信息论与编码课件(第五章)
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《信息论与编码》课件第5章 信源编码技术
（3）将每一大组的信源符号再分成两组，使划分后 的两个组的概率之和尽可能近似相等，并将各组分 别赋予一个二进制码元“0”和“1”。 （4）如此重复，直至每个组只剩下一个信源符号为 止。
❖ 例5.2对例5.1的信源进行费诺编码,具体编码过程如下
消息符 号
概率
a1
0.20
a2
0.19
a3
0.18
a4
0.17
编码效率为
H (X ) 2.61 0.953
L 2.74
➢ 显然，费诺码要比上述香农码的平均码长小，编码效率高。
➢ 从上面的例子可以看出，p(a4)<p(a2)，而码长L4<L2，从 统计角度来看，平均码长一定不是最短的;
➢ 如果将两个符号对应的码字互换，这样编码得到的平均码长
肯定小于原来的平均码长。尽管如此，费诺码的平均码长仍
10 2
11 2 010 3
011 3
方法1 方法2
❖ 根据两种方法的编码结果，计算两种哈夫曼码的平 均码长，结果是两种编码方法的平均码长相等，即
7
L p(ai )li =2.2 码元/符号 i 1
编码效率也相等，都为 H (X ) =0.965
，L
但是两种码的质量不完全相同，编码质量可以用码方差衡量，即
a5
0.15
a6
0.10
a7
0.01
第一次 分组
0
1
第二次 分组
0 1 0
1
第三次 分组
0 1 0
1
第四次 分组
0 1
二元码字
00 010 011 10 110
1110
1111
码长
2 3 3 2 3
4
❖ 例5.2对例5.1的信源进行费诺编码,具体编码过程如下
消息符 号
概率
a1
0.20
a2
0.19
a3
0.18
a4
0.17
编码效率为
H (X ) 2.61 0.953
L 2.74
➢ 显然，费诺码要比上述香农码的平均码长小，编码效率高。
➢ 从上面的例子可以看出，p(a4)<p(a2)，而码长L4<L2，从 统计角度来看，平均码长一定不是最短的;
➢ 如果将两个符号对应的码字互换，这样编码得到的平均码长
肯定小于原来的平均码长。尽管如此，费诺码的平均码长仍
10 2
11 2 010 3
011 3
方法1 方法2
❖ 根据两种方法的编码结果，计算两种哈夫曼码的平 均码长，结果是两种编码方法的平均码长相等，即
7
L p(ai )li =2.2 码元/符号 i 1
编码效率也相等，都为 H (X ) =0.965
，L
但是两种码的质量不完全相同，编码质量可以用码方差衡量，即
a5
0.15
a6
0.10
a7
0.01
第一次 分组
0
1
第二次 分组
0 1 0
1
第三次 分组
0 1 0
1
第四次 分组
0 1
二元码字
00 010 011 10 110
1110
1111
码长
2 3 3 2 3
4
信息论与编码课件2011Chapter5
信息论与编码
5-2 译码规则和错误概率
信源 信源编码 信道编码 信道 P(Y/X) 信源信道 译码 0 输入 1 信 宿 1－p=1/10 p p 1－p=1/10 0 输出 1
图示：二进制对称信道 译码规则1 (输入端先验等概条件下) 译码规则1:(输入端先验等概条件下)
输出端“0”，认为输入端输入“0”，译码为“0”
信息论与编码
5-1 引言
干扰源 信号 编码器 消息 信 源 信 道 干扰 信号 解码器 消息 信 宿
(1)对无失真信源编码的码字，用有噪声信道的输 入符号集作为码符号集，再进行一次编码提高 其抗干扰能力 (2)利用和挖掘信道的统计特性，保持一定有效性 的基础上，提高其抗干扰的可靠性（有噪信道 ， 编码定理）
* *
(i, j = 1, 2, 3)
( j = 1, 2, 3; a ∈ {a1 , a2 , a3 })
*
(i)对于信道输出符号b1而言，信道矩阵 而言 信道矩阵P中第 中第一列元素： 列元素
p(b1 / a1 ) = 0.5; p(b1 / a2 ) = 0.2;
*
p(b1 / a3 ) = 0.3
信息论与编码
5-2 译码规则和错误概率 5.2.1 译码规则 定义：
信息论与编码
5-2 译码规则和错误概率 例如：图示BSC信道，输入 符号集X:{0,1}, {0 1} 输出符号集 Y:{0,1},可以组成 r2=4种译码 规则:
F ( 0) = 0 F (1) = 0 F ( 0) = 1 F (1) = 0
ห้องสมุดไป่ตู้
选择合适的译码规则，成为降低平均错误译码概率， 规定译码规则 提高通信有效性的一种可控制的有效手段 F(bj) = ai F(bj) = ai
[课件]信息论课程讲义-第五章 纠错编码原理PPT
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2018/12/3 9
5.1.3 最大后验概率准则
