离散信号归纳总结
信号与系统第8章 离散信号的分析
31
图 8.2.1 卷积和的图解法计算
32
第 4步：相乘求和，将平移后得到的 f2（k-i） 和 f1（i）波形中各点对应相乘，然后将所有点相加 ，得到卷积和序列在给定 k值时的幅度。然后重复 第 3步和第 4步得到序列 f（k）的各点幅度。 在最后两步中，需要根据两个序列波形特点， 取一些典型的 k值或者 k的取值范围。对本例来说 ，具体计算如下。
17
因此，只有满足式（8.1.7）所示条件时，复 指数序列才是周期序列。此外，如果φ =0，则 称为虚指数序列或者复简谐序列。 复指数序列在离散信号和系统的变换域（频域 、复频域）分析中有着重要应用。虽然实际系统中 不可能存在复指数序列，但在对离散信号和系统进 行分析的过程中，利用复指数序列可以表示正弦序 列、直流序列等。
5
例如，图 8.1.2中，时限序列 f1（k）和因果序 列 f2（k）可以分别表示为
图 8.1.2 序列的表示
6
例 8.1.1 写出如图 8.1.3所示序列 f（k）的解 析表达式。
图 8.1.3 例 8.1.1图
7
解 如图 8.1.3所示离散信号的波形中，共有 3 段不恒等于零。从左向右，这 3段的表达式可分别 表示为
49
（1）线性性质
其中，a1 和 a2 为任意常数。线性性质说明， 信号的单边 Z 变换满足齐次性和叠加性。根据该 性质，如果某信号能分解为一些基本信号的线性组 合，则可以由这些基本的 Z变换通过简单的代数运 算求出该信号的单边 Z变换。
50
例 8.3.2 求 f（k）=u（k）-（0.5）ku（k）的 单边 Z变换 F（z）。 解 由单边 z变换的线性性质得
19
②实际系统中对序列进行尺度变换得到 f（ak ）。假设 a >1，表示从 f（k）中抽出自变量等于 a 的整数倍的点，依次得到新序列 f（ak）的各点这 种变换一般称为对序列 f（k）的抽取。图 8.1.7所 示为 a =2的情况。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
离散信号 知识点总结
离散信号知识点总结一、离散信号的定义离散信号是指在离散时间点上的取样值的集合。
在数学上，它可以用一个序列来表示，即{..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...}。
其中，x[n]表示在时刻n处的取样值，n为整数。
离散信号与连续信号相对，连续信号是在连续的时间上取值的，而离散信号是在离散的时间上取值的。
二、离散信号的性质1. 有界性：离散信号通常是有界的，即存在一个有限的范围，超出这个范围时信号值为零。
2. 周期性：某些离散信号是周期的，即满足x[n+N]=x[n]的性质，其中N为周期。
3. 非周期性：另一些离散信号是非周期的，即没有周期性结构。
4. 平稳性：离散信号的平稳性是指信号的统计特性在时间平移后保持不变，即x[n]=x[n-k]。
若满足这个条件，则称该信号是平稳的。
5. 因果性：对于实际系统的输入信号来说，它通常是因果的，即在某一时刻的取值只取决于之前时刻的取值。
三、离散信号的表示离散信号可以通过多种方式来表示，包括序列表示法、块状表示法、方块表示法等。
其中，序列表示法是最常见的一种表示方法。
在序列表示法中，离散信号可以通过一列有序的数值来描述，例如{x[0], x[1], x[2], ...}。
这种表示方法简单直观，便于分析和处理。
四、离散信号的处理方法离散信号的处理方法包括离散信号的运算、变换和滤波等。
其中，离散信号的运算主要是指对离散信号进行加法、乘法、卷积等运算。
这些运算可以通过离散信号的表示法来实现。
另外，离散信号的变换主要是指离散信号的傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些变换可以用于信号的频域分析和压缩。
最后，离散信号的滤波是指通过滤波器来对信号进行频率选择和抑制。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
总之，离散信号是一种在离散时间点上取样的信号，在信号处理中具有重要的作用。
通过对离散信号的定义、性质、表示和处理方法的总结，可以更好地理解离散信号的特点和应用。
第二章_离散信号与抽样定理
假频
F[ p (t )]
fN
采样信号的频谱
m=-1 m=0
fN
fs
1
2
m=1
m=2
fs
f s fC
fs
2 fs
重抽样造成频谱混叠示意图：
( 0)
1 2 1 1 2 1
X( f )
(1)
f
1 2 1 3 2 1 3 2 Fra bibliotek 1 2 1
3 2 1
1 2 1
1 2 1
3 2 1
X 1 ( f )
(1 2)
1 2 1
1 2 1
3、重抽样可能造成重抽样信号的频谱发生混叠： 不论原离散信号的频谱是否发生频谱混叠，只 1 1 f 2 f s C 要重抽样频率 ，即 ，那么 X ( f ) 中 2 f 1 1 1 [ , ] 在 2 2 外不为零的频谱成分就会折叠，产生混叠 现象。
x(n) g (t n)
1 ~ X ( f ) X ( f )G ( f )
连续化定理：
x (n) x(n) ，则需要： 若要求满足 ~
1 g (n) (n) 0 ,n 0 ,n 0
g (t ) 可取多种形式，若取： sin( t ) g (t ) t
