(完整版)立体几何解答题的建系设点问题

立体几何解答题的建系设点问题

一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴

1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面

z z 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即

xOy 为轴与底面的交点

z 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：,x y （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上

,x y （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件,x y （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点

解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），

+这个过程不能省略。

3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：

① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直

④ 直棱柱：侧棱与底面垂直

（2）线线垂直（相交垂直）：

① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若，则

2

2

2

AB AC BC +=AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类

1、能够直接写出坐标的点

（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出

(),,0x y 0z =坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）

()'

11,,A x y z ()22,,0A x y 1212,x x y y == 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐

t

h 标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点

① 中点坐标公式：

，则中点，图中的等

()()111222,,,,,A x

y z B x y z AB 121212,,2

22x

x y y z z M +++⎛⎫

⎪⎝⎭,,,H I E F 中点坐标均可计算

② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些

位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.

1.

如图，在等腰梯形中，

ABCD ，，AB=2， 平面，且

AB CD ∥1,60AD DC CB ABC ===∠= CF ⊥ABCD ，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。(两种方法)

1CF =思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直ABCD C 线即可。由题意，不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂

BCD ∠线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系

方案一：（选择为轴），连结BC AC 可知 在中

120ADC ∠=

∴ADC A 2

2

2

2cos 3AC

AD DC AD DC ADC =+-= 由可解得

AC ∴=1,60AC ABC =∠= 2,90AB ACB =∠= 平面

AC BC ∴⊥CF ⊥ ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥以为坐标轴如图建系：

,,AC CF BC

())

()10,1,0,,,0,0,0,12B A

D F ⎫

-⎪⎭方案二（以 为轴）

CD 过作的垂线 平面C CD CM CF ⊥ ABCD

,CF CD CF CM ∴⊥⊥以为坐标轴如图建系：

∴,,CD CF CM （同方案一）计算可得： 2CM AB =

=

()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ⎫⎫∴--⎪⎪⎭⎭A

D

e a

n

2.已知四边形满足

ABCD ,AD BC BA AD

=∥，是中点，将翻折成，使得平面

E BC BAE A 1B AE A 平

1B AE ⊥面，为中点

AECD F 1B D 思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面

BAE A AECD 60

平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形

'B AE ⊥AECD 'B AE A AE M 'B M ⊥AECD 找一组过的垂线即可建系

AECD M 解：取中点，连结

AE M '

B M 是等边三角形'B AE A

'

B M AE ∴⊥平面平面'B AE ⊥AECD

平面，连结 'B M ∴⊥AECD DM '',B M ME B M ∴⊥⊥ 四边形为的菱形 为等边三角形

AECD 60 ADE ∴A

DM AE ∴⊥两两垂直

',,B M MD ME ∴如图建系，设为单位长度

AB

'11,0,0,,0,0,,,22A E D C B ⎛

⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝为中点

F 'B D F ⎛∴ ⎝B