由平均错误译码概率的表达式可以看出，错误译码 概率与信道输出端随机变量Y的概率分布p(yj)有关， 也与译码准则有关。当信道转移概率 p(yj/xi) 确定， 而 且 信源 统 计特 性 p(xi) 确 定 之后 ， 信道 输 出端的 p(yj)也就确定了。
信息论课程 讲义-第五章 纠错编码原 理
• 信源编码-Source Coding
– Compresses the data to remove redundancy
• 信道编码-Channel Coding
– Adds redundancy to protect against channel errors
j 1 j 1
m
m
当式中的每一项的P{F(yj)=xi/yj}达到最大值时，平均 错误译码概率就可以为最小值。 设信源X的信源空间为： x x X : x n 1 2 ... [ X , P ] : p ( x ) p ( x ) p ( x ) P ( X ) : ... n 1 2 信道的转移矩阵为：
因为：p(xi,yj)=p(xi)p(yj/xi); 而p(yj)可以由p(xi,yj)的(i=1,2, …,n)求和得到。
因此，在这种情况下，平均错误译码概率只与 译码准则有关了。通过选择译码准则可以使平 均译码概率达到最小值。
2018/12/3 10
P p () y { e / y } p () y 1 P [ F () y x / y ] } e jP j j{ j i j
j 1 j 1 m m
同样可以得到平均错误译码概率为：
m m
P p () y { e / y } p () y 1 P [ F () y x / y ] } e jP j j{ j i j
5.1.3 最大后验概率准则
由平均错误译码概率的表达式可以看出，错误译码 概率与信道输出端随机变量Y的概率分布p(yj)有关， 也与译码准则有关。当信道转移概率 p(yj/xi) 确定， 而 且 信源 统 计特 性 p(xi) 确 定 之后 ， 信道 输 出端的 p(yj)也就确定了。
信息论课程 讲义-第五章 纠错编码原 理
• 信源编码-Source Coding
– Compresses the data to remove redundancy
• 信道编码-Channel Coding
– Adds redundancy to protect against channel errors
j 1 j 1
m
m
当式中的每一项的P{F(yj)=xi/yj}达到最大值时，平均 错误译码概率就可以为最小值。 设信源X的信源空间为： x x X : x n 1 2 ... [ X , P ] : p ( x ) p ( x ) p ( x ) P ( X ) : ... n 1 2 信道的转移矩阵为：
因为：p(xi,yj)=p(xi)p(yj/xi); 而p(yj)可以由p(xi,yj)的(i=1,2, …,n)求和得到。
因此，在这种情况下，平均错误译码概率只与 译码准则有关了。通过选择译码准则可以使平 均译码概率达到最小值。
2018/12/3 10
P p () y { e / y } p () y 1 P [ F () y x / y ] } e jP j j{ j i j
j 1 j 1 m m
同样可以得到平均错误译码概率为：
m m
P p () y { e / y } p () y 1 P [ F () y x / y ] } e jP j j{ j i j
信息论与编码第五章部分PPT课件
a
符号概率
pi
0.100(1/2)
符号累积概率
Pr
0.000(0)
b 0.010(1/4) 0.100(1/2)
c 0.001(1/8) 0.110(3/4)
d 0.001(1/8) 0.111(7/8)
译码
C(abda)=0.010111<0.1[0,0.1] 第一个符号为a 放大至[0,1](×pa-1)：
可以纠正一位错码 dmin=3
可以纠正一位错码
可纠正一位错码同时 检出二位错码dmin=4
定理（1）能检出e个错码的条件是d0>=e+1;
（2）能纠正t个错码的条件是t=INT[(dmin-1)/2];
（3）能纠正t个错码，同时检出e个错码的条件是d0>=e+t+1。
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
28
信源消息
符号ai
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
符号概
率(ai)
0.20 0.19 0.18 0.17 0.15 0.10 0.01
累加概 -log p(ai)
率Pi
0 0.2 0.39 0.57 0.74 0.89 0.99
2.32 2.39 2.47 2.56 2.74 3.32 6.64
C ( ) 0, A( ) 1
C ( Sr
A
(
Sr
) )
C (S A(S
) )
pi
A(S
) Pr
L log 1 A(S )
C() 0, A() 1
C(Sr) A(Sr)
C(S) A(S)pi
A(S)Pr
符号概率
pi
0.100(1/2)
符号累积概率
