多元变量的最值问题

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》

多元变量的最值问题

一、代入减元

例1 设x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．

解 由2x ＋8y －xy ＝0得y ＝2x x －8

，因为x ，y ∈R ＋，所以x >8，所以 x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8

＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8

＋10＝18， 当且仅当x －8＝16x －8

，即x ＝12时，取“＝”号． 所以，当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.

点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可

能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y ＝2x x －8

，代入x ＋y 中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．

二、等量减元

例2 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z

的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94

D ．3 答案 B

解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)

则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x

－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y

2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 点评 此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元

变量x ，y ，z 之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由xy z 变到xy x 2－3xy ＋4y 2

就已经应用到了代入消元，再由xy x 2－3xy ＋4y 2变到1x y ＋4y x

－3仍然用到了整体消元的思想(把x y 当做整体)，

从而寻求到了xy z 取最大值时变量x ，y ，z 之间的关系．最后由2x ＋1y －2z 变到－1y 2＋2y

应用到了x ，y ，z 之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．

三、换元减元

例3 已知θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m ＋1≥0恒成立，

求实数m 的取值范围．

解 原问题等价于：当θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π2时， 不等式m ≤2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1恒成立．

令y ＝2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1，θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π2， 即求函数的最小值．

令t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π2， 所以θ＋π4∈⎣⎡⎦

⎤π4，3π4，所以t ∈[1，2]． 又2sin θcos θ＝t 2－1，

所以y ＝t 2－1＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14

， 当t ＝1(即θ＝0)时，y min ＝2.

故m ≤2.

点评 此题中的sin θcos θ，sin θ＋cos θ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sin θ cos θ与sin θ＋cos θ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．

四、整体减元

例4 已知函数f (x )＝x ln x －a 2

·x 2－x ＋a (a ∈R )在其定义域内有两个不同的极值点． (1)求a 的取值范围；

(2)设两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2>e 2.

解 (1)0

，过程略． (2)由题设有f ′(x )＝ln x －ax ，故x 1，x 2是方程ln x －ax ＝0的两根，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，不妨设x 1>x 2>0，则由以上两式分别相加和相减得：

ln(x 1x 2)＝a (x 1＋x 2)，

ln x 1x 2

＝a (x 1－x 2)．