折纸与数学ppt课件
合集下载
初中数学《折纸与数学》课件
你能想出几种特殊的折法？ 每种折法里蕴含着什么数学 知识？把你的想法和自己小 组的小伙伴们分享一下。
合作规则
1、以前后四人为一个小组； 2、尝试提出不同的折法； 3、每一个小组将想到的折 法推选出一位展示人，负责 到前面为同学们展示。
想一想，折一折
折纸要求: B点不动，将 AB边折起，随着AB边在纸面 上移动，点A也在移动，直到点A最终落在 DC边上的 A’处时，A点的运动轨迹是什么？ 若点 B不动，将BC边折起，能否使点C落在 AD边上? 为什么?
争做折纸小达人
1、你能通过折纸检验一张A4矩形 纸片的宽与长的比是否为1：2 ？ 2、你能用矩形纸片折出一个菱形 吗？你有几种方法？
教师寄语
拼搏创造奇迹 努力成就未来
祝同学们 马到成功
想一想：你还有什么方法可以折出30°的角？
归纳：用矩形纸片折出30°角的方法
长宽比是2:1的矩 任意矩形纸片， 任意矩形纸片，连 形纸片，经过一次 对折一次、翻折 续对折两次、再翻 折叠可得30°角 一次可得30°角 折一次可得30°角
活动3：你能用矩形纸片折出 一个等边三角形吗？
评价量规
能折出30°角 +10分 能用多种方法折出30°角和60°角，并能说出理由 +15分
星级评价： 优秀41-50分；良好31-40分；合格20-30分；
优秀：不仅能自己动手操作，还能在小组活动中表达自己的见解，有着数学家
的思维和才智！
良好：达成活动目标，能在基本折法图的基础上折出30°角和60°角 ，很棒！
合格：掌握了六种基本折法图中隐藏的数学知识，养成严谨细致的好习惯，成
功就会属于你！
折一折，做一做 不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么 折出45°角？（是哪个基本图形的用法）
合作规则
1、以前后四人为一个小组； 2、尝试提出不同的折法； 3、每一个小组将想到的折 法推选出一位展示人，负责 到前面为同学们展示。
想一想，折一折
折纸要求: B点不动，将 AB边折起，随着AB边在纸面 上移动，点A也在移动，直到点A最终落在 DC边上的 A’处时，A点的运动轨迹是什么？ 若点 B不动，将BC边折起，能否使点C落在 AD边上? 为什么?
争做折纸小达人
1、你能通过折纸检验一张A4矩形 纸片的宽与长的比是否为1：2 ？ 2、你能用矩形纸片折出一个菱形 吗？你有几种方法？
教师寄语
拼搏创造奇迹 努力成就未来
祝同学们 马到成功
想一想：你还有什么方法可以折出30°的角？
归纳：用矩形纸片折出30°角的方法
长宽比是2:1的矩 任意矩形纸片， 任意矩形纸片，连 形纸片，经过一次 对折一次、翻折 续对折两次、再翻 折叠可得30°角 一次可得30°角 折一次可得30°角
活动3：你能用矩形纸片折出 一个等边三角形吗？
评价量规
能折出30°角 +10分 能用多种方法折出30°角和60°角，并能说出理由 +15分
星级评价： 优秀41-50分；良好31-40分；合格20-30分；
优秀：不仅能自己动手操作，还能在小组活动中表达自己的见解，有着数学家
的思维和才智！
良好：达成活动目标，能在基本折法图的基础上折出30°角和60°角 ，很棒！
合格：掌握了六种基本折法图中隐藏的数学知识，养成严谨细致的好习惯，成
功就会属于你！
折一折，做一做 不用任何作图工具，利用矩形纸，怎么 折出45°角？（是哪个基本图形的用法）
数学折纸-PPT课件
《折纸》
异分母分数加减法
回顾：
把下面每组中的两个分数通分
1 和2 35
3 和7 4 20
5 和3 12 8
1 3
=
5 15
3 4
=
15 20
5 12
=
10 24
2 5
=
6 15
7 20
=
7 20
3 8
=
9 24
算一算：
1 23
5
+
=
5
5
4 – 1 =3 7 77
3 25 +=
7 77
11
11 –
=0
15 15
1 56 2
+
=
=
9 99 3
7 –5
2
=
1
=
12 12 12 6
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
小明用同一张纸的 1 折一只小鸟。
2
4
（1）他俩一共用了这张纸的几分之几？
（2）小红比小明多用了这张纸的几分之几？
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
怎样计算分母不 同的分数加减？ 与同学进行交 流。
91 10 6
27 5 = 30 30
22 = 30
11 = 15
分母不同分数加减法的计算方法
• 分母不同的分数相加减，要先 （通分）， 化成（相同 ）的 分母，再加减。计算结果能约 分的，要约成最（ 简 ）分数。
不同分母的分数加减法解题步骤：
一看： 看清题目 二通： 通分 三算： 计算 四约： 结果能约分的要约成最简分数 五化：结果是假分数的要化成带分数或整数
异分母分数加减法
回顾：
把下面每组中的两个分数通分
1 和2 35
3 和7 4 20
5 和3 12 8
1 3
=
5 15
3 4
=
15 20
5 12
=
10 24
2 5
=
6 15
7 20
=
7 20
3 8
=
9 24
算一算：
1 23
5
+
=
5
5
4 – 1 =3 7 77
3 25 +=
7 77
11
11 –
=0
15 15
1 56 2
+
=
=
9 99 3
7 –5
2
=
1
=
12 12 12 6
同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
小明用同一张纸的 1 折一只小鸟。
2
4
（1）他俩一共用了这张纸的几分之几？