Pr
0.000(0)
b 0.010(1/4) 0.100(1/2)
c 0.001(1/8) 0.110(3/4)
d 0.001(1/8) 0.111(7/8)
译码
C(abda)=0.010111<0.1[0,0.1] 第一个符号为a 放大至[0,1](×pa-1)：
可以纠正一位错码 dmin=3
可以纠正一位错码
可纠正一位错码同时 检出二位错码dmin=4
定理（1）能检出e个错码的条件是d0>=e+1;
（2）能纠正t个错码的条件是t=INT[(dmin-1)/2];
（3）能纠正t个错码，同时检出e个错码的条件是d0>=e+t+1。
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
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信源消息
符号ai
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
符号概
率(ai)
0.20 0.19 0.18 0.17 0.15 0.10 0.01
累加概 -log p(ai)
率Pi
0 0.2 0.39 0.57 0.74 0.89 0.99
2.32 2.39 2.47 2.56 2.74 3.32 6.64
C ( ) 0, A( ) 1
C ( Sr
A
(
Sr
) )
C (S A(S
) )
pi
A(S
) Pr
L log 1 A(S )
C() 0, A() 1
C(Sr) A(Sr)
C(S) A(S)pi
A(S)Pr
信息论与编码第5章
信息论与编码第5章第五章信源编码（第⼗讲）（2课时）主要内容：（1）编码的定义（2）⽆失真信源编码重点：定长编码定理、变长编码定理、最佳变长编码。
难点：定长编码定理、哈夫曼编码⽅法。
作业：5。
2，5。
4，5。
6；说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学⽣兴趣，要注意多讨论⽤途。
另外，注意，解题⽅法。
多加⼀些内容丰富知识和理解。
通信的实质是信息的传输。
⽽⾼速度、⾼质量地传送信息是信息传输的基本问题。
将信源信息通过信道传送给信宿，怎样才能做到尽可能不失真⽽⼜快速呢？这就需要解决两个问题：第⼀，在不失真或允许⼀定失真的条件下，如何⽤尽可能少的符号来传送信源信息；第⼆，在信道受⼲扰的情况下，如何增加信号的抗⼲扰能⼒，同时⼜使得信息传输率最⼤。
为了解决这两个问题，就要引⼊信源编码和信道编码。
⼀般来说，提⾼抗⼲扰能⼒（降低失真或错误概率）往往是以降低信息传输率为代价的；反之，要提⾼信息传输率常常⼜会使抗⼲扰能⼒减弱。
⼆者是有⽭盾的。
然⽽在信息论的编码定理中，已从理论上证明，⾄少存在某种最佳的编码或信息处理⽅法，能够解决上述⽭盾，做到既可靠⼜有效地传输信息。
这些结论对各种通信系统的设计和估价具有重⼤的理论指导意义。
§3.1 编码的定义编码实质上是对信源的原始符号按⼀定的数学规则进⾏的⼀种变换。
讨论⽆失真信源编码，可以不考虑⼲扰问题，所以它的数学描述⽐较简单。
图 3.1是⼀个信源编码器，它的输⼊是信源符号},,, {21q s s s S =，同时存在另⼀符号},,,{21r x x x X =，⼀般来说，元素xj 是适合信道传输的，称为码符号（或者码元）。
编码器的功能就是将信源符号集中的符号s i （或者长为N 的信源符号序列）变换成由x j (j=1,2,3,…r)组成的长度为l i 的⼀⼀对应的序列。
输出的码符号序列称为码字，长度l i 称为码字长度或简称码长。
可见，编码就是从信源符号到码符号的⼀种映射。
《信息论与编码》课件1第5章
第5章 有噪信道编码
当p=0.01时， Pe≈7.8×10－4， R 2 比特/ 5
此码的编码信息传输率与M=4, n=3的编码相差不大，错 误概率却低得多： 与M=2, n=3的编码相比，错误概率相
从前面的论述中可以看出，在有噪信道中消息传输的错 误概率与所采用的编译码方法有关，那么在有噪信道中，有 没有存在一种最佳的编码方法使得错误概率尽可能小呢？ 在使平均错误概率尽可能小的情况下，可达的最大的信息传 输速率是多少呢？Shannon在1948年的论文中首先给出了肯 定的回答，并指出这个可达的最大的信息传输速率是有噪信 道的信道容量，这就是著名的Shannon第二编码定理，也称
P C74 p4 (1 p)3 C75 p5 (1 p)2 C76 p6 (1 p) p7 2.6 103
对于信源［X, P］，每个符号的平均信息量为H(X)，
H ' H(X)
(5.1)
n
第5章 有噪信道编码
其单位为信息单位/码符号。例如，当信息单位为比特时， 每个码符号的平均信息量的单位为比特/码符号。由例5.1可 知，每个信源符号所需要的码元越多，传输效率越低。我 们把编码后的信息传输率定义为
尽管TX（n, ε）中元素个数不少，约为2nH(X)个，但 与‖Xn‖
事实上，若‖X‖=r，则Xn中的元素个数为rn=2n logr 个，有：
