第2章 离散时间信号分析(5.17修改)
信号与系统-离散时间域分析
滤波器性能评估
分析滤波器的幅频响应、 相频响应、群延迟等性能 指标，以评估滤波器的性 能。
数字调制与解调技术
ASK调制与解调
通过改变载波的振幅来 传递数字信息，实现 ASK调制，并通过相干 或非相干解调方法恢复 原始信号。
FSK调制与解调
利用不同频率的载波表 示不同的数字信息，实 现FSK调制，通过鉴频 器或锁相环等实现FSK 信号的解调。
分类
根据信号的性质和特征，离散时间信 号可分为周期信号和非周期信号、确 定信号和随机信号等。
离散时间系统定义及性质
定义
离散时间系统是一种对离散时间输入 信号进行变换或处理的系统，其输出 也是离散时间信号。
性质
离散时间系统具有线性、时不变性、 因果性、稳定性等性质，这些性质对 于系统的分析和设计具有重要意义。
离散时间信号处理重要性
数字信号处理基础
理论分析基础
离散时间信号处理是数字信号处理的 基础，对于数字通信、音频视频处理、 雷达声呐等领域具有重要意义。
离散时间信号和系统分析的理论和方法 可以推广到连续时间信号和系统，为信 号处理和分析提供统一的理论框架。
计算机处理方便
离散时间信号适合计算机处理，可以 通过算法实现各种复杂的信号处理和 变换。
06 实验：离散时间信号处理 实践
实验目的和要求
理解和掌握离散时间 信号的基本概念和性 质
培养实验操作能力和 分析解决问题的能力
熟悉离散时间信号的 处理方法和实现过程
实验内容和步骤
01
实验内容
02
生成离散时间信号
对信号进行基本运算（如加减、乘除、平移、翻转等）
03
实验内容和步骤
01
对信号进行频谱分析，观察信号 的频谱特性
离散时间信号分析
实验一
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101
实验二
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101
实验三
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101
实验四
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101
实验五
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101
%双线性变换法设计ButterWorth数字滤波器[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25,’s’);
[b,a]=butter(n,Wn,’s’);
freqs(b,a)
[bz,az]=bilinear(b,a,1);
通过本次实验,我基本掌握了双线性变换法及脉冲相应不变法设计
实验六
学院：电气工程学院专业：测控技术与仪器班级：测仪101。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
Lecture 2_离散时间信号分析,华工数字信号处理课件,DSP
二、离散时间信号的运算
8
基本运算
相乘（product） 相加（addition）
wn xn yn wn xn yn wn Axn wn xn N wn x n
调制、加窗
集合平均
数乘（multiplication）
8 -6 -4 -2 0 2 4 6 10
Q: Can a sample of discrete-time signal take real (continuous) value?
4
离散信号是从哪里来的？
A discrete time sequence x[n] may be generated by periodically sampling a continuous-time signal at uniform intervals of time.
12
采样率的转换（1）
采样率转换：
从给定序列生成采样率高于或低于它的新序列的运算
设原采样率为 FT ，转换后的采样率为 FT
则采样率转换比：
FT R FT
R 1 ：插值（Interpolation）
R 1
抽取（Decimation）
采样率的转换（2）
上采样（up-sampling）
序列
xn 的 Lp 范数定义：
x
L2 范数是 L1范数是
p
( x[n] )
p n
1
p
xn均方根；
xn平均绝对值； xn绝对值的峰值
L范数定义： x x max
有限长序列x的范数MATLAB计算
norm(x); norm(x,2); norm(x,1); norm(x,inf)
数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件
而
.
2
X(ej)ejmd x(n)2(nm)
n
2x(m)
x(n)1 X(ej)ejnd
2
序列傅 里叶变
换对
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21 X(ej)ejnd
.
正变换
反变换
3
例:试求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X(ej) RN(n)ejn e j n
1X(ej w )1x*(n)ejn
2
2n
1X(ejw )1
x*(n)ejn
2
2n
1X(ej w )1[
x(n)ejn]
2
2n
1X(ejw)1X*(ejw)
2
2
XR(ejw)
.
14
C)实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω),共轭反对称
部分为零。 即:H(ejω)=He(ejω)=H*(e-jω)
n
M为整数
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
由于FT的周期性，一般只分析-π~+π或0~2π之间的FT
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej)
.