（2）小红比小明多用了这张纸的几分之几？
同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 1 折一只小船，
怎样计算分母不 同的分数加减？ 与同学进行交 流。
91 10 6
27 5 = 30 30
22 = 30
11 = 15
分母不同分数加减法的计算方法
• 分母不同的分数相加减，要先 （通分）， 化成（相同 ）的 分母，再加减。计算结果能约 分的，要约成最（ 简 ）分数。
不同分母的分数加减法解题步骤：
一看： 看清题目 二通： 通分 三算： 计算 四约： 结果能约分的要约成最简分数 五化：结果是假分数的要化成带分数或整数
数学活动折纸做60°、30°、15°的角ppt课件
3
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
4
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
5
证明折法，反思提高
证明：连接AN
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AN=BN
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称
∴AB=NB，∠1=∠2
A
M
D
∴AB=AN=NB
∴AB=AD。
∵CD=BC，∴BC1= BD。
又∵BC= 1AB， 2 ∴AB=BD2。∴AB=AD=BD，
B
C
D
即△ABD是等边三角形。
∴∠B=60°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°。
12
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
几
何
的
三
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是 种
推论：BC : AC : AB 1 : 3 : 2
10
反过来怎么样——逆向思维 命题“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？ 与小组同学交流。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°。 它是真命题吗？如果是，请你证明它。
A
M
D
E
G
N
F
12
B3
C
8
在矩形纸片中剪出等边三角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A
M
D
E
G
N
F
B
H
C
9
B
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
动手实践，寻找规律
在一张矩形的纸片上，怎么折出一个 45°的角？
4
动手实践，寻找规律
你能通过折纸的方法，折出30°的角吗？ 怎样折？
5
证明折法，反思提高
证明：连接AN
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于EF对称
∴AN=BN
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称
∴AB=NB，∠1=∠2
A
M
D
∴AB=AN=NB
∴AB=AD。
∵CD=BC，∴BC1= BD。
又∵BC= 1AB， 2 ∴AB=BD2。∴AB=AD=BD，
B
C
D
即△ABD是等边三角形。
∴∠B=60°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°。
12
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
几
何
的
三
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是 种
推论：BC : AC : AB 1 : 3 : 2
10
反过来怎么样——逆向思维 命题“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。”反过来怎么表述？ 与小组同学交流。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°。 它是真命题吗？如果是，请你证明它。
A
M
D
E
G
N
F
12
B3
C
8
在矩形纸片中剪出等边三角形， 怎样剪出的等边三角形才是最大的？
A
M
D
E
G
N
F
B
H
C
9
B
有30°的直角三角形的性质 知识回顾
折纸与数学ppt课件
1924年拉波出版了《折纸的操作》 贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文
《用折纸解几何问题》和《用折纸解3次和4 次方程》
2021精选ppt
4
二、折纸数理学的成立（续）
70年代，日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何 学》
之后在日本形成了一个研究折纸数理的高 潮，结成了多个研究团体，也出版了许多 的专著 芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知 子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较 大的贡献。
2021精选ppt
5
二、折纸数理学的成立（续）
进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关。
