四校自招-数学·复附卷

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上海四大名校高中自主招生往年试题大全

上海四大名校高中自主招生往年试题大全上海四大名校高中自主招生往年试题大全[复旦附中]考智慧、测文理知识综合运用能力自主招生题：■说游戏每个人都玩过游戏，从纵向的角度来看，游戏有时代特征，有年龄特点;从横向的角度来看，游戏有益智类、竞技类、休闲类等等。

当然，在游戏中，也有一些趣味低下、恶作剧的内容。

请谈谈你对“游戏”的思考。

题目背后：初三学生特别喜欢这道题目，他们谈杀人游戏、弄堂游戏、CS等电脑游戏、魔兽世界等网络游戏，甚至有人说出“传承网络游戏”等另类观点。

复旦附中副校长吴坚说，出这道贴近生活的题目，就是让学生有话可说，充分发挥出学生各自的个性。

■说外语随着全球化时代的到来，作为最古老而又最基本的交流工具，语言的重要性显得日益突出。

“英语热”在当前上海中学生中持续升温。

你是如何看待“母语”学习与“外语”学习之间的关系的?可不可以借用数学名词或符号来回答这一题目?试题精选：1、请归纳总结一下你在初中阶段学习过的数学方法。

2、以一道题目为例，阐述一下其中蕴含的数学方法。

3、请你谈谈某著名数学家对数学界和数学文化的贡献。

4、运用你所学过的物理知识，设计一个符合要求的电路实验(要求多解)题目背后：华师大二附中副校长袁军告诉记者，仅以“数学方法”一题，就难倒了不少学生。

不少学生在老师告诉其数学方法的定义之后，依然无法顺利作答，有的学生则在明白之后侃侃而谈。

暂且不论对错，这两种表现就将学生的不同特点跃然纸上。

他说，理科的学习并不是做题、做实验，在两者的基础上，懂得归纳理科的理论、方法，才是真正对这门学科感兴趣的学生。

而学生不仅要做题、做实验，更应主动关注学科的文化内涵，这样才能在学科道路上走得更远。

[格致中学]创新题目考查学生多方面素养“老鼠为什么吱吱叫?”参加完格致中学的自主招生面试，不少考生都对这道试题念念不忘。

今年的自主招生和推优，格致中学另辟蹊径，研究出了一种“人机对话”的测试办法，包括语数外在内的多门学科老师每人精心炮制出了一组试题，以期对学生的综合素质进行考量。

四校自招数学复附卷解析.pdf

因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
⑵ y 1 (x 1)(x 4) ，故 B(0, 2) , C(1,0) , D(4,0) 2
⑶作点 B 关于 x 轴的对称点 E(0, 2)
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
3
则 kAE
14
(2) 8
2
,
kCE
0 (2) 1
2
∴ A, E,C 三点共线
又 PA PB PA PE
x
3 2
x 2
当 x 2 时， 4x 9 12 1
x
2
∴要使上述方程有且仅有一个实根，则 a 0 且 a 1 2
【高中知识点】等价转化思想，参变分离思想，分类讨论思想，对勾函数的图像与性质
10.
⑴设 y a(x 5)2 9 ，将 (8,14) 代入，得 a 1
28
2
∴ y 1 x2 5 x 2 22
四校自招-数学·复附卷
1. 2x 6 y 1 (x 4) y2 (x z)2 2
x 4 , 则 2x 6 2 ∴ x 4， y 1 0， x z 故 x z 4 ， y 1 x y z 1
2. n 1001 1 998 ,
n3
n3
998 2 499 , n 3 4 , 故 n 3 499 或 998 ，共 2 个
2015 年初升高·自招真题解析·数理化

