计算方法习题集及答案第四版

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计算方法习题集及解答(总结版)

左边（）- 右边证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设时等式成立，即（）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：

计算方法与实习第四版 (孙志忠著) 东南大学出版社课后答案

2
ww
w.
kh
da
w.
co
∗ − y | → ∞, 计算过程不稳定。注：此题中，|yn n
m
× 10−3 .
w.
n = 1, 2, · · ·
co m
e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
w.
课后答案网
aw . kh d
∗ − y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
1 √ 783, 100
概率与数理统计第二, C语言程序设计教程第西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程第复变函数全解及导学[西三版 (浙江大学三版 (谭浩强张 (高鸿业著) 中二版 (谭浩强张安交大第四版]
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2009-10-15
ww
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r ·········
7. 设y0 = 28, 按递推公式
案答
yn = yn−1 −
网课后
1 2
6. 机器数–略。
w. kh da
∗ −y |=e≤ n = 100时，|yn n
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计算方法的课后答案解析

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后习题解析

《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后习题解析第一篇：《管理运筹学》第四版第3章线性规划问题的计算机求解课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第3章线性规划问题的计算机求解1．解：⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。

比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333 ⑷不变，因为还在120和480之间。

2．解：⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为(4，8)．解：⑴农用车有12辆剩余⑵大于300 ⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元4．解：计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)5．解：圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。

最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。

6．解：（1）x1=150，x2=70；目标函数最优值103 000。

（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。

（3）50，0，200，0。

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。

（4）3车间，因为增加的利润最大。

（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。

（6）不变，因为在[0,500]的范围内。

（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在[200,440]变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。

数学分析上册第四版教材精选题汇总(含答案解析)

p2.例1 设x ,y 为实数，x y <.证明:存在有理数r 满足 x r y <<.证由于x y <,故存在非负整数n ,使得n n x y <.令 ()12n n r x y =+ , 则r 为有理数，且有n n x x r y y ≤<<≤ ,即得x r y <<. p3.1.实数具有阿基米德性，即对任何,a b R ∈, 若0b a >>，则存在正整数n ，使得na b >. 证明:+,a b R ∀∈，n N +∃∈, 使得nb a >, 设012.n a a a a a = ,0a k N =∈ ,则1+110k a k +≤<，设012n b b b b b =，p b 为第一个不为0的正整数，令+110p k n +=，则+110k nb a >>，即nb a >.2.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。

证若a b <，则存在n N +∈，使)(112b a n <- ，)(2b a n<- ，设k 是满足k a n ≤ 的最大正整数，即+1k a n >，0ka n -≤ , 于是122k k k k ab a b n n n n n ++<<=+<+-≤ ，则1k n + ，2k n+ 是a 与b 之间的有理数，14k n nπ++ 是a 与b 之间的无理数。