1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本 学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后 缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问
2021精选ppt
42
5.芳贺第二定理 芳贺第三定理
D
E
A
A
E
F
D
T
R
F
R
S
H
G
S C
折法∶
B
B
G
C
折法∶
对点F、G的位置作出猜想∶ 对点点H的位置作出猜想∶
给出理由∶
给出理由∶
2021精选ppt
43
A
E
D
F B
2021精选ppt
C
44
（二）三角形折纸
1.米仓定理 问题的起源 米仓的发现
2021精选ppt
17
四、折纸与分数
分数的概念 同分母分数的加、减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法
《用折纸解几何问题》和《用折纸解3次和4 次方程》
2021精选ppt
4
二、折纸数理学的成立（续）
70年代，日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何 学》
之后在日本形成了一个研究折纸数理的高 潮，结成了多个研究团体，也出版了许多 的专著 芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知 子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较 大的贡献。
2021精选ppt
5
二、折纸数理学的成立（续）
进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关。
1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本 学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后 缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问
2021精选ppt
42
5.芳贺第二定理 芳贺第三定理
D
E
A
A
E
F
D
T
R
F
R
S
H
G
S C
折法∶
B
B
G
C
折法∶
对点F、G的位置作出猜想∶ 对点点H的位置作出猜想∶
给出理由∶
给出理由∶
2021精选ppt
43
A
E
D
F B
2021精选ppt
C
44
（二）三角形折纸
1.米仓定理 问题的起源 米仓的发现
2021精选ppt
17
四、折纸与分数
分数的概念 同分母分数的加、减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法
北师大版五年级下册数学折纸课件(共14张PPT)
3 4
+
5 8
=
6 8
+
5 8
=
11 8
5 6
-
2 3
=
5 6
-
4 6
=
1 6
新ห้องสมุดไป่ตู้探究
异分母分数相加减，要先通分， 化成同分母分数，再按照同分母分数 加减法的方法进行计算。
新知探究
试一试
算一算
7 10
-
1 6
，并与同伴交流你的算法。
用10×6做分母。7 10
-
1 6
=
42 60
-
10 60
=
32 8 60 15
=
8 15
新知探究
试一试
算一算
7 10
-
1 6
，并与同伴交流你的算法。
用10和6的最小公倍数30做分母。
7 10
-
1 6
=
21 30
-
5 30
=
16 8 30 15
=
8 15
新知探究
算一算，并与同伴交流你的做法。
=
19 24
=
7 12
分数加减法的计算结果能约分的要 约成最简分数。
巩固练习
练一练
1.填一填。
314 999
巩固练习
练一练
1.填一填。
2
1
1
6
6
6
课堂小结
通过今天的学习你收获了什么？
折纸
五年级 下册
情境导入
你能提出什么问题？
新知探究
他俩一共用了这张纸的几分之几？
1 2
+
1 4
=
分数折纸ppt课件
分数折纸的概念
01
分数折纸的定义
分数折纸是指使用分数级数折叠纸张的方法，通 常用于制作具有复杂结构和细节的折纸作品。
02
分数级数的概念
分数级数是指一个数列，其中每一项都是前一项 的分数倍，常用于描写折叠次数与角度之间的关
系。
分数折纸的原理和技能
分数折纸的基本原理
通过掌握分数级数的概念和性质，可以推导出折叠纸张所需的次数、角度和尺寸等参数，从而 制作出精美的折纸作品。
六十分之一折纸
总结词
将纸张等分为六十份，每份都是六十分之一。
详细描写
将纸张横向或纵向对折五次，可以得到六十分之一的折纸作品，这种折纸方法 非常复杂，需要极高的技能和耐心，合适专业折纸爱好者挑战。
05
分数折纸的挑战和未来发展
分数折纸的挑战
01 技术难度
分数折纸技术需要高精度的设计和制造，对材料 和工艺的要求较高。
四分之一折纸
总结词
将纸张等分为四份，每份都是四 分之一。
详细描写
将纸张横向或纵向对折两次，可 以得到四分之一的折纸作品，这 种折纸方法相对复杂一些，需要 掌握一些技能。
八分之一折纸
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ将纸张等分为八份，每份都是八分之 一。
详细描写
将纸张横向或纵向对折三次，可以得 到八分之一的折纸作品，这种折纸方 法更加复杂，需要较高的技能和耐心 。
03 应用拓展
分数折纸的应用领域将进一步拓展，不仅局限于 包装和印刷行业，还将应用于建筑、汽车、航空 航天等领域。
如何更好地应用分数折纸
01
