线性代数超强总结
线性代数知识点总结完整
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式;推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式 在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作:A n.. 行列矩阵:只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵:两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵:AB 同型;且对应元素相等..记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵:不在主对角线上的元素都是零..单位阵:主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作:E注意 矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=;()()2A A A λμλμ+=+;()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =; ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定:A 0=E 只有方阵才有幂运算注意 矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =;()()2T T T A B A B +=+;()()3T T A A λλ=;()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =;()2n A A λλ=;(3)AB A B B A BA ===对称阵 设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵:AB =BA =E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在;()求;求。
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√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n的标准基,n中的自然基,单位坐标向量;②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件:① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价;⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=5文档收集于互联网,如有不妥请联系删除.线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+123,,ααα线性无关,单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλ.√ 1122,.m m A k kA a b aA bEAA A A Aλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③ kk A B (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:AΛ (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦.√ 若A B , CD ,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作:A B (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x xx d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量;② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网,如有不妥请联系删除. ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)n n i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零,12(,,,)0n f x x x >. 正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ;② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
大学数学线性代数知识点归纳总结
大学数学线性代数知识点归纳总结线性代数是数学的一个重要分支,广泛应用于各个领域。
作为大学数学的一门核心课程,线性代数为我们提供了一种处理线性方程组、矩阵运算和向量空间等数学工具和理论。
在这篇文章中,我将对大学数学线性代数的知识点进行归纳总结。
1. 向量与向量空间- 向量的定义和性质- 向量的线性组合与线性相关性- 向量空间的定义和基本性质- 子空间与超平面- 线性无关与基2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 矩阵形式与增广矩阵- 初等行变换与线性方程组的等价性- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性方程组的解的结构3. 矩阵与矩阵运算- 矩阵的定义和性质- 矩阵的加法与数乘- 矩阵的转置与对称矩阵- 矩阵乘法与矩阵的秩- 逆矩阵与可逆矩阵4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征多项式与特征方程- 对角化与可对角化条件- 特征值与矩阵的相似性5. 线性变换与线性映射- 线性变换的基本性质- 线性变换矩阵与基变换- 线性变换的零空间与像空间 - 线性变换的维数定理6. 内积空间与正交性- 内积空间的定义和性质- 正交向量与正交补空间- 正交投影与最小二乘法- 施密特正交化过程7. 特殊矩阵与应用- 对角矩阵与对角化- 正交矩阵与正交对角化- 幂零矩阵与Jordan标准形- 应用:图像处理、数据压缩、网络分析等通过对以上知识点的整理和总结,我们对大学数学线性代数的学习有了更加清晰的认识。
线性代数的理论和方法在计算机科学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用,了解和掌握线性代数知识对于我们的学术研究和职业发展都具有重要意义。
希望本文能帮助读者对线性代数有更深入的了解,并在实际应用中发挥作用。
根据数学线性代数知识点总结
根据数学线性代数知识点总结
线性代数是数学中的一个重要分支,涉及向量空间、线性变换、矩阵、行列式等内容。
下面是对数学线性代数知识点的总结:
1. 向量空间
向量空间是由一组向量构成的集合,满足向量加法和数乘运算
的闭合性、结合性、交换律和单位元等性质。
常见的向量空间包括
二维平面和三维空间。
2. 线性变换
线性变换是指保持向量加法和数乘运算的运算规则不变的变换。
线性变换可以通过矩阵乘法来表示,其中矩阵的列向量是线性变换
后的结果向量。
3. 矩阵
矩阵是一个有限个数的数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法运算。
矩阵乘法是将一个矩阵的行
与另一个矩阵的对应列相乘再相加得到新的矩阵。
4. 行列式
行列式是矩阵的一种特殊表示形式,用于判断矩阵是否可逆、计算线性变换的缩放因子等。
行列式的计算可以通过列展开法或按行展开法进行。
以上是数学线性代数的一些基本知识点总结,通过学习和理解这些知识,可以更好地应用线性代数解决实际问题。
线性代数知识点超强总结
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
向
n 线性表示
证
|A| = 0 , A不可逆 .
法
AB = E , A与B互逆.
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵,则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵,则AT =A 。 6、若A为反对称矩阵,则AT=-A 。
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
ann
= a11a22 ann .
an1 an2
0 0 D=
0 a1n a11 a12 a2n1 a2n a21 a22
an1
ann1 ann an1 0
n ( n 1)
= (1) 2 a1na2n1 an1.