6
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
则 Y(ej) 1 X(ej)H(ej)
2
1 X(ej)H[ej()]d
2
证明:
Y(ej)F[Ty(n)] x(n)h(n)ejn
n
x(n)[1H (ej)ejnd]ejn
2离散时间信号和系统的时域分析
设两对激励与响应x1 (n) → y1 (n), x2 (n) → y2 (n) 则c1x 1(n) + c2 x 2 (n) → c1 y1 (n) + c2 y2 (n)
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
c1 x1 (n) + c2 x2 (n)
x(2n) 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 n
抽取
插值
1.4 序列的简单运算
6）差分 前向差分
∆x(n) = x(n + 1) − x(n)
序列样值与其前面相邻的样值相减 序列样值与其前面相邻的样值相减 前面 后向差分
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1) ∇ 2 x ( n ) = ∇ [∇ x ( n ) ] = x ( n ) − 2 x ( n − 1) + x ( n − 2)
3.3 解
k =0 k r =0 r
N
M
阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 一般因果系统用后向形式的差分方程
3.2 离散和连续系统的数学模型 联系
即差分方程与微分方程的关系 即差分方程与微分方程的关系
3.3 解
求解方法
法
递推法 时域法 时域经典法 零输入与零状态求法 变换域法：利用Z 变换
原 序 列 ========= 新 序 列
1 n (1 2 ) , n ≥ − 1 x(n) = 2 0, n < −1
x(n) 1
x(n+1) 1
1/2 1/4 1/8 -2 2 -1 1 0 1 n
第2章 离散时间信号与系统
k
2.2 离散时间系统
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的变换或运算（算子）。它的输入是一个序 列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出 序列的一个运算。
T[·]表示这种运算关系，即 y(n)= T[x(n)]
x[n]
y[n]
T[·]
• 上图所示为一个离散时间系统，
第二章 离散时间信号与系统
• 2.0 引言 • 2.1 离散时间信号：序列 • 2.2 离散时间系统 • 2.3 线性时不变系统 • 2.4 线性时不变系统的性质 • 2.5 线性常系数差分方程 • 2.6 离散时间信号与系统的频域表示 • 2.7 用傅立叶变换表示序列 • 2.8 傅立叶变换的对称性质 • 2.9 傅立叶变换定理
2.1.1 几种典型序列
（1） 单位脉冲序列
(n)
1, n 0, n
0 0
只有n=0处有一单位值1，其余点上
为0
数字系统中， δ(n)序列也称为离散时间脉冲，或简称脉 冲，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系 统中的作用类似于连续时间系统中单位冲激函数δ(t) 。 连续时间系统中， δ(t)的脉宽为零，幅度为∞，是一种 数学极限，并非现实的信号，而离散时间系统中的δ(n)
若没有任何整数N，使得信号x[n]对所有的n满足 x[n] = x[n +N]，则信号x[n]为非周期的。
2.1.3 序列运算
数字信号处理中常遇到序列的相加、相乘以及延时等序列 运算。如有两个序列{x(n)}，{y(n)}，则 (1)序列相加:z(n) = x(n)+y(n) 表示两个序列的值 逐项相加以形成的新序列；
x(n)表示序列中第n个样值，{·}表示全部样本值 的集合。 离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n) = xa(nT)，也可以不是采样信号，如有些系统的 输入可能直接就是离散时间信号或数字信号，有 些系统内部有时也产生一些数字信号，这些都是 离散时间信号，但不属于采样信号。 T为采样周期，其倒数为采样频率。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
第2章 离散时间信号分析(5.17修改)PPT课件
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1
第2章 离散时间信号分析
• 2.1 离散时间信号-序列 • 2.2 采样定理及其实现 • 2.3 离散时间信号的相关分析 • 2.4 离散时间信号的Z域分析 • 2.5 离散系统的描述与分析 • 2.6 物理可实现系统
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2
2.1 离散时间信号-序列
25
2n,
n 1
z(n)
x(n)
y(n)
3 2
,
n 1
1 2
(1)n 2
n
1,
n
0
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26
2．序列相乘
是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。
z(n)x(n)y(n)
0,
n 1
z(n)
x(n)y(n)
1 2
,
n 1
(12)(n
1)(1)n 2
,
n
0
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27
3．序列移位 当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。它是向右或向 左移动了一段距离。
1
2
X
a
j
T
(
j
)d
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43
(3)冲激函数序列的傅氏变换
T (t)
...
...