（2）取样频率太低，即抽样间隔太大
原信号频谱
F[ p (t )]
fN
采样信号的频谱
m=-1 m=0
fN
fs
1
2
采样间隔过大
m=1
m=2
fs
f s fC
离散时间信号
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
信号与系统
离散时间信号
1.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为
常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
信号与系统
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
1.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
离散时间信号处理 概述及解释说明
离散时间信号处理概述及解释说明1. 引言1.1 概述离散时间信号处理是一门重要的信号处理领域，它涉及到对离散时间信号进行采样、分析、变换和滤波等处理操作。
相比于连续时间信号处理，离散时间信号处理更适用于数字系统和实际应用中的数字信号。
离散时间信号处理技术在现代通信、音频、图像和视频等领域得到广泛应用。
通过研究离散时间信号处理方法和算法，可以提高数据传输质量、优化压缩算法、改善音频和图像效果以及实现其他相关应用。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面介绍离散时间信号处理的基本概念、常用方法以及在实际应用领域中的技术应用：- 第2部分：离散时间信号处理的基本概念。
我们将讨论信号与系统的概念，并比较离散时间信号与连续时间信号之间的区别。
此外，我们还将探讨离散时间系统的性质和特点。
- 第3部分：常用的离散时间信号处理方法。
我们将了解采样和重建过程的原理，并介绍常见的离散时间信号变换和频域分析方法。
此外，我们还将探讨数字滤波器的设计与应用。
- 第4部分：实际应用领域中的离散时间信号处理技术。
我们将以语音信号处理、图像处理与压缩算法以及音频信号编辑与效果处理为例，阐述离散时间信号处理在不同领域中的应用技术。
- 第5部分：结论。
我们将对全文进行总结回顾，并展望离散时间信号处理未来发展的趋势。
1.3 目的本文旨在提供一个关于离散时间信号处理的概述及解释说明，使读者对该领域有一个全面而清晰的认识。
通过阅读本文，读者可了解离散时间信号处理的基本概念、常用方法和实际应用情况，并对该领域未来的发展趋势有所预测。
同时，本文也可作为进一步学习和研究离散时间信号处理的起点。
2. 离散时间信号处理的基本概念2.1 信号与系统在离散时间信号处理中，信号指的是随时间变化的电压、电流或其他物理量的函数。
系统则是对输入信号进行处理或转换的设备、算法或方法。
离散时间信号处理旨在通过对输入信号的分析和处理，实现对输出信号的控制和调整。
2.2 离散时间信号和连续时间信号的区别离散时间信号是在一系列取样时间点上定义的，只能在这些点上取值。
离散时间信号的基本运算
信号绝对值的积分
总结词
信号绝对值的积分是指将离散时间信号中每个值的绝对值与其对应的权系数相乘，并求和得到的结果 。
详细描述
信号绝对值的积分在处理一些具有正负性质的问题时非常有用，例如计算信号的能量或幅度。对于离散时 间信号 $x(n)$，其绝对值的积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} |x(n)| cdot Delta t$。
符号相加主要用于处理具有正负符号 的信号，使得正负符号能够相互抵消， 从而得到一个新的符号较少的信号。
02
离散时间信号的乘法
离散时间信号的乘法 信号相乘
信号相乘
离散时间信号的乘法是指将两个信号对应时刻的数值相乘。当两个信号相乘时，其输出信号的幅度将等于两个输入信 号幅度相乘的结果。
信号的绝对值相乘
04
离散时间信号的微分
信号的微分
信号的微分是指将信号中的每个值都 减去前一个值，得到的结果就是微分 后的信号。在离散时间信号中，微分 运算可以用于分析信号的变化趋势。
例如，如果一个离散时间信号为 [1, 3, 5, 7, 9]，其微分为 [0, 2, 2, 2, 2]，表 示信号在每个时刻的变化量。
信号符号的积分
总结词
信号符号的积分是指将离散时间信号中 每个值的符号与其对应的权系数相乘， 并求和得到的结果。
VS
详细描述
信号符号的积分可以用于处理一些具有正 负性质的问题，例如计算信号的极性或方 向。对于离散时间信号 $x(n)$，其符号的 积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} text{sgn}(x(n)) cdot Delta t$，其中 $text{sgn}(x(n))$ 表示 $x(n)$ 的符号函数。
03
微机保护第2章 离散信号、采样定理-补充知识
m
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
图解说明
x(m)
m 04
h(m)
m 06
h(0-m)
m -6 0 6
(1) n<0
n-6
h(n-m)
m n0
(2) 0≤n≤4
mn6mn6Fra bibliotekana (n6) a (41) 1 a1
an4 a7 1 a