0 0
ann
3、用公式
可逆矩阵与初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,他在 解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十 分重要的作用。
熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和 等价矩阵的概念,理解矩阵秩的概念,熟练掌握用初等变 换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非 零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件。深刻理解线性方程组通解的概念,掌握用初等变换求 解线性方程组的方法。
一、主要知识网络图
矩
阵
矩阵的初等变换
的
初
等 变初等方阵换与线矩 阵的 秩性
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支,研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结:1.向量和向量空间:向量是有方向和大小的量,可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合,具有加法和标量乘法运算,同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵:线性方程组是一组线性方程的集合,研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组,可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算:包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算,可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值:行列式是一个标量,表示矩阵的一些性质,如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值,表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性:向量的内积是一种二元运算,可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量,可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解:向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影,可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射:线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数,具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量:特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念,用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵:正交矩阵是一个方阵,其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵,其转置等于自身。
10.奇异值分解:奇异值分解(SVD)是一种矩阵的分解方法,用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法:最小二乘法是一种数学优化方法,用来找到一条曲线或超平面,使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数超强地地总结(不看你会后悔地)
精彩文档线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;精彩文档⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦精彩文档④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN ⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,精彩文档与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则)T T T TA XB X X=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件:精彩文档① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.精彩文档⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.精彩文档⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M精彩文档1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解精彩文档实用标准文案线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ=333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵;⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L1niA λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,nλλλL , A *的全部特征值为12,,,n AAAL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量;② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
(完整)线性代数知识点总结汇总,推荐文档
线性代数知识点总结1 行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=k n|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|A T|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2 矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数超强总结
考试重点第一章: 行列式的定义、行列式的计算;第二章: 1、求矩阵的逆阵(伴随矩阵法、初等变换法); 2.求矩阵的秩(用初等变换法);3.求矩阵方程: Ax=B, xA=B, AxB=C ; 第三章: 证明向量组的线性相关性; 第四章: 方程组Ax=0, Ax=b 求解; 第五章: 1、会求特征值与特征向量; 2.相似矩阵的性质;3.实对称矩阵的对角化; 第六章: 1.用正交变换把二次型化为标准形;2.二次型的秩, 二次型正定的定义; 3、矩阵正定的判断方法:(1)各阶顺序主子式都大于零;(2)每个特征值都大于零()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A B B B B A A BB οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线: √ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n aa n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 设 , 对 阶矩阵 规定: 为 的一个多项式.√ 设 的列向量为 , 的列向量为 , 的列向量为 ,√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦√ 判断 是 的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.③ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ④ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑤ ()0r A A ο=⇔=.⑥ 若 线性无关, 而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一. ⑦ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑧ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列 、行向量间的线性关系.⑨ 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即: 秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.向量组 可由向量组 线性表示 ≤ .