牛顿迭代求解高次方程
使用“牛顿迭代法”求解方程
使⽤“⽜顿迭代法”求解⽅程使⽤⽜顿迭代法求解⽅程尽管通过因式分解和利⽤求根公式可以很⽅便的得出多项式⽅程的根，但⼤多数时候这个多项式的次数都很⾼，计算将变得⾮常复杂，因此，我们必须转向⼀些近似解法。
⽜顿迭代法是其中最好的⽅法之⼀。
从根本上说，⽜顿迭代法通过⼀系列的迭代操作使得到的结果不断逼近⽅程的实根。
⾸先，要选择⼀个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。
然后，迭代计算如下的公式：x i+1 = x i - f(x i) / f '(x i)直到x i+1达到⼀个满意的近似结果为⽌。
在这个公式中，f(x)是要求解的多项式⽅程，⽽f '(x)是f(x)的导数。
多项式求导多项式求导是微积分的基础，现在让我们来看看针对多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每⼀项套⽤如下两个公式：d/dx * k = 0, d/dx *kx r = krx r-1这⾥的k是为常数，r是有理数，x是未知数。
符号d/dx表⽰求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每⼀常数项，套⽤第⼀个公式；否则，就⽤第⼆个公式。
假设有如下函数：f(x) = x3 + 5x2 +3x +4要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套⽤第⼆个公式，最后⼀项套⽤第1个公式，得到结果如下：f '(x) = 1 * 3x(3-1) + 5 * 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3有时候也有必要进⾏⾼阶求导，即导数的导数。
⽐如，f(x)的2阶求导可记为f ''(x)，它是对f '(x)的求导结果。
同理，f(x)的3阶求导可记为f'''(x)，这是对f ''(x)的求导结果，以此类推。
因此，在前⾯的例⼦中，如果要计算f(x)的2阶导数的话，我们按照如下的⽅式对f '(x)求导即可：f ''(x) = 3 * 2x(2-1) + 10 * 1x(1-1) + 0 =6x +10理解1阶和2阶导数理解1阶和2阶导数的意义，是正确使⽤⽜顿迭代法⾮常重要的⼀点。
数学数学实验Newton迭代法
数学实验题目4 Newton 迭代法摘要0x 为初始猜测，则由递推关系产生逼近解*x 的迭代序列{}k x ，这个递推公式就是Newton 法。
当0x 距*x 较近时，{}k x 很快收敛于*x 。
但当0x 选择不当时，会导致{}k x 发散。
故我们事先规定迭代的最多次数。
若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。
前言利用牛顿迭代法求的根程序设计流程问题1（1 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_1',pi/4,1e-6,1e-4,10) r = 0.7391（2 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_2',0.6,1e-6,1e-4,10) r = 0.5885问题2（1 程序运行如下：否 是否是是定义()f x输入012,,,x N εε开 始1k =01()f x ε<0100()()f x x x f x =-'102||x x ε-<k N =输出迭代失败标志输出1x输出奇 异标志结 束01x x = 1k k =+ 否r = NewtSolveOne('fun2_1',0.5,1e-6,1e-4,10)r = 0.5671（2）程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun2_2',0.5,1e-6,1e-4,20)r = 0.5669问题3（1）程序运行如下：①p = LegendreIter(2)p = 1.0000 0 -0.3333p = LegendreIter(3)p = 1.0000 0 -0.6000 0p = LegendreIter(4)p =1.0000 0 -0.8571 0 0.0857p = LegendreIter(5)p = 1.0000 0 -1.1111 0 0.2381 0②p = LegendreIter(6)p = 1.0000 0 -1.3636 0 0.4545 0 -0.0216r = roots(p)'r= -0.932469514203150 -0.6612 0.9324695142031530.6612 -0.238619186083197 0.238619186083197用二分法求根为：r = BinSolve('LegendreP6',-1,1,1e-6)r = -0.932470204878826 -0.661212531887755 -0.2386200573979590.2386 0.661192602040816 0.932467713647959（2）程序运行如下：①p = ChebyshevIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = ChebyshevIter(3)p = 1.0000 0 -0.7500 0p = ChebyshevIter(4)p = 1.0000 0 -1.0000 0 0.1250p = ChebyshevIter(5)p = 1.0000 0 -1.2500 0 0.3125 0②p = ChebyshevIter(6)p = 1.0000 0 -1.5000 0 0.5625 0 -0.0313r = roots(p)'r = -0.965925826289067 -0.7548 0.9659258262890680.7547 -0.258819045102521 0.258819045102521用二分法求根为：r = BinSolve('ChebyshevT6',-1,1,1e-6)r = -0.965929926658163 -0.7755 -0.2588289221938780.2588 0.7020 0.965924944196429与下列代码结果基本一致，只是元素顺序稍有不同：j = 0:5;x = cos((2*j+1)*pi/2/(5+1))x =0.965925826289068 0.7548 0.258819045102521-0.258819045102521 -0.7547 -0.965925826289068（3）程序运行如下：①p = LaguerreIter(2)p = 1 -4 2p = LaguerreIter(3)p = 1 -9 18 -6p = LaguerreIter(4)p = 1 -16 72 -96 24p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000②p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000r = roots(p)'r =12.6432 7.8891 3.5964257710407111.4520 0.263560319718141用二分法求根为：r = BinSolve('LaguerreL5',0,13,1e-6)r = 0.263560314567722 1.4789 3.5964257656311507.0720 12.6490（4）程序运行如下：①p = HermiteIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = HermiteIter(3)p = 1.0000 0 -1.5000 0p = HermiteIter(4)p = 1.0000 0 -3.0000 0 0.7500p = HermiteIter(5)p = 1.0000 0 -5.0000 0 3.7500 0②p = HermiteIter(6)p = 1.0000 0 -7.5000 0 11.2500 0 -1.8750r = roots(p)'r =-2.3587 2.3588 -1.3358490740136961.335849074013698 -0.4367 0.4366用二分法求根为：r = BinSolve('HermiteH6',-3,3,1e-6)r =-2.3516 -1.335849********* -0.43630.4366 1.335848983453244 2.3504所用到的函数function r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol, maxit)% NewtSolveOne 用Newton法解方程f(x)=0在x0附近的一个根%% Synopsis: r = NewtSolveOne(fun, x0)% r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数及其导数% x0 = 猜测根，Newton法迭代初始值% ftol = (optional)误差，默认为5e-9% dftol = (optional)导数容忍最小值，小于它表明Newton法失败，默认为5e-9 % maxit = (optional)迭代次数，默认为25%% Output: r = 在寻根区间内的根或奇点if nargin < 3ftol = 5e-9;endif nargin < 4dftol = 5e-9;endif nargin < 5maxit = 25;endx = x0; %设置初始迭代位置为x0k = 0; %初始化迭代次数为0while k <= maxitk = k + 1;[f,dfdx] = feval(fun,x); %fun返回f(x)和f'(x)的值if abs(dfdx) < dftol %如果导数小于dftol，Newton法失败，返回空值r = [];warning('dfdx is too small!');return;enddx = f/dfdx; %x(n+1) = x(n) - f( x(n) )/f'( x(n) )，这里设dx = f( x(n) )/f'( x(n) )x = x - dx;if abs(f) < ftol %如果误差小于ftol，返回当前x为根r = x;return;endendr = []; %如果牛顿法未收敛，返回空值function p = LegendreIter(n)% LegendreIter 用递推的方法计算n次勒让德多项式的系数向量Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)%% Synopsis: p = LegendreIter(n)%% Input: n = 勒让德多项式的次数%% Output: p = n次勒让德多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %P0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %P1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为P0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为P1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Pn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = (2*i+3)/(i+2) * pMidCal - (i+1)/(i+2) * pBkCal; %勒让德多项式三项递推公式Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德多项式最高次项系数归一化function p = ChebyshevIter(n)% ChebyshevIter 用递推的方法计算n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)%% Synopsis: p = ChebyshevIter(n)%% Input: n = 勒让德-切比雪夫多项式的次数%% Output: p = n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %T0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %T1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为T0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为T1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Tn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = 2*pMidCal - pBkCal; %勒让德-切比雪夫多项式三项递推公式Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德-切比雪夫多项式最高次项系数归一化function p = LaguerreIter(n)% LaguerreIter 用递推的方法计算n次拉盖尔多项式的系数向量Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)*Ln(x)%% Synopsis: p = LaguerreIter(n)%% Input: n = 拉盖尔多项式的次数%% Output: p = n次拉盖尔多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %L0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %L1(x) = -x+1p = [-1 1];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [-1 1]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal1 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Ln+1(x)pMidCal1(1:i+2) = pMid;pMidCal2 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln+1(x)pMidCal2(2:i+3) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =( (2*i+3)*pMidCal2 - pMidCal1 - (i+1)*pBkCal )/ (i+2); %拉盖尔多项式三项递推公式Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)^2*Ln(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function p = HermiteIter(n)% HermiteIter 用递推的方法计算n次埃尔米特多项式的系数向量Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)%% Synopsis: p = HermiteIter(n)%% Input: n = 埃尔米特多项式的次数%% Output: p = n次埃尔米特多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %H0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %H1(x) = 2*xp = [2 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [2 0]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Hn+1(x)pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Hn(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =2*pMidCal - 2*(i+1)*pBkCal; %埃尔米特多项式三项递推公式Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function r = BinSolve(fun, a, b, tol)% BinSolve 用二分法解方程f(x)=0在区间[a,b]的根%% Synopsis: r = BinSolve(fun, a, b)% r = BinSolve(fun, a, b, tol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数% a,b = 寻根区间上下限% tol = (optional)误差，默认为5e-9%% Output: r = 在寻根区间内的根if nargin < 4tol = 5e-9;endXb = RootBracket(fun, a, b); %粗略寻找含根区间[m,n] = size(Xb);r = [];nr = 1; %初始化找到的根的个数为1maxit = 50; %最大二分迭代次数为50for i = 1:ma = Xb(i,1); %初始化第i个寻根区间下限b = Xb(i,2); %初始化第i个寻根区间上限err = 1; %初始化误差k = 0;while k < maxitfa = feval(fun, a); %计算下限函数值fb = feval(fun, b); %计算上限函数值m = (a+b)/2;fm = feval(fun, m);err = abs(fm);if sign(fm) == sign(fb) %若中点处与右端点函数值同号，右端点赋值为中点b = m;else %若中点处与左端点函数值同号或为0，左端点赋值为中点a = m;endif err < tol %如果在a处函数值小于tolr(nr) = a; %一般奇点不符合该条件，这样可以去除奇点nr = nr + 1; %找到根的个数递增k = maxit; %改变k值跳出循环endk = k + 1; %二分迭代次数递增endendfunction X = powerX(x,a,b)% powerX 对给定向量(x1, x2,..., xn)返回增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)%% Synopsis: X = powerX(x,a,b)%% Input: x = 需要返回增幂矩阵的向量% a,b = 寻根区间上下限%% Output: X = 增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)if round(a) ~= a | round(b) ~= berror('a,b must be integers');elseif a >= berror('a must be smaller than b!');endx = x(:)';row = b-a+1;col = length(x);X = zeros(row, col);for i = b:-1:aX(b-i+1,:) = x.