四校自招模拟题-数学卷答案

1
1.2 配方
【4】若一个正整数 n 能写成另外两个整数的平方和，则称这样的数 n 为“好数”，若一个实数 x 能写成两个好数的商，则称这样的数 x 为“坏数” 求证：(1)任何两个好数的积还是好数 (2)任何一个坏数可以写成两个有理数的平方和【解析】 (1)设 m a 2 b2 ， n c2 d ，其中 a, b, c, d 均为整数，则 m, n 是好数
【7】 a, b, c 为正整数，若
3
【 8 】关于 x 的方程 1 ax 2 的解集中，有且仅有一个正整数，则 a 的取值范围为 __________________ 【解析】不等式即
a
x
2 1 ，设 b ，即 b x 2b a a
四校自招针对性训练
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足
1 1 的数对 ( x, y) _________________ x y 【解析】式子即 y 4 x xy ，即 xy 4 x y 0 ，即 xy 4 x y 4 4 即 ( x 1)( y 4) 4 x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则 x 1 x 1 x 1 或或 y 4 y 4 y 4 因此， ( x, y) (5,5) 或 (3,6) 或 (2,8)
mn (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) a 2 c 2 b 2 c 2 a 2 d 2 b 2 d 2 (a 2 c 2 b 2 d 2 2abcd ) (b 2c 2 a 2 d 2 2abcd ) (ac bd ) 2 (bc ad )

自主招生专题之复数答案

7.自主招生专题之复数一、基础知识1.模与共轭的性质有：（1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z ⋅=；（4）1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（5）|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|；（6）1122||||z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z |=1，则1z z=．2．复数的三角形式与指数形式：设z 对应复平面内的点Z ，见图，连接OZ ，设∠xOZ =θ，|OZ |=r ，则a =r cos θ，b =r sin θ，所以z =r (cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式．若z =r (cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角．若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=arg (z )．r 称为z 的模，也记作|z |，由勾股定理知|z如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z =re i θ，称为复数的指数形式． 3.复数在三角形式下的运算：（1）乘法与除法：若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1•z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z 2≠0，则1122z rz r = [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+，12()1122i z r e z r θθ-=．（2）乘方：（棣莫弗定理）[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos nθ+isin nθ)．（3）开方：若ωn =r (cos θ+isin θ)，则ω2k n θπ++isin 2k nθπ+)，k =0,1,2,…,n -1．（4）单位根：若ωn =1，则称ω为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1= cos 2n π+isin 2nπ，则全部单位根可表示为1，Z 1，21Z ，…，11n Z -．记Z k =1k Z （k =1，2，…，n -1），则有x n -1+x n -2+…+x +1=(x -Z 1)(x -Z 2)…(x -Z n -1)=(x -Z 1)(x -21Z )…(x -11n Z -)．特别的，虚数单位i 常用性质有：i 2=-1，i 4=1，i n +i n +1+i n +2+i n +3=0(n ∈N *)．特别的，x 3=1的复数根ω= cos 23π+isin 23π=12-常用性质有：ω3=1，ω2=ω=1ω，ωn +ωn +1+ωn +2=0(n ∈N *)．4.代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根．若重根按重数计算，则n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根．5.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z =a +b i(b ≠0)是方程的一个根，则z =a -b i 也是一个根． 6．若a ，b ，c ∈R ，a ≠0，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0，当Δ=b 2-4ac <0时方程的根为x 1,2．7．复数表示的轨迹方程：设复数z 、z 1、z 2在复平面内对应的点分别为Z 、Z 1、Z 2．（1）|z 2-z 1|表示Z 1、Z 2两点间的距离，|z |表示点Z 到原点的距离；（2）|z -z 1|=r (r >0)表示以Z 1点为圆心，r 为半径的圆的方程；（3）|z -z 1|+|z -z 2|=2a (|z 1-z 2|<2a )表示椭圆方程；（4）||z -z 1|+|z -z 2||=2a (|z 1-z 2|>2a )表示双曲线方程；（5）|z -z 1|=|z -z 2|表示垂直平分线方程．二、典型例题例1.关于x 的二次方程x 2+z 1x +z 2+m=0中,z 1，z 2，m 均是复数，且z 21－4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m |的最大值和最小值.解法1：设m=a +bi (a ，b ∈R )．则△=z 12－4z 2－4m=16+20i －4a －4bi=4[(4－a )+(5－b )i ]．设△的平方根为u +vi ．(u ，v ∈R )即(u +vi )2=4[(4－a )+(5－b )i ]．|α－β|=27，⇔|α－β|2=28，|(4－a )+(5－b )i |=7，(a －4)2+(b －5)2=72，即表示复数m 的点在圆(a －4)2+(b －5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．【解法2】同解法1，得 ,7|)54(|=+-i m ∈+=y x yi x m ,(令R ）.⎩⎨⎧+=+=.5sin 7,4cos 7ααy x 则 ααsin 70cos 5690||222++=+=∴y x m459041(cos sin )901441sin(),4141αααϕ=++=++其中.414sin =ϕ ∴ |m |的最大值=,417411490+=+ |m |的最小值=.417411490-=+【解法3】根据韦达定理，有⎩⎨⎧+=-=+.21m z z αββαm z z 444)()(22122--=-+=-αββαβα，∴ .28|)2016(4||)4(4|||2212=+-=--=-i m z z m βα|(45)|7.|||(45)(45)||(45)||45|741.m i m m i i m i i -+=∴=-+++≤-+++=+即等号成立的充要条件是)54()54(i i m ++-与的辐角主值相差π，即||,)415414)(417(),415414(7)54(m i m i i m 时所以当++-=+-=+-取最小值.417-例2.（2006年清华大学保送生）求最小正整数n ，使得1()223n I =+为纯虚数，并求得I 。