向量组 可由向量组 线性表示,且 , 则 线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑩ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价;⑪ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑫ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑬ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若 是 矩阵,则 ,若 , 的行向量线性无关;若 , 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦51212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解6线性方程组解的性质:√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:② 对称性: ③ 双线性:1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化: T AA E =.√ 是正交矩阵的充要条件: 的 个行(列)向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质: ① ; ② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为: , .√ 若 的全部特征值 , 是多项式,则: ① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.. 相似于对角阵的充要条件: 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵, 为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值. √ 可对角化的充要条件: 为 的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵)√ 相似矩阵的性质: ① 若 均可逆 ② T T A B③ kk A B (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ; ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性.① √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):②正惯性指数为n;③A的特征值全大于0;④A的所有顺序主子式全大于0;⑤大于0).√成为正定矩阵的必要条件: ;.11。
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强的总结(不看你会后悔的).doc线性代数超强总结(不看你会后悔的)引言线性代数是数学中的一个重要分支,广泛应用于科学、工程、经济学和社会科学等领域。
本文档旨在提供一个全面而深入的线性代数总结,帮助读者掌握这一重要学科的核心概念和应用。
矩阵理论矩阵运算加法:两个同型矩阵对应元素相加。
乘法:矩阵乘积涉及到行与列的点积。
转置:矩阵的转置是将行列互换。
逆矩阵:方阵的逆矩阵满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。
特殊矩阵单位矩阵:对角线上全是1,其他位置为0的方阵。
对角矩阵:除了对角线上的元素,其他位置元素都是0。
上三角矩阵和下三角矩阵:上三角矩阵的对角线以下元素为0,下三角矩阵的对角线以上元素为0。
向量空间向量空间的定义向量空间是满足加法和标量乘法封闭性的集合。
基和维数基:向量空间的一组基是线性无关的向量集合,任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
维数:向量空间的维数是其基中向量的数量。
子空间子空间是向量空间的一个子集,它自身也是一个向量空间。
线性变换线性变换的定义线性变换是满足加法和标量乘法保持性的函数。
线性变换的矩阵表示任何线性变换都可以用一个矩阵来表示。
特征值和特征向量特征值:使得 ( Av = \lambda v ) 成立的标量 ( \lambda )。
特征向量:对应的非零向量 ( v )。
线性方程组线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式 ( Ax = b )。
高斯消元法高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。
克拉默法则当系数矩阵是可逆的,克拉默法则提供了一种解线性方程组的公式。
特征值和特征向量特征多项式特征多项式是 ( \det(A - \lambda I) ),其根即为矩阵 ( A ) 的特征值。
对角化如果矩阵 ( A ) 有足够多的线性无关的特征向量,则 ( A ) 可以对角化。
内积空间内积的定义内积是一个二元运算,满足正定性、线性和对称性。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)—行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:(三)按行(列)展开 9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号)klXn7、n 阶(n 》2)范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义:B=A-1 AB=E或 BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为注:A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质:( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法:( 1 ) A 为抽象矩阵:由定义或性质求解(2) A为数字矩阵:(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c(3)一行(列)乘k 加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是数学的重要分支,广泛应用于各个领域,如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将全面总结线性代数的知识点,帮助读者系统地了解和掌握该学科。
1. 线性代数的基本概念1.1 向量及其表示:向量是线性代数的基本概念,可以用有序数对、矩阵或列向量表示,具有方向和大小。
1.2 矩阵及其运算:矩阵是由数字排列成的矩形数组,可以进行加法、乘法、转置等运算。
1.3 线性方程组:线性方程组是由一组线性方程组成的方程组,可以用矩阵和向量的表示形式来求解。
2. 向量空间2.1 向量空间的定义:向量空间是由一组满足一定条件的向量构成的集合,满足加法和数乘运算的封闭性。
2.2 子空间:子空间是向量空间的子集,也是向量空间,满足加法和数乘运算的封闭性。
2.3 线性无关与生成子空间:线性无关是指向量组中的向量之间不存在线性关系,生成子空间是指向量组中所有向量的线性组合的集合。
3. 线性映射3.1 线性映射的定义:线性映射是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射,保持加法和数乘运算的性质。
3.2 线性映射的矩阵表示:线性映射可以用矩阵表示,将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量。
3.3 核与像:核是线性映射中被映射为零向量的向量集合,像是线性映射中所有被映射到的向量组成的集合。
4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义:特征值是一个矩阵对应的线性变换中不改变方向的标量因子,特征向量是在特征值下发生伸缩的向量。
4.2 特征值与特征向量的计算:特征值与特征向量可以通过求解特征方程来计算。
4.3 对角化与相似矩阵:若一个矩阵相似于一个对角矩阵,则称其可对角化,对角矩阵是一个形式为对角线非零、其余元素均为零的矩阵。
5. 线性代数的应用5.1 物理学中的应用:线性代数在量子力学、力学等物理学领域有广泛应用,如描述粒子的状态和变换等。
5.2 计算机科学中的应用:线性代数在计算机图形学、机器学习等领域起到重要作用,如图像处理、数据分析等。
大学线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结1. 向量与空间- 向量的定义与表示- 向量的加法与数乘- 向量的内积与外积- 向量的模、方向与单位向量- 向量空间的定义与性质- 基、维数与坐标表示- 子空间及其性质- 线性相关与线性无关的概念2. 矩阵- 矩阵的定义与表示- 矩阵的加法、数乘与转置- 矩阵的乘法规则- 矩阵的逆- 行列式的概念与性质- 行列式的计算方法- 秩的概念与求解- 矩阵的分块3. 线性方程组- 线性方程组的表示- 高斯消元法- 行列式法- 逆矩阵解法- 克拉默法则- 线性方程组的解的结构- 齐次与非齐次线性方程组 - 线性方程组的解空间4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义 - 特征值与特征向量的计算 - 矩阵的对角化- 矩阵的Jordan标准形- 特征值与特征向量的应用5. 内积空间- 内积空间的定义- 正交与正交性- 正交基与正交矩阵- 格拉姆-施密特正交化过程 - 最小二乘法- 正交投影与正交补6. 线性变换- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示- 线性变换的核与像- 线性变换的不变子空间- 线性变换的复合与逆变换 - 线性变换的分类7. 广义逆矩阵- 广义逆矩阵的概念- 广义逆矩阵的计算方法- 广义逆矩阵的性质与应用8. 谱理论- 谱定理- 谱半径与谱半径估计- 谱聚类9. 线性代数在其他领域的应用- 计算机图形学- 数据分析与机器学习- 量子力学- 结构工程- 电路分析结语线性代数是数学的一个重要分支,它在科学、工程、经济等多个领域都有着广泛的应用。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法是解决实际问题的关键。