.4P1.设a 为有理数，x 为无理数，证明：(1)a x +是无理数；(2)当a 0≠时，ax 是无理数.分析：根据有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性，用反证法证. 证明：(1)假设a x +是有理数，则()a x a x +-=是有理数，这与题设x 是无理数相矛盾，故a x +是无理数.(2)假设ax 是有理数，则当0a ≠时，axx a=是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故ax 是无理数.8.设p 为正整数.证明：若p .分析：本题采用反证法，联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点，可得结论.证明：用反证法.为有理数，则存在正整数m 、n mn=，且m 与n 互质.于是2m 22,(),pn m n pn ==⋅可见n 能整除2m ，由于m 与n 互质，从而它们的最大公约数为1，由辗转相除法知：存在整数u 、v 使1mu mv +=，则2m u mnv m +=.因n 既能整除2m u 又能整除mnv ，故能整除其和，于是n 能整除m ，这样1n =，所以2p m =.这与p 不是完全平方数相矛盾.小结：本题证明过程比较独特，先假设有理数为互质的两个数的商，利用这两个数与p 之间的关系，运用辗转相除法得出结论，注意知识点之间的内在联系.P7定理1.1（确界原理）设s 为非空数集.若s 有上界,则s 必有上确界;若s 有下界,则s 必有下确界.证我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见,不妨设s 含有非负数.由于s 有上界,故可找到非负整数n ,使得 1）对于任何x S ∈有1x n <+； 2）存在0a S ∈,使0a n ≥.再对半开区间[),1n n +作10等分,分点为.1,.2,.9n n n ,则存在0,1,2,…,9中的一个数1n ,使得1）对于任何x S ∈有1110.n x n <+； 2）存在1a S ∈,使11.a n n ≥. 再对半开区间111.10,.n n n n ⎡⎫⎪⎢⎣⎭+作10 等分,则存在0,1,2,…,9中的一个数2n ,使得 1）对于任何x S ∈有1221.10n n n x +<； 2）存在2a S ∈,使212.a n n n ≥.继续不断地10等分在前一步骤所得到的半开区间,可知对任何1,2,k =,存在0,1,2,…,9中的一个数k n ,使得1）对于任何x S ∈有121.10k kx n n n n <+；（1） 2）存在k a S ∈,使12.k k a n n n n ≥.将上述步骤无限地进行下去,得到实数12.kn n n n η=.以下证明sup S η=.为此只需证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<,存在a S '∈使a α<'.倘若结论（i ）不成立,即存在x S ∈使x η>,则可找到x 的k 位不足近似k x ,使121.10k k k kx n n n n η>=+,从而得121.10k kx n n n n >+, 但这与不等式（1）相矛盾.于是（i ）得证.现设αη<,则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>,即12.k k n n n n α>.根据数η的构造,存在a S '∈使k a η'≥，从而有k k >a ηαα≥≥'即得到<a α'. 这说明（ii ）成立 P.130例3 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设S 为非空有上界数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α,存在整数k α，使得k ααλα=为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即存在'αS ∈,使得'(1).k ααα>-分别取1,1,2,,n nα==则对每一个正整数n ，存在相应的,n λ使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在',S α∈使得 1'n nαλ>- （6）又对正整数,m m λ是S 的上界，故有'm λα≥.结合（6）式得1n m nλλ-<；同理有1m n mλλ-<.从而得 11||max{,}.m n m nλλ-<于是，对任给的0,ε>存在0N >，使得当,m n N >时有||m n λλε-<由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=. （7）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何S α∈和正整数n 有n αλ≤，由（7）式得,αλ≤即λ是S 的一个上界.其次，对任何0,δ>由1n→∞()n →∞及（7）式，对充分大的n 的同时有 1,.22n n δδλλ<>- 又因1n n λ-不是S 的上界。

