弧长和扇形面积(2)

教学内容

2 .扇形的概念;

4 .应用以上内容解决一些具体题目.

教学目标

了解扇形的概念，理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.

n R2

的计算公

式,

360

重难点、关键

1 .重点：

n R n R2

n °的圆心角所对的弧长L= ，扇形面积S扇= 及其它们的应用.

2 .难点：两个公式的应用. 弧长和扇形面积

的圆心角所对的弧长L=n R 180

3.圆心角为n的扇形面积是S扇形=

360

通过复习圆的周长、圆的面积公式, 探索n的圆心角所对的弧长L=n R2 3

180

和扇形面积

并应用这些公式解决一些题目.

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题. 1 •圆的周长公式是什么？ 2 •圆的面积公式是什么？ 3 •什么叫弧长？

老师点评：（1 ）圆的周长C=2 R

（2 ）圆的面积S 图=R 2 （3 ）弧长就是圆的一部分.

二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为

R ,则:

1. ______________________ 圆的周长可以看作 的圆心角所对的弧.

2. 1°的圆心角所对的弧长是 _________ _

3. 2。的圆心角所对的弧长是 ________ _ 4 . 4。的圆心角所对的弧长是 _______ _

5 . n °的圆心角所对的弧长是 _______ .

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到:

.c

的圆心角所对的弧长为

n R

360

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料, ?试计算如图所示的

管道的展直长度，即 A B 的长（结果精确到 0.1mm ）

分析：要求A B的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可.

解：R=40mm ，n=110

石―n R 110 40 /• AB 的长

= = ~76.8 (mm )

180 180

因此，管道的展直长度约为76.8mm .

问题：(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m?的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

(1 )这头牛吃草的最大活动区域有多大？

(2)如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：(1 )这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A (柱子)为圆心，

5m为半径的圆的面积.

(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两

个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图：

.c

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. (小黑板)，请同学们结合圆心面积S= R2的公式，独立完成下题：

1.该图的面积可以看作是 _________ 的圆心角所对的扇形的面积.

2 .设圆的半径为R, 1。的圆心角所对的扇形面积S扇形= __________ .

径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方

3 •设圆的半径为 R , 2。的圆心角所对的扇形面积S 扇形= ________ .

4 .设圆的半径为 R ,

5 °的圆心角所对的扇形面积 S 扇形= _________ .

5 •设圆半径为 R , n °的圆心角所对的扇形面积 S 扇形= _________ 老师检察学生练习情况并点评

因此：在半径为 R 的圆中，圆心角n °的扇形

例2 .如图，已知扇形AOB 的半径为10 , /AOB=60 °求A B 的长(鱼吉果精确到0 . 1) 和扇形AOB 的面积结果精确到 0 . 1)

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足.

h 2—/

60 10 解：A B 的长=

x 10=

~10.5

180

3

° 60 2 100

S 扇形=

X 10 2=

~52.3

360

6

因此，A B 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2. 三、 巩固练习 课本P122练习. 四、 应用拓展

例3 . (1)操作与证明：如图所示，

O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半

1.360

2 . S 扇形=

1 360

R

2 3 . S 扇形=

2 360

R 2 4 . S 扇形=

5 R 2 360

5. S 扇形=

360

S 扇形=

n R 2 360

形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a .

(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正n

边形的中心0点处，若将纸板绕 0点旋转，当扇形纸板的圆心角为 _____________ 寸正n 边形的 边被纸板覆盖部分的总长度为定值

a ，这时正n?边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定

值？若为定值，写出它与正 n 边形面积S 之间的关系(不需证明)；若不是定值，请说明理 由.

解：(1 )如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 连结0A 、0D . •••四边形ABCD 是正方形

••QA=OD ，/AOD=90 ° ,JMA0= ZND0 , 又/MON=90 ° ,JA 0M= /DON z.^AMO ^/DNO

(2)尝试与思考：如图

a 、

b 所示，？将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长

为a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处， 并将纸板绕0旋转，，当扇形纸板的圆 心角为 ________ ■寸，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值

______ 寸正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值

a ;当扇形纸板的圆心角为 a

.

(b)

AB 、AD?分别交于点M 、N ,

D