^i;Endfunction [f, dfdx] = fun1_1(x)f = cos(x) - x;dfdx = -sin(x) - 1;function [f, dfdx] = fun1_2(x)f = exp(-x) - sin(x);dfdx = -exp(-x) - cos(x);function [f, dfdx] = fun2_1(x)f = x - exp(-x);dfdx = 1 + exp(-x);function [f, dfdx] = fun2_2(x)f = x.^2 - 2*x*exp(-x) + exp(-2*x);dfdx = 2*x - 2*exp(-x) + 2*x*exp(-x) - 2*exp(-2*x);function y = LegendreP6(x)p = LegendreIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = ChebyshevT6(x)p = ChebyshevIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = LaguerreL5(x)p = LaguerreIter(5);X = powerX(x,0,5);y = p*X;function y = HermiteH6(x)p = HermiteIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;思考题（1）由于Newton法具有局部收敛性，所以在实际问题中，当实际问题本身能提供接近于根的初始近似值时，就可保证迭代序列收敛，但当初值难以确定时，迭代序列就不一定收敛。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。
牛顿迭代法
有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。
x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。
如何求解高次方程的根
如何求解高次方程的根高次方程（或称高次多项式）是指方程中未知量的最高次幂大于等于2的多项式方程。
求解高次方程的根是一个十分基础也是十分重要的数学问题，在本文中，我们将会介绍几种常用的方法来求解高次方程的根。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的数值方法，它可以用来求解各种函数的零点，包括高次多项式方程。
对于一个一般的高次多项式 $f(x) = a_nx^n+ a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$，我们可以通过以下步骤来使用牛顿迭代法求解其根：（1）选择一个初始点 $x_0$，通常可以选择0作为初始点。
（2）计算 $f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$。
（3）使用牛顿迭代公式 $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 来计算下一个近似值 $x_{k+1}$。
（4）重复步骤（2）和（3），直到达到所需精度为止。
需要注意的是，牛顿迭代法并不能保证总是能够收敛到方程的根，因此在实际使用中需要对其进行适当的调整或者选择其他的求根方法。
2. 特殊多项式的求解法对于一些特殊的多项式方程，我们可以使用它们的特殊性质来化简求解过程，例如：（1）二次方程（即次数为2的多项式方程）可以直接使用公式$x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 来求解其两个根 $x_1$ 和$x_2$。
（2）三次方程（即次数为3的多项式方程）可以使用三次求根公式的方法来求解其根。
不过由于三次求根公式的形式比较复杂，因此实际使用时更常采用数值方法进行求解。
（3）四次方程（即次数为4的多项式方程）可以使用费拉里方法（也称“四次通法”）来求解其根。
费拉里方法基于一个重要的结论：任意四次方程都可以通过一次代换化为关于另一个未知量的三次方程。
3. 特殊点的分解法特殊点的分解法是一种利用多项式的对称性质和零点的关系来求解高次多项式方程的方法。
代数方程的牛顿迭代法
7-18-19-代数方程的牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于数值求解代数方程的迭代方法，通常用于找到方程的根。
它的基本思想是通过不断逼近方程的根，直到满足某个精度要求。
下面是使用牛顿迭代法求解代数方程的一般步骤：
假设要求解方程 f(x) = 0。
1. 选择一个初始猜测值 x₀，通常选择接近根的值。
2. 计算 f(x₀) 和 f'(x₀)，其中 f'(x₀) 是 f(x) 的导数。
3. 计算下一个近似根的值：x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)。
4. 重复步骤 2 和 3，直到满足停止条件，如达到指定精度或经过一定数量的迭代。
数学表示为： xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)
这个迭代过程将不断逼近方程的根，直到满足精度要求。
下面是一个示例，假设要解方程f(x) = x² - 4 = 0，其中我们知道根是 x = 2。
我们使用牛顿迭代法来逼近这个根：
1. 初始猜测值 x₀ = 3。
2. 计算 f(x₀) = 3² - 4 = 5 和 f'(x₀) = 2 * 3 = 6。
