(完整版)立体几何解答题的建系设点问题

立体几何解答题的建系设点问题
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面
z z 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即
xOy 为轴与底面的交点
z 2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：,x y （1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上
,x y （2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件,x y （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），
+这个过程不能省略。

3、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若，则
2
2
2
AB AC BC +=AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出
(),,0x y 0z =坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
()'
11,,A x y z ()22,,0A x y 1212,x x y y == 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐
t
h 标，而竖坐标为该点到底面的距离。

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点
① 中点坐标公式：
，则中点，图中的等
()()111222,,,,,A x
y z B x y z AB 121212,,2
22x
x y y z z M +++⎛⎫
⎪⎝⎭,,,H I E F 中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些
位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值.
1.
如图，在等腰梯形中，
ABCD ，，AB=2， 平面，且
AB CD ∥1,60AD DC CB ABC ===∠= CF ⊥ABCD ，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

(两种方法)
1CF =思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直ABCD C 线即可。

由题意，不是直角。

所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂
BCD ∠线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系
方案一：（选择为轴），连结BC AC 可知 在中
120ADC ∠=
∴ADC A 2
2
2
2cos 3AC
AD DC AD DC ADC =+-= 由可解得
AC ∴=1,60AC ABC =∠= 2,90AB ACB =∠= 平面
AC BC ∴⊥CF ⊥ ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥以为坐标轴如图建系：
,,AC CF BC
())
()10,1,0,,,0,0,0,12B A
D F ⎫
-⎪⎭方案二（以 为轴）
CD 过作的垂线 平面C CD CM CF ⊥ ABCD
,CF CD CF CM ∴⊥⊥以为坐标轴如图建系：
∴,,CD CF CM （同方案一）计算可得： 2CM AB =
=
()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ⎫⎫∴--⎪⎪⎭⎭A
D
e a
n
2.已知四边形满足
ABCD ,AD BC BA AD
=∥，是中点，将翻折成，使得平面
E BC BAE A 1B AE A 平
1B AE ⊥面，为中点
AECD F 1B D 思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面
BAE A AECD 60
平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形
'B AE ⊥AECD 'B AE A AE M 'B M ⊥AECD 找一组过的垂线即可建系
AECD M 解：取中点，连结
AE M '
B M 是等边三角形'B AE A
'
B M AE ∴⊥平面平面'B AE ⊥AECD
平面，连结 'B M ∴⊥AECD DM '',B M ME B M ∴⊥⊥ 四边形为的菱形 为等边三角形
AECD 60 ADE ∴A
DM AE ∴⊥两两垂直
',,B M MD ME ∴如图建系，设为单位长度
AB
'11,0,0,,0,0,,,22A E D C B ⎛
⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝为中点
F 'B D F ⎛∴ ⎝B
e
i
n
3.如图，在四棱柱中，侧棱,,,
1111
ABCD A B C D
-
1
A A ABCD
⊥底面AB AC
⊥1
AB=
且点和分别为的中点。

建立合适的空间直角坐标系并写出各点1
2,
AC AA AD CD
===M N
11
C D
B D
和
坐标
思路：由，可得两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1
A A ABCD
⊥底面AB AC
⊥
1
,,
AA AB AC
均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何1111
,,,
A B C D D
知识进行计算。

解：侧棱
1
A A ABCD
⊥底面
∴
11
,
A A A
B A A AC
⊥⊥
两两垂直
AB AC
⊥
1
,,
AB AC AA
∴
以为轴建立直角坐标系
1
,,
AB AC AA
底面上的点：()()
0,1,0,2,0,0
B C
由为等腰三角形，若为
AD CD
=ADC
A P中点，则
AC DP AC
⊥
2
DP==
()
1,2,0
D
∴-
可投影到底面上的点：()()()
111
0,0,2,0,1,2,2,0,2,
A B C D 因为和分别为的中点
M N
11
C D
B D
和
()
1
1,,1,1,2,1
2
M N
⎛⎫
∴-
⎪
⎝⎭
综上所述：()()()()()()()
1111
0,1,0,2,0,0,1,2,0,0,0,2,0,1,2,2,0,2,1,2,2
B C D A B C D
--
()
1
1,,1,1,2,1
2
M N
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D
4.已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点，又知
1111,90,2,ABC A B C BCA AC BC A -∠===
ABC AC D ，E 为靠近点B 的三等分点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
11BA AC ⊥1BB 思路：本题建系方案比较简单，平面，进而作轴，再过引垂线即可。

难点有二：一是
1A D ⊥ABC 1A D z D AC 三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是的投影不易在图中作出（需要扩展平面），第一
1B ABC 个问题可先将高设为，再利用条件h 11BA AC ⊥解：过作的垂线 ，平面
D AC DM 1A D ⊥ ABC ，而11,A D DC A D DM ∴⊥⊥DM DC ⊥以为轴建立直角坐标系
∴1,,A D DC DM ，设高为
()()()0,1,0,0,1,0,2,1,0A C B -h 则，设
()10,0,A h ()1,,C x y z 则
()()110,2,0,,,AC AC x y z h ==-
由可得： 11
AC AC = 00
220x x y y z h z h ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩
()10,2,C h ∴
()()112,1,,0,3,BA h AC h =--=
，解得
21111030BA AC BA AC h ∴⊥⇒⋅=⇒-+=
h =
((11,A C ∴设
(1
,B x y ()11
,,0A B x y ∴=
而且
()2,2,0AB = 11A B AB = 22x y =⎧∴⎨=⎩
(
1B ∴综上所述：()()()(
((
1110,1,0,0,1,0,2,1,0,,,A C B A C B -1
5.如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，
111
ABC A B C
-H
11
AA B B
11
AA C H
=⊥
11
AA B B
，建立适当的坐标系并确定各点坐标
1
C H=
思路：平面，从而可作轴，只需在平面找到过的两条垂线即可建系（两种方案）1
C H⊥
11
AA B B
1
C H z
11
AA B B H
，对于坐标只有坐标相对麻烦，但由可以利用向量进行计算。

C
11
C C A A
=
解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）
如图建系：则
))()
11
,,
A A B
()(1,
B C
设，则
()
,,
C x y z(
1
,,
C C x y z
=-
(
1
0,
A A=-
由可得：
11
C C A A
=
00
x x
y y
z z
==
⎧⎧
⎪⎪
=-⇒=-
⎨⎨
⎪⎪
-==
⎩⎩
(0,
C
∴-
综上所述：
))()()
11
,,,,
A A
B B
((
1
,0,
C C-
方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）
如图建系：由计算可得
1
AA=
11
2
A H
B H
==
()()()
11
2,0,0,0,2,0,0,2,0
A A B
-
()(1
2,0,0,
B C
-
设，则
()
,,
C x y z(
1
,,
C C x y z
=-
()
1
2,2,0
A A=--
由可得：
11
C C A A
=
22
22
x x
y y
z z
⎧⎧
=-=-
⎪⎪
=-⇒=-
⎨⎨
⎪⎪
-==
⎩⎩
(2,
C
∴--
综上所述：
()()()()
11
2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,
A A
B B
--((
1
,2,
C C--。