最新2019长春高三三模数学理科

长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin 210︒= A. 12-

B. 3-

C. 1

2

D. 3

2.已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x =-=+-<，则A B =

A. {1,0,1,2}-

B. {1,0,1}-

C. {0,1,2}

D. {0,1} 3. 若复数

1a i

i

++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.执行如图所示的程序框图，如果输入=4N ，则输出p 为

A. 6

B. 24

C. 120

D. 720

5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，42a =，则6S = A. 0 B. 10 C. 15 D. 30

6. 已知1e 、2e 是两个单位向量，且夹角为3

π

，则1212(2)(2)-⋅-+=e e e e A. 32-

B. 3

6- C. 12

D. 33

7. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不

是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为 A.

37 B. 45 C. 6

7

D. 1213 8. 已知,m n 为两条不重合直线，α,β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α//β的是

A. //,,m n m n αβ⊂⊂

B. //,,m n m n αβ⊥⊥

C. ,//,//m n m n αβ⊥

D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥

9．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量. 2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比. 这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.

根据折线图和条形图，下列结论错误．．

的是 A . 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C. 2015-2016 年研发投入增值最大

D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加

10. 函数2()

()41

x x x e e f x x --=-的部分图象大致是

11. 已知O 为坐标原点，抛物线2

:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为 6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则||||OP AP +的最小值为

A. 4

B. 43

C. 46

D. 63

12. 已知函数1ln ,1()11

,122

x x f x x x +⎧⎪

=⎨+<⎪⎩≥，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是

A. [32ln 3,)-+∞

B. [1,)e -+∞

C. [32ln 2,)-+∞

D. [2,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知函数()sin()(0)4

f x x π

ωω=+

>的最小正周期为π，则ω=_____________，

若2

()2

10

f α

=

，则sin 2α=____________. 14. 已知矩形ABCD ，12AB =，5BC =，以,A B 为焦点，且过,C D 两点的双曲线的离心率为 .

15. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述： ① 四个侧面都是直角三角形； ② 最长的侧棱长为26；

③ 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④ 外接球的表面积为24π.

其中正确的描述为 .

16.已知数列{}n a 中，12a =，1(N )12n n n na a n n a *

+=

∈++，则11n

k k

a ==∑ . 三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)

在ABC ∆中，6AB =，42AC =. （1）若22

sin 3

B =

，求ABC ∆的面积； （2）若点D 在BC 边上且2,BD DC AD BD ==，求BC 的长.

18. (本小题满分12分)

某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min ）分别进行统计，得到下列统计图表（按照 [55,65)，[65,75) ，[75,85)，[85,95]进行分组）.

（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min 的人数；

（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）

（Ⅲ）从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分12分)

如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥, 1AD AB BC ===,2CD =， E 为CD 中点, AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）. (1)证明: 平面POB ⊥平面ABCE ； (2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为

4

π

，求二面角A PE C --的余弦值.

20. (本小题满分12分)

如图所示，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>离心率为22，1B 、2B 是椭圆C 的短轴端点，

且1B 到焦点的距离为32，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与1B 、2B 重合，点N 满足

11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.