02
03
加强研发
加大研发力度，不断改进 和完善分数折纸技术。
推广应用
数学活动 折纸做60°,30°,15°的角 ppt课件
13
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
问题9 在图中找出所有30°和60°的角？
A
R
D
EH
O
F
B
C
A O
M E
P B
R
ppt课件
D N F Q C
14
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
问题10 用矩形卡片如何剪出等边三角形？
怎样剪出的等边三角形面积才是最大的？
A
R
D
A
O
M
O
E
ppt课件
16
勤学 诚实 育人 报国
五、变式练习 学以致用
(2)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的 点F处，折痕为BE（如图①）；再沿过点E的直线折叠，使点D 落在BE上的点H处，折痕为EG（如图②）；再展平纸片（如图 ③）．求图③中∠1 的大小．
A
E
DA
E
DA
E
D
H
1
B
CB F
A
R
D
问题6 你能说出以上操作的依据吗？
O
证明：对折矩形ABCD
E 1
4
F
23
∴ AB=2BE,∠1=90°
B
C
∵ 以BR为折痕折叠，使点A落在EF上
∴ AB=BO, ∠2=∠3
∴ BO=2BE
又∵ ∠1=90°
∴ ∠4=30°
∵ ∠ABO=90°- ∠4=60°
∴∠2=∠3=30°
ppt课件
9
勤学 诚实 育人 报国
F
CB G
C FG
图①
图②
图③
ppt课件
《折纸》北师大版数学五年级上册课件PPT文档
3 8
，
小猴子占总数的
1 6
。
小兔子和小猴子共占总数的几分之几？
小兔子比小猴子多几分之几？
2 3
－
3 5
4＋ 1 53
2 3
+
1 4
本课小结
通过直观的操作活动，理解异分母分数 加减法的算理。能正确计算异分母分数的 加减法。
用了一张纸的
1 2
折一只小船，小明
用同一张纸的
1 4
折一只小鸟。
小红比小明多用了这 张纸的几分之几？
异分母分数相加、减，先通 分，然后按照同分母分数加、减 法的计算法则进行计算。
计算的结果不是最简分数的 要化成最简分数，是假分数的 化成带分数。
我的收获
看图填一填。
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
1 4
折一只小鸟。
一共用了这张纸 的几分之几？
1 2
+
1 4
=
3 4
1 2
1 4
1 2
+
1 4
=
分数单位不同， 不能直接相加。
可以用通分把它们 转化成分母相同的分数。
1 2
+
1 4
=
2 4
+
1 4
=
3 4
答：一共用了这张纸的
3 4
。
可以用通分把它们 转化成分母相同的分数。
同学们在手工课上折纸。小红
学习永远不晚。 JinTai College
做一做
2 3
-
3 5
=
1 15
1 3
+
1 5
=
8 15
数学五下1.1《折纸》ppt课件
数学五下1.1《折纸》ppt课件安徽省六安市长安小学纪开兵温故而知新：把下面各组数通分:53和31412112583和和温故而知新：5512+–47717732++919512–1275–15111511=53=75=96=73=012=2同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
=61同学们在手工课上折纸。
小红用了一张纸的折一只小船，小明用同一张纸的折一只小鸟。
1412他俩一共用了这张纸的几分之几？1214＋＋＋1214＋2414＋＝34＝34同学们在手工课上折纸。
小红用了一张纸的折一只小船，小明用同一张纸的折一只小鸟。
1412小红比小明多用了这张纸的几分之几？（2）小红比小明多用了这张纸的几分之几？-=-=答：小红比小明多用了这张纸的大家试着总结一下异分母分数加减法的计算法则。
异分母的分数加减法异分母分数加减法通分转化成同分母分数加减法按照同分母分数加减法的方法进行计算答案不同分母的分数加减的计算方法：不同分母的分数相加减，先（），然后按照（）加减法的方法进行计算。
结果能约分的要化成最简分数。
通分同分母分数讨论归纳：练一练：计算的结果能约分的要约成最简分数。
试一试：＝118＝22301115=做一做3415+=19201315+=8152335-=1153816+=2589-=15689-=118132435练一练34+15=192013+15=81523-35=115+=420515+315==1015915--===-5656361226131520练习：下面的计算对吗？把不对的改正过来。
（1）+=（2）–=小动物排队做操，小兔子占总数的，小猴子占总数的。
小兔子和小猴子共占总数的几分之几？小兔子比小猴子多几分之几？3816安徽省六安市长安小学纪开兵。
折纸中的数学问题优质PPT
在边BC上的点F处. （2〕计算折叠后角的度数；
如图，若矩形纸片ABCD沿EF折叠，
若AB=4cm，
若矩形ABCD中,AD=4,AB=3
1、两手：“折”，“叠”。
若AB=4cm， （2〕计算折叠后角的度数；
4、基本方法、思想：（方程思想、转化思想）
A
（3〕计算折叠后线段的长度；
AD=5cm， 能计算四边形ABED的面积吗？
中考数学专题复习
折叠中的数学 ——ห้องสมุดไป่ตู้矩形纸片
师傅领进门
折法一
将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠
⑴说出图中成立的结论，
并说出理由。
E
⑵若矩形ABCD中 AD=4,AB=3, 求△AFC的腰长，面积.