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0,
1 a1n , 1a
y(n)
an4 a1n
1 a
,
an4 a7
1 a
,
0,
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
卷积结果y(n)如图所示
y(n)
n
0
46
10
y(n) 1.5 1 n u(n 1) 2
e e j0 2M n
j0n
M 0, 1, 2
表明复指数序列具有以2为周期的周期性，在 以后的研究中，频率域只考虑一个周期就够了。
7. 周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等
式成立： x(n) x(n N)
则称x(n)为周期序列，最小周期为N。
例：
x(n) sin( n)
线性卷积满足以下运算规律：
交换律 x(n) h(n) h(n) x(n)
x(n)
y(n)
h(n)
h(n)
y(n)
x(n)
信号与系统-离散信号与系统
(1)
y (k + 3) − 2 2 y (k + 2) + y (k + 1) + 0 y (k ) = f (k ) 1 y (k + 2) − y (k + 1) + y (k ) = f (k ) 4
(2)
解：用转移算子法求。
1 (1) H ( E ) = 3 2 E − 2 2E + E 1 = E ( E − 2 − 1)( E − 2 + 1) 1 1 1 2( 2 + 1) 2( 2 − 1) = + − E E − 2 −1 E − 2 + 1
f ( n )= ∑ i=-∞ f(i) ∗ δ (k-i)=f(n) ∗ δ (n)
∞
四 离散信号的卷积和
l 定义
f1 (n) ∗ f2 (n)=∑i=-∞ f1 (i) ∗ f2 (k-i)=∑i=-∞ f2 (i) ∗ f1 (k-i)
∞ ∞
l 上下限范围
– 当f1(n), f2(n)均为因果序列
yh (n) =
l
l
∑
K
N i =1
A iα
n i
i −1 n yh (n) = ∑i =+1 An α1 + ∑i=k +1 Aiαin i N
l l l
将所求得的强迫解和自由解相加，即可得到全响应 将给定的全响应的初始值代入到方程中，已确定待定系数 将所求得的待定系数带入到全响应方程中
例：求下列差分方程所 描述的系统的单位响应 h(k)
1 故h(k) =δ (k −1) +[ ( 2 +1)k−1 − 2( 2 +1) 1 k−1 ( 2 −1) ]U(k −1) 2( 2 −1) 1 k−2 1 k−2 =δ (k −1) +[ ( 2 +1) − ( 2 −1) ]U(k −2) −δ (k −1) 2 2 1 k−2 k−2 = [( 2 +1) −( 2 −1) ]U(k −2) 2
第1章 离散信号09
第一章 离散信号1.1 引言信号，通常是一个自变量或几个自变量的函数。
如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。
1.2 一维离散信号一个离散信号是一个整数值变量n 的函数，表示为x(n)。
注释：独立变量n 不一定表示“时间”（例如，n 可以表示空间坐标或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数，故又称离散时间信号，也称之为序列。
因为离散信号对于非整数值n 是没有意义的，所以一个实值信号x(n)可以表示成lollipop 图的形式，如图1.2.1所示。
图1.2.1 离散时间序列信号随n 的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。
如果x (n )是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x (n )={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}离散时间信号可以用一个A/D 转换器采样连续时间信号（如语音）得到。
例如，对一个连续时间信号)(t x a ，以每秒s s f 1=采样的速率采样而产生采样信号x (n )，它与)(t x a 的关系为：)()(s a nT x n x =然而，并不是所有的离散信号都是这样获得的。
一些信号可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股市行情、人口统计数、仓库存量和Wolfer 太阳黑子数等。
1.2.1 一些基本序列1. 单位采样序列⎩⎨⎧≠==01)(n n n δ (1.2.1) ·单位采样序列也可以称为单位脉冲序列； ·在n =0时取值为1，其它均为零；·类似于模拟信号中的单位冲激函数δ(t )，但不同的是δ(t )在t =0时，取值无穷大，t ≠0时取值为零，对时间t 的积分为1。
单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.2所示。
图1.2.2 单位采样序列和单位冲激信号 (a)单位采样序列； (b)单位冲激信号2. 单位阶跃序列⎩⎨⎧≥=0001)(＜n n n u (1.2.2)单位阶跃序列如图1.2.3所示。
离散信号分析
