《大学物理AII》作业 No.08 量子力学基出 参考解答

（1）待定系数 A 的值； （2）发现粒子概率最大的位置； （3）粒子的平均位置坐标；
解： （1）由波函数归一化条件 ( Axe x ) 2 dx
0 2

2 A2 1 ，可得 A 2 3 ； ( 2 ) 3 d ( x ) 0， dx
2
（2）粒子的概率密度 ( x ) 43 x 2 e 2 x （x>=0）,令 可得： 43 2 xe x (1 x ) 0 ，即 x (1 x ) 0 。
出， 电子的物质波波长是 10 10 m 数量级，在现有的条件下电子的波动性是可以通 过实验进行检验的， 讨论电子等微观粒子的波动性具有实际意义；但是宏观物体 物质波的波长远远小于 10 10 m 数量级， 无法通过我们所能利用的任何仪器装置来 验证其波动性。 因此谈论宏观物体是否遵从德布罗意关系，是否具有波动性是没 有意义的，宏观物体的波动性可以不用考虑。
处于 n=4 的激发态时，则：在 x=0 到 x=
P 3 1 x dx
2 0 a 4x 4x sin dx 3 sin 2 d 0 a a a 4 a a a 3
1 1 4x 1 8x 1 2 1 8 a sin sin 29.9% 2 2 a 4 a 0 2 3 4 a 3

。
3 。 2
2、计算下列两种情况下的速度不确定量： （1）宏观子弹：m =10 克,v=800m/s, Δx=1cm；
（2）原子中的电子：me=9×10-28 克，ve=108cm/s, Δx=10-8cm 第一种情况下， 如果把普朗克常数视为零结果怎样？第二种情况下呢？根据计算 结果总结出采用量子力学与经典力学处理问题的分界线。
4、按照玻恩解释，波函数的强度 2 ，代表粒子（在空间的概率密度分布） 。由 于粒子在整个空间必定出现，因此 2 对整个空间的积分 2 d V 1 ，这称为波 函数的（归一化）条件。此外波函数还应满足（单值） 、 （有限）和（连续）的标 准条件，只有满足以上条件的波函数才是有物理意义的波函数。 5、一般情况下描述微观粒子状态的波函数是通过求解相关动力学微分方程来获 得的。在薛定谔的量子力学体系中，微观粒子波函数遵循的动力学方程称为（薛 定谔方程） 。在该方程中，如果微观粒子所处的势场 U 不随时间变化，相应的就 称为（定态薛定谔）方程。在定态问题中，只需求出微观粒子的振幅函数就可确 定微观粒子的分布，振幅函数所遵循的方程称为（振幅）方程。 6、微观粒子（被局限在某个区域中，并在该区域内可以自由运动）的问题都可 简化为一维无限深势阱问题。一维无限深势阱的势场函数为： （ U ( x ) 0 (0 x a )；U ( x ) ( x 0, x a ) ） 。一维无限深势阱中，粒子的波函 数为（ ( x )
3、一维无限深势阱中，经典力学和量子力学对粒子运动描述有什么差异？ 答：按照经典力学，粒子在一维无限深势阱中各处出现的概率是相等的，与其能 量状态无关。 但是按照量子力学中，粒子在一维无限深势阱中各处的概率分布与 其能量状态有关；相同能量状态下，粒子各处的分布也是不一样的。
三、计算题
( x ) Axe x ( x 0) 1、设一维粒子的波函数为： ，其中 0 。求： ( x) 0 ( x 0)
a 之间找到粒子的概率为： 3
0
a 2 a 2 2 x x x sin dx 3 sin 2 d 0 a a a a a a 3
2 1 x 1 2x 2 a 1 2 a sin sin 19.5% 2 a 4 a 0 2a 3 4 a 3 a 之间找到粒子的概率为： 3
0
，两者结果一致；第二种情况下采用不确定关系的计
算结果 v 5.86 10 m / s ，如果将普朗克常数视为零，则 v 0 ，则差别相 当大。显然第二种情况下，普朗克常数不能忽略不计！ ！ 实际上根据所研究的问题中普朗克常数能否视为零或者能否忽略不计， 可以 看成是量子力学和经典力学处理问题的分界线，即：在所研究问题中，普朗克常 数可以忽略不计，则用经典力学处理即可，比如本题中的第一种情况；在所研究 的问题中，普朗克常数不可以忽略，则需采用量子力学处理，比如本题中的第二 种情况。
h h h 10 3 ， 利 用 不 确 定 关 系 5000 2