【2020-2021自招】遵义市第四中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套：满分150分2020-2021年遵义市第四中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2024-2025学年上海复附青浦、交附嘉分、上外云间高二上学期数学期中四校联考(2024.11)

1复附青浦、交附嘉分、上外云间2024学年第一学期高二年级数学联考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合{}{}2468,|32A ,,,B a a k ,k Z ===+∈，则A B ⋂= . 2.不等式12…x x+的解集为 . 3.若34a log b log a ⋅=,则b 的值为 .4.已知函数()2221,(0x f x a a −=+>且1)a ≠的图像恒过点P ,则点P 的坐标是 .5.已知复数()3z ai a R =−+∈对应的点到原点的距离是1a +,则实数a = .6.已知函数()1f x lgx x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为 . 7.已知0,,22,,sin cos ππ⎛⎫⎛⎫α∈β∈−π−α=β= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()cos α+β= .8.已知向量,a b 满足1,3a b ==，且()32a b a −⊥，则a 与b 的夹角为 . 9.若正数,x y 满足21x y +=，则1x y xy−+的最小值是 . 10.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1210,3a a a ≠=,则2nnS S = . 11.已知向量,,1,2a b a b ==，若对任意单位向量e ，均有6…a e b e ⋅+⋅，则a b ⋅的最大值是 . 12.已知函数()241x af x x −=+，若12,x x R ∈，实数m 满足()()212f x f x m ⋅=−，则实数m 的取值范围是 .2二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分） 13.函数()33x x f x sin cos ⎛⎫⎛⎫=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）.A.6πB.6−πC.32π− D.32π14.已知复数112z i=+,则z 的虚部是（）. A.2 B.2i C.25i −D.25−15.已知函数()()2,144,1x e a x f x x a x a x ⎧−≥⎪=⎨−+−+<⎪⎩，若关于x 的不等式()0…f x 的解集为[)4,−+∞,则a 的取值范围为（）.A.(],e −∞B.(]4,−∞C.[]1,eD.[]4e, 16.已知数列{}n a 的通项公式为113a n =−，若满足119k k k a a a m +++++=的整数k 恰有2个，则m 可取到的值有（）.A.有3个B.有2个C.有1个D.不存在三.解答题（本大题共5小题，满分78分） 17.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 已知复数122,z mi z m i =−=−（其中m R ∈）. （1）若12z z 为实数,求m 的值; （2）当1m =时，复数12z z ⋅是方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.318.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分)已知函数()22266f x asin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中0a >.且()f x 的图象与直线3y =−的两个相邻交点的距离等于π。

2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套

2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =，求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

2014年复附自主招生试卷(二)

2014年复附自主招生试卷（二）一、填空题1.实数x,y满足|2x−6|+|y+1|+√(x−4)y2+x2+z2=2+2xz，则x+y−z=________【答案】-1【解析】2.若10013的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数。