第5章 有噪信道编码
Tx (n, ) 2n[logrH ( X ) ]
Xn
若－n［logr－H(X)－ε］>0，即信源非等概分布，
则有n→∞时α→0 若信源等概, H(X)=log r，则由式(5.10)得：
y=(y1, y2, …, yN)
yi∈Y
P(xi)、P(yi)是单符号离散信道输入和输出的概率分布，
《信息论与编码》第5章哈夫曼编码
编码简介
什么是哈夫曼编码方法
1952年由美国计算机科学家戴维· 哈夫曼先生提出 是一种数据压缩技术 该方法依据字符出现的概率进行编码 ，其基本思想为： 出现概率高的字符使用较短的编码 出现概率低的则使用较长的编码 使编码之后的码字的平均长度最短
哈夫曼编码方法
哈夫曼编码方法包含两个过程
哈夫曼编码方法包含两个过程
编码过程和译码过程
编码过程 译码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼译码 HuffmanDecod（HT，CC，W，&OC）
输入的是哈夫曼树HT、代码报文CC和字符频度表W 输出的是原码报文OC
OC
输出OC 到哈夫曼译码系统之外 返回开头
字母a的编码为110 字母n的编码为111
1
4 n
因此，在电文中出现频率 高的字母的编码相对短， 而出现频率低的字母的编 码相对长
111 字符编码表HC=((d,0),(i,10),(a,110),(n,111))
哈夫曼编码过程演示
编码 A1 A2 A3 0.23 0.21 0.18
1
0 1 0 1 0.10 0
编码过程和译码过程
编码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼编码 HuffmanCoding（HT，&HC）
输入是哈夫曼树HT 输出是字符编码表HC
什么是哈夫曼编码方法
1952年由美国计算机科学家戴维· 哈夫曼先生提出 是一种数据压缩技术 该方法依据字符出现的概率进行编码 ，其基本思想为： 出现概率高的字符使用较短的编码 出现概率低的则使用较长的编码 使编码之后的码字的平均长度最短
哈夫曼编码方法
哈夫曼编码方法包含两个过程
哈夫曼编码方法包含两个过程
编码过程和译码过程
编码过程 译码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼译码 HuffmanDecod（HT，CC，W，&OC）
输入的是哈夫曼树HT、代码报文CC和字符频度表W 输出的是原码报文OC
OC
输出OC 到哈夫曼译码系统之外 返回开头
字母a的编码为110 字母n的编码为111
1
4 n
因此，在电文中出现频率 高的字母的编码相对短， 而出现频率低的字母的编 码相对长
111 字符编码表HC=((d,0),(i,10),(a,110),(n,111))
哈夫曼编码过程演示
编码 A1 A2 A3 0.23 0.21 0.18
1
0 1 0 1 0.10 0
编码过程和译码过程
编码过程
构建哈夫曼树 CreatHT（W，&HT）
输入是字符频度表W
表中记录的是原码报文中出现的不同符号个数和频率
输出是哈夫曼树HT
进行哈夫曼编码 HuffmanCoding（HT，&HC）
输入是哈夫曼树HT 输出是字符编码表HC
《信息论与编码全部》课件
添加副标题
信息论与编码全部PPT课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
信息论与编码全部PPT课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
最新信息论-第五章教学讲义ppt
当d(y,u(0)) min d(y,u)时， u跑遍所有码字
将输出 y译 值为码 u(0字 )。
2021/3/12
14
§5.1 离散信道编码问题
命题 最大似然概率准则等价于最小距离准则。 证明
pN(y|u)=P(Y1=y1|U1=u1)P(Y2=y2|U2=u2)…P(YN=yN|UN=uN) =(p/(D-1))d(1-p)N-d，
其中d是y与u的Hamming距离。 注意到p/(D-1)<(1-p)。所以 pN(y|u)达到最大，当且仅当y与u的Hamming距离达到最小。 得证。
2021/3/12
15
§5.1 离散信道编码问题
命题 如果每个码字是等概出现的，则最大后验概率准则等价 于最大似然概率准则。
证明
max b(u| y) max q(u)pN(y|u)
（4）过程 (Y1Y2…YN)→(U1’U2’…UN’)→(X1’X2’…XL’)
称为纠错译码。当(X1’X2’…XL’)=(X1X2…XL)时称为正 确译码（实际上就是正确接收）。
2021/3/12
8
§5.1 离散信道编码问题
（5）N比L大得越多，1/DN-L份额越小，码字的分布越 稀疏，信道传输错误不在这1/DN-L份额之内的可能 性越大，即信道传输错误越容易被检测到。但N比L 大得越多，信道传输的浪费越大。
