测试技术习题例题
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习题1 求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示，并画出频谱图。
解：x(t)的一个周期可表示为：
t T A
A 02+
02
0≤≤-t T =)(t x
t T A
A 02-
2
00T t ≤< 常值分量：A dt t T A
A T dt t x T a T
T T =-==
⎰⎰
-)2(4)(2
200
22
00
0000
余弦分量的幅值： =-==
⎰⎰
-tdt n t T A
A T tdt n t x T a T
T T n 0200
22
000
cos )2(4cos )(2
000ωω
2
24π
n A
n=1,3,5… =2
sin 4222ππn n A 0
n=2,4,6…
正弦分量的幅值：0sin )(2
22
00
00⎰
-==
T T n tdt n t x T b ω
这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为：
t n n
A A t t t A A t x n 0122020202cos 1
425cos 513cos 31cos 42)(ωπωωωπ∑∞=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=
000
练习2 求指数衰减振荡信号t e t x at
0sin )(ω-=的频谱函数。
解一：
2
2000)()(000)(0
0)(1
21)(1
)(1221][2
21)()
(2
sin sin 21sin 21)(0000ωωπωωωωππωωωπ
ωπωωωωωωωωω++=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-===⎰⎰⎰∞-+-++--∞+-∞--j a j j a j j a j dt e e j X e e j
t tdt e dt te e X t
j j a t j j a t j t j t j a t j at
解二：[])()(22sin 000f f f f j
t f --+⇔
δδπ f
j a e at π21
+⇔
-
)()()(T t x T t t x ±=±*δ
)()()()(f Y f X t y t x *⇔•
[]⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-+-++=--+*+⇔
∴-000002)2(1
2)2(12)()(2212sin f j f j a f j f j a j f f f f j f j a t f e at ππππδδππ
4. 求指数衰减函数
的频谱函数 ，（
）。并定
性画出信号及其频谱图形。
解：（1）求单边指数函数
的傅里叶变换及频谱
（2）求余弦振荡信号
的频谱。
利用
函数的卷积特性,可求出信号
的频谱为
其幅值频谱为
a a`
b b`
c c`
题图 信号及其频谱图
注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。
练习3 已知信号x(t)的傅立叶变换为X(f),求t f t x t f 02cos )()(π=的傅立叶变换。
解一：⎰
∞
∞
--=
dt e t x F t j ωπ
ω)(21
)(
[])()(2
1
)()(41)(2
1)(21cos )(2100)()(000ωωωωππωπωωωωωωωω++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==
⎰⎰⎰⎰∞∞-+-∞∞---∞∞---∞∞--X X dt e t x dt e t x dt e e e t x dt te t x t
j t j t j t j t j t
j
解二：[]2/)()(2cos 000f f f f t
f -++⇔δδπ
且 )()()(T t x T t t x ±=±*δ
[]2/)(2/)(2/)()()(2cos )(00000f f X f f X f f f f f X t f t x -++=-++*⇔δδπ
解三：根据信号的线性性好频移性,其频谱为:
[][]
[])()(21)(21)(2
12)(]2cos )([0000000ωωωωπωωωωω++-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⇔--X X e t x F e
t x F e e t x F t t x F t j t
j t j t j
1 求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|c n |-ω和ϕ-ω
图。
解：(1)方波的时域描述为：
(2) 从而：
2 .求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解(1)
(2)
例1:求正弦函数的自相关函数。
解：（1）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。
根据式(2.22)得
（2）为解积分，进行变量代换。
式中－是正弦函数的周期，。
令带入上式，则得
例2:求两个同频率的正弦函数和的互相关函数。
解：（1）掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。
因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故