0
T
t
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44
T (t ) (t mT ) m
T ( t )
1 T
e jk s t
k
1
T ( j ) F
T (t)
F
1 T
e
jk s t
k
2
2 s
离散时间信号-
1
5
2 0
10
，所以它是一个周期序列，
0
n
最小周期为N=10，
2019/8/15
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X
2.1.2 序列的周期性
23
（2）当 2 /0 为有理数时，设
2 N
0 k
其中，k，N为互素的整数，则
2 0
k
N k
k
此时正弦序列为周期序列，其周期将大于
N为最小正整数， 2 N 。
1
第2章 离散时间信号与离散时间系统
2.1 离散时间信号 2.2 离散时间系统 2.3 离散时间信号和系统的频域描述 2.4 连续信号的抽样 2.5 离散时间信号的抽样 2.6 序列的抽取与插值
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2.1 离散时间信号
2
2.1.1 几种常用序列 2.1.2 序列的周期性 2.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列 2.1.4 序列的运算 2.1.5 序列的能量
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X
2.1 离散时间信号
3
离散时间信号(序列)
离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上 不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列n来 表示，n的取值范围为整数，n取其他值没有意义。
离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如 对模拟信号进行等间隔采样，
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X
2.1.1 几种常用序列
17
单位脉冲序列 1
单位阶跃序列 1
x(n)
x(n)
0.5
0.5
0
-5
0
n
第2章离散时间信号分析
Ts：采样周期
x (n Ts )
0
T
s
t
t
＝ x (t) (t nT x (t) t) x nT S) T( S( S)
2.2 采样定理及实现
假设采样脉冲为理想脉冲(τ<<Ts)
x ( nT ) x ( nT ) ( t nT ) S S S S
1
1
m
0 1 2 3
0 1 2 3
m
当n=2时
x(n)*h(n)=3
h(4-m)
当 n=3时 x(n)*h(n)=4
h( 5 - m )
1 1
m
0 1 2 3 0 1 2 3
m
当 n=5时 x ( n) * h ( n ) =2
当 n=4时
x(n)*h(n)=3
h( 6 -m ) h (7 - m )
2.3 离散信号的相关分析
R mN ) x(
1 X [j ( m s)] T n
X( j)
2 T
Ωm Ωm为最高频率分量
1 T
cm
ˆ ( j) X
s
s
0
2 s
混叠现象 : 2 s m
Xa ( j)
0
s
2 s
s 常称作折叠频 .率 2
奈奎斯特取样定理：要想抽样后 能不失真的还原出原信号，抽样 频率必须大于等于两倍原信号最 高频率分量，即：
R ( n ) ( n m ) ( n ) ( n 1 ) n ( N 1 ) N
02第二讲：离散时间信号
x( n) cos( 0 n) j sin( 0 n) 由于n取整数e j ( 0 2M ) n e j 0 n 复指数序列e j 0 n是以2为周期的周期序列
6.正弦型序列
三、序列的周期性
• 已知序列x(n),如果对所有n存在一个最小的正整数
N满足x(n)=x(n+N),则称序列x(n)是周期性序列,且
h(m)
n N-1 n+n0
x(n-m)
n N-1 n+n0<0无重叠
x(m) n -n0 x(-m) n n0 n N-1 n+n0+N-1 n+n0> 0部分重叠 n n+n0 N-1 n+n0>= 0部分重叠
二、几种常用的序列
单 位 抽 样 序 列 单 位 阶 跃 序 列 矩 形 序 列 实 指 数 序 列 复 指 数 序 列 正 弦 型 序 列
y n
• • • • •
m
xmh(n m) x(n) h(n)
卷积和的运算在图形上可分为四步: 1.翻褶: 2. 移位: 3. 相乘: 4. 相加:
说明
• 离散系统的卷积和是求线性时不变系统输出响应的 主要方法, 表现为迭代法求解线性移不变差分方程.
例1
N 0 2K
周期即为 2 0
0
0 (3)当2 / 0是无理数时， 任何k都不能使N为整数， 此时的正弦序列不是周 期性的。
k
• 注意：无论正弦或是复指数序列是否为周期性序列, 数 0 皆称为它们的频率.
3.正弦抽样序列的周期讨论
x(t ) A sin(0t ) x(n) A sin(n0 )
第2章离散时间信号分析
第2章离散时间信号分析离散时间信号离散时间信号(discrete-time signal)是离散时间变量n的函数，它只在规定的散时间信号表现为在时间上按一定次序排列的不连续的一组数的集合，故称(time series or()x nnLx(0)x(1)x(2)x(3)x(-1)本章主要内容¾离散时间信号——序列¾采样定理及实现¾离散时间信号的相关分析¾离散时间信号的Z 域分析¾离散系统描述与分析¾物理可实现系统2.1 离散时间信号——序列一、序列的表示 单位采样序列⎩⎨⎧≠==−)(0)(1)n k n k k n n1()n δn10k单位阶跃序列∑∞=−) (mnδ⎧≥=01 )(nnu1-10 1 2……() u n矩形序列⎩⎨⎧≥<−≤≤=Nn n N n n R N 及00101)(N-1N()N R n n的关系：()n δ、)()()()()[]111−−++−+=−=−∑−=N n n n k n N N k δδδδL实指数序列)()(n u a n x n=…()x n ()x n 0123n…()x n 4n0123n…431a >01a <<1a <−10a −<<正弦序列)sin()(ωn A n x =∞<<∞−n n()sin A n ω22/s s sT fT f f ππΩ==周期序列)()(N n x n x +=N 为整数)对正弦序列来说])sin[()sin(ωωN n n +=)22sin(]2)sin[()2mN m n m N n m ππππ+=+=等式成立的条件为：ππK mN 22=KmN =二、序列的运算序列加减乘设序列与()y n )()()(n y n x n z +=()x n ()()()z n x n y n =±()()()z n x n y n =⋅*注意：时刻对齐序列移位=−()()z n x n m 序列翻转nz−x=((n))序列的尺度变换)()(Mnxny=)/()(Lnxny=n0 1 2 3 n(2)x n4 5 62 3 4 5 6 10 11 120 1 n (/2)x n7 8 9序列的离散卷积∑∞−∞=−==m m n y m x n y n x n z )()()(*)()(翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54N1=523h(n)n 0N2=3kN1=5231h(-k)k（2）平移x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54kh(1-k)k(4)相加26ny(n)83信号转换过程2.2 采样定理及实现一、采样过程1. 