下面我们来看2π/ω0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦 型序列的周期性的条件意味着什么？
T0 1 1 1 = 2π = 2π = = 0T 2πf 0T f 0T T ω0
这表明，若要2π/ω0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采 样时间间隔T的整数倍；若要2π/ω0为有理数，就表示T0与T是互为 互素的整数，且有
式中, yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。 在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加 性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。
例1-1 以下系统是否为线性系统： y(n)=2x(n)+3 很容易证明这个系统不是线性的， 因为此系统不满足叠加原理。 证
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = 2[a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] + 3
x(n) = xa (nT )
然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号 可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、 人口统计数和仓库存量等。
1.1.1 序列的运算 1． 序列的移位 ． 2． 序列的翻褶 ． 3． 序列的和 ． 4． 序列的乘积 ． 5． 序列的标乘 ． 6． 累加 ．
2． 单位阶跃序列 ． 单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) = 0
n≥0 n<0
(1-2)
如图 1-5 所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位 阶跃函数u(t)。
u(n)
1
…
－5 －4
－3 －2
－1
0
1
2
3
4
5
6
n
图 1-5 u(n)序列
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
信号理论知识点总结
信号理论知识点总结一、信号的基本概念信号是指随时间变化的某种物理量，它可以是电压、电流、声音、光、视频等形式。
信号可以分为连续信号和离散信号两种。
1. 连续信号：连续信号是指在给定的时间间隔内连续地变化的信号，例如模拟电路中的声音信号、电压信号等都是连续信号。
2. 离散信号：离散信号是指在一定的时间间隔内发生变化的信号，例如数字电路中的数字信号就是离散信号。
二、信号的分类1. 按时间变量分类：(1) 静态信号：信号在不同时间点的取值不发生变化，称为静态信号。
(2) 动态信号：信号在不同时间点的取值会发生变化，称为动态信号。
2. 按频率分布分类：(1) 短时信号：信号在频率上的分布相对较窄，信号在时间上的变化较快。
(2) 长时信号：信号在频率上的分布相对较宽，信号在时间上的变化较慢。
3. 按能量分布分类：(1) 有限能量信号：信号的总能量在有限时间内是有限的，通常用在瞬态信号中。
(2) 无限能量信号：信号的总能量在有限时间内是无限的，通常用在周期信号中。
三、信号的基本运算1. 信号的加法：(1) 连续信号的加法：两个连续信号相加的运算可以简单地通过将两个信号的函数表达式相加进行。
(2) 离散信号的加法：两个离散信号相加的运算也可以通过将两个信号在各个时间点上的取值加起来。
2. 信号的乘法：(1) 连续信号的乘法：两个连续信号相乘的运算可以通过将两个信号的函数表达式逐个相乘得到。
(2) 离散信号的乘法：两个离散信号相乘的运算同样可以通过将两个信号在各个时间点上的取值逐个相乘得到。
3. 信号的卷积：信号的卷积是一种重要的信号运算，它描述了两个信号之间的相互作用。
卷积的计算涉及到信号的积分，可以用于分析系统的输出响应等。
四、信号的频谱分析1. 连续信号的频谱分析：(1) 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将连续信号从时间域变换到频率域的方法，通过傅里叶变换可以得到信号的频率特性。
(2) 傅里叶级数：对于周期信号，可以使用傅里叶级数将其分解为一系列正弦和余弦函数的和。
离散时间信号及其Z变换
离散时间信号及其Z变换离散时间信号是指在离散时间点上取值的信号。
它可以用一个数列来表示，其中每个数代表了在相应时间点上的信号取值。
离散时间信号在数字信号处理中起着重要的作用，因为它们可以通过数字系统来表示和处理。
离散时间信号的定义可以表示为x(n)，其中n是离散时间点的索引。
离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。
有限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取值范围在0到N-1之间，N为信号的长度。
而无限长度的离散时间信号可以表示为x(n)，其中n取遍整个整数集。
离散时间信号的Z变换是一种重要的信号变换方法，它将离散时间信号转换为复变量的函数。