A
F
D
你还能计算哪些量？
B
C
折法二
将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角线AC上 ，点B的对应点为F.
（2〕求出线段EF的长度。
⑴说出图中成立的结论，
你能求出AF、EF吗？
O
还能求出哪些量呢？
A
F
B
数学来源于生活 学好数学，享受生活
2、实质：轴对称〔全等，对称）。
（2〕计算折叠后角的度数；
（1〕猜想图中存在的结 （1)直接说出下列线段的长度
能计算四边形ABED的面积吗？
D′
论，并尝试证明； ⑵若矩形ABCD中 AD=4,AB=3,
（1)直接说出下列线段的长度 ⑴说出图中成立的结论， （5〕判断图形的形状及全等关系。
D
E
C
（2〕若AB=4，BC=3， 求△AFC的腰长，面积.
将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角线AC上，点B的对应点为F.
折叠中的数学PPT课件
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？ 若存在，求出点F的坐标；
(10 , )
若不存在，请说明理由．
MN
一个本质二种方法三种思想
本质：轴对称（全等性，对称性） 二种方法： （1）根据勾股定理得方程。 （2）根据类似比得方程。
三种思想：
（1）方程思想
（2）类比思想
（3）数形结合思想
作业:
1.（2009北京） 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、
N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直
线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点
E,若M、N分别M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分
点（,且n为整数），则A′N=
（用含有n的式
也可以寻找类似三角形，运
用类似来解决问题。
深入探一探
已知：在矩形AOBC中，OB=10,OA=8．分别以
OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重
合），过F点的y反 比k (例k 函0)数
点E．
x
的图象与AC边交于
请探索：是否存在这样的点 （ ,8）
A
B
C
D
仔细算一算
如图，折叠长方形的一边AD，点D落 在BC边的点F处.如果∠BAF=60°，则 ∠DAE=_______,已知AB=8cm， AD=________ ．
D A
找折痕两侧的对称
的线段和对称角
E
B
FC
耐心找一找
如图，折叠长方形的一边AD，点D落 在BC边的点F处, 找一找图中有没有类 似三角形，并证明.
3.折叠后会产生新的图形关系:类似
初中数学《折纸-数学活动》课件
第18章 数学活动
生活剪影
折纸是一门艺术，同学们小时候都玩过折纸，可能 折过小动物、小花、小船等．我们知道，折纸往往用矩 形纸片开始，今天我们用数学眼光来玩折纸，看看折叠 矩形能得到什么艺术品.
小组建立
1、请同学们搭配分组，分成6组，每组 6——7人，并选举组长。
2、小组分工 3、请同学们预习教材活动，明确活动要求。
请试一试！
2
想一想
BE M
52
N
5-1
A 1C
D
CD = 5-1 BC 2
证一证
问题 矩形MNDE是黄金矩形吗？请说明理由．
M
BE
N
AC
D
课堂小结
（1）利用矩形纸片你能折出哪些特殊角？ （2）黄金矩形有哪些特点？如何判断？ （3）你还能折出新作品并说明这样折的道理吗？
学生之间、师生之间交流讨论： ①你喜欢今天的活动吗？
动手热身
问题1 三角形？
问题2 问题3
利用矩形纸片，你能折出哪些我们熟悉的
能折出等腰三角形吗？ 能折出等边三角形吗？
A
DA
D
E
PF E
N
F
B
CB
C
说说折出的△ABN是等边三角形的理由．
继续探究
利用矩形纸片，你能折出哪些度数的角？ 对折可以平分一个角，还可以把一个角分成2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数. 你能想到折60°，30°，15°角的方法吗？ 试一试：请折出一个30°的角.
第二步：如下图，把这个正方形折成两个相等的矩 形，再把纸片展平；
M
N
折出黄金矩形
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB 折到 下图中所示AD 处；
生活剪影
折纸是一门艺术，同学们小时候都玩过折纸，可能 折过小动物、小花、小船等．我们知道，折纸往往用矩 形纸片开始，今天我们用数学眼光来玩折纸，看看折叠 矩形能得到什么艺术品.