模拟信号采样器离散的脉冲信号t()sx nTτsT()sx nT()x t2. 数学描述∑+∞∞−−==)()()()()(S T S S nT t t x t t x nT x δδ（2.2.1)假设采样脉冲为理想脉冲（2.2.2)只考虑正值时间∑+∞=−=0n S S S S )nT t ()nT (x )nT (x δ∑+∞∞−−=)()()(S S S S nT t nT x nT x δ(2.2.3)二、采样定理(Sampling theory)离散信号X(nT s )连续信号X(t)采样定理：要想采样后不失真地还原原信号，采样频率必须大于原信号频谱中最高频率的两ms Ω≥Ω21.推导过程∑∑∞−∞=+∞∞−=−=m t Tjm mT ecnT t t πδδ2)()(2tTdtπTdt et T T tTjm 1)(2/2/=∫−−δ∑∞−∞=m t Tjm eπ2采样的脉冲序列时域采样信号是原始信号x(t)与脉冲序列的乘积dt（2.2.4)∑∫∫∝∝−=Ω−∝∝−Ω−∝∝−⋅=m tj t jm tj T dt e e T dt et T πδ21)(∑∑∫∝∝−=∝∝−=∝∝−Ω−Ω−Ω−Ω==m sm t m j m Tdt e T s )(21)(δπ(2.2.5))](*)([21)(ΩΔΩ=Ω∧j j X j X π将（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：])(*Ωj X ∑∫∝∝∝−−Ω−Ωs d m j X θθδθ)()(∑∑∝∝−=∝−−Ω=Ω−Ωm T s m j X T jm j X )]([1)(2π2.几点说明（1）频谱的幅度受加权为间隔重复T1π2T1sΩms Ω≥Ω2ms Ω<Ω2sΩtmΩmΩ高频与低频的混叠3.如何由X(nT s )重构x(t)工程上：D/A 转换器理论上：2/s Ω2/s Ω−)2/s Ω2/s Ω−)(Ωj Y ∫ΩΩ−ΩΩΩ=Ω222/)2/sin(s s t t d Te s s tj ∑∝∝−=−Ω−Ω=∗n s s nT t nT t nT x t h nT 2/)(]2/)(sin[)()()插值函数三、采样方式实时采样实时显示单次波形等效时间显示重复波形)∞⋅⋅⋅=,,0n 1222()()()()]nnx n y n x n y n ∑∑1||≤xy ρ相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统是数字信号处理领域中的重要分支，其研究对象是以离散时间为变量的信号和系统。
在离散时间信号和系统理论中，信号的变量只在离散时间点上取值，而系统对信号的处理也是在离散时间点上进行的。
离散时间信号和系统的研究为数字信号处理提供了理论基础和工具。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n是一个整数，代表信号的时间变量。
离散时间信号可以是有限长度的序列，也可以是无限长度的序列。
离散时间信号的幅度可以是实数或复数，表示信号在不同时间点上的取值。
离散时间信号可以用图形表示，横轴表示时间变量n，纵轴表示信号的幅度。
离散时间信号有几个重要的性质。
1. 周期性：如果对于某个正整数N，有x(n) = x(n+N)，那么离散时间信号是周期性的，其最小周期是N。
2. 偶对称性：如果对于任意的n，有x(n) = x(-n)，那么离散时间信号是偶对称的。
3. 奇对称性：如果对于任意的n，有x(n) = -x(-n)，那么离散时间信号是奇对称的。
4. 单位冲激响应：单位冲激响应是一个离散时间信号h(n)，在n=0时为1，其他时间点为0。
单位冲激响应在离散时间系统中起着重要的作用，可以用来表示系统对单位冲激信号的响应。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理的数学模型。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统具有叠加性和比例性质，即对于系统的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出信号y1(n)和y2(n)，有以下关系：1. 叠加性：系统对输入信号的响应是可叠加的，即y(n) = y1(n) + y2(n)。
2. 比例性：系统对输入信号的响应是可比例的，即y(n) =k1y1(n) = k2y2(n)，其中k1和k2是常数。
离散时间系统可以用差分方程表示：y(n) = a0x(n) + a1x(n-1) + ... + an-1x(1) + anx(0)，其中ai是系统的系数。
离散时间系统的输入和输出信号也可以用离散时间卷积进行描述：y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示离散时间卷积运算，h(n)是系统的单位冲激响应。
离散时间信号分析
在离散时间信号处理中，滤波器可以 通过数字计算实现，例如使用离散傅 里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换 （FFT）。
Part
05
离散时间信号的应用实例
数字音频处理中的离散时间信号分析
总结词
数字音频处理中的离散时间信号分析主要应用于音频信号的采样、量化、编码和传输等 环节，以提高音频质量、降低噪声和实现音频数据的压缩。
。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过计算两个信号之间的相关系 数，可以判断它们之间的相似程
度和变化趋势。
相关系数可以为正也可以为负， 正值表示正相关，负值表示负相 关，绝对值越大表示相关性越强
。
离散时间信号的滤波器实现
滤波器是用于提取或抑制特定频率成 分的电路或数字算法。
滤波器可以分为低通、高通、带通和 带阻等类型，根据不同的需求选择合 适的滤波器类型。