Z变换是一种在数字信号处理中常用的工具，它将离散时间信号从时域转换到复频域，从而可以进行频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号x(n)的Z变换可以表示为X(z)，其中z为复变量。
Z变换的定义可以表示为：X(z) = Σ(x(n) * z^(-n))其中Σ表示求和符号，x(n)表示离散时间信号的取值，z^(-n)表示z的负幂次方。
Z变换的性质和连续时间信号的拉普拉斯变换类似，具有线性性、平移性、卷积性、频率抽样等性质。
Z变换将离散时间信号映射到复平面上的点，其中每个点对应离散时间信号在不同频率上的幅度和相位信息。
Z变换在信号处理中有广泛的应用。
它可以用于系统的频域分析，比如计算系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
Z变换还可以用于信号的滤波和等级控制，用于设计数字滤波器和控制器，从而实现对信号的调制和解调。
此外，Z变换还可以用于信号的压缩和编码，用于提取信号中的相关特征和压缩信号的数据量。
总而言之，离散时间信号及其Z变换是数字信号处理中的重要概念和工具。
离散时间信号可以用一个数列来表示，在离散时间点上取值。
而Z变换则将离散时间信号从时域转换到复频域，从而实现对信号的频谱分析和系统设计等操作。
离散时间信号及其Z变换的应用广泛，包括系统分析、信号滤波、信号压缩等领域。
离散信号分析原理
离散信号分析原理离散信号分析原理是一门学科，主要研究离散信号在频域中的特性和处理方法。
离散信号是一种在时间上是离散的信号，即信号的取样是在不连续的时间点上进行的。
在现实生活中，大量的信号都是离散的，如数字音频信号、图像信号等。
离散信号分析的基础是傅里叶变换，它是将一个信号在频域上进行表示的一种数学工具。
傅里叶变换将信号分解为一系列的正弦和余弦函数，并给出了它们在频域上的各自的幅度和相位。
通过傅里叶变换，我们可以从时域中获取信号的频域信息，如频谱分析、频率成分的提取等。
在离散信号分析中，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来处理离散信号。
DFT是对连续信号的傅里叶变换的离散近似，它将连续信号在时间和频率上进行取样，将连续信号转换为离散信号。
DFT的公式可以表示为：\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\]其中，\(x[n]\)表示输入的离散信号，\(X[k]\)表示输出的离散傅里叶变换结果。
\(N\)表示信号的长度，\(k\)表示频域的索引。
DFT将长度为\(N\)的离散信号转换为具有相同长度的离散频域信号。
除了离散傅里叶变换，离散信号分析还涉及到其他一些重要的理论和方法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）等。
这些方法在不同领域有着广泛的应用，如音频信号处理、图像压缩、数字通信等。
总结起来，离散信号分析原理包括了傅里叶变换及其离散近似、离散余弦变换、离散小波变换等方法，用于分析离散信号在频域上的特性和进行信号处理。
这些原理和方法在实际应用中具有重要的意义，并广泛应用于各个领域。
第2章离散时间信号分析
第2章离散时间信号分析离散时间信号离散时间信号(discrete-time signal)是离散时间变量n的函数，它只在规定的散时间信号表现为在时间上按一定次序排列的不连续的一组数的集合，故称(time series or()x nnLx(0)x(1)x(2)x(3)x(-1)本章主要内容¾离散时间信号——序列¾采样定理及实现¾离散时间信号的相关分析¾离散时间信号的Z 域分析¾离散系统描述与分析¾物理可实现系统2.1 离散时间信号——序列一、序列的表示 单位采样序列⎩⎨⎧≠==−)(0)(1)n k n k k n n1()n δn10k单位阶跃序列∑∞=−) (mnδ⎧≥=01 )(nnu1-10 1 2……() u n矩形序列⎩⎨⎧≥<−≤≤=Nn n N n n R N 及00101)(N-1N()N R n n的关系：()n δ、)()()()()[]111−−++−+=−=−∑−=N n n n k n N N k δδδδL实指数序列)()(n u a n x n=…()x n ()x n 0123n…()x n 4n0123n…431a >01a <<1a <−10a −<<正弦序列)sin()(ωn A n x =∞<<∞−n n()sin A n ω22/s s sT fT f f ππΩ==周期序列)()(N n x n x +=N 为整数)对正弦序列来说])sin[()sin(ωωN n n +=)22sin(]2)sin[()2mN m n m N n m ππππ+=+=等式成立的条件为：ππK mN 22=KmN =二、序列的运算序列加减乘设序列与()y n )()()(n y n x n z +=()x n ()()()z n x n y n =±()()()z n x n y n =⋅*注意：时刻对齐序列移位=−()()z n x n m 序列翻转nz−x=((n))序列的尺度变换)()(Mnxny=)/()(Lnxny=n0 1 2 3 n(2)x n4 5 62 3 4 5 6 10 11 120 1 n (/2)x n7 8 9序列的离散卷积∑∞−∞=−==m m n y m x n y n x n z )()()(*)()(翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54N1=523h(n)n 0N2=3kN1=5231h(-k)k（2）平移x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54kh(1-k)k(4)相加26ny(n)83信号转换过程2.2 采样定理及实现一、采样过程1. 