== B ．3,2πϕω-==C ．32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “12的相关函数”至少有一个零点.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），数列{b n }满足，且b 1+b 2+…+b 10=65，则a n = ．12. 在ABC ∆中，34AE AB = ，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ= ，FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .13. 设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．14. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 ____________． 15. 如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．（I）求A；（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．17.（本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20. （本小题满分13分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21. （本小题满分14分）平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．KS5U2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2【答案】A【解析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．故选B．4【答案】B【解析】由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象可知，A=2， T=﹣（﹣）=，故T=π=，解得ω=2；由“五点作图法”得：2×+φ=，解得：φ=﹣．所以，y=2sin（2x﹣）．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）．当k=0时，≤x≤；当k=1时，≤x≤；综上所述，函数y=2sin（2x﹣）在区间上的单调递减区间是[，]和[，]．故选：B．5【答案】D【解析】的焦点为（0，1），所以圆C 为，所以x 2+（y ﹣1）2=1， 故选：D ． 6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式： S=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S 值是3024． 故选：D ． 7【答案】B【解析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同， 故选：B ．8.【ks5u 答案】D 【ks5u 解析】试题分析：因为0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦，由函数的图像可知，2,,22362T T Tπππππω=+=∴=∴== 所以2sin(2)3y x πφ∴=++，又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-，因为πφπ-<< 22,3πωφ==，应选D. 9【答案】 D 10【答案】A11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），∴﹣=1，即b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，又b 1+b 2+…+b 10=65， ∴10b 1+×1=65，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1=，解得a n=．故答案为：．12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(AF AB AF AP μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43AC AB AC AP AB AC AB AP μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ABAC AP AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.13【答案】﹣ 【解析】∵y=， ∴y ′=，∴曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k==﹣2，∵曲线y=在点（2，3）处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=，即a=﹣．故答案为：﹣． 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5821813+=-=． 15【答案】【解析】因为作则，又有相同的底BC，所以，故答案为：16【解答】解：（I）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，即2cosAsinA=sinA，因为A∈（0，π），所以sinA≠0，所以2cosA=1，即cosA=又A∈（0，π），所以A=；（II）∵△ABC的面积为，∴=，∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4，∴3a2+b2+c2=8，∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7，∴a=．17【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）18【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．19【解答】（1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2，AE=1，所以，又BC=2所以设所求的高为h，则由等体积法得=所以．20【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|CD|的最大值为3．。
2017北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析
2017北京市高考压轴卷文科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A ⊆B ，则实数a=（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣32. 函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数，则f （1），f （2.5），f （3.5）的大关系是（ ）A ．f （2.5）＜f （1）＜f （3.5）B ．f （2.5）＞f （1）＞f （3.5）C ．f （3.5）＞f （2.5）＞f （1）D ．f （1）＞f （3.5）＞f （2.5） 3. 给出下列命题：①函数y=cos （﹣2x ）是偶函数；②函数y=sin （x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin （2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos （2x ﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x 的图象，其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 命题“若6πα=，则33tan =α”的逆否命题是A.若6πα≠，则33tan ≠α B.若6πα=，则33tan ≠α C.若33tan ≠α，则6πα≠ D. 若33tan ≠α，则6πα=5. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β B ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β6. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆(()2211x y -+-=相切，则此双曲线的离心率为（ ）(A)2 (B)5 (C)3 (D)27 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．