离散时间信号的频谱分析
频谱分析的定义
通过计算离散时间信号的 傅里叶变换，得到信号的 频谱表示，即各频率分量 的幅度和相位信息。
频谱分析的特点
频谱分析能够揭示信号中 隐藏的频率成分和模式， 有助于理解信号的内在结 构和特征。
频谱分析的应用
在音频处理、雷达信号处 理、振动分析等领域中， 频谱分析被广泛应用于信 号的特性分析和分类。
离散时间信号的变换
离散时间信号的变换是指将离散时间信号从一种表示形式转换为另一种表示形式的过程 。常见的变换包括离散时间信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
这些变换可以将离散时间信号从时域转换到频域或其他域，从而更好地分析信号的特性 和性质。
Part
03
离散时间信号的频域分析
离散时间信号的傅里叶变换
详细描述
在数字音频处理中，离散时间信号分析通过对音频信号进行采样、量化和编码，将连续 的模拟音频信号转换为离散的数字信号。通过对离散时间信号的分析和处理，可以实现 音频数据的压缩，降低存储和传输成本，同时提高音频质量。此外，离散时间信号分析
离散时间信号的时域分析
实验二离散时间信号的时域分析1.实验目的（1）学习MATLAB软件及其在信号处理中的应用，加深对常用离散时间信号的理解。
（2）利用MATLAB产生常见离散时间信号及其图形的显示，进行简单运算。
（3）熟悉MATLAB对离散信号的处理及其应用。
2.实验原理离散时间信号是时间为离散变量的信号。
其函数值在时间上是不连续的“序列”。
（1）单位抽样序列如果序列在时间轴上面有K个单位的延迟，则可以得到，即：该序列可以用MATLAB中的zeros函数来实现。
（2）正弦序列可以利用sin函数来产生。
（3）指数序列在MATLAB中通过：和来实现。
3.实验内容及其步骤（1）复习有关离散时间信号的有关内容。
（2）通过程序实现上述几种信号的产生，并进行简单的运算操作。
单位抽样序列参考：% Generation of a Unit Sample Sequenceclf;% Generate a vector from -10 to 20n = -10:20;% Generate the unit sample sequenceu = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];% Plot the unit sample sequencestem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);如果序列在时间轴上面有K个单位的延迟，则可以得到，即：，通过程序来实现如下所示结果。
正弦序列参考：% Generation of a sinusoidal sequencen = 0:40; f = 0.1;phase = 0; A = 1.5;arg = 2*pi*f*n - phase; x = A*cos(arg);clf; % Clear old graphstem(n,x); % Plot the generated sequenceaxis([0 40 -2 2]); grid;title('Sinusoidal Sequence'); xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude'); axis;指数序列参考：% Generation of a real exponential sequenceclf; n = 0:35; a = 1.2; K = 0.2;x = K*a.^n; stem(n,x);xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');（3）加深对离散时间信号及其特性的理解，对于离散信号能进行基本的运算（例如信号加、乘、延迟等等），并且绘出其图形。
实验二(离散信号分析)概论
y[k] 4
2
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
k Rxx[n]
20
10
0
-10
-5
2. 设 x(n) {1,-2,4,6,-5,8,10}，产生并画出下列序列的样 本(用stem函数)： x1(n) 5x(5 n) 4x(n 4) 3x(n) x2 (n) 2e0.5n x(n) cos(0.1 n)x(n 2) , 10 n 10
四、实验内容
3. 给出一个“简单”数字微分器：y(n) x(n) x(n 1) ， 它计算输入序列的后向一阶差分。对下面三角脉冲序列 实现上述微分器处理，并求出结果。
三、离散信号的产生（程序示例）
此部分内容参照“实验一 基本信号的产生”中离散信号部分 重点熟悉常用的基本函数
三、离散信号的产生（程序示例）
1. 单位脉冲序列的产生 函数zeros(1,n) 可以生成单位脉冲序列，zeros(1,n)产 生1行n列的由0组成的矩阵。
产生1单位脉冲序列的MATLAB程序如下：
x = 0.3*(1/2).^k;
6
5
stem(k,x);
4
3
2
1
0
-5
0
5
10
15
三、离散信号的产生（程序示例）
4. 正弦序列的产生 • 产生正弦序列的MATLAB程序如下:
离散时间信号的分析
武汉工程大学实验报告实验课程数字信号处理姓名张鹏学号0704140228专业及班级07通信02班实验地点实验组号实验日期11月19日实验项目离散时间信号的分析实验目的认识常用的各种信号，理解其数字表达式和波形表示掌握在计算机中生成及绘制数字信号波形的方法掌握序列的简单运算及计算机实现与作用理解离散时间傅里叶变换，Z变换及它们的性质和信号的频域分析实验原理，实验步骤，实验仪器设备（名称，型号，功能，量程，在本次试验中的用途）二、实验设备计算机，MATLAB语言环境。
三、实验基础理论1.序列的相关概念2.常见序列（哪几个？）3.序列的基本运算（哪些？）4.离散傅里叶变换的相关概念5.Z变换的相关概念（4、5的关系？）四、实验内容与步骤1.离散时间信号（序列）的产生利用MATLAB语言编程产生和绘制单位样值信号、单位阶跃序列、指数序列、正弦序列及随机离散信号的波形表示。
2.序列的运算（１）利用ＭＡＴＬＡＢ语言编程实现信号平滑运算。
（２）利用MATLAB语言编程实现信号的调制。
（３）利用MATLAB语言编程实现信号卷积运算。
（４）利用MATLAB语言编程实现信号离散傅立叶的正反变换。
利用MATLAB语言编程实现信号的圆周移位、圆周卷积，验证DFT 的圆周时移、圆周卷积性质和圆周卷积与线性卷积的关系。
验证一个周期实序列奇偶部分的DFT与此序列本身的DFT 之间的关系。
利用MATLAB语言编程实现信号的Z变换及其反变换、Z变换的零、极点分布。