模拟信号采样器离散的脉冲信号t()sx nTτsT()sx nT()x t2. 数学描述∑+∞∞−−==)()()()()(S T S S nT t t x t t x nT x δδ（2.2.1)假设采样脉冲为理想脉冲（2.2.2)只考虑正值时间∑+∞=−=0n S S S S )nT t ()nT (x )nT (x δ∑+∞∞−−=)()()(S S S S nT t nT x nT x δ(2.2.3)二、采样定理(Sampling theory)离散信号X(nT s )连续信号X(t)采样定理：要想采样后不失真地还原原信号，采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两ms Ω≥Ω21.推导过程∑∑∞−∞=+∞∞−=−=m t Tjm mT ecnT t t πδδ2)()(2tTdtπTdt et T T tTjm 1)(2/2/=∫−−δ∑∞−∞=m t Tjm eπ2采样的脉冲序列时域采样信号是原始信号x(t)与脉冲序列的乘积dt（2.2.4)∑∫∫∝∝−=Ω−∝∝−Ω−∝∝−⋅=m tj t jm tj T dt e e T dt et T πδ21)(∑∑∫∝∝−=∝∝−=∝∝−Ω−Ω−Ω−Ω==m sm t m j m Tdt e T s )(21)(δπ(2.2.5))](*)([21)(ΩΔΩ=Ω∧j j X j X π将（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：])(*Ωj X ∑∫∝∝∝−−Ω−Ωs d m j X θθδθ)()(∑∑∝∝−=∝−−Ω=Ω−Ωm T s m j X T jm j X )]([1)(2π2.几点说明（1）频谱的幅度受加权为间隔重复T1π2T1sΩms Ω≥Ω2ms Ω<Ω2sΩtmΩmΩ高频与低频的混叠3.如何由X(nT s )重构x(t)工程上：D/A 转换器理论上：2/s Ω2/s Ω−)2/s Ω2/s Ω−)(Ωj Y ∫ΩΩ−ΩΩΩ=Ω222/)2/sin(s s t t d Te s s tj ∑∝∝−=−Ω−Ω=∗n s s nT t nT t nT x t h nT 2/)(]2/)(sin[)()()插值函数三、采样方式实时采样实时显示单次波形等效时间显示重复波形)∞⋅⋅⋅=,,0n 1222()()()()]nnx n y n x n y n ∑∑1||≤xy ρ相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统是数字信号处理领域中的重要分支，其研究对象是以离散时间为变量的信号和系统。
在离散时间信号和系统理论中，信号的变量只在离散时间点上取值，而系统对信号的处理也是在离散时间点上进行的。
离散时间信号和系统的研究为数字信号处理提供了理论基础和工具。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n是一个整数，代表信号的时间变量。
离散时间信号可以是有限长度的序列，也可以是无限长度的序列。
离散时间信号的幅度可以是实数或复数，表示信号在不同时间点上的取值。
离散时间信号可以用图形表示，横轴表示时间变量n，纵轴表示信号的幅度。
离散时间信号有几个重要的性质。
1. 周期性：如果对于某个正整数N，有x(n) = x(n+N)，那么离散时间信号是周期性的，其最小周期是N。
2. 偶对称性：如果对于任意的n，有x(n) = x(-n)，那么离散时间信号是偶对称的。
3. 奇对称性：如果对于任意的n，有x(n) = -x(-n)，那么离散时间信号是奇对称的。
4. 单位冲激响应：单位冲激响应是一个离散时间信号h(n)，在n=0时为1，其他时间点为0。
单位冲激响应在离散时间系统中起着重要的作用，可以用来表示系统对单位冲激信号的响应。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理的数学模型。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统具有叠加性和比例性质，即对于系统的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出信号y1(n)和y2(n)，有以下关系：1. 叠加性：系统对输入信号的响应是可叠加的，即y(n) = y1(n) + y2(n)。
2. 比例性：系统对输入信号的响应是可比例的，即y(n) =k1y1(n) = k2y2(n)，其中k1和k2是常数。
离散时间系统可以用差分方程表示：y(n) = a0x(n) + a1x(n-1) + ... + an-1x(1) + anx(0)，其中ai是系统的系数。
