线面角的求法
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直线与平面的夹角
高二、二部 刘静
一、教学目标： 1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。 二、教学重点和难点： 重点：线面角的概念、最小角定理 难点：线面角的求法 三、教学方法：启发探究 四、教学过程：
Q 0 ＃ c o s q2 1
\ c o s q c o s q1
\ q1 £ q（0 90°）
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角 和它在平面内的射影所成的角， 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜 线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。 最小的角 线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。 2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 和它在平面内的射影 斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
说明： （1）实质：空间角——平面角； ）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1
（1）直线 A1 B 与平面ABCD所成的角 （2）直线 A1 B与平面 BDD1 B1所成的角
2 2
\ A1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 45
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 ）定义法：1、找；2、证；3、求；4 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
练习: 练习
选择题： 1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA 平面ABCD所成角的余弦值等于（ ） D, 3 3
1 A, 2
2 B, 2
2 C, 3
2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（ ）
2 A, 2
1 B, 3
C,
3 3
D,
6 3
3、三棱锥P-ABC中， ABC 为等边三角形，且 PA ^ PB, PB ^ PC, PC ^ PA ,D 是PC中点，则BD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
\ A1 B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1
所成的角 （2）直线 A1 B 与平面 BDD1B1 所成的角
解： 连接 A1 C 1 交B1 D1 于点 O ，连接 BO 找（作）A1 （1）直线 A1 B 与平面ABCD
uuu r uuu r \ OA cos q = OB cos q2 uuu r OB \ cos q = uuu cos q2 r OA
在直线OM上取单位向量m m
（同学们自己 推导三个角度 之间的关系）
q
0
q1 q2
B M
r r r r r r a b = a b cos < a , b >
所 以 cos q = cos q1 cos q2
问题2 问题2：
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？ 平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
A
O
a
E D C B
ÐAOB最 小
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系： 关系：
A
已知OA是平面 a 的斜线段，O是斜足， 线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线 a
0
q
OB OB是斜线OA在平面内的射影。设OM OA OM 是平面内通过点O的任意条直线 OA与OB所成的角为 q 1 OB与OM所成的角为 q
A
D B
C
S
r Q 面 A B C D 的 法 向 量 是 n = （ 0 ， ，） 01 uuur r uuur r A1 B n 1 \ c o s < A1 B , n > = uuur r = = 2 A1 B n uuur r Q< A1 B , n > ? [ 0 ? 80 ] uuur r \ < A1 B , n > = 1 3 5
D1
O
C1
B1
Q A1 C 1 ^ B 1 D 1 , A1 C 1 ^ B B 1 B1 D 1 I B B1 = B1 B1 D 1 Î 面 B B1 D 1 D B B1 Î 面 B B1 D 1 D \ A1 C 1 ^ 面 B B 1 D 1 D
\ BO 是 A1 B 在 平 面 BB1 D1 D的 射 影
小结： 小结：
（1）最小角定理
（2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业： 作业：
课本108页课后题。 课本108页课后题。 108页课后题
D1
O
C1
B1
A1
证明： ：
Q A1 A ^ 平 面 A C \ A B 是 A1 B 在 平 面 A C 内的射影 \ A1 B A 就 是 所求的线面角
在 Rt
D A B
C
A B C 中 ， A1 A = A B = 1 A1 A \ ta n ? A1 B A = 1 AB \ ? A1 B A 45
（1）直线 A1 B 与平面ABCD所成的角 （2）直线 A1 B与平面 BDD1 B1所成的角 向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示
D1
O
C1
B1
A1
A1 (1, 0 ,1) B (1,1, 0 ) A (1, 0 , 0 ） C ( 0 ,1, 0 ) D ( 0 , 0 , 0 ) uuur A1 B = ( 0 ,1, - 1)
问题1 问题1： 直线与平面的位置关系有哪几种？ 直线与平面的位置关系有哪几种？ 规定： 规定：
如果一条直线与一个平面垂直， 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 90°。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 如果一条直线与一个平面平行或在平面内， 们规定这条直线和平面的夹角为0° 。
2
q1 q2
B M
OA与OM所成的角为 q 证明： q 1 £
q
（向量法）
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系： 下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
uuu r uuu r uuu r OA = OB + BA
A来自百度文库
uuu ur uuu ur uuu ur r r r OA m = OB m + BA m uuu ur r Q BA m = 0 uuu ur uuu ur r r \ OA m = OB m
D 证 A
C B
\ 1 BO 就 是 所 求 的 线面角 A
在 Rt
A1 B O 中 ， A1 B = A1 O 1 = A1 B 2
2 , A1 O =
2 2
求
\ s in ? A1 B O
\ ? A1 B O 30 \ 直线 A1 B 与平面 BB1 D1 D 所成的角为 3 0 °
答
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1
高二、二部 刘静
