昆明数学分式解答题单元培优测试卷

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．

（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．

（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12

S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．

【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）方案二所用的时间少

【解析】

【分析】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；

（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x

=+， 解得：150x =，

检验，当150x =时，()300x x +≠，

∴原分式方程的解为：150x =，

30180x +=，

答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab

+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b

=+， ∴2

2()22()

a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，

∴()20a b ->，

∴

202a b S S ab a b

+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．

【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．

2．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. （注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量

） （1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；

（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？

【答案】（1）100；（2）98.

【解析】

【分析】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可；

（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案.

【详解】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，

40 2.540 1.25100x x

⨯=⨯+， 解得：x=100，

经检验，x=100是原分式方程的解，

答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.

（2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，

设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，

40 2.5200(110%)

m ⨯+⨯+≥90%， m ≥98，

∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.

【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之

间的关系是解题的关键.

3．符号a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请根据这一法则解答下列问题：

（1）计算：21111

1x

x x +-；

（2）若2

121122x x

x -=--，求x 的值.

【答案】（1）

()()1

11x x +- （2）5 【解析】

【分析】 （1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；

（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.

【详解】

（1）原式2111

x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-

()()1

11x x =+-； （2）根据题意得：

21222x x x

--=-- 解之得：5x =

经检验：5x =是原分式方程的解

所以x 的值为5.

【点睛】

此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.

4．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：

（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；

（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；