本文总结了线性代数的核心知识点,旨在为学习和应用线性代数提供参考和指导。
线性代数知识点总结归纳
线性代数知识点总结归纳线性代数是数学中的一个重要分支,研究向量空间和线性方程组等内容。
它在许多领域都有广泛的应用,如物理学、工程学、经济学等。
下面将对线性代数的常见知识点进行总结归纳。
1.向量和向量空间:-向量是由有序的数字组成的数组,可以用于表示空间中的点、力、速度等。
-向量的运算包括加法和数乘,其中加法满足结合律和交换律,数乘满足分配律。
-向量空间是由一组向量组成的集合,满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律等性质。
2.线性方程组:- 线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合,形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
-线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示,即Ax=b,其中A是系数矩阵,x是未知向量,b是常数向量。
-解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
3.矩阵和矩阵运算:-矩阵是由数构成的矩形阵列,可以用于表示线性变换、方程组等。
-矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。
矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律。
-矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵是常见的矩阵运算。
4.线性变换:-线性变换是指保持向量空间的加法和数乘运算的一种映射关系。
-线性变换可以用矩阵表示,通过矩阵与向量的乘法来实现。
-线性变换有许多重要的性质,如保持向量加法、数乘运算、保持原点不变等。
5.特征值和特征向量:-特征值是线性变换中的一个重要概念,表示线性变换沿一些方向拉伸或压缩的比例因子。
-特征向量是与特征值相关联的向量,在经过线性变换后,仅被拉伸或压缩,方向不变。
-特征值和特征向量可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0来求得。
6.内积空间:-内积空间是一个向量空间,其中定义了一个内积运算,满足对称性、线性性、正定性等性质。
-内积可以用于定义向量的长度(模)和夹角,进而可以定义正交、正交补等概念。
- 常见的内积空间包括Euclid空间和多项式空间等。
7.正交和正交投影:-正交是指两个向量的内积为零,即它们垂直于彼此。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结1线性代数在考研数学中占有重要地位,必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出,以计算题为主,证明题为辅,因此,太奇考研专家们提醒广大的20__年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,学好线代也是必要的。
下面,就将线代中重点内容和典型题型做了总结,希望对20__考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少,例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法,计算行列式的主要方法是降阶法,用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开.另外,一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有:数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20__年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多,重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。
考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是数学的一个分支,主要研究向量、向量空间以及线性映射等概念和性质。
它在数学领域具有广泛的应用,被广泛应用于物理学、计算机科学、经济学、工程学等领域。
以下是对《线性代数》的知识点进行归纳整理:1.矩阵和向量:矩阵是一个二维的数字阵列,可以表示为一个矩阵的形式。
向量是矩阵的特殊情况,只有一个列的矩阵。
矩阵和向量可以进行加法和数乘运算。
2.矩阵乘法:矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作,它利用矩阵的行和列的组合,将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
3.行列式:行列式是一个标量值,用于判断一些矩阵是否可逆。
行列式的值为0表示矩阵不可逆,非零表示矩阵可逆。
4.向量空间:向量空间是一组向量的集合,满足一定的条件。
向量空间具有加法和数乘运算,并满足一定的性质,如封闭性、结合律、分配律等。
5.线性相关与线性无关:向量集合中的向量如果不能由其他向量线性组合得到,则称这个向量集合是线性无关的;反之,如果存在一个向量可以由其他向量线性组合得到,则称这个向量集合是线性相关的。
6.基与维数:如果向量集合是线性无关的,并且能够生成整个向量空间中的所有向量,则称这个向量集合是向量空间的一组基。
向量空间的维数是指基向量的个数。
7.矩阵的秩:矩阵的秩是指矩阵列向量或行向量中的线性无关向量的个数。
秩表示矩阵中线性无关的方向个数。
8.特征值与特征向量:对于一个n维矩阵A,如果存在一个标量λ和非零向量X,使得AX=λX成立,则λ称为矩阵A的特征值,对应的非零向量X称为矩阵A的特征向量。
9.对角化:如果矩阵A可以通过相似变换得到一个对角矩阵B,则称矩阵A可以被对角化。
对角化后的矩阵可以简化各种计算。
10.线性变换:线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,它满足线性性质。
线性变换可以用矩阵来表示,通过矩阵乘法来表示向量的线性变换。
11.正交性:向量集合中的向量如果互相垂直,则称这个向量集合是正交的。
如果正交向量集合中的每个向量都是单位向量,则称这个向量集合是标准正交的。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支,主要研究向量空间及其上的线性映射。
它在许多科学领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、经济学等。
本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结,以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示:向量可以用有序数组表示,也可以用线段箭头表示。
- 向量的加法与减法:向量之间可以进行加法和减法运算,满足交换律和结合律。
- 向量的数乘:向量与实数之间可以进行数乘运算。
- 内积与外积:向量之间有内积和外积两种运算,分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。
2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示:矩阵可以用二维数组表示,其中每个元素称为矩阵的一个元。
- 矩阵的加法与减法:矩阵之间可以进行加法和减法运算,要求矩阵的维度相同。
- 矩阵的数乘:矩阵与实数之间可以进行数乘运算。
- 矩阵乘法:矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。
二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义:线性方程组由一组线性方程组成,其中每个方程都是线性的。
- 解的存在性与唯一性:线性方程组的解可能没有,可能有唯一解,也可能有无穷多解。
- 线性方程组的求解方法:高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。
2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆:若矩阵A存在逆矩阵A^-1,满足A·A^-1 = A^-1·A = I,其中I为单位矩阵。
- 行列式:行列式是一个与矩阵相关的标量值,用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。
三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义:线性映射是一个满足线性性质的函数,将一个向量空间映射到另一个向量空间。
- 线性映射的表示与运算:线性映射可以用矩阵表示,可以进行加法、减法和数乘。
- 线性映射的核与像:线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合,像是所有映射到的向量集合。
2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义:对于一个线性映射,若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法,该向量称为特征向量,该标量称为特征值。
(完整版)线性代数知识点全归纳