3. 计算下一个近似根：x₁ = 3 - 5 / 6 = 2.1667。
4. 重复步骤 2 和 3，直到达到所需的精度或迭代次数。
不断迭代，最终我们会得到x ≈ 2，它是方程的根。
请注意，牛顿迭代法的有效性和收敛性取决于初始猜测值的选择，以及方程 f(x) 和它的导数 f'(x) 的性质。
有时可能需要多次尝试不同的初始猜测值来确保收敛到正确的根。
牛顿法求方程的近似解
牛顿法求方程的近似解牛顿法是一种用于求解方程近似解的迭代方法。
它由英国科学家艾萨克·牛顿于17世纪提出，是数值分析中广泛应用的一种方法。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，从而得到方程的近似解。
牛顿法的具体步骤如下：1. 选择一个初始近似解x0；2. 计算方程在x0处的函数值f(x0)以及其导数f'(x0)；3. 根据切线的性质，求出通过(x0, f(x0))点的切线方程，即y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)；4. 求出切线方程与x轴的交点，即求解f'(x0)(x - x0) + f(x0) = 0，得到近似解x1；5. 将x1作为新的近似解，重复步骤2-4，直到满足预设的停止条件。
牛顿法的原理是利用切线逼近曲线，通过不断迭代逼近方程的根。
其迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)。
牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，适用于求解非线性方程的解。
但也存在一些限制，如迭代过程中可能出现发散现象，初始值的选择对结果有较大影响等。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明牛顿法的应用。
假设我们要求解方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0的近似解。
首先，我们选择一个初始近似解x0 = 2。
计算出f(x0) = 1和f'(x0) = 10。
根据牛顿法的迭代公式，我们可以得到x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 2 - 1/10 = 1.9。
接下来，我们再次计算f(x1) = -0.059和f'(x1) = 9.41。
再次代入迭代公式，得到x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.9 - (-0.059)/9.41 = 1.895。
重复以上步骤，我们可以得到更精确的近似解。
经过若干次迭代，我们得到的近似解越来越接近方程的真实解。
需要注意的是，牛顿法的收敛性和稳定性与初始近似解的选择密切相关。
高次方程三次方程与四次方程的求解
高次方程三次方程与四次方程的求解高次方程是指次数大于2的多项式方程。
在数学中，我们常常需要求解高次方程，特别是三次方程和四次方程。
本文将介绍三次方程和四次方程的求解方法。
一、三次方程的求解一般来说，三次方程的一般形式为：aa³ + aa² + aa + a = 0，其中a、a、a、a为已知常数，a为未知数。
对于一般的三次方程，没有一般公式可以直接求解其根。
但我们可以利用一些特殊情况和代数方法来求解。
1. 求有理根：若三次方程有有理根，其有理根必定为a/a的形式，其中a是方程右端的因数，a是方程左端的因数。
通过试探法，我们可以找到可能的有理根，然后通过带入方程验证得出实际根。
若有理根存在，我们可以通过因式定理将其转化为二次方程进行求解。
2. 使用综合除法：若已知一个方程根为a = a，其中a是方程的一个根，可以利用综合除法将方程化简为二次方程。
综合除法的步骤是将已知根再除一次，然后与原方程相减，得到二次方程。
3. 应用三角恒等式：对于某些特殊的三次方程，可以使用三角恒等式将其化简为三角方程。
通过观察方程的形式，选取适当的三角恒等式进行变形和化简，可以得到三次方程的根。
二、四次方程的求解四次方程的一般形式为：aa⁴ + aa³ + aa² + aa + a = 0，其中a、a、a、a、a为已知常数，a为未知数。
与三次方程不同的是，四次方程存在一个一般公式来求解其根。
牛顿二次迭代法可以用来提高解的精度。
1. 求有理根：类似于三次方程的求解方法，我们可以通过试探法找到可能的有理根，然后通过带入方程验证得出实际根。
若有理根存在，我们可以通过因式定理将其转化为二次方程进行求解。
2. 巴舍尔定理：巴舍尔定理指出，若四次方程存在有理根，它必然可以写成两个二次方程之积等于零的形式。
利用巴舍尔定理，我们可以将四次方程分解为两个二次方程，并解这两个二次方程。
3. 应用数值计算方法：对于一般的四次方程，除了有理根之外，一般需要借助数值计算方法求解。
3牛顿迭代法2-3
f ( xk ) = xk − λ f ′( x k )
牛顿下山公式 下山因子
注： 1.牛顿下山法不仅放宽了初值的选取范围， 1.牛顿下山法不仅放宽了初值的选取范围，且有时 牛顿下山法不仅放宽了初值的选取范围 对某一初值，用牛顿法不收敛， 对某一初值，用牛顿法不收敛，但用牛顿下山法却收 敛。 2.下山因子的选择是逐步探索的 下山因子的选择是逐步探索的， 2.下山因子的选择是逐步探索的，从 λ = 1开始反复 减半进行试算，一旦单调下降条件成立，则称“ 减半进行试算，一旦单调下降条件成立，则称“下山 成功” 反之， 成功”；反之， 如果在上述过程中找不到使单调下降条件 成立的下山因子则称 “下山失败”。 下山失败” 此时另取初值重 新计算。 新计算。
表2-13
k
λ
1 1 ½ ¼ 1/8 1/16 1/32 1 1 1 1
xk
f ( xk )
f (xk +1) < f (xk )
0 1
2 3 4 5
0.6 17.9 9.25 4.925 2.762 5 1.681 25 1.140 625 1.366 81 1.326 28 1.324 72 1.324 72
* 2
= 0 < 1,
邻域局部收敛。 故牛顿迭代法在 x * 邻域局部收敛。
（2）收敛速度 ） 处泰勒展开， 将 f ( x ) 在 xk 处泰勒展开，
f ( x ) = f ( x k ) + f ′( x k )( x − x k ) + f ′′(ξ ) ( x − xk )2 2!