知, △ p

2

x p x h ，可得光子的 x 坐标满足 x
h 25 10 9 Å=2.5m p x
12、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
x
1 1 3x a x a ， 那么粒子在 x 2a / 3 处出现的概率密度为 （ ） 。 cos a 2a a
2、设粒子运动的波函数图线分别如下图中的 A,B,C,D 所示。试说明确定粒子动 量 px 精度最高的波函数图线是哪一个？为什么？
x x x x
答：由图可知 A 图中粒子动量精度最高。由波函数的概率波假设可知，A 图中 粒子可能出现的位置最多， 其位置的不确定度最大。再根据位置动量的不确定关 系，其位置的不确定度越大，其动量的不确定量就越小，动量的确定度就越高。
h 6.63 10 34 1.2 10 10 m 31 6 mv 9.1 10 6.0 10
；
h 6.63 10 34 8.8 10 37 m 。 mv 50 15
干涉、衍射是表征物质波动性的最主要特征，根据干涉、衍射理论只有狭缝 或者障碍物的大小可以和波长相比拟时，才可能产生明显的干涉衍射图样。现在 已知可被利用的最小狭缝为晶格间距，数量级为 10 10 m 左右。从以上计算可以看
2 n ） ，粒子的 sin x ( n 1,2,3......,0 x a ); ( x ) 0( x 0, x a） a a 2 2 （n=1,2,3......）)，粒子在势阱中不同位置出现的概率（不相 2ma 2
能量是( E n 2
等） 。 （填相等或不相等） 7、按照量子力学计算，总能量低于势垒能量的粒子也能到达势垒另一侧的现象 称为（量子隧穿） ，该效应已经得到了实验的证实， （扫描隧穿）显微镜就是利用 这一原理制成的。 8、将波函数在空间各点的振幅同时增大 N 倍，则粒子在空间的分布概率将（不 变） 。 （填变化或不变） 9、低速运动的质子和 粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比
h

） 。德布罗意的假设，最先由（戴维
孙-革末）实验得到了证实。因此实物粒子与光子一样，都具有（波粒二象性） 的特征。 2、玻恩提出一种对物质波物理意义的解释，他认为物质波是一种（概率波） ，物 质波的强度能够用来描述（微观粒子在空间的概率密度分布） 。 3、对物体任何性质的测量，都涉及到与物体的相互作用。对宏观世界来说，这 种相互作用可以忽略不计，但是对于微观客体来说，这种作用却是不能忽略。因 此对微观客体的测量存在一个不确定关系。 其中位置与动量不确定关系的表达式 为（ p x x
pP : pα （1:1） ；动能之比 E P : Eα （4:1） 。
解：由 p
h

，二者 相同，所以 p p : p 1 : 1 。由经典动能动量关系，动能 E
p2 ， 2m
所以 E p : E m : m p 4 : 1
10、微观粒子的下述性质可由哪个不确定关系式子给出？ （1）微观粒子永远不可能静止（位置与动量的不确定关系 x p x ） 。 （2）原子光谱存在自然宽度（能量与时间的不确定关系 E t ） 。 11、波长 = 5000 Å的光沿 x 轴正方向传播， 若光的波长的不确定量=10 3 Å， 则光子在 x 坐标上的不确定量至少为（2.5m） 。 解：由公式 p =
《大学物理 AII》作业
No.08 量子力学基础
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求**************************** 1、掌握物质波公式、理解实物粒子的波粒二象性特征。 2、理解概率波及波函数概念。 3、理解不确定关系，会用它进行估算；理解量子力学中的互补原理。 4、会用波函数的标准条件和归一化条件求解一维定态薛定谔方程。 5、理解薛定谔方程在一维无限深势阱、一维势垒中的应用结果、理解量子隧穿 效应。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题 1、德布罗意在爱因斯坦光子理论的启发下提出，具有一定能量 E 和动量 P 的实 物粒子也具波动性，这种波称为（物质）波；其联系的波长 和频率 与粒子能 量 E 和动量 P 的关系为（ E h ） 、 （p
3、已知一维无限深势阱中粒子的定态波函数 n 求粒子处于基态和处于激发态 n=4 时，在 x=0 到 x= 解：处于基态时，n=1，则：在 x=0 到 x=
P 3 1 x dx
2 0 a a 3
2 n x sin , a 为常量。试分别 a a a 之间找到粒子的概率。 3
解：由位置动量不确定关系： （1） v / 2mx 5.3 10
31
m/s
5
（2） v / 2 m x 5 . 86 10 m / s 第一种情况下， 由不确定关系得出 v 克常数视为零，则 v