小组建立
1、请同学们搭配分组，分成6组，每组 6——7人，并选举组长。
2、小组分工 3、请同学们预习教材活动，明确活动要求。
请试一试！
2
想一想
BE M
52
N
5-1
A 1C
D
CD = 5-1 BC 2
证一证
问题 矩形MNDE是黄金矩形吗？请说明理由．
M
BE
N
AC
D
课堂小结
（1）利用矩形纸片你能折出哪些特殊角？ （2）黄金矩形有哪些特点？如何判断？ （3）你还能折出新作品并说明这样折的道理吗？
学生之间、师生之间交流讨论： ①你喜欢今天的活动吗？
动手热身
问题1 三角形？
问题2 问题3
利用矩形纸片，你能折出哪些我们熟悉的
能折出等腰三角形吗？ 能折出等边三角形吗？
A
DA
D
E
PF E
N
F
B
CB
C
说说折出的△ABN是等边三角形的理由．
继续探究
利用矩形纸片，你能折出哪些度数的角？ 对折可以平分一个角，还可以把一个角分成2n 等份， 同时通过角的和差得到相关的度数. 你能想到折60°，30°，15°角的方法吗？ 试一试：请折出一个30°的角.
第二步：如下图，把这个正方形折成两个相等的矩 形，再把纸片展平；
M
N
折出黄金矩形
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB 折到 下图中所示AD 处；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《用折纸解几何问题》和《用折纸解3次和4 次方程》
.
4
二、折纸数理学的成立（续）
70年代，日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何 学》
之后在日本形成了一个研究折纸数理的高 潮，结成了多个研究团体，也出版了许多 的专著 芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知 子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较 大的贡献。
.
30
复印时的扩大与缩小
扩大
A5→A3 200％ B6→B4
A4→A3 B5→B4
A4→B4 A5→B5
141％ 122％
缩小
A3→B4 A4→B5
87％
B4→A4 B5→A5
A3→A4 B4→B5
82％ 71％
.
31
复印纸中的几个关系
B4 A4
A4
A5 B4
A5
.
32
复印纸的秘密
.
33
.
34
3/7
3/5 8/25 3/4 17/20 2/25
1/4
4/5 9/50 8/9 41/45 1/50
1/9
1/6 35/72 2/7 37/42 25/72 5/7
5/6 11/72 10/11 61/66 1/72
1/11
.
27
(2)一般化2(正方形→长方形)
复印纸的特征
长边∶短边= 2 ∶1
两大系列：A系列与B系列
A系列最大尺寸为A0，其面积为1平方米； B系列最大尺寸为B0，其面积为1.5平方米．
.
28
容
易
推
得
A4
两
边
的
长
分
别
为
2
1 4
与
1
24
米
（1189mm与841mm）.
容易推得B4两边的长分别为
3
2
3 4
2
与
米 3
1
24
2
（1456mm与1030mm），详细见下表.
.
折
折纸数理研究的进展 折纸科学研究国际会议 数学教育中的折纸
日本 英美等国 中国
教科书中的折纸
.
3
二、折纸数理学的成立
英语中有两种说法，一种为folding-paper， 另一种为origami
第一本专著是桑达拉写于1896的《折纸中的 几何练习》
1924年拉波出版了《折纸的操作》 贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文
9
.
10
.
11
馆知宏（2006）
.
12
.
13
人造血管:牛津大学ashi的发明
.
14
.
15
栗林的发明
.
16
.
17
四、折纸与分数
分数的概念 同分母分数的加、减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法
.
18
五、折纸与图形的性质
几个概念
垂直、平行、对称
图形的面积
三角形、平行四边形、梯形
.
6
三、折纸研究
数学 工学—破坏工学、汽车新材料、气囊 生活—易打开的地图、新型饮料瓶 建筑学—轻巧、结实大楼的设计 生物学—蛋白质折纸 医学—微型手术刀、支架、人造血管 航空、航天—太阳能集光板、射电望 远镜、降落伞的折叠、航天飞船船帆 艺术1 艺术2
.
7
折纸的应用例
.
8
.
图形的性质
三角形的中线、高、角平分线
.
19
六、折纸几何学公理
1)给定两点P1、P2，总能折一条线过这两点（连点折 ）
2)给定两点P1、P2，总能将点P1折到点P2（合点折） 3)给定两直线L1、L2，总能将直线L1折到直线L2上（
合线折）
.
