第五章-整数规划PPT课件

旅游 售货 员问 题案
例
有一旅行团从 v 0出发要遍游城 市 v1,v2,..v.,n，已知从 v i 到 v j 的旅费为c ij ，问应如何安排行
程使总费用最小？
旅游 售货 员问 题模
型
变量—是否从i第个城市到第j个城市；
约束—每个城市只能到达一次、离开 一次；
目标—总费用最小；
nn
整 数 规
j=1
n
ai j x j (或 = ， 或 )bi (i 1, 2, .., m )
s.t.
j=1
xj
0(
j
1,
2,..,
n)
划
x1
,
x
2
,
.
..
,
x
中
n
部
分
取
整
数
模
型
例2 现有资金总额为B。可供选择的投资
项目有n个，项目j所需投资额和预期收益 分别为aj和cj(j=1,2,…，n)。此外，由于 种种原因，有三个附加条件：第一，若选 择项目1，就必须同时选择项目2。反之， 则不一定；第二，项目3和项目4中至少选 择一个；第三，项目5、项目6和项目7中恰 好选择两个。应当怎样选择投资项目，才
投资 组合 问题 模型
变量—每个项目是否投资
约束—总金额不超过限制
目标—总收益最大
n
max c j x j j1
n
s .t .
j1
b
jx
j
B
x
j
1,0;
j
1,2 ...,
n
旅游 售货 员问 题背
景
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短；
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短；
i8
j1
背包 问题 模型
17
3
min pi (1 xij)
1 7 i8
j1
cixij rj; j 1,2,3
i1
3
s.t.
xij 1;i 1,2...,7
j31
xij 1;i 8,2...1, 7
j1
xij 1 ,0 ;i 1 ,2 ..1.,,j7 1 ,2 ,3
整数 规划 问题
特征—变量整数性要求； 来源
min
c ij x ij
i0 j0
n
x ij 1; i 1,2 ,..., n
j0
s .t . n x ij 1; j 1, 2 ,..., n
i0
u
i
u
j
nx ij
n 1;1 i
j n
x ij 1,0 , i 1, 2 ,..., n , j 1, 2 ,..., n
个旅行包里。
物 品
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
体 积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价
格
15
wenku.baidu.com
45 100 70
50
75 200 90
20
30
背包 问题 模型
变量—对每个物品要确定是否带同时
要确定放在哪个包裹里，如果增加一个 虚拟的包裹把不带的物品放在里面，则 问题就转化为确定每个物品放在哪个包 裹里。如果直接设变量为每个物品放在 包裹的编号，则每个包裹所含物品的总 容量就很难写成变量的函数。为此我们 设变量为第i个物品是否放在第j个包裹
整数规划问题：
max z CX
整数 规划 问题 解的 特点
AX b
s
.t
X 0
x
为整数
j
maxz CX s.tAXX0b
（IP）问题的松弛问题
（1）IP的可行解域 松弛问题的可行解域
若松弛问题无可行解， 则IP无可行解
中 x ij 1 ,0 ;i 1 ,2 ..1 .,,j7 1 ,2 ,3
背包 问题 模型
约束
17
包裹容量限制： cixij rj; j 1,2,3 i1
必带物品限制： 3 xij 1;i 1,2...7,
j1
选带物品限制： 3
xij 1;i 8,2...1, 7
目标函数
j1
17
3
未带物品购买费用最小 min pi (1 xij)
背包 问题 背景
邮递包裹
把形状可变的包裹用尽量少的 车辆运走
旅行背包
容量一定的背包里装尽可能的 多的物品
背包 问题 实例
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小 分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列 出需带物品清单，其中一些物品是必带物品共有7件， 其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、 190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果 不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目 的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分 别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三
能使总预期收益最大?
属于 0-1规划问题
令
1对 项 目 j投 资 xj 0对 项 目 j不 投 资 (j1,2,...,n)
问题模型为：
n
m a x z c j x j j1
n
a jx j 1
s
.t .
j1
x2
x1
x
3
x4
1
x j 0 或 （1 1 , 2 , . . . , n ）
第五章 整 数 规 划
(Integer Programming,IP)
-
1
本章 内容
整数规划的数学模型及解的特点 解纯整数规划的割平面法 分支定界法 0-1型整数规划 指派问题
应用案例
整
投资组合问题
数
旅游售货员问题
规
背包问题
划
问
题
投资 组合 问题 背景
证券投资：把一定的资金投入 到合适的有价证券上以规避风 险并获得最大的利润
问题本身的要求； 引入的逻辑变量的需要；
性质—可行域是离散集合；
线
一般整数规划模型
性
0-1整数规划模型
整
混合整数规划模型
数
规
划
模
型
一
整数线性规划线性数学问题模型的一般形式为
般
n
整
m ax(或 m in)= ci x j
j=1
数 规 划 模
n
ai j x j (或 = ， 或 )bi (i 1, 2, .., m )
s.t.
j=1
xj
0(
j
1,
2,..,
n)
x1
,
x
2
,
..
.,
x
中
n
全
部
取
整
数
型
0-1 整 数 规 划 模 型
n
max(或min)= ci xj
j=1
s.t.
n j=1
ai
jxj
(或=，或 )bi (i
1, 2,.., m)
xj =0，1( j 1, 2,.., n)
混
合
n
m ax(或 m in)= ci x j
项目投资：财团或银行把资金 投入到若干项目中以获得中长 期的收益最大。
投资 组合 问题 案例
某财团有B万元的资金，经初期
考察选中 n个投资项目，每个项目
只能投资一个。其中第 j个项目需 投资金额为 b j万元，预计5年后获
利 c j万元 j1,2...n, ，问应如何
选择项目使得5年后总收益最大？