1.单位值信号程序x=2;Y=1;stem(x,y);title(‘单位值’)2.单位阶跃序列程序n0=0;n1=-10;n2=10;n=[n1:n2];x=[(n-n0)>=0];stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('单位阶跃序列');指数序列n=[0:10];x=(0.5).^n;stem(n,x)xlabel('n');ylabel('x(n)');title('实指数序列’)正弦序列n=[-50:50];x=2*sin(0.05*pi*n);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('正弦序列');随机序列程序n=[1:10];x=rand(1,10);subplot(221)stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('随机序列')平滑运算R=51;d=0.8*(rand(R,1)-0.5);m=0:R-1;s=2*m.*(0.9.^m);x=s+d';subplot(2,1,1);plot(m,d','r-',m,s,'g--',m,x,'b-.');xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude'); legend('d[n]','s[n]','x[n]');x1=[0 0 x];x2=[0 x 0];x3=[x 0 0];y=(x1+x2+x3)/3;subplot(2,1,2);plot(m,y(2:R+1),'r-',m,s,'g--');legend('y[n]','s[n]');xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude')两个序列相加减函数function[y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2)n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n));y2=y1;y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;y=y1+y2;两个序列相乘函数function[y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n));y2=y1;y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;y=y1.*y2;两序列相乘和相加程序clc;clear;x1=[0,1,2,3,4,3,2,1,0];n1=-2:6;x2=[2,2,0,0,0,-2,-2];n2=2:8;[y1,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2);[y2,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title('ÐòÁÐx1')xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title('ÐòÁÐx2')xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(2,2,3);stem(n,y1);title('Á½ÐòÁÐÏà³Ëx') xlabel('n');ylabel('y1(n)');subplot(2,2,4);stem(n,y2);title('Á½ÐòÁÐÏà¼Ó') xlabel('n'),ylabel('y2(n)');序列卷积的函数function[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh)nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x))+nh(length(h)); ny=[nyb:nye];y=conv(x,h);卷积的运算x=[0 0.5 1 1.5 0];nx=0:4;h=[1 1 1 0 0];nh=0:4;[y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh);subplot(2,2,1);stem(nx,x);title('序列X');xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(2,2,2);stem(nh,h);title('序列h');xlabel('n');ylabel('h(n)');subplot(2,2,3);stem(ny,y);title('两序列卷积'); xlabel('n');ylabel('y(n)');序列的圆周移位已知序列X(n)=10(0.8)n(0≤n≤10)，序列圆周向右移m=3，绘制原序列波形和圆周移位序列波形cigmod函数function m=sigmod(n,N);m=rem(n,N);m=m+N;m=rem(m,N);cirshhift函数function y=cirshift(x,m,N);if length(x)>Nerror('N must be greater then length(x)'); endx=[x zeros(1,N-length(x))];n=[0:N-1];n=sigmod(n-m,N);y=x(n+1);圆周移位程序n=[0:10];M=6;N=11;x=10*0.8.^n;y=cirshift(x,M,N);subplot(211)stem(n,x);title('原序列波形');xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(212)stem(n,y);title('圆周移位序列波形');xlabel('n');ylabel('y(n)');圆周卷积已知X1=[1 2 2],x2=[1 2 3 4],试计算x1○4x2程序卷积程序function y=circonvt(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('Length(x1)is not great than N'); endif length(x2)>Nerroe('Lengeh(x2)is not greater than N'); endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];m=[0:N-1];x2=x2(mod(-m,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:N;H(n,:)=cirshift(x2,n-1,N);endy=x1*H';运算程序x1=[1 2 2];x2=[1 2 3 4];disp('N=5')N=5;y=circonvt(x1,x2,N)运算结果y= 9 4 9 14 14线性卷积：x1=[1 2 2];x2=[1 2 3 4];N=7;x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];Xk1=dft(x1,N);Xk2=dft(x2,N);Yk=Xk1.