简记率b。(u|y)=P((U1U2…UN)=u|(Y1Y2…YN)=y)。称b(u|y)为后验概 最大后验概率准则：
当b(u(0) | y) maxb(u| y)时， u跑遍所有码字
将输出 y译值为码 u(0)。 字
2021/3/12
10
§5.1 离散信道编码问题
将输出 y译 值为码 u(0字 )。
2021/3/12
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§5.1 离散信道编码问题
命题 最大似然概率准则等价于最小距离准则。 证明
pN(y|u)=P(Y1=y1|U1=u1)P(Y2=y2|U2=u2)…P(YN=yN|UN=uN) =(p/(D-1))d(1-p)N-d，
其中d是y与u的Hamming距离。 注意到p/(D-1)<(1-p)。所以 pN(y|u)达到最大，当且仅当y与u的Hamming距离达到最小。 得证。
2021/3/12
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§5.1 离散信道编码问题
命题 如果每个码字是等概出现的，则最大后验概率准则等价 于最大似然概率准则。
证明
max b(u| y) max q(u)pN(y|u)
（4）过程 (Y1Y2…YN)→(U1’U2’…UN’)→(X1’X2’…XL’)
称为纠错译码。当(X1’X2’…XL’)=(X1X2…XL)时称为正 确译码（实际上就是正确接收）。
2021/3/12
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§5.1 离散信道编码问题
（5）N比L大得越多，1/DN-L份额越小，码字的分布越 稀疏，信道传输错误不在这1/DN-L份额之内的可能 性越大，即信道传输错误越容易被检测到。但N比L 大得越多，信道传输的浪费越大。
简记率b。(u|y)=P((U1U2…UN)=u|(Y1Y2…YN)=y)。称b(u|y)为后验概 最大后验概率准则：
当b(u(0) | y) maxb(u| y)时， u跑遍所有码字
将输出 y译值为码 u(0)。 字
2021/3/12
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§5.1 离散信道编码问题
信息论与编码 第五章
i
i
i
1
2
3
N
1 N 1 ( b1 a 1 )( b 2 a 2 ) ( b N a N ) ( bi a i ) i 1 p(x ) 0
x ( bi a i )
i 1 N
N
x ( bi a i )
i 1
满足以上条件的多维连续信源称为在N维 区域体积中的均匀分布的 N维连续信源 下面计算N维均匀分布连续信源的相对熵 这里对于多维连续信源，其相对熵为：
2 1 2 2
令
h( X 1) h( X )
1 2 1 2
ln 2 e ln 2 e
2 1
2
2 2
他们分别为高斯随机变量各自的相对熵。上式中的 第三项是一个与相关系数有关的量。显然， 可见，对于二维高斯信源而言：
ln 1
2
0
h ( X ) h ( X 1 X 2 ) [ h ( X 1 ) h ( X 2 )]
f (x) 1 2 1 2
d
f ( ) e
j ( x )
d
可改写为
f (x)
{
f ( ) e
j
d }e
j x
d
现令
F ( )
1
f ( )e
j
d
则有
f (x) 2
F ( )e
j x
d
上式所示的F-反变换公式，由频谱函数 F ( )求 得其时间函数 f (t )。 F-变换和反变换是限时、限频 函数的抽样定理的主要数学工具。
信息论与编码课件(全部课程内容)
P(b1 | a1 ) P(b2 | a1 ) P(b | a ) P(b | a ) 2 2 [ PY | X ] 1 2 P(b1 | ar ) P(b2 | ar )
一.1.”输入符号 a,输出符号 b”的联合概率 i j
P{X a i ,Y=b j } p a i ,b j p a i p b j /a i
1。当p (ai / b j ) 1时， 1 I (ai ; b j ) log I (ai )(i 1, 2, , r; b 1, 2, , s) p (ai )
信号 a i ．
收信者收到输出符号 bj 后，推测信源以概率１发
2。当p (ai〈p (ai / b j〈1时， ) ) I (ai ; b j ) log p (ai / b j ) p (ai ) 〉 i 1, 2, , r ; b 1, 2, , s ) 0(
此式称为符号 a i 和 bj 之间的互信函数． 我们把信宿收到 bj 后，从 bj 中获取关于 a i 的信 息量 I (ai ; bj ) 称为输入符号 a i 和输出符号 bj 之间 的交互信息量，简称互信息．它表示信道在把 输入符号 a i 传递为输出符号 bj 的过程中，信道 所传递的信息量．
收信者收到 b j后，推测信源发信号 a i的后验概率，反而小于 收到 b j 前推测信源发信号 a i的先验概率.