610987第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9. 已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是10. 若复数+b （b ∈R ）所对应的点在直线x+y=1上，则b 的值为 ． 11.如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，令()()f xg x x =，则()4g '= .12. ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ．13. 在四边形CD AB 中，()C 2,4A =，()D 2,1B =-，则该四边形的面积为_______ 14.如图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中， 223=4cos A cosA +．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围．16 (本小题满分13分)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单2分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．17. （本小题共13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n =n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设{}的前n 项和为T n ，求证T n ＜1．18.（本小题共13分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD ， ,E F 分别是线段,AB BC 的中点.（1）证明： PF FD ⊥；（2）若1PA =，求点E 到平面PFD 的距离.19.（本小题满分共14分）已知函数()()2ln .f x x ax a x a R =--∈（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求证：()322114;326x x f x x ≥+-+ （3）当[),x e ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆C )0(12222>>=+b a by a x 上点到两焦点的距离和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、 N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）若直线MN 与圆O 25122=+y x 相切，证明：MON ∠为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求OM ON 的取值范围．试卷答案1B【解答】解：集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A ⊆B ， 可得a+2=1，解得a=﹣1． 故选：B ． 2B【分析】根据函数y=f （x+2）是偶函数，知x=2是其对称轴，又函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，可知其在（2，4）上为减函数，而2.5，3.5∈（2，4），1∉（2，4），而f （1）=f （3），根据函数的单调性可得结果． 【解答】解：因为函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数， 所以x=2是对称轴，在（2，4）上为减函数， f （2.5）＞f （1）=f （3）＞f （3.5）． 故选B ． 3B【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin （x+）的增区间，判断②的正误；直线x=代入函数y=sin （2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．解：①函数y=sin （﹣2x ）=sin2x ，它是奇函数，不正确；②函数y=sin （x+）的单调增区间是，k ∈Z ，在闭区间上是增函数，正确；③直线x=代入函数y=sin （2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；④将函数y=cos （2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos （2x+）的图象，所以④不正确．故选：B ． 4.C 5. B【分析】A ：漏掉了m ⊂β．B ：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C ：漏掉了m 与n 相交、异面的情况．D ：可以举出墙角的例子．解：A ：直线m 也可以在平面β内． B ：根据线线垂直的判定可得结论是正确的． C ：m 与n 可能平行也可能相交也可能异面． D ：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子． 故选B ． 6A31b a -=，计算2e =，∴选A.7C【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2． 故答案为：C89.【解析】解：由已知是（-∞，+∞）上的减函数，可得，求得≤a＜，故答案为：．10.0【解析】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，∴b+1=1，解得b=0．故答案为：0．11. 【答案】12. 【答案】2【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××2+×2×1=2+．故答案为：2+．13. 【答案】5【解析】根据题意，440AC BD ⋅=-+=，所以AC BD ⊥，且25,5AC BD ==，从而有该四边形的面积为1552S =⋅=14. 14.(31)n n π+【解析】设第n 段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n 圈，有3n 段弧，故所得整条螺旋线的长度15. 【答案】(1)因为2234cos A cosA +=，所以2122cos 2cos A A +=， 所以24410cos A cosA -+=， 所以1cos 2A =.又因为0A π<<，所以3A π=.(2)因为sin sin sin a b c A B C ==， 3A π=， 2a =，所以sin ,sinC b B c ==， 所以)22sin sinC 3l b c B =++=++. 因为23B C π+=， 所以22sin sin 2sin 363l B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 又因为203B π<<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(]4,6l ∈【解析】（1）根据倍角公式可将已知等式转化为关于cos A 的二次方程，解方程求得cos A 的值，进而得到角A 的大小；（2）根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示，列出周长l 的表达式并利用两角和与差公式化为关于角B 的三角函数，进而根据三角函数的值域求得周长l 的取值范围.16．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）.所以1().6P A =（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.17. 【分析】（1）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），得当n ≥2时a n =2n ，再验证n=1时，a 1=2×1=2也适合，即可得到数列{a n }的通项公式．（2）裂项得=﹣，由此可得前n 项和为T n =1﹣＜1，再结合∈（0，1），不难得到T n ＜1对于一切正整数n 均成立．解：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣[（n ﹣1）2+（n ﹣1）]=2n ．∵n=1时，a 1=2×1=2，也适合∴数列{a n }的通项公式是a n =2n ．（2）==﹣∴{}的前n 项和为T n =（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=∵0＜＜1∴1﹣∈（0，1），即T n ＜1对于一切正整数n 均成立．18. 