20
❖4)给定一点P1及一直线L1，总能过点P1折一直线垂 直于直线L1
.
25
2.芳贺第一定理的一般化
(1)一般化1(中点→任意点)
D
x
A'
y1
P
y6
A
C
y3
y2
R
B' y5 Q y4
B
D
x
(1 x)2 2
P
A'
C
1 x2 2x
1 x 1 x
R
x2 1
B'
1
x
2
1 x 1 x
Q
2
A
B
.
26
x 1/2
y1
3/8
No Image
2/ 3
No Image
5/6
No Image
29
A型、B型复印纸规格（单位mm）
A0 841×1189 B0 A1 594×841 B1 A2 420×594 B2 A3 297×420 B3 A4 210×297 B4 A5 148×210 B5 A6 105×148 B6
1030×1456 728×1030 515×728 364×515 257×364 182×257 128×182
❖5)给定两点P1、P2及一直线L1，总能过点P2折一直 线使得直线L1过点P1（圆规折)
❖6)给定两点P1、P2及两直线L1、L2，总能折一直线 使得直线L1过点P1且直线L2过点P2（三维折)
.
21
七、基本折法及其性质
(1) 基本折法
连点折，圆规折，三维折， 线自折，合点折，合线折
(2) 各种折法的性质 连点折
③复印纸的芳贺第一
定理折法（横放)
折法∶（略）
猜想∶
A
H
E
D
确认∶
G I
B
F
.
C
35
(3)一般化3(一边中点→ 正方形内任一点)
EF所在直线的方程为
2(1 p)q ( p2 q2 1)q
y
x
q2 (1 p)2 q2 (1 p)2
.
5
二、折纸数理学的成立（续）
进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关。
1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本 学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后 缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问
24
A
E
B
F
设BA＝BC＝1，BF＝a，
则BE＝1/2， EF＝ FC=1－a， H
I
由勾股定理得
G
D
C
a 2 1 2 (1 a)2
2
解之得a＝3/8，EF＝CF＝5/8
利用△AHE、△BEF与△IHG的
相似关系可以求得
AH=2/3，EH=5/6，
HI=1/6，GI=1/8，
HG=5/24
折痕为过两点的直线 合点折
折痕垂直平分连接两点的线段 合线折
折痕平分两线所成的角 线自折
折痕垂直于该线
.
22
八、折纸的种类
正方形折纸 特殊比例的长方形折纸 圆形折纸 三角形折纸 正多边形折纸
.
23
九、折纸问题的展开例
（一）芳贺折纸三定理 1. 芳贺第一定理
折法 发现 理由
.
1/8
No Image
1/3
1/3 4/9
1/2
5/6 2/9
1/2
2/3 5/18 4/5 13/15 1/18
1/5
1/4 15/32 2/5 17/20 9/32
3/5
3/4 7/32
6/7
4/7 1/32
1/7
1/5 12/25 1/3 13/15 8/25
2/3
2/5 21/50 4/7 29/35 9/50
.
4
二、折纸数理学的成立（续）
70年代，日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何 学》
之后在日本形成了一个研究折纸数理的高 潮，结成了多个研究团体，也出版了许多 的专著 芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知 子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较 大的贡献。
.
30
复印时的扩大与缩小
扩大
A5→A3 200％ B6→B4
A4→A3 B5→B4
A4→B4 A5→B5
141％ 122％
缩小
A3→B4 A4→B5
87％
B4→A4 B5→A5
A3→A4 B4→B5
82％ 71％
.
31
复印纸中的几个关系
B4 A4
A4
A5 B4
A5
.
32
复印纸的秘密
.
33
.
34
3/7
3/5 8/25 3/4 17/20 2/25
1/4
4/5 9/50 8/9 41/45 1/50
1/9
1/6 35/72 2/7 37/42 25/72 5/7
5/6 11/72 10/11 61/66 1/72
1/11
.
27
(2)一般化2(正方形→长方形)
复印纸的特征
长边∶短边= 2 ∶1
两大系列：A系列与B系列
A系列最大尺寸为A0，其面积为1平方米； B系列最大尺寸为B0，其面积为1.5平方米．
.
28
容
易
推
得
A4
两
边
的
长
分
别
为
2
1 4
与
1
24
米
（1189mm与841mm）.
容易推得B4两边的长分别为
3
2
3 4
2
与
米 3
1
24
2
（1456mm与1030mm），详细见下表.
