第二讲数轴、相反数

第二课 数轴 相反数

一.数轴

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

数轴三要素：原点、正方向、单位长度

数轴的画法： ①在平面内画一条直线，画出向右的箭头； ②标出原点；

③用一定的长度作为单位长度，左边和右边标出数字

数轴上的点的意义：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

注意：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

利用数轴比较数的大小：数轴右边的数总比左边的数大。

二.相反数

代数概念：只有符号不同的两个数称互为相反数。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个数分别位于原点两侧，且与原点的距离相等。

说明：（1）相反数是指只有符号不同的两个数;（2）相反数是成对出现的，不能单独存在，因而不能说“-6是相反数”。特别强调的是0的相反数为0，因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于本身的唯一的数。（3）正数的相反数是负数,负数的相反数是正数 规定:在任何一个数的前面添上一个"+"号,表示这个数本身;添上一个"-"号,就表示这个数的相反数一般地，数的相反数是－，其中可是正数和负数和0．

“-”号的三种主要意义：

① 性质符号：写在一个数值的前面，表示这个数是负数. 比如，-5表示“负5”这个负数，在这里的“-”号就是表示负数的一种符号，它表明“-5”的性质是负数.

② 相反数符号：表示一个数的相反数时，我们常在这个数的前面添上“-”号.

③ 运算符号：减号

注意：写代数式的相反数时要注意添括号，如2a +的相反数应写成(2)a -+。

多重符号的化简:一个正数的前面不管有多少个“+”号,都可以把它们全部去掉；一个正数的前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号一起去掉；一个正数前面有奇数个“-”号,则化简符号后只剩下一个“-”号.

相反数的性质：若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；判定：若0=+b a ，则a 与b 互为相反数．互为相反数的两数商为-1，（0除外），即若a 与b 互为相反数，则)0(1≠-=b a

b 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，例如

32与23互为倒数，其中23是32的倒数．乘积是-1的两个数互为负倒数。

﹣1除以一个数（零除外）的商，叫做这个数的负倒数，这是求一个求负倒数的方法；

如果两个数互为负倒数，那么这两个数的积等于﹣1．这是判定两个数是互为负倒数的方法．

a a a

【典型例题】

例1 如下图所示，数轴中正确的是（ ）

例2、试比较-0.3，13-，0.03，0，3，33%-的大小，并用“<”连接起来。 例3、 (1) 2与 互为相反数,5

2-的相反数是 ,)1(--的相反数是 . (2) a -的相反数是 ,3-a 的相反数是 ,1+n 的相反数是 .

例4、如果b a ,表示有理数,在什么条件下, b a +与b a -互为相反数.

例5、化简下列符号:

(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-514 (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-211 (3)()[]1--- (4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝

⎛-++21 例6画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：1,-5,-2.5,,0，并用＜连接起来。

例7.（1）在数轴上到原点距离为3个单位长度的点有几个？它们表示的数是什么？

（2）如果在数轴上点A 所对应的数是－2，那么在数轴上与点A 相距3个单位长度的点所表示的数有几个？分别是多少？

【经典练习】

一、选择题

1．下列所画数轴中正确的是（ ）

A B C D

2．下面说法中正确的是（ ）

①在―4与―3之间没有负数； ②在0与1之间有无数个数；

③在―4与―3之间没有其它整数； ④在0与1之间没有负数．

A 、①②③

B 、②③④

C 、①③④

D 、①②④

3．下面说法正确的是（ ）

A 、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来

B 、数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数

C 、数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大

D 、0是最小的正整数

4．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是（ ）

A 、正数

B 、负数

C 、非正数

D 、非负数

5．下列说法正确的是（ ）

A 、()2+-是－2的相反数

B 、()2--是－2的相反数

2

14B －1 0 1 A －1 0 1 C －1 0 1

D 1 2 3 4 5 -1 0 1 0 1 2 3 0 1

C 、－2的相反数是()2+-

D 、+3的相反数是()3--

二、填空题

6．+3的相反数是 ，－3的相反数是 ，()3+-的相反数是 ，()3-+的相反数是 ． 7．2-a 的相反数是

，a -2的相反数是 ．

8．用“>”或“<”填空．

（1）若a 是正数，则a - 0 （2）若a 是负数，则a - 0

（3）若a -是正数，则a 0 （4）若a -是负数，则a 0

9．在数轴上用点A 表示－3，则点A 到原点的距离是 ，到原点的距离距离等于3的点表示的数为 ．

10．比较下列各组数的大小：

（1）3.5 0； （2）－2.8 0；（3）65-

7

5-；（4）－1.95 －1.59； （5）75 76-；（6）31- 0.3；（7）7.1 1117-；（8）7.1 1117． 三、解答题

11．在下图中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 各表示什么数？

12．有理数y x ,在数轴上的对应点如下图所示，图中0为原点，且A 到原点的距离比B 到原点的距离大．

（1）在数轴上表示出x -和y -；

（2）试把y x y x --,,0,,这五个数从大到小用“>”连接起来．

13．画图表示一个点从数轴上的原点开始，按下列条件移动两次后到达的终点，并说出它是表示什么数的点．

（1）向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；

（2）向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度；

（3）向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；

（4）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度．

14．观察数轴，然后回答下列问题：

（1）有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？若有，请写下来。

（2）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？若有，请写下来。

（3）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？若有，请写下来。

A E

B O

C F

D -2 -1 0 1 2 3

B A

O