【答案】(1)证明：连接AF ，则22AF DF ==，又2222,,AD DF AF AD DF AF =∴+=∴⊥，又PA ⊥平面,ABCD DF PA∴⊥，又,PA AF A DF ⋂=∴⊥平面PAF ，又PF ⊂平面,PAF DF PF ∴⊥.(2) 53244EFD ADE BEF CDF ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---=-=平面， 1131·13344P EFD EFD V S PA -∆∴==⨯⨯=，1161,?··34E PFD P EFD E PFD PFD V V V S h h ---∆=∴===，解得6h =，即点E 到平面PFD .19.20.解：（Ⅰ）由椭圆C 22221(0)x y a b a b +=>> 上点到两焦点的距离和为23， 得2a=23，即13 ；由短轴长为12，得2b=12，即1b 4=所以椭圆C 方程：229161x y += （Ⅱ）当直线MN x ⊥轴时，因为直线MN 与圆O 22125x y +=相切，所以直线MN 方程：x=51或x=-15，当直线方程为x=15，得两点分别为（15，15）和（15，-15），故OM ON ∙=0，可证M ON ∠=2π；同理可证当x=-15，MON ∠=2π； 当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN ：y=kx+b ，直线MN 与圆O 25122=+y x 的交点M ),11y x （，N ),22y x （ 由直线MN 与圆O 相切得：215k 1b=+，即25221b k =+ ①; 联立y=kx+b ，229161x y +=，得222916)321610k x kbx b +++-=（，因此0δ>，12x x +=-232916kb k +，12x x =22169116k b +-； 由OM ON ∙=12x x +12y y =12x x +12k )()x b kx b ++（=（1+k 2）12x x +kb （12x x +）+b 2=222251916b k k --+ ②； 由①②得OM ON ∙=0，即MON ∠=2π；综上MON ∠=2π（定值）. （Ⅲ）不妨设XOM θ∠=，则N 2XO πθ∠=±，由三角函数定义可知M （OM cos θ，OM sin θ），N （±ON sin θ，±ON cos θ） 因为点M 、N 都在229161x y +=上，所以21OM =229cos 16sin θθ+， 21ON =229sin 16cos θθ+211()OM ON =21OM 21ON =（229cos 16sin θθ+）（229sin 16cos θθ+）=9⨯16+（9-16）222sin cos θθ=9⨯16+（9-16）221sin 24θ， 又2sin 2θ∈[0，1]，故（1OM 1ON ）2∈[9⨯16，（9162+）2] 因此OM ON ∈ [21,2512].。
2017全国卷Ⅱ高考压轴卷数学(理)附答案解析
绝密★启封前2017全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(,2]-∞D ．[0,)+∞ 2．复数()20173z i i i =-+（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57. B .67 C 38 D.584．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸7．已知MOD 函数是一个求余函数，记MOD()m n ，表示m 除以n 的余数，例如MOD(83)2=，．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 118．已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则的值（）A ．-1或3B ．1-C ．3-D ．39.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y =P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A. 12B. 522C. 312D. 3210.设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x上运动，则+的最小值为 A ． B ．517 C ．519D ． 11已知球错误！未找到引用源。
2017年高考数学鲁、京、津文理科考前抢分必做：压轴大
压轴大题突破练(三)函数与导数(1)1．已知函数f(x)＝(x2－2ax＋2)e x.(1)函数f(x)在x＝0处的切线方程为2x＋y＋b＝0，求a，b的值；(2)当a＞0时，若曲线y＝f(x)上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．解(1)f(x)＝(x2－2ax＋2)e x，f(0)＝2e0＝2,2＋b＝0，得b＝－2.f′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a)e x＝x2＋(2－2a)x＋2－2a]e x，f′(0)＝2－2a＝－2，得a＝2，∴a＝2，b＝－2.(2)f′(x)＝x2＋(2－2a)x＋2－2a]e x，令h(x)＝f′(x)，依题意知存在k使h(x)＝k有三个不同的实数根，h′(x)＝(x2－2ax＋2＋2x－2a＋2x－2a＋2)e x＝x2＋(4－2a)x＋4－4a]e x，令h′(x)＝x2＋(4－2a)x＋4－4a]e x＝0，得x1＝－2，x2＝2a－2.由a＞0知x1＜x2，则f′(x)在(－∞，－2)，(2a－2，＋∞)上单调递增，在(－2,2a －2)上单调递减．当x→－∞时，f′(x)→0，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，∴f′(x)的极大值为f′(－2)＝e－2(2a＋2)，f′(x)的极小值为f′(2a－2)＝e2a－2(2－2a)，∴此时e2a－2(2－2a)＜k＜e－2(2a＋2)．2．(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1x－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．解(1)f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0)．当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝12a.此时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0， 所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又由s (1)＝0，有s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.3．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)设函数g (x )＝f (x )－x 2＋ax ，a ＞0，若x ∈(0，e]时，g (x )的最小值是3，求实数a 的值(e 为自然对数的底数)． 解 (1)∵f (x )＝x 2－ln x ， ∴f ′(x )＝2x －1x .∴f ′(1)＝1.又∵f (1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. (2)∵函数f (x )＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 由f ′(x )＝2x －1x ＜0，得0＜x ＜22.∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是(0，22)． (3)∵g (x )＝ax －ln x ， ∴g ′(x )＝ax －1x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a .①当1a ≥e ，即0＜a ≤1e 时， g ′(x )＝ax －1x ≤0在(0，e]上恒成立，则g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)；②当0＜1a ＜e ，即a ＞1e 时，列表如下：由表知，g (x )min ＝g (1a )＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件． 综上，所求实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3.4．