计算机组成原理(第四版)课后习题答案

7
1
(1 222 )
E = 00…0， M = 100…0， Ms = 0 8个 21 个即： 2 2 2
7 1
负最大
E = 00…0， M = 011…1， Ms = 1 8个 21 个
7
1 22 （最接近 0 的负数）即： 2 2 (2 2 )
负最小
E = 11…1， M = 00…0， Ms =1 8个 22 个即： 2 2
1
计算机组成原理（第四版）课后习题参考答案
第一章
1．模拟计算机的特点是数值由连续量来表示，运算过程也是连续的。数字计算机的主要特点是按位运算，并且不连续地跳动计算。模拟计算机用电压表示数据，采用电压组合和测量值的计算方式，盘上连线的控制方式，而数字计算机用数字 0 和 1 表示数据，采用数字计数的计算方式，程序控制的控制方式。数字计算机与模拟计算机相比，精度高，数据存储量大，逻辑判断能力强。 2．数字计算机可分为专用计算机和通用计算机，是根据计算机的效率、速度、价格、运行的经济性和适应性来划分的。 3．科学计算、自动控制、测量和测试、信息处理、教育和卫生、家用电器、人工智能。 4．主要设计思想是：采用存储程序的方式，编制好的程序和数据存放在同一存储器中，计算机可以在无人干预的情况下自动完成逐条取出指令和执行指令的任务；在机器内部，指令和数据均以二进制码表示,指令在存储器中按执行顺序存放。主要组成部分有：:运算器、逻辑器、存储器、输入设备和输出设备。 5．存储器所有存储单元的总数称为存储器的存储容量。每个存储单元都有编号，称为单元地址。如果某字代表要处理的数据，称为数据字。如果某字为一条指令，称为指令字。 6．计算机硬件可直接执行的每一个基本的算术运算或逻辑运算操作称为一条指令，而解算某一问题的一串指令序列，称为程序。 7．取指周期中从内存读出的信息流是指令流，而在执行器周期中从内存读出的信息流是数据流。 8．半导体存储器称为内存，存储容量更大的磁盘存储器和光盘存储器称为外存，内存和外存共同用来保存二进制数据。运算器和控制器合在一起称为中央处理器，简称 CPU，它用来控制计算机及进行算术逻辑运算。适配器是外围设备与主机联系的桥梁，它的作用相当于一个转换器，使主机和外围设备并行协调地工作。 9．计算机的系统软件包括系统程序和应用程序。系统程序用来简化程序设计，简化使用方法，提高计算机的使用效率，发挥和扩大计算机的功能用用途；应用程序是用户利用计算机来解决某些问题而编制的程序。 10．在早期的计算机中，人们是直接用机器语言来编写程序的，这种程序称为手编程序或目的程序；后来，为了编写程序方便和提高使用效率，人们使用汇编语言来编写程序，称为汇编程序；为了进一步实现程序自动化和便于程序交流，使不熟悉具体计算机的人也能很方便地使用计算机，人们又创造了算法语言，用算法语言编写的程序称为源程序，源程序通过编译系统产生编译程序，也可通过解释系统进行解释执行；随着计算机技术的日益发展，人们又创造出操作系统；随着计算机在信息处理、情报检索及各种管理系统中应用的发展，要求大量处理某些数据，建立和检索大量的表格，于是产生了数据库管理系统。 11．第一级是微程序设计级，这是一个实在的硬件级，它由机器硬件直接执行微指令；第二级是一般机器级，也称为机器语言级，它由程序解释机器指令系统；第三级是操作系统级，它由操作系统实现；第四级是汇编语言级，它给程序人员提供一种符号形式语言，以减少程序编写的复杂性；第五级是高级语言级，它是面向用户的，为方便用户编写应用程序而设置的。用一系列的级来组成计算机的接口对于掌握计算机是如何组成的提供了一种好的结构和体制，而且用这种分级的观点来设计计算机对保证产生一个良好的系统结构也是很有帮助的。

计算方法课后习题答案

2.25 5
2.25 2.75
2.75 5
2.6484848
其误差为
R2 (7)
f (3) ( ) (7 4)(7 6.25)(7 9) 3!
又f
(3) (x)

3
5
x2
8
则 max
|
f
(3) (x) |
3

4
5 2

0.01172
[4,9]
8
|
R2 (7)
|
1 6
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x

n

n
j0 i0 i j
x xi x j xi

x
j

x
5. 依据下列函数表分别建立次数不超过 3 的 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
x
0
4
42
（2） Newton 插值多项式
k xk f (xk )
一阶差商
二阶差商
三阶差商
00
1
11
9
8
22
23
14
3
34
3
-10
8
114
N3 (x) f (x0 ) f (x0 , x1)(x x0 ) f (x0 , x1, x2 )(x x0 )(x x1)
f (x0 , x1, x2 , x3 )(x x0 )(x x1)(x x2 )
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用

计算方法课后习题集规范标准答案

习题一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意（1）采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。

注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。

可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

最优化计算方法课后习题答案----高等教育出社。施光燕

习题二包括题目： P36页 5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页 1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T-处的牛顿方向。