ξ 位于xk 与 x 之间
f ′( x )
f ′′(x* ) f (m) (x* ) (x − x* )2 +L+ (x − x* )m + o(x − x* )m+1 f (x* ) + f ′(x* )(x − x* ) + 2! m! ϕ(x) = x −m * (m) *
用c语言,计算高次方程的根的方法
用c语言,计算高次方程的根的方法
解高次方程根是许多程序员在学习C语言时学习的基本算法之一。
高次方程的一般形式为带有未知数x的多项式，求解其根是很重要的。
以下是如何用C语言计算高次方程根的方法：
1.先将高次方程化为标准形式
将高次方程表达式化为标准的形式，如ax³+bx²+cx+d=0，然后按照标准方程公式求解即可。
2.使用高斯消元算法解代数方程组
使用高斯消元算法解非线性的方程组是一种有效的方法。
从x的最高幂级数开始，将其最高项系数除以方程的总系数得到一个初步的x的根，然后使用这个根进行因式分解。
重复这个过程，就可以得到方程的所有x的根。
3.使用牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种二次收敛的迭代计算方法，它可以得到高次方程的根。
其中，沉下的x轴是方程y=f(x)的连续根。
具体步骤：
(1)首先在高次多项式方程中选择一个初始根（近似值）x0。
(2)计算根x0的切线并求出切线方程。
(3)求出切线方程与x轴的交点，这个交点就是x的下一个近似根。
如
不同，继续重复(2)和(3)步，直到x的近似根精度达到要求。
总结
以上是用C语言解高次方程根的三种方法，每种方法都有其适用范围
和条件。
在实际使用中，可以根据具体问题和数据选择最适合的方法。
希望这篇文章能够帮助那些在学习C语言时遇到高次方程解题问题的人，提高他们的编程技能和理解。
牛顿迭代法的实验报告
牛顿迭代法的实验报告牛顿迭代法是一种寻找函数零点的方法，它通过通过使用函数的导数来逼近实际零点。
在本实验中，我们使用了牛顿迭代法来求解一元高次方程的根。
实验目的：通过使用牛顿迭代法来求解一元高次方程的根，掌握牛顿迭代法的原理与应用。
实验器材与条件：- 电脑- MATLAB 软件实验原理：设函数 f(x) 在零点 x0 处有一阶导数f’（x0）不等于0，则 f(x)在点 x0 的切线方程为y = f’(x0) (x - x0) + f(x0)。
切线与 x 轴的交点为x1，有：f’(x0)(x1 - x0) + f(x0) = 0由于我们的目标是解方程 f(x) = 0，所以我们需要将上式改写成其中 x1 为由切线得到的下一个逼近值。
通过不断逼近 x1 直到误差满足一定要求，我们就可以以一个很高的精确度求解出方程的根。
实验步骤：本实验的目标是求解方程 x^3 - 2x -2 = 0 的根。
第一步，我们先定义该方程及其导数函数：syms x;f = x^3 - 2*x - 2;df = diff(f);其中 diff() 函数是 MATLAB 默认的求导函数。
第二步，我们设定初始值 x0，设定逼近误差 limit，然后进行牛顿迭代，直到误差小于 limit：x0 = 1;limit = 1e-6;diff_value = inf;while abs(diff_value) > limitx1 = x0 - subs(f, x0) / subs(df, x0);diff_value = subs(f, x1);x0 = x1;endx0通过运行上面的代码，我们可以得到方程的一个根，为 1.7693。
实验结果与分析：本实验顺利完成，我们使用牛顿迭代法成功求出了 x^3 - 2x - 2 = 0 的根，为 1.7693。
此结果与理论值非常接近，表明我们使用牛顿迭代法正确地找到了方程的根。
牛顿迭代法解一元多次方程的方法
（实用版4篇）编写:_______________审核:_______________审批:_______________单位:_______________时间:_______________序言本店铺为大家精心编写了4篇《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》，供大家借鉴与参考。
下载后，可根据实际需要进行调整和使用，希望对大家有所帮助。