已知函数f (x )＝x 3＋x ＋k 在(b ，f (b ))处的切线方程为4x －y －1＝0(b ＞0)，m (x )＝f (x )－x 3－1－a ln x ，g (x )＝－1＋ax (a ∈R )． (1)求k ，b 的值；(2)设函数h (x )＝m (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(3)若在1，e](e ＝2.718…)上存在一点x 0，使得m (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)由题意，得f ′(x )＝3x 2＋1，因为f (x )＝x 3＋x ＋k 在(b ，f (b ))处的切线方程为4x －y －1＝0，其中b ＞0.所以⎩⎨⎧ 3b 2＋1＝4，b 3＋b ＋k ＝4b －1，解得⎩⎨⎧b ＝1，k ＝1.(2)因为m (x )＝f (x )－x 3－1－a ln x ＝x －a ln x ，所以h(x)＝x＋1＋ax－a ln x.h′(x)＝1－1＋ax2－ax＝x2－ax－(1＋a)x2＝(x＋1)[x－(1＋a)]x2.①当a＋1＞0，即a＞－1时，当x∈(0,1＋a)时，h′(x)＜0，当x∈(1＋a，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0,1＋a)上单调递减，在(1＋a，＋∞)上单调递增．②当a＋1≤0，即a≤－1时，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)在1，e]上存在一点x0，使得m(x0)＜g(x0)成立，即在1，e]上存在一点x0，使得h(x0)＜0成立．即函数h(x)＝x＋1＋ax－a ln x在1，e]上的最小值小于零，由(2)可知①当a＋1≥e，即a≥e－1时，h(x)在1，e]上单调递减，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)＝e＋1＋ae－a＜0可得a＞e2＋1e－1，因为e2＋1e－1＞e－1，所以a＞e2＋1 e－1；②当a＋1≤1，即a≤0时，h(x)在1，e]上单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)，由h(1)＝1＋1＋a＜0可得a＜－2；③当1＜a＋1＜e，即0＜a＜e－1时，可得h(x)的最小值为h(1＋a)，因为0＜ln(a＋1)＜1，所以0＜a ln(a＋1)＜a，所以h(1＋a)＝2＋a－a ln(1＋a)＞2，此时h(1＋a)＜0不成立，综上可得所求a的取值范围是a＞e2＋1e－1或a＜－2.。
2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析
2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4）C． D．（0，4）2. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43. 设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4. 函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则其在区间上的单调递减区间是（）A．和B．和C．和D．和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A． B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=16某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A ．1007B ．2015C ．2016D ．30247. 数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列： …，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A ．B． C． D ．8. 设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）O ππ3π6211A ．3,1πϕω-== B ．3,2πϕω-==C ．32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；② 2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “12的相关函数”至少有一个零点. 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），数列{bn }满足，且b 1+b 2+…+b 10=65，则a n = ．12. 在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为.13. 设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．14. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 ____________． 15. 如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a．（I）求A；（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．17.（本小题满分12分）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20. （本小题满分13分）已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21. （本小题满分14分）平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时，A={0}，满足题意；当a＜0时，集合A=∅，满足题意；当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，∴a∈（﹣∞，4），故选B．2【答案】A【解析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C ：m 与n 可能平行也可能相交也可能异面．D ：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子． 故选B ． 4【答案】B【解析】由函数y=Asin （ωx+ϕ）的部分图象可知，A=2， T=﹣（﹣）=，故T=π=，解得ω=2；由“五点作图法”得：2×+φ=，解得：φ=﹣．所以，y=2sin （2x ﹣）．由2k π+≤2x ﹣≤2k π+（k ∈Z ）得：k π+≤x ≤k π+（k ∈Z ）．当k=0时，≤x ≤；当k=1时，≤x ≤；综上所述，函数y=2sin （2x ﹣）在区间上的单调递减区间是[，]和[，]．故选：B ． 5【答案】D【解析】的焦点为（0，1），所以圆C 为，所以x 2+（y ﹣1）2=1， 故选：D ． 6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式： S=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S 值是3024． 故选：D ． 7【答案】B【解析】由排列可知，4个数字一循环，2014÷4=503×4+2，故2013的位置与1的位置相同，则2014的位置与2相同，2015的位置和3相同，2016的位置和4相同， 故选：B ．8.【答案】D 【解析】试题分析：因为0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦，由函数的图像可知，2,,22362T T T πππππω=+=∴=∴== 所以2sin(2)3y x πφ∴=++，又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-，因为πφπ-<< 22,3πωφ==，应选D. 9【答案】 D 10【答案】A 11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n （n ∈N *），∴﹣=1，即b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，又b 1+b 2+…+b 10=65，∴10b 1+×1=65，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1=，解得a n =．故答案为：．