这样的正整数n共有_____个。

【答案】2【解析】3+n|1001+n,∴3+n|998,∴998=2×499,3+n=499或4983.已知a2=7−3a,b2=7−3b,且a≠b,则ba2+ab2=___________【答案】−9049【解析】4. 设p 是奇数，则方程2xy =p (x +y )满足x <y 的正整数解是____________【答案】{x =p+12y =p 2+p 2 【解析】2xy −p (x +y )=0,x (2y −p )−p 2(2y −p )=p 22(2x −p )(2y −p )=p 20<x <y2x −p <2y −p{2x −p =12y −p =p 2或{2x −p =−p 22y −p =−1(舍) {x =p +12y =p 2+p 2 5. 方程x =(x −1x )12+(1−1x)12的解为____________ 【答案】√5−12 【解析】8. 如图，正方形ABCD的边长为100米，甲，乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动。

甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上。

【答案】70s【解析】追及问题0≤(√甲t+300−√乙t≤100)0≤300−3t≤1002003≤t≤100当t=2003时，第一次两人相离100米t=70010=70s9. 已知△ ABC是等边三角形，动点P、Q、R分别同时从顶点A、B、C出发，沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒，2秒，3秒。

复旦附中自招数学题目

EC FB AM
．
N D E C
M A B
F
8
10. 设 x1 ， x2 为 x2 2 px p 0 的两根， P 为实数． ①求证 2 px1 x22 3 p 0 ． ②当 x1 x2 2 p 3 时，求 P 的最大值．
11. 实数 a1 , a2 , ① a1 a2 ② a1 a2
2
（每题 6 分，共 30 分）二、填空题： 9. 若关于 x 的分式方程
1 a 1 在实数范围内无解，则实数 a x3 x3
.
cm 2 .
10．三角形的两边长为 4cm 和 7cm ，则这个三角形面积的最大值为 11．对正实数 a, b 作定义 a b ab a b ，若 4 x 44 ，则 x 的值是
．
（本题有 4 个小题，共 38 分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤．三、解答题： 14．（本小题满分 8 分）【田忌赛马】齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是___________. 田忌上马田忌中马田忌下马
．
12．已知方程 x 2 a 3 x 3 0 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于 1 小于 2 ，则 a 的取值范围是．的规律报数，那么第

2021年上海复附自招试卷(二)

自主招生之2014 年复附自主招生试卷（二）一、填空题 1. 实数 x , y , z 满足| 2x - 6 | + | y + 1| +x 2 + z 2 = 2 + 2xz ，则 x + y - z = 。

2. 若1001的分子、分母同时加上正整数 n 时，该分数称为整数。

这样的正整数n 共有 3个。

3. 已知 a = 7 - 3a ,b 2= 7 - 3b ，且 a ≠ b ，则 b + 。

a 24. 设 p 是奇数，则方程 2xy = p (x + y )满足 x < y 的正整数解是。

5. 方程 x = ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛1 - ⎫2 的解为。

x ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭8. 如图，正方形 ABCD 的边长为100 米，甲、乙两个动点分别从 A 点和 B 点同时出发按逆时针方向移动。

甲的速度是7 米/秒，乙的速度是10 米/秒。

经过秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上。

9. 已知 ABC 是等边三角形，动点 P ,Q , R 分别同时从顶点 A , B ,C 出发，沿 AB , BC ,CA 按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且 P ,Q , R 经过 ABC 的一边所用时间分别为1 秒， 2 秒， 3 秒。

从运动开始起，在1 秒内，经过秒 PQR 的面积取到最小值。

10. 二次函数 f (x ) 的图像开口向上，与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点C , 以 D 为顶点，f ( x )若三角形 ABC 的外接圆与 y 轴相切，且 ∠DAC =150︒ ，则 x ≠ 0 时， | x | 的最小值是。

二、解答题11. 已知 a 是正常数，且关于 x 的方程取值范围。

1 + x - 2x -1x 2 - 3x + 2仅有一个实数根，求实数a 的 ax (x - 4) y 22 12. 如图，抛物线的顶点坐标是⎛ 5, - ⎝⎪ ，且经过点 A (8,14) 。