例2.3 表2.1中列出某信源发出的八种不同消息ai(i=1,2,…,8),相应的
先验概率p(ai)(i=1,2,…,8),与消息ai(i=1,2,…,8)一一对应的码字wi
(i=1,2,…,8).同时给出输出第一个码符号“0”后，再输出消息a1,a2,a3,
信息论与编码第五章
ai 101111
j 111100
D( i , j ) 3
再定义，由0，1构成的二进制码C中，任意两个码字的汉明
距离的最小值称为该码C的最小距离，即：
Dmin min{ D(ci , c j )}
ci c j
ci , c j c
c(A) {000,111}
c(B) :{000,011,101,110} c(C) :{000,001,100,010}
左： H ( pE )
pE
log(r
1)
pE
log
1 pE
(1
1 pE ) log 1 pE
pE
log(r 1)
pE
log
r 1 (1 pE
1 pE ) log 1 pE
s r
r 1 s
1
p(aibj ) log
j1 i*
pE
j 1
i *
p(ai
bi
)
log
1
pE
右： H(x |
§5.1 译码规则和平均错误概率
信源符号编码后经信道传输到达信道的输出端并不表 示通信过程的终结，还要经过一个译码过程，或称判决过 程，才能到达消息的终端（信宿），因此，采用什么样的 译码规则，对通信系统的可靠性影响很大。
0 p 1/ 3
0
p
2/3
1
1
p
p(a 0 | b 0) p(a 1| b 1) p 1 3
s j 1
r i*
p(aibj
)
log
r 1 pE
s j 1
i*
p(ai
bi
)
log
1
1 pE
s j 1
05_信息论与编码_PPT_05(20-28)
1 8 1 24
3 由于P ( y ) P ( xy )，得到 P ( y ) 8 x y1 2 3 1 所以：P ( x| y ) x 2 9 2 x3 9 x1 y2 1 2 3 8 1 8
当作如下译码 PC 正确译码概率
y1 x1 ,
y2 x1 ,
6. 几种特殊信道的信道容量 （ 1）二进制对称信道 p (0) p (1) 0.5 x x p (0) p (0) 0.5 y y I ( x; y ) H ( x ) H ( x | y ) H ( y ) H ( y | x ) 1 1 H ( x )＝H ( y )＝p (0)lb p (1）lb lb 2 p(0) p(1)
Ct=Rtmax
ⅱ、信道容量与信道中传输的消息数目之间关系:
lb N(T) C T
lb N(T) Ct limT T
3、几种典型的无干扰信道的信道容量：
ⅰ、均匀编码信道的信道容量
信道基本符号： 信道上所允许传输的符号
均匀编码信道： 基本符号时间等长的信道
码元：等长的基本符号， 持续 b 秒的 D 进制脉冲
当y1 x1 ,
y2 x2，
y3 x3
P'C P( x1 )* P( y1 | x1 ) P( x2 )* P( y2 | x2 ) P( x3 )* P( y3 | x3 ) 1 1 1 1 1 1 1 * * * 2 2 4 2 4 2 2 1 P' E 2 错误传输概率＝正确传输概率
i *
情况2： P y j x1 P y j x 2 P y j x M 说明：无论发端发哪种符号，收端收到
信息论与编码(傅祖云 讲义)第五章
平均错误率为：
PE''' 1 * P(b / a) (0.125 0.05) (0.075 0.075) (0.05 0.125) 0.5 3 Y , X a
第二节 错误概率与编码方法
一般信道传输时都会产生错误，而选择译码准则并不会 消除错误，那么如何减少错误概率呢？下边讨论通过编码 方法来降低错误概率。 例：对于如下二元对称信道
第二节 错误概率与编码方法 我们再讨论一个例子，取M＝4，n＝5，这4个码字按 2 如下规则选取：R
5
设输入序列为:
ai (ai1 ai 2
ai3
ai 4
ai5 )
满足方程： ai 3 ai1 ai 2
ai 4 ai1 a a a i1 i2 i5
若译码采取最大似然准则：
P(b j / a* ) P(a* ) P(b j ) P(b j / ai ) P(ai ) P(b j )
第一节 错误概率与译码规则 即： P(bj / a* )P(a* ) P(bj / ai )P(ai ) 当信源等概分布时，上式为：
P(bj / a* ) P(bj / ai )
和B： (b ) a F 1 1
F (b2 ) a3 F (b3 ) a2
译码规则的选择应该有一个依据，一个自然的依据就 是使平均错误概率最小 有了译码规则以后，收到 bj 的情况下，译码的条件正 确概率为： P( F (b ) / b ) P(a / b )
j j i j
第一节 错误概率与译码规则 而错误译码的概率为收到 bj 后，推测发出除了 ai 之 外其它符号的概率：
第一节 错误概率与译码规则
为了减少错误，提高通信的可靠性，就必到什么程 度。 前边已经讨论过，错误概率与信道的统计特性有关， 但并不是唯一相关的因素，译码方法的选择也会影响错误 率。
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5.2 错误概率与编码方法