12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ABAC AP AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.13【答案】﹣【解析】∵y=，∴y ′=，∴曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k==﹣2，∵曲线y=在点（2，3）处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=，即a=﹣． 故答案为：﹣． 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5821813+=-=． 15【答案】【解析】因为作则，又有相同的底BC ，所以，故答案为：16【解答】解：（I ）由正弦定理可知，2cosA （sinBcosC+sinCcosB ）=sinA ， 即2cosAsinA=sinA ， 因为A ∈（0，π）， 所以sinA ≠0，所以2cosA=1，即cosA= 又A ∈（0，π）， 所以A=；（II ）∵△ABC 的面积为，∴=，∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4，∴3a2+b2+c2=8，∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7，∴a=．17【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）18【解答】解：（Ⅰ）由，当n=1时，，当n≥2，，则，当n=1时，a1=2满足上式，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），．则，所以，则==（1﹣n）2n+1﹣2．所以．19【解答】（1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2，AE=1，所以，又BC=2所以设所求的高为h，则由等体积法得=所以．20【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|CD|的最大值为3．。
KS5U2017浙江省高考压轴卷数学(文)含解析
KS5U2017浙江省高考压轴卷数学（文）球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 椎体的体积公式13V sh = 其中S 表示椎体分底面积，h 表示椎体的高 台体的体积公式()ÉÏÏÂ13V h S S =+ 其中ÉÏÏÂ,SS 分别表示台体的上、下底面面积，h 表示台体的高 一、选择题(本大题10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U=R ，集合A=｛x|2x ＜1}，B=｛x|log 3x ＞0}，则A∩（∁U B ）=（ ）A ．{x ｜x ＞1｝B ．｛x|x ＞0}C ．｛x|0＜x ＜1｝D ．｛x ｜x ＜0}2。
若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积为 （ ）A．30B．24C．10D．6 3。
已知实数{a n｝是等比数列，若a2a5a8=8，则a1a9+a1a5+a5a9( ）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最小值4 D．有最大值44。
已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+2x0+1＞0 B．∀x∈R,x2+2x+1≤0C．∀x∈R，x2+2x+1≥0D．∀x∈R，x2+2x+1＞05。
已知双曲线C ：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为（)A ．B ．C．2 D ．6.已知实数x，y满足约束条件14xx yax by c≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩且目标函数z=2x+y的最大值是6,最小值是1,则cb的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47。
已知直线ax+by=1(其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点,O为坐标原点,且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．58。
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2017备战高考数学压轴题集合1．（本小题满分14分）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243GG p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP ∴,||41)41(||)41)(41(2||||cos 10220202010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP +=-+--+⋅+=⋅=∠同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos 10221212110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP +=-+--+⋅+=⋅=∠∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB. ②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(0414*******0=+-----=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x 又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得.)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+=⑧由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA )21233,23123(-------+=λλλλDA 计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3．（本小题满分14分）已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足Λ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明Λ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.51<n a 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111n a a n n ≥--于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ所有不等式两边相加可得.13121111n a a n +++≥-Λ由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >-∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba bn b n b a b a n n +<+=+>∴=证法2：设nn f 13121)(+++=Λ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1Λ=+≤n b n f b a n （i ）当n=3时，由.)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k +≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bb k k f bbb k f k k bk ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤n bn f ba n 又由已知不等式得.,5,4,3,][log 22][log 21122Λ=+=+<n n b bb n b a n （Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a （Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,3,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设00112212110021122120000121212350,22215tan .115152151515tan 15arctan.15y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。