一、教学目标： 1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。 二、教学重点和难点： 重点：线面角的概念、最小角定理 难点：线面角的求法 三、教学方法：启发探究 四、教学过程：
Q 0 ＃ c o s q2 1
\ c o s q c o s q1
\ q1 £ q（0 90°）
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角 和它在平面内的射影所成的角， 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜 线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。 最小的角 线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。 2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 和它在平面内的射影 斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
说明： （1）实质：空间角——平面角； ）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1
（1）直线 A1 B 与平面ABCD所成的角 （2）直线 A1 B与平面 BDD1 B1所成的角
2 2
\ A1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 45
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 ）定义法：1、找；2、证；3、求；4 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
练习: 练习
选择题： 1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA 平面ABCD所成角的余弦值等于（ ） D, 3 3
1 A, 2
2 B, 2
2 C, 3
2、在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为450，则SD 与底面所成角的正弦值为（ ）
2 A, 2
1 B, 3
C,
3 3
D,
6 3
3、三棱锥P-ABC中， ABC 为等边三角形，且 PA ^ PB, PB ^ PC, PC ^ PA ,D 是PC中点，则BD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
\ A1 B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1
所成的角 （2）直线 A1 B 与平面 BDD1B1 所成的角
解： 连接 A1 C 1 交B1 D1 于点 O ，连接 BO 找（作）A1 （1）直线 A1 B 与平面ABCD
uuu r uuu r \ OA cos q = OB cos q2 uuu r OB \ cos q = uuu cos q2 r OA
在直线OM上取单位向量m m
（同学们自己 推导三个角度 之间的关系）
q
0
q1 q2
B M
r r r r r r a b = a b cos < a , b >
所 以 cos q = cos q1 cos q2
问题2 问题2：
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？ 平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
A
O
a
E D C B
ÐAOB最 小
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系： 关系：
A
已知OA是平面 a 的斜线段，O是斜足， 线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线 a
0
q
OB OB是斜线OA在平面内的射影。设OM OA OM 是平面内通过点O的任意条直线 OA与OB所成的角为 q 1 OB与OM所成的角为 q
A
D B
C
S
r Q 面 A B C D 的 法 向 量 是 n = （ 0 ， ，） 01 uuur r uuur r A1 B n 1 \ c o s < A1 B , n > = uuur r = = 2 A1 B n uuur r Q< A1 B , n > ? [ 0 ? 80 ] uuur r \ < A1 B , n > = 1 3 5
D1
O
C1
B1
Q A1 C 1 ^ B 1 D 1 , A1 C 1 ^ B B 1 B1 D 1 I B B1 = B1 B1 D 1 Î 面 B B1 D 1 D B B1 Î 面 B B1 D 1 D \ A1 C 1 ^ 面 B B 1 D 1 D
\ BO 是 A1 B 在 平 面 BB1 D1 D的 射 影
小结： 小结：
（1）最小角定理
（2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业： 作业：
课本108页课后题。 课本108页课后题。 108页课后题
D1
O
C1
B1
A1
证明： ：
Q A1 A ^ 平 面 A C \ A B 是 A1 B 在 平 面 A C 内的射影 \ A1 B A 就 是 所求的线面角
在 Rt
D A B
C
A B C 中 ， A1 A = A B = 1 A1 A \ ta n ? A1 B A = 1 AB \ ? A1 B A 45
（1）直线 A1 B 与平面ABCD所成的角 （2）直线 A1 B与平面 BDD1 B1所成的角 向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示
D1
O
C1
B1
A1
A1 (1, 0 ,1) B (1,1, 0 ) A (1, 0 , 0 ） C ( 0 ,1, 0 ) D ( 0 , 0 , 0 ) uuur A1 B = ( 0 ,1, - 1)
问题1 问题1： 直线与平面的位置关系有哪几种？ 直线与平面的位置关系有哪几种？ 规定： 规定：
如果一条直线与一个平面垂直， 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 90°。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 如果一条直线与一个平面平行或在平面内， 们规定这条直线和平面的夹角为0° 。
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q1 q2
B M
OA与OM所成的角为 q 证明： q 1 £
q
（向量法）
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系： 下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
uuu r uuu r uuu r OA = OB + BA
A来自百度文库
uuu ur uuu ur uuu ur r r r OA m = OB m + BA m uuu ur r Q BA m = 0 uuu ur uuu ur r r \ OA m = OB m
D 证 A
C B
\ 1 BO 就 是 所 求 的 线面角 A
在 Rt
A1 B O 中 ， A1 B = A1 O 1 = A1 B 2
2 , A1 O =
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求
\ s in ? A1 B O
\ ? A1 B O 30 \ 直线 A1 B 与平面 BB1 D1 D 所成的角为 3 0 °
答
例1、正方形 ABCD- ABC1D1 的棱长为1。 的棱长为1 1 1