一般信道传输时都会产生错误，而错误概率与译 码规则有关。但当信道给定即信道矩阵给定，不 论选择什么译码规PE总不会趋于零从而消除错误， 那么如何减少错误概率呢？下边讨论通过编码方 法来降低错误概率。 0.99 0 0 例：对于二元对称信道
0.01 0.01 1 0.99 1
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5.1 错误概率和译码规则
若采用前边的译码函数A，则平均错误概率为：
PE'
可见 PE PE 若输入不等概分布，其概率分布为：
1 1 1 P(a1 ) , P(a2 ) , P(a3 ) 4 4 2
1 1 P(b / a) [(0.3 0.2) (0.3 0.3) (0.2 0.5)] 0.6 3 Y , X a* 3
P(b j / a* ) P(b j / ai ) 并满足 这样定义的译码规则称为最大似然译码准则。
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5.1 错误概率和译码规则
最大似然译码准则的方法是收到一个 b j 后 ，在信道矩阵的第j列，选择最大的值所对 应的输入符号作为译码输出。 最大似然译码准则本身不再依赖于先验概 率 P(ai) 。但当先验概率为等概率分布时， 它使错误概率PE最小。
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5.1 错误概率和译码规则
平均错误概率的计算
PE P(b j ) P(e b j ) 1 P[ F (b j ) b j ] P(b j ) 1 P F (b j )b j P(ai b j ) P F (b j )b j
X ,Y Y Y
根据最大似然译码准则仍选择译码函数为B，则
PE P(ai ) Pe(i )
X
1 1 1 (0.3 0.2) (0.2 0.3) (0.3 0.4) 0.6 4 4 2
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5.1 错误概率和译码规则
若采用最小错误概率译码准则，则联合概率矩阵 为： 0.125 0.075 0.05
P(a b j ) P(ai b j )
P(b j / a* ) P(a* ) P(b j )
P(b j / ai ) P(ai ) P(b j )
即 P(bj / a* ) P(a* ) P(b j / ai ) P(ai ) 当信源等概分布时，可选择译码函数
F (b j ) a , a A, b j B
0 2/3 2/3 1 1/3 1 1/3 0
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5.1 错误概率和译码规则
若译码规则为收到“0”译作“0”，收到“1” 译作“1”，则平均错误概率为（假设输入 等概分布）： 2 (0) (1)
PE P(0) Pe P(1) Pe 3
反之，若收到“0”译作“1”，收到“1”译作 “0”，则平均错误概率为1/3，译错的可能 性为1/3，而译对的可能性增大了，为2/3 ，可见错误概率与信道的统计特性有关， 也与译码规则有关。
H ( X Y ) H ( PE ) PE log( r 1)
这个重要不等式称为费诺不等式。
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5.2 错误概率与编码方法
5.1节结论： 1）消息通过有噪信道传输时会发生错误 2）错误概率与译码规则有关 噪声干扰：破坏了信号的内部结构→产生畸变而 造成信息的损失。 提高信号抗噪声干扰能力：改造信号使其内部结 构具有更强的规律性或相关性，当信号的部分结 构被破坏时，仍能根据信号原有的内在规律和相 关性来发现甚至纠正错误，恢复原来的信息。
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5.1 错误概率和译码规则
下面来定义译码规则，设离散单符号信道： 输入符号集为 A ai , i 1,2,, r 输出符号集为B b j , j 1,2,, s 制定译码规则就是定义一个单值函数 F (b j ) ai 它对于每一个输出符号 b j确定一个惟一的输入符 号ai与其对应。 F 例 0.5 0.3 0.2 A：(b1 ) a1 B: F (b1 ) a1
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第五章 有噪信道编码
5.1 错误概率和译码规则 5.2 错误概率与编码方法 5.4 有噪信道编码定理
5.5联合信源信道编码定理
5.6纠错码的基本思想和汉明码 小结
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第五章 有噪信道编码
前一章已经从理论上讨论了，对于无噪无 损信道只要对信源进行适当的编码，总能 以信道容量C无差错的传递信息。但是一般 信道总会存在噪声和干扰，那么在有噪信 道中进行无错传输可以达到的最大信息传 输率是多少呢？怎么使有噪信道中消息传 输错误达到最少?这就是本章所要讨论的问 题。本章的核心是香农第二定理。
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5.1 错误概率和译码规则