解：已知 (1)(4,6)T x=-，由题意得121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----⎛⎫∇= ⎪+++-----⎝⎭∴ (1)1344()56g f x -⎛⎫=∇=⎪⎝⎭21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------⎛⎫∇= ⎪+--------+--⎝⎭∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --⎛⎫=∇=⎪-⎝⎭(1)11/8007/400()7/4001/200G x --⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -⎛⎫=-=⎪-⎝⎭15（1）解如下15. 用DFP 方法求下列问题的极小点（1）22121212min 353x x x x x x ++++解：取 (0)(1,1)T x=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同2112352()156x x f x x x ++⎛⎫∇= ⎪++⎝⎭， (0)(1,1)T x =，(0)10()12f x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭(1)0.07800.2936x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， (1)1.3760() 1.1516f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第二次迭代(1)(0)1 1.07801.2936x x δ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭， (1)(0)18.6240()()13.1516f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪-⎝⎭0110111011101T T T TH H H H H γγδδδγγγ=+- 其中，111011126.3096,247.3380T T TH δγγγγγ===111.1621 1.39451.3945 1.6734Tδδ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T TH H γγγγ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以10.74350.40560.40560.3643H -⎛⎫= ⎪-⎝⎭(1)(1)1 1.4901()0.9776dH f x -⎛⎫=-∇= ⎪⎝⎭令 (2)(1)(1)1xx d α=+ ，利用 (1)(1)()0df x d d αα+=，求得 10.5727α=-所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535xx d⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)0.2833()0.244f x ⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭以下作第三次迭代(2)(1)20.85340.5599x x δ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭ ， (2)(1)2 1.0927()()0.9076f x f x γ-⎛⎫=∇-∇= ⎪⎝⎭22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=220.72830.47780.47780.3135T δδ-⎛⎫=⎪-⎝⎭1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭所以22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T TH H H H H δδγγδγγγ-⎛⎫=+-= ⎪-⎝⎭(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ⎛⎫=-∇= ⎪-⎝⎭令 (3)(2)(2)2xxdα=+ ，利用(2)(2)()0df x d d αα+=，求得 21α=所以 (3)(2)(2)11x x d ⎛⎫=+=⎪-⎝⎭，因为 (3)()0f x ∇=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。

算法第四版习题答案解析

1.1.1 给出以下表达式的值：a. ( 0 + 15 ) / 2b. 2.0e-6 * 100000000.1c. true && false || true && true答案：a.7,b.200.0000002 c.ture1.1.2 给出以下表达式的类型和值：a. (1 + 2.236)/2b. 1 + 2 + 3 + 4.0c. 4.1 >= 4d. 1 + 2 + "3"答案：a.1.618 b. 10.0 c.true d.331.1.3 编写一个程序，从命令行得到三个整数参数。

如果它们都相等则打印equal，否则打印not equal。

public class TestUqual{public static void main(String[] args){int a,b,c;a=b=c=0;StdOut.println("Please enter three numbers");a =StdIn.readInt();b=StdIn.readInt();c=StdIn.readInt();if(equals(a,b,c)==1){StdOut.print("equal");}else{StdOut.print("not equal");}}public static int equals(int a ,int b , int c){if(a==b&&b==c){return 1;}else{return 0;}}}1.1.4 下列语句各有什么问题（如果有的话）？a. if (a > b) then c = 0;b. if a > b { c = 0; }c. if (a > b) c = 0;d. if (a > b) c = 0 else b = 0;答案：a. if (a > b) c = 0; b. if (a > b) { c = 0; }1.1.5 编写一段程序，如果double 类型的变量x 和y 都严格位于0 和1 之间则打印true，否则打印false。

计算方法答案王能超

计算方法答案王能超【篇一：计算方法习题集及实验指导书】s=txt>计算机科学与技术系檀明2008-02-10课程性质及目的要求（一）课程性质自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。