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3.代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =;5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解;⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A =;Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯)33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ;2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则A 可逆,且1x A b -=;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k-=,例如:1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =; ③、若AB ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式; 二项展开式:01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ;③、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程;10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩; ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(全部按列分块,其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭); ④、1122n n a x a x a x β+++=(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα;m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4.()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义:①、α线性相关⇔0α=; ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα线性相关,则121,,,,s s αααα+必线性相关;若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :6若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤; 向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤;向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解; ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P =;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价:~cA B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆);9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩;10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵; ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,【考试中可以直接作为定理使用,而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为:1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =(B AK =)其中K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关;14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数;715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-;16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩;②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±; ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ,其中可逆; ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数; ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ;5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵;7.n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数;A ⇔的各阶顺序主子式均大于0;0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功,条件独立乘除清; 全概逆概百分比,二项分布是核心; 必然事件随便用,选择先试不可能。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ(奇偶)排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。
(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行(列)可加性⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。
化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 行列式运算常用方法(主要)行列式定义法(二三阶或零元素多的) 化零法(比例)化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂:2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵:对角矩阵:若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 数量矩阵:相当于一个数(若……)单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若……) 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注:把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行(列)3、将某行(列)的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩若A 是非奇异矩阵,则r (AB )=r (B ) 初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nija k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的。
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()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n的标准基,n中的自然基,单位坐标向量;②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关;③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则) T T T TA XB X X =(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件:① 12,,,s ηηη线性无关; ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示.向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价;⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A n Ax Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A(或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλ.√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B -- 若,A B 均可逆 ② T T A B③ kk A B (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. √ 若A B , CD ,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作:A B (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x xx d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ; ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零,12(,,,)0n f x x x >.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。