错误：译码输出≠信源输出 产生原因：噪声干扰 研究目的：减少错误，提高可靠性 研究途径：信道的传递矩阵→信道统计特性→错 误概率 为了减少错误，提高通信的可靠性，就必须分析 错误概率与哪些因素有关，有没有办法控制，能 控制到什么程度。
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5.1 错误概率和译码规则
在输入等概率分布时采用译码函数B，可使信道 平均错误概率最小。
1 1 PE P(b a) (0.2 0.3) (0.3 0.3) (0.2 0.4) 0.567 3 Y , X a 3 1 1 (i ) Pe (0.3 0.2) (0.2 0.3) (0.3 0.4) 0.567 3 X 3
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5.1 错误概率和译码规则
如果先验概率等概分布，有 P(ai ) 1 r 1 则 PE P (b j ai )
r Y , X a 1 Pe( i ) r X
而 Pe(i )就是某个输入符号 a传输所引起的错误概率 i 上式表明在等先验概率分布情况下，译码错误概 率可用信道矩阵中的元素P(bj|ai)求和（除去每 列对应于F(bj)=a*的那一项）来表示。
P(a b j ) P(ai b j ), ai A ai a
就是把每个输出符号均译成具有最大后验概率的 那个输入符号，使信道错误概率最小。 这种译码规则称为“最大后验概率准则”或“最 小错误概率准则”。
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5.1 错误概率和译码规则
通常信道的传递概率P(bj|ai)与输入符号的先验 概率P(ai) 已知，根据贝叶斯定律，有：
P 0.2 0.3 0.5 0.3 0.3 0.4
F (b2 ) a2 F (b3 ) a3
F (b2 ) a3 F (b3 ) a2
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5.1 错误概率和译码规则
由于s个输出符号中的每一个都可以译成r个输入 符号中的任何一个，所以共有rs种译码规则可供 选择。 译码规则的选择应该有一个依据，一个自然的依 据就是使平均错误概率最小。 若信道输出端接收到的符号为bj，则译为ai 若发送端发送的是ai则为正确译码；否则为错误 译码。
P(a ) P(b
i (i ) e
j
ai )
(0.125 0.05) (0.075 0.075) (0.05 0.125) 0.5 P(ai ) P
X
1 1 1 1 1 0 0.5 4 4 2
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5.1 错误概率和译码规则
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5.1 错误概率和译码规则
定义收到bj条件下译码的条件正确概率为：
P( F (b j ) / b j ) P(ai / b j )
收到bj条件下译码的条件错误概率P(e|bj)，是发 送端发送除ai外的其他信源符号的概率。它与条 件正确概率之间关系为：P(e | bj)= 1- P(F(bj) | bj) 对条件错误概率P(e|bj)取平均值，得平均错误 s 概率
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5.1 错误概率和译码规则
例 已知信道 F (b1 ) a1 根据最大似然译码准则可得译码函数为B F (b2 ) a3
F (b ) a 3 2
0.5 0.3 0.2 P 0.2 0.3 0.5 0.3 0.3 0.4
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第五章 有噪信道编码
我们要尽可能的提高信息传输率，并控制传输误 差。信源编码以提高传输效率作为主要考虑因素 ，信道编码以提高传输可靠性作为主要考虑因素 。这一章讨论信道编码的一些基本概念及信道编 码定理 本章介绍了信道编码和译码的基本概念，介绍了 两种常用的译码准则：最大后验概率译码准则和 最大似然译码准则,还介绍了在这两种译码准则 下错误概率的计算方法。还介绍了信道编码定理 及信道编码逆定理，以及信息论中的一个重要不 等式Fnao不等式。
二元对称信道的三 次扩展信道
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5.2 错误概率与编码方法
P(ai b j ) 0.05 0.15 0.075 0.125 0.15 0.2
F (b1 ) a3 所得译码函数为C：F (b2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) a3 F (b ) a 3 3
Y X a
平均错误概率为：
PE
j
Y
Y , X a
Y
P(ai b j ) P(a b j )
X ,Y Y
P(a b )
i
平均正确概率为
Y
P E 1 PE P F (b j )b j P(ab j )
j 1
s
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5.1 错误概率和译码规则
也可写成： PE
PE E P(e b j ) P(b j ) P(e b j )
j 1