离散时间系统的输入和输出信号也可以用离散时间卷积进行描述：y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示离散时间卷积运算，h(n)是系统的单位冲激响应。
离散时间信号分析
在离散时间信号处理中，滤波器可以 通过数字计算实现，例如使用离散傅 里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换 （FFT）。
Part
05
离散时间信号的应用实例
数字音频处理中的离散时间信号分析
总结词
数字音频处理中的离散时间信号分析主要应用于音频信号的采样、量化、编码和传输等 环节，以提高音频质量、降低噪声和实现音频数据的压缩。
。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过计算两个信号之间的相关系 数，可以判断它们之间的相似程
度和变化趋势。
相关系数可以为正也可以为负， 正值表示正相关，负值表示负相 关，绝对值越大表示相关性越强
。
离散时间信号的滤波器实现
滤波器是用于提取或抑制特定频率成 分的电路或数字算法。
滤波器可以分为低通、高通、带通和 带阻等类型，根据不同的需求选择合 适的滤波器类型。
离散时间信号的频谱分析
频谱分析的定义
通过计算离散时间信号的 傅里叶变换，得到信号的 频谱表示，即各频率分量 的幅度和相位信息。
频谱分析的特点
频谱分析能够揭示信号中 隐藏的频率成分和模式， 有助于理解信号的内在结 构和特征。
频谱分析的应用
在音频处理、雷达信号处 理、振动分析等领域中， 频谱分析被广泛应用于信 号的特性分析和分类。
离散时间信号的变换
离散时间信号的变换是指将离散时间信号从一种表示形式转换为另一种表示形式的过程 。常见的变换包括离散时间信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
这些变换可以将离散时间信号从时域转换到频域或其他域，从而更好地分析信号的特性 和性质。
Part
03
离散时间信号的频域分析
离散时间信号的傅里叶变换
详细描述
在数字音频处理中，离散时间信号分析通过对音频信号进行采样、量化和编码，将连续 的模拟音频信号转换为离散的数字信号。通过对离散时间信号的分析和处理，可以实现 音频数据的压缩，降低存储和传输成本，同时提高音频质量。此外，离散时间信号分析
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离散系统与连续系统的比较
• • • • • • • • 连续系统 微分方程 微积分运算 δ (t),h(t) 卷积积分 系统函数H(S) 拉氏变换 连续傅立叶变换 • • • • • • • • 离散系统 差分方程 差分序列和运算 δ (k),h(k) 卷积和 系统函数H(z) Z变换 离散傅立叶变换
对比： ( t ) ( ) d
求导
（ 3 ） G N ( k ) ( k ) ( k N ) 宽度是 N 1N 个单
g ( t ) ( t ) ( t )
2
宽度是
正弦序列周期性判定：
பைடு நூலகம்
离散正弦序列 x k sin k 是周期序列
系统分析概述
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 ） 零输入响应 零状态响应 ( 卷积积分 变换域分析 :傅里叶变换法和拉氏变 换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应（卷积和） 变换域分析 : z变换法
X(k)
X(k+1) X(k)
k
k
K+1
2.差分方程
离 散 系 统 差 分 方 程 ( 后 向 差 分 )
1 n 1 n 0 1 m 1 m
y ( k ) a y ( k 1 ) ay ( k n 1 ) a y ( k n ) b x ( k ) b x ( k 1 ) b x ( k m 1 ) b x ( k m ) y(-1), y(-2), y(-3), y(-n)( 初始状态）
0
2．单位阶跃序列
(k )
1 (k) 0
k 0 k 0
1
1 O
1 23
k
(k k 0 )
1 kk 0 ( k k 0 ) 0 kk 0
1
O
k0
( k ) 1 ( k 1 )
(k )
1
k
对比 : ( t ) 1 ( t )
第一节
离散序列重点
(k ) (k )
1
O
(k k 0)
1
O
1
三个重要序列：
0, k 0 (k) 1, k 0 0 ,kk 0 时移性 (kk 0) 1 ,kk 0 ( k ), c ( k k 0 ) 比例性 c
1.单位序列
k
第五章离散系统的时域分析
主要内容 •离散时间信号及其描述、运算； •离散时间系统的数学模型——差分方程； •线性差分方程的时域经典解法（了解）； •离散时间系统的单位响应（重点）； •离散卷积和（求零状态响应）（重点） 。 学习方法 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区 别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几章 对照，温故而知新。
【例5－2】
某人按月存款x(k)元，k=1,2 表示第k月，银行月 利率为a，按复利计算，则第k月后的本利和为
y ( k ) y ( k 1 ) y ( k 1 ) x ( k )