《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。

它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。

（二）目的要求通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。

在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。

注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。

（三）学习方法指导1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。

虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互联系与前后继承的关系。

前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。

前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。

2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。

每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。

只有这样，才能取得学习的学习效果。

3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。

因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。

4．抓住特点前后联系本课程只讲了五大类算法。

每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。

数值分析第四版习题及答案

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

计算方法第6章习题 - 参考答案

6.1设nn RA ⨯∈是实对称矩阵，n 个特征值按大小排序为n λλλ≥≥≥ 21，证明Ax x xx Axx T x T T x n 102min min =≠==λ证明：由定理6.2可知存在正交矩阵Q 使得T n Q Q A ),,,(diag 21λλλ =从而有11(,,,0)diag T n n n n A I Q Q λλλλλ--=--因此矩阵n A I λ-为对称正定矩阵，从而任取非零向量nR x ∈则均有()0T T n n T T x Ax x A I x x x x xλλ--=≥ 即有结论成立。

6.2 试确定Givens 矩阵达到如下式效果并求出α的值。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043αc s s c解：取34,55c s ==== ，则34335554434055c s s c ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭6.3 试确定Givens 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c s s c 达到如下相似变换效果并求出21λλ，的值。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003/12/12/11λλc s s c c s s c 解：根据(6.52)式有21,,c 0.77735,s 0.629073x y ====则有0.881670.4718611/20.881670.471860.471860.881671/21/30.471860.881671.11760.598120.881670.471860.0310250.057960.471860.881671.2676000.067541-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭ 6.4 求Householder 矩阵)1(2=-u u uu I T T 的特征值与特征向量。

(1) 容易验证()22T TI uu u u uu u u -=-=-，则得一个特征值11λ=-，其特征向量是u ;(2) 由于0u ≠，则存在线性无关的2,,n v v 使0,2,3,,T i u v i n ==，且 ()22,2,,TT ii i i I uu vv uu v v i n -=-==即得相应的特征值为21n λλ==。

计算方法练习题集和答案解析

练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.*x=–12.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限£41021-⨯。

( )2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。

()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。

()4.用212x-近似表示c o s x产生舍入误差。

() 5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。

() 二、填空题1.为了使计算()()2334912111yx x x=+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.*x=–0.003457是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。

三、选择题1．*x=–0.026900作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s *=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在时间t 的实际距离，则s t s *是（）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题1． 3.142，3.141，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+⎰+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。

计算方法课后习题答案

计算方法课后习题答案计算方法课后习题答案计算方法是一门重要的学科，它涉及到数值计算、算法设计和数据处理等方面的内容。

在学习计算方法的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的计算能力。

下面是一些计算方法课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T。

转置后的矩阵A^T的行数和列数分别为原矩阵A的列数和行数。

例如，对于一个3×2的矩阵A，它的转置A^T是一个2×3的矩阵。

2. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是对应位置上的元素进行相加或相减得到的新矩阵。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，差记作A-B。

加法和减法的运算规则是相同位置上的元素进行相应的运算。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新矩阵的运算。

对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

矩阵乘法的运算规则是矩阵A的行与矩阵B的列进行相乘，并将结果相加得到新矩阵的对应位置上的元素。

4. 矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵A存在逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。

求解矩阵的逆可以使用伴随矩阵和行列式的方法。

5. 线性方程组的求解线性方程组是指由一组线性方程组成的方程组。

求解线性方程组的方法有很多，包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

其中，高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过消元和回代的过程，将线性方程组转化为上三角形矩阵或对角矩阵，从而求解出方程组的解。

6. 数值积分的方法数值积分是指通过数值计算的方法来求解定积分的近似值。

常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。

这些方法都是基于将定积分转化为离散求和的形式，通过计算离散点上的函数值来估计定积分的近似值。

(完整版)计算方法试题集及答案

复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

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