.
折
折纸数理研究的进展 折纸科学研究国际会议 数学教育中的折纸
日本 英美等国 中国
教科书中的折纸
.
3
二、折纸数理学的成立
英语中有两种说法，一种为folding-paper， 另一种为origami
第一本专著是桑达拉写于1896的《折纸中的 几何练习》
1924年拉波出版了《折纸的操作》 贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文
9
.
10
.
11
馆知宏（2006）
.
12
.
13
人造血管:牛津大学ashi的发明
.
14
.
15
栗林的发明
.
16
.
17
四、折纸与分数
分数的概念 同分母分数的加、减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法
.
18
五、折纸与图形的性质
几个概念
垂直、平行、对称
图形的面积
三角形、平行四边形、梯形
.
6
三、折纸研究
数学 工学—破坏工学、汽车新材料、气囊 生活—易打开的地图、新型饮料瓶 建筑学—轻巧、结实大楼的设计 生物学—蛋白质折纸 医学—微型手术刀、支架、人造血管 航空、航天—太阳能集光板、射电望 远镜、降落伞的折叠、航天飞船船帆 艺术1 艺术2
.
7
折纸的应用例
.
8
.
图形的性质
三角形的中线、高、角平分线
.
19
六、折纸几何学公理
1)给定两点P1、P2，总能折一条线过这两点（连点折 ）
2)给定两点P1、P2，总能将点P1折到点P2（合点折） 3)给定两直线L1、L2，总能将直线L1折到直线L2上（
合线折）
.
20
❖4)给定一点P1及一直线L1，总能过点P1折一直线垂 直于直线L1
.
25
2.芳贺第一定理的一般化
(1)一般化1(中点→任意点)
D
x
A'
y1
P
y6
A
C
y3
y2
R
B' y5 Q y4
B
D
x
(1 x)2 2
P
A'
C
1 x2 2x
1 x 1 x
R
x2 1
B'
1
x
2
1 x 1 x
Q
2
A
B
.
26
x 1/2
y1
3/8
No Image
2/ 3
No Image
5/6
No Image
29
A型、B型复印纸规格（单位mm）
A0 841×1189 B0 A1 594×841 B1 A2 420×594 B2 A3 297×420 B3 A4 210×297 B4 A5 148×210 B5 A6 105×148 B6
1030×1456 728×1030 515×728 364×515 257×364 182×257 128×182
❖5)给定两点P1、P2及一直线L1，总能过点P2折一直 线使得直线L1过点P1（圆规折)
❖6)给定两点P1、P2及两直线L1、L2，总能折一直线 使得直线L1过点P1且直线L2过点P2（三维折)
.
21
七、基本折法及其性质
(1) 基本折法
连点折，圆规折，三维折， 线自折，合点折，合线折
(2) 各种折法的性质 连点折
③复印纸的芳贺第一
定理折法（横放)
折法∶（略）
猜想∶
A
H
E
D
确认∶
G I
B
F
.
C
35
(3)一般化3(一边中点→ 正方形内任一点)
EF所在直线的方程为
2(1 p)q ( p2 q2 1)q
y
x
q2 (1 p)2 q2 (1 p)2
.
5
二、折纸数理学的成立（续）
进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关。
1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本 学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后 缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问
24
A
E
B
F
设BA＝BC＝1，BF＝a，
则BE＝1/2， EF＝ FC=1－a， H
I
由勾股定理得
G
D
C
a 2 1 2 (1 a)2
2
解之得a＝3/8，EF＝CF＝5/8
利用△AHE、△BEF与△IHG的
相似关系可以求得
AH=2/3，EH=5/6，
HI=1/6，GI=1/8，
HG=5/24
折痕为过两点的直线 合点折
折痕垂直平分连接两点的线段 合线折
折痕平分两线所成的角 线自折
折痕垂直于该线
.
22
八、折纸的种类
正方形折纸 特殊比例的长方形折纸 圆形折纸 三角形折纸 正多边形折纸
.
23
九、折纸问题的展开例
（一）芳贺折纸三定理 1. 芳贺第一定理
折法 发现 理由
.
1/8
No Image
1/3
1/3 4/9
1/2
5/6 2/9
1/2
2/3 5/18 4/5 13/15 1/18
1/5
1/4 15/32 2/5 17/20 9/32
3/5
3/4 7/32
6/7
4/7 1/32
1/7
1/5 12/25 1/3 13/15 8/25
2/3
2/5 21/50 4/7 29/35 9/50