本金 利息 本月存
整理得:y(k)-(1+a)y(k-1)=x(k)
另例：
• T型二端口级联，求各节点电压
x k
Y z
x k a a
z 1Y z
D
z 1
单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离 散值顶出来，递补。
例5-4
( k ) ay ( k 1 ) f ( k ) • 已知差分方程为: y 则画出框图为：
f k
-
y k
a
D
例5-5
已知框图：
1.差分
一阶前向差 x 分 (k) ： x(k 1 ) x(k) x(k 1 ) x(k 2 ) x(k 1 ) 一阶后向差 x 分 (k)： x(k) x(k 1 )
2 二阶差分 ： x(k) [ x(k)] [x(k 1 ) x(k)] x(k 2 ) x(k 1 ) x(k 1 ) x(k) x(k 2 ) 2x(k 1 ) x(k)
k0
k
( k ) ( k ) f ( 0 ) ( k ) 抽样性 f
) ( t ) 用面积 强度 表示， t 0 ，幅度 ; 说明： 1 ( k ) 在 k 0 取有限值 不是面积 。 2）利用单位序列可表示任意序列
3）序列的分解
根 据 （） k 的 意 义 ， 任 何 序 列 可 以 用 其 表 示 f (k)(k) {f (0 ), f ( 1 ) ,f ( 2 ), } f (0 ) (k) f ( 1 )(k 1 ) f (2 )(k 2 ) f (i) (k i)
当前输出 前一个输出 输入
(3) 由系统框图写差分方程
基本单元
加法器： x1k
x1k x2 k x2 k
x1(k)
x1k x2 k
x2 k
乘法器：
x1k x1k x2 k x2 k
标量乘法器
x k
延时器
y k
a
a x k
y k 1
注意:离散变量不是表示时间,而是电路中结点顺序编号.
u s,u (n ) 0 (0) u
ic
(2)由微分方程导出差分方程 (即用差分方程近似处理微分方程问题)
d y t ay t f t d t
其中：
t y ：输出
f t ：输入
时 间 间: 隔 T, 如 足 够 小
一阶前向 差分方程
一阶后向 差分方程
D
y k 1 x k ay k
1 或 y ( k ) y k 1 x k a
一阶前向差分方程
二．差分方程的特点
(1)输出序列的第k个值不仅决定于同一瞬间的输入值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。 (2)差分方程的阶数：差分方程中响应变量的最高和 最低序号差数为阶数。 如果一个系统的第k个输出决定于刚过去的几个输出 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
f k
-
D
y k
a
则差分方程为：y k 1 f k ay k
例5-6
如图框图，写出差分方程
x k y k
a
x k
a
D
y k
解： k 1 yk xk ay
或表示 :为 xk 1 ay k yk 1
i 0
}
序列的卷积和运算 对比：
fk ()() k fi ( )( ki ) fk ()() k () k
i 0
f() t )( t ) d f() t () t f( f() t () t )( t ) d f() t () t () t f(
连续（离散）周期信号 之和的周期性： T N＝７ 1 N （ 1) 为有理数，周期为它们 的最小公倍数 T 2 N 2
N 2 n 为有理数时才是周期的
离散信号的能量和功率 能量有限的信号为能量信号
E
k
f (k)
N 1 2
2
功率有限的信号（如所有周期信号）为功率信号
例题： f (k) [ 3 , 2 ,1 ,0.1 ]
u (0)
R u (1) R
0
R u (n 1) R
u ( n)
us
R
R
u (0) us u (n) 0
u (k )
ia
R u (k 1) R
ib u (k 2)
R
ia ib ic u (k) u (k 1 ) u (k 1 ) u (k 2 ) u (k 1 ) R R R (k2 )3 u (k1 )u (k) 0 u
1
1 0
G ( k ) ( k ) ( k 3 ) 正确 3
k
G ( k ) ( k ) ( k ２ ) 错误 3
对比连续门函数 : g2(t 1 ) (t) (t 2)
1 2 3
以上三种序列的关系：
( 1 ) (k)可以看作是无数个单位 样值之和 :
即： ( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k 2 ) ( k 3 ) ( k ) ( k k 0 )
k 0 0
t
i
k
(i )
( t) ( t) （ 2 ） ( k ) ( k ) ( k 1 )差分
1 P f (k) N k0
E
k 2
f (k )
2
2
15J
f (k) cos( 0.5k)
1 3 1 2 P cos(0.5k ) W 4 k 0 2
第二节 时域离散系统
•数学模型－差分方程 •差分方程的建立 •差分方程的特点 •离散系统的性质
一．数学模型——差分方程
k代表序号
若在t=kT 各点取得样值 y t y kT y k
f t f kT f k
y k y k 1 ay k f k T 1 T y k y k 1 f k 1 aT 1 aT
x k N x k