九年级数学学科素养大赛试卷含解析
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2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()
A.10 B.4 C.5 D.6
2.用配方法解下列方程时,配方有错误的是()
A.x2﹣2x﹣99=0化为(x﹣1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2﹣7t﹣4=0化为(t﹣)2=D.3x2﹣4x﹣2=0化为(x﹣)2=
3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是()
A.b=﹣1 B.b=2 C.b=﹣2 D.b=0
4.如图⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥AB于点D,交⊙O于点E,∠C=60°,若⊙O的半径为2,则下列结论错误的是()
A.AD=BD B.AE=BE C.AB=D.OD=1
5.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为()
A.20 B.12 C.14 D.13
6.如图,▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,连接AE,∠E=36°,则∠ADC的度数是()
A.44° B.54° C.72° D.53°
7.已知点P(a,a+3)在抛物线y=x2﹣7x+19图象上,则点P关于原点O的对称点P′的坐标是()
A.(4,7)B.(﹣4,﹣7)C.(4,﹣7)D.(﹣4,7)
8.若A(﹣,y1),B(,y2),C(,y3)为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2
9.下列图形中阴影部分面积相等的是()
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表,从下表可知:
x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y …0 4 6 6 4 …
下列说法:①抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),②函数的最大值为6,③抛物线的对称轴是直线x=,④在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.y=ax2+bx+c+2的图象如图所示,顶点为(﹣1,0),下列结论
①abc>0;②b2﹣4ac=0;③a>2;④4a﹣2b+c>0.
其中正确结论的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图,抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向左平移得C2,C2与x轴交于点B,D.若直线y=﹣x+m与C1,C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是()
A.﹣3<m<﹣B.C.﹣2<m<D.﹣3<m<﹣2
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.如果关于x的方程mx2﹣2x+1=0有两个实数根,那么m的取值范围是.
14.已知圆的一条弦AB把圆分成1:4的两部分,则此弦所对的圆周角等于.
15.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为.
16.已知f(x)=1+,其中f(a)表示当x=a时代数式的值,如f(1)=1+,f(2)=1+,f(3)=1+,f(a)=1+,则f(1)•f(2)•f(3)•f(4)•…•f=.
17.对于实数a,b,定义运算“⊗”:,例如:5⊗3,因为5>3,所
以5⊗3=5×3﹣32=6.若x1,x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根,则x1⊗x2= .18.如图,在△ABC中,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点C作CF∥AB,在CF 上取一点E,使DE=CD,连接AE,对于下列结论:①AD=DC;②△CBA∽△CDE;③=;
④AE为⊙O的切线,一定正确的结论选项是.
三、解答题(本题共3个小题,满分40分)
19.如图,AB是⊙O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
20.阅读下面的材料:
解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,则x4=y2,∴原方程可化为:y2﹣7y+12=0,解得y1=3,y2=4,当y=3时,x2=3,x=±,当y=4时,x2=4,x=±2.∴原方程有四个根是:x1=,x2=﹣,x3=2,x4=﹣2,以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程:(x2+x)2﹣5(x2+x)+4=0;
(2)已知实数a,b满足(a2+b2)2﹣3(a2+b2)﹣10=0,试求a2+b2的值.
21.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3,那么m的值等于()
A.10 B.4 C.5 D.6
【考点】二次函数的最值.
【分析】将二次函数化为顶点式,即可建立关于m的等式,解方程求出m的值即可.