计算方法练习题与答案

练习题与答案

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练 习 题 一

一、是非题

1.–作为x 的近似值一定具有6位有效数字，

且其误差

限4102

1

-⨯。 (

)

2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。 ( )

3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 ( )

4.用212

x -

近似表示cos x 产生舍入误差。 (

)

5.和作为的近似值有效数字位数相同。 (

)

二、填空题 1.为了使计算

()()23

34912111y x x x =+

-+

---的乘除法次

数尽量少，应将该表达式改写为 ；

2.–是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限

为；

3.误差的来源是；

4.截断误差为；

5.设计算法应遵循的原则

是。

三、选择题

1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。

(A) 7； (B) 3；

(C) 不能确定 (D) 5.

2．舍入误差是( )产生的误差。

(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值

(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值

3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。

(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断(D). 舍入

4．用s*=21g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。

(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断

5．作为的近似值，有( )位有效数字。

(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。

四、计算题

1．，，227

分别作为的近似值，各有几位有效数字

2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少

3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：

(1)1||,11211<<+-++x x

x

x ， (2) 1||11

1

2

<<+⎰

+x dt t x x

(3) 1

||,1<<-x e x ， (4)

1

)1ln(2>>-+x x x

4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =2

1g t 2，g 为重力加速度。现

设g 是精确的，而对t 有秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5*. 采用迭代法计算，取

⎪⎩

⎪

⎨⎧+==+)7(21210k k k x x x x k =0,1,…,

若是的具有n 位有效数字的近似值，求证是的具有2n 位有效数字的近似值。

练 习 题 二

一、是非题

1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 (

)

2.牛顿法是二阶收敛的。

()

3.求方程310

--=在区间[1, 2]内根的迭代法

x x

总是收敛的。() 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。()

二、填空题

1.1.用二分法求非线性方程f (x)=0在区间

(a,b)内的根时，二分n次后的误差限

为；

1.2.设可微,求方程)(x f x=的牛顿迭代格式

是；

2.3.用二分法求方程310

+-=在区间[0,1]内

x x

的根,进行一步后根的所在区间为，

要求准确到，则至少应二分 次； 3. 4.2

()(5)

x x x

ϕα=+-，要使迭代格式1

()

k k x x ϕ+=局部

收敛到

*x

=，则的取值范围

是 ； 4. 5.求方程3

40

x

x +-=根的单点割线法

是 ，其收敛阶为 ；双点割线法是 ，其收敛阶为 。 三、计算题 1.用二分法求方程2

10

x x --=的正根，使误差

小于。

2.求方程3

2

10

x x

--=在0

1.5

x

=附近的一个根，将

方程改写为下列等价形式，并建立相应迭代公式。

(1)

2

1

1x x

=+，迭代公式

1211k k

x x +=+

；

(2) 3

2

1x x =+，迭代公式()

1231

1k k

x x +=+；

(3)

2

11

x x =

-

，迭代公式

1k x +=

；

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。

3.用牛顿切线法求的近似值。取0

2

x =, 计算

三次，保留三位小数。

4.用割线法求方程3

310x x --=的在0

1.5

x

=附近的

一个根，精确到小数点后第二位。

四*、证明题

已知方程()0f x =，试导出求根公式

122()()

2[()]()()

k k k k k k k f x f x x x f x f x f x +'=-

'''-