飞行管理数学建模

摘要近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证

飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。

本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。

对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即

0△△<∙ V P

这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。

在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型

∑=∆6

1

min

i i

θ

通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型

()∑=+=6

1

min i n m i i

ij ij j

j i i n m n m αβ>+-+-2

ij ij j

j i i n m n m απβ-<+-+-22

6/0pi m i << 6/0pi m j <<

其中2

i i i m θθ∆∆+=

，2

i i i n θθ∆∆-=

。再运用LINGO11编程求得该模型最优解

为 3.6326，第3架飞机的调整角为 2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。

之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半

径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。关键词：飞行管理碰撞冲突线性规划

一．问题重述

本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。在10000米高空、边长为160公里的正方形区域内最多有6架飞机做水平飞行，其中飞机以每小时800公里的速度匀速飞行。为了便于飞行管理，在每一架飞机刚刚进入此飞行区域边界时，飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，并立即进行计算和判断是否会与区域内的其它飞机发生潜在碰撞，如果存在碰撞危险，就应该计算如何调整各架飞机的飞行方向角度，以避免发生碰撞。因此，根据题目的条件和假设，对该避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤并对已经给出的数据进行计算。在保证进入该区域的飞机到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离在60 公里以上的同时，要求满足飞机飞行的方向角度调整幅度不能超过30度，而且要尽量小。

在该区域内建立直角坐标系，4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据如下：

最后，对建立的模型进行评价和推广。

二．问题分析

2.1、问题分析

针对问题1，一架新飞机飞入飞行区域边缘时，计算机进行记录其数据并进行判断该飞机是否和区域内的其它飞机存在潜在碰撞危险，由此作出分析，若存；在相互碰撞危险就要对各架飞机的方向角进行调整；否则维持原状，不做任何变化。

⑴对两飞机间距离的理解

在本题中，根据题目假设所给的条件即在安全飞行过程中任意两架飞机间的

距离要在8公里之上，这个距离远大于飞机本身的尺寸大小，所以，在以后的问

题求解过程中我们将飞机当作质点看待。这样，根据计算机记录的数据可以知道

每架飞机的坐标，根据两间距离公式即可得到两飞机之间的距离。

⑵对飞机方向角与调整角的理解

根据题目得知，飞机的方向角即为飞机的飞行方向与x轴正向的夹角。对于两架飞机i、j而言，要求飞机在飞行过程中相对速度的方向不能在飞机i与飞机j的碰撞角（即两切线交角中指向圆心的那个角）范围内。由于调整角以两飞机的连线为对称轴，左右由正负之分，故以调整角的绝对值最为目标函数。

2.2、问题2分析

针对问题2的论述，由于在2.1.2中提出的绝对值目标函数为非线性函数，给求解带来了麻烦，因此应用变量代换的数学方法将其转换成非线性函数，运用MATLAB、LINGO软件编程，调用求解函数得出最优调整方向角度。

三．模型的基本假设

1.新飞机进入边缘时，立即做出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作出方向角改变（有的飞机方向角可不变）。

2.每架飞机在新飞机刚进入到下一架飞机要进入前整个过程中最多只改变一次方向角。

3.忽略飞机转向角度，即认为飞机在接收到指令后立即对方向进行调整，且忽略调整时间。

4.新飞机进入该区域前,在区域中飞行的飞机方向已调合适，不会相撞。

5.对方向角的相同调整量的满意程度是一样的，且方向角调整越少，满意程度越高。

6.飞机在安全飞行是两两之间的最短距离为8公里，此距离远大于机身尺寸，因此将飞机当作质点看待，即假设两飞机之间的距离为两点之间的距离。

7.最多考虑6架飞机。

8.飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。

9.所有飞机匀速飞行，速度为800h

km/。

说明：

⑴假设6中假设飞机为质点是为了将问题简化，忽略次要问题以便得出合理的结

论。

假设7中6架飞机的假设是足够多的。以世界上最繁忙的国际航空港之一希思罗机场邻近区域为例，因假设飞机在区域160×160作水平飞行，即知该区域内无机场。设在希思罗机场起降的飞机有一半穿过该区域，希思罗机场起驾总架次为22.5万次，则平均每小时有15架飞机穿过该区域。而一架飞机穿过该区域最多需