*Xk2;y=idft(Yk,N)dft程序function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;Idft程序function[Xk]=idft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^(-nk);Xk=xn*WNnk/N;Z变换求(n-3)u(n)的Z变换F=ztrans(sym('n-3'))F=simplify(F)运行结果F =z/(z-1)^2-3*z/(z-1)F =-z*(-4+3*z)/(z-1)^2逆Z变换求X(z)=5z-1/(1+z-1-6z-2),2<|z|<3a=[1 1 -6];b=[0 5 0];[r,p,k]=residuez(b,a)运行结果r =-11p =-32k =将实信号分成奇和偶两部分n=[0:10];x=stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10);[xe,xo,m]=evenodd(x,n);subplot(2,2,1);stem(n,x);title('矩形脉冲'); xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(2,2,2);stem(m,xe);title('偶部'); xlabel('n');ylabel('xe(n)');subplot(2,2,4);stem(m,xo);title('奇部'); xlabel('n');ylabel('xo(n)')函数function[xe,xo,m]=evenodd(x,n)if any(imag(x)~=0)error('x²»ÊÇʵÐòÁÐ')endm=-fliplr(n);m1=min([m,n]);m2=max([m,n]);m=m1:m2;nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);x1=zeros(1,length(m));x1(n1+nm)=x;x=x1;xe=0.5*(x+fliplr(x));xo=0.5*(x-fliplr(x));分成奇和偶函数二function[xev,xod]=circevod(x)if any(imag(x)~=0)error('不是实序列')endN=length(x);n=0:(N-1);xev=0.5*(x+x(sigmod(-n,N)+1));xod=0.5*(x-x(sigmod(-n,N)+1));已知序列X(n)=10(0.8)n,序列长度N=21绘出傅里叶的奇数部分和偶数部分并求它们的DFT n=[0:20];N=length(n);x=10*0.8.^n;[xev,xod]=circevod(x);subplot(221);stem(n,xev);title('奇部');xlabel('n');ylabel('xev(n)');subplot(222)stem(n,xod);title('偶部');xlabel('n');ylabel('xod(n)');hold onplot(n,zeros(1,N))hold offXkev=dft(xev,N);Xkod=dft(xod,N);Xkse=dft(x,N);12subplot(223);stem(n,real(Xkev));xlabel('n');ylabel('Xkev(k)');title('偶部分的DFT');subplot(224);stem(n,imag(Xkod));xlabel('k');ylabel('Xkod(k)');title('奇部分的DFT');hold onplot(n,zeros(1,N))hold off五、实验扩展与思考1. 编程产生方波信号序列和锯齿波信号序列。
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2 π
N N = ， 为有理数 ② ω0 m m 2π sin[ω0 (n+ N)] = sinω0 n + m = sin(ω0n + m⋅ 2π) = sin(ω0n) + ω0 2π 周期： N sin(ω0n)仍为周期的 周期： = m ω0 2π ③ 为无理数
1 , δ (n − m) = 0,
n=0 n≠0
-2 -1
0 1 2
n
n=m n≠m
-2 -1
δ (n− m)
1
n 0 1 m
时移性
0, n ≠ j δ (n − j) = 1, n = j
比例性
cδ (n), cδ (n − j) f (n)δ (n) = f (0)δ (n)
n
25/8 Z(n) 9/4 3/2 3/2 .… … 1/4 -2 -1 0 1 2
2n , n < −1 3 z(n) = x(n) + y(n) = , n = −1 2 1 1 n 2 ( 2) + n +1, n ≥ 0
2．序列相乘
是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。
(3)．离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时 间信号；而时间和幅值都离散化的信号 称作为数字信号。 x(n) x(0) x(-1) x(1) x(2) n
x(-2)
-2
-1
0
1
2
2．序列 离散时间信号又称作序列 序列。通常，离散 序列 时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该 用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储 器中，加之非实时处理，可以用x(n)表示 x(nT)，即第n个离散时间点的值，这样x(n) 就表示一序列数，即序列：﹛x(n)﹜。 为了方便，通常用x(n)表示序列{x(n)}。
x(nT) = sin(
令 ω0 =
区别: 区别:
0 ω 0
0
0
nT)
T，离散正弦信号
x(n) = sin(ω0n)
连续域的正弦频率 离散域的频率
单位 弧度/ 秒 单位 弧度
ω0 ∈(− π，π )
2.1.2 序列的运算
1．序列相加
两序列的和是指同序号(n)的序列值 逐项对应相加得一新序列。
δ (t) = 0, t ≠ 0 定义： δ (t) → ∞, t = 0 ∞ ∫ ∞δ (t)dt = 1 −
取样特性：
∫
∞
−∞