（4篇）《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇1牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的数值方法。
它基于泰勒公式的近似，通过不断迭代，逐步逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 初始化：给定一元多次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d=0，选取一个初始值 x0，并设置一个误差限额 e。
2. 计算函数值：计算函数 f(x) = ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+d 在x0 处的值，即 f(x0) = a*x0^n+b*x0^(n-1)+c*x0^(n-2)+...+z*x0+d。
3. 计算导数：计算函数 f(x) 在 x0 处的导数，即 f"(x0) =n*a*x0^(n-1)+(n-1)*b*x0^(n-2)+(n-2)*c*x0^(n-3)+...+z。
4. 更新解：利用牛顿迭代公式 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f"(x_n)，计算出下一次迭代的解 x_{n+1}。
5. 判断收敛：比较 x_{n+1} 与 x_n 之间的误差，如果小于等于 e，则认为已经收敛，输出结果；否则，回到第 4 步，继续迭代，直到误差小于等于 e。
需要注意的是，牛顿迭代法仅适用于一元多次方程，且要求方程的系数是常数。
《牛顿迭代法解一元多次方程的方法》篇2牛顿迭代法是一种求解一元多次方程近似根的方法，它是从泰勒公式中取前两项构成线性近似方程，然后通过迭代逐步逼近精确解。
下面是使用牛顿迭代法解一元多次方程的一般步骤：1. 根据方程的系数和常数项，写出方程的泰勒公式。
论一元高次方程的近似求解
论一元高次方程的近似求解
一元高次方程的近似求解是一项经常使用的数学方法，被广泛应用于建模和分析复杂系统的理论分析中。
一元高次方程的近似求解包括以下几种方法：
（一）牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种改进的求根法，它利用根的切线和椭圆的经验，从一个秩为2以上的多项式求解一个根，可以得到一元高次方程的大致解。
牛顿迭代法能收敛于快，却不能保证收到根的准确性，仅仅能求出方程的近似解。
（二）近似拟合法
近似拟合法也称为“局部拟合”，主要是使用多项式函数拟合一元高次方程的近似根，通过比较它们之间的差异来确定根的准确性。
（三）零点定理
零点定理是用来解决求解一元高次方程的有效方法，它把一元n次多项式的根一一列出，并确定其零点。
采用零点定理来求解一元高次方程，能够获得方程的精确解，但得首先决定多项式的系数和底数，这可能会十分复杂，所以它不容易求解。
（四）线性近似法
线性近似法也称为包络线性近似法，是一种结合现有数据和未知数参数进行线性近似求解的方法，它可以求解一元高次方程的近似解。
它
的优势在于函数的计算量小且近似精度高，能够有效地求解一元高次方程的近似解。
（五）二分法
二分法可以用来求解一元高次方程的根，其原理是以问题的定义域范围为最大值和最小值，把它分成两个等份，选取其中一个，并再把它分成两部分，如此不断地进行递推和分析，最终找出方程的根。
该方法取决于取定范围最好的近似根，以寻找近似解。
以上就是一元高次方程的近似求解的几种方法，它们都有各自的优缺点，可以根据具体实际情况，逐一比较它们的优势，从而选择合适的方法来求解一元高次方程的近似解。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
非线性方程是一种不满足线性关系的方程，它们的解不易通过代数方法直接求解。
需要通过迭代法来逼近非线性方程的解。
迭代法是一种通过不断逼近的方法，寻找非线性方程的近似解的方法。
在本文中，我们将介绍三种新的迭代法，这些方法可以更有效地求解非线性方程。
1. 牛顿迭代法
牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，它通过不断迭代来逼近方程的解。
该方法的基本思想是从方程的一个初始值开始，通过一定的迭代公式不断逼近方程的解。
具体的迭代公式为：
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
x_n表示第n次迭代的近似解，f(x)表示原非线性方程，f'(x)表示f(x)的导数。
牛顿迭代法的收敛速度非常快，但是需要计算方程的导数，对于复杂的非线性方程来说，计算导数较为困难。
2. 割线法
割线法的收敛速度较快，但是需要两个初始值，并且每次迭代都需要计算函数值，因此每次迭代的计算量较大。
3. 弦截法
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})^2}{f(x_n) - f(x_{n-1})}\]
弦截法通过引入截距值来加快收敛速度，虽然每次迭代的计算量较大，但是收敛速度也较快。
以上介绍了三种新的迭代法，它们可以更有效地求解非线性方程。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选取合适的迭代方法来求解非线性方程，从而得到更为准确和高效的解。
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设r是的根，选取作为r的初始近似值，
过点做曲线的切线L，L的方程为
，求出L与x轴交点的横坐标
，称x1为r的一次近似值。
过点做曲线的切线，
并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中，
称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把在点的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即
，
以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为
，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
利用普通计算器求解高次方程的解
摘要：介绍了一种利用普通计算器求解高次方程解的方法，具有很强实用性。
关键词：普通计算器，一元三次方程，牛顿迭代法
0引言
一元二次方程我们在初中就知道怎么解了，一元三次方程也有解析解，但太复杂，没多少人能记住，除了少部分通过观察可以进行因式分解求解，大部分都没那么简单能一眼猜出来。
遇到这些高次方程，一般用matlab求下，很简单，但其最大的缺点是要用电脑。
其实只要我们手上有下图所示“计算器”就可以解一般的三次方程，甚至是更复杂的高次方程。
这里所谓的“普通计算器”是指一般学生使用的卡西欧计算器等，如下图，普及率应该很高。
以求一元三次方程2x^3-7x^2+x-15=0为例，
1原理
原理为迭代法，“数值分析”的知识就强大在这里。
对于一般的方程：f(x)=0
求x0使得f(x0)=0。
转化f(x)的形式，f(x)=x-G(x)，x=G(x)
使用牛顿迭代法，G(x)的形式为：G(x)=x-f(x)/f'(x)，（牛顿！），带入可见f(x)=0自然成立。
我们给G(x)中的x一个初值，计算得到的值可以再作为x带入G(x)计算，直到x稳定在某一个值，此时G(x0)=x0，这个稳定的值x0就是方程的一个根，（不动点）。
2、原理完了，就是实际的操作。
图示计算器内置有10个变量，A-F，X，Y，M，以及Ans，可以分别赋值并带入表达式计算。
其中，Ans是一个很特别的变量，它是每次计算的结果，"Answer"。
我们要用的就是它！f(x)的导数，f'(x)=6x^2-14x+1
在计算器中输入，
Ans-(2Ans^3-7Ans^2+Ans-15)/(6Ans^2-14Ans+1)
2Ans表示2*Ans，乘号可省略，“/”是除号。
Ans键就在计算器右下角，等号旁边的那个。
好戏开始了。
输入完毕，按等号键“=”，出现一个值，什么都别动，再按一次“=”，出现的值变了吧。
继续按个7、8次。
前几个值会相差很大，到最后，结果会逐渐稳定，直到稳定在
3.871283138
接下来，你再按个几万次，它都不会变了。
哈哈~~，这个就是方程的一个解。