f (t)δ (t −t0 )dt = f (t0 )
∞ −∞
t0 = 0时, ∫ f (t)δ (t)dt = f (0)
(2)频域卷积定理 频域卷积定理 若 Xa ( jΩ) = F[xa (t)], ∆T ( jΩ) = F[δT (t)], ˆ ˆ ˆ X ( jΩ) = F[x (t )] , xa (t ) = xa (t) ⋅δT (t),
序列的三种形式
x(n)
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
O
L n x(n)
双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞； L − 双边序列：
O
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
O
n1
n2
n
二．几种常用序列 1．单位抽样序列(单位冲激)δ (n)
δ (n)
1
1, δ (n) = 0,
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 −n ( ) , n ≤1 x(−n) = 2 2 0, n >1
n
5．尺度变换 ． （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。
6．序列的离散卷积 ．序列的离散卷积
卷积和计算分四步：折迭(翻褶)， 位移，相乘，相加。
2.2
连续时间信号的取样
2.2.1 取样器与取样 1.取样器
xa (t)
P(t)
ˆ xa (t)
τ
T号
ˆ xa (t)
脉 调 : xa (t) = xa (t) ⋅ p(t) 冲 幅 ˆ ˆ xa (t)取 信 样 号
m=−∞
∑δ (t − mT)
1
∞
1 ∞ jkΩst δT (t) = ∑e T k =−∞
1 ∞ jkΩst ∆T ( jΩ) = F[δT (t)] = F ∑e T k =−∞
π 2 = T
k =−∞
∑δ (Ω− kΩ )
s
∞
2
∆T ( jΩ)
Ωs = 2π T
…
−2Ωs −Ωs
第2章 离散时间信号分析
第2章 离散时间信号分析
• • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 离散时间信号-序列 离散时间信号 序列 采样定理及其实现 离散时间信号的相关分析 离散时间信号的Z 离散时间信号的Z域分析 离散系统的描述与分析 物理可实现系统
2.1 离散时间信号 序列 离散时间信号-序列
{x(n)}与x(n)概念上有区别，但为了写方便，常以 x(n)
表示整个序列，在应用场合一般不会混淆。
数字 列 如 L0.9, 0.8,0.3,0.1L 序 ↑ n=0 有规 的 可 用函 表 : x(n) 则 , 以 数 示 表 段 长短 示 表 各序 值 大 列 的 小 波形 示: 线 的
z ( n) = x ( n) y ( n)
0, n < −1 1 z(n) = x(n) y(n) = , n = −1 2 1n 1 ( 2)(n +1)( 2) , n ≥ 0
3．序列移位
当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位；
x(n+m)表示依次左移m位。它是向右或向 左移动了一段距离。
• 2.1.1 序列、几种常用序列 几种常用序列 • 2.1.2 序列的运算
一．序列 1．信号及其分类 (1)．信号 信号是传递信息的函数，它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。
如，f(x); f(t); f(x,y)等。
(2)．连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号，幅值 为连续的信号称为模拟信号，连续时间信 号与模拟信号常常通用。
例:
x(n)
a−3
a2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
a6
δ(n+3) 位移加权和
a−3
0 n
δ(n-2)
a2
0
n
δ(n-6)
n
0
a6
2．单位阶跃序列 u（n）
1, u(n) = 0,
n≥0 n<0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
δ (n) = ∇u(n) = u(n) −u(n −1)
∞ m=0
u(n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +δ (n − 2) +L
3．矩形序列 RN (n)
1 , RN (n) = 0,
0 ≤ n ≤ N −1 其 n 他
1
−1 o 1 2 3
RN (n)
RN (n) = u(n) −u(n − N)
N−1 m=0
例：
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 n+1 ( ) , n +1 ≥ −1 x(n +1) = 2 2 0, n +1 < −1
x(n)
1 1/2 1/4 1/8 ...
n
-2
-1 0
1
2
1 1 n ( ) , n ≥ −2 即 (n +1) = 4 2 x 0, n < −2
Ωs
…
Ωs 2Ωs
0
Ω
冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。
2．抽样信号的频谱 ．
2.实际取样与理想取样
xa (t)
0
t
p(t) 实际取样：
p(t)为脉冲序列
τ
0 T
…
t
ˆ xa (t)
1 fs = T
t
理想取样： p(t) = δT (t)（冲激序列）
…
t
ˆ xa (t)
1 fs = T
t
2.2.2 取样定理 1．预备知识 （1）冲激信号及其取样特性
δ (t)
(1) 0 t
( 正弦序列x 正弦序列xn) = sin(nω) 余弦序列： (n) = cos(nω0 ) x 0 余弦序列：
sin(nω0 ) 1 O 1 5 10 n sin(Ω0t )
−1
ω0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
2 π 当 0＝ , 则 列 10个 复 次 弦 络 数 。 ω 序 每 重 一 正 包 的 值 10
L
N −1 n
RN (n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +L+δ [n − (N −1)]
4．单边指数序列
anu(n)
a >1
anu(n)
0< a <1 1
1 −1
O
1
2
3
4
n
−1 O
1
2
3
4
n
anu(n)
a < −1
anu(n)
−1 < a < 0
1 −1 O 1 2
3
1 4
n
−1 O