一阶系统

3-3 一 阶 系 统

图3－5所示系统。其输入－输出关系为 11111)()(+=+=Ts s K

s R s C （3-3） 式中K

T 1=，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。

实际上，这个系统是一个非周期环节，T 为系统的时间常数。

一、一阶系统的单位阶跃响应

因为单位阶跃函数的拉氏变换为s 1，将s s R 1)(=代入方程(3-3)，得 s

Ts s C 111)(+= 将)(s C 展开成部分分式，有

11()1C s s s T =-+

（3-4）

对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(t h 表示阶跃响应)(t C ，有

t T e t h 11)(--= 0t ≥

(3-5)

由方程(3-5)可以看出，输出量)

(t h 的初始值等于零，而最终将趋于1。

常数项“1”是由s 1反变换得到的，

显然，该分量随时间变化的规律和

外作用相似(本例为相同)，由于它

在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量 (稳态响应)。方程(3-5)中第二项由11/()s T

+反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts +的极点，即系统特征方程()10D s Ts =+=的根(1/)T -在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间 t 的增加， 它将逐渐衰减， 最后趋于零 (如图3－6(b) 所示)，称为瞬态响应。可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。

显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T ，即 T e T dt dh t t T t 1|1|01

0===-= (3-6)

这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当T t =时，输出量就能达到稳态值。实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(t h 的斜率是不断下降的，从0=t 时的T

1一直下降到∞=t 时的零值。因此，当T t =时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的%；当T t 2=时，响应曲线将上升到稳态值的%；当T t 3=，T 4和T 5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，%和%。 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间s t ，它表征系统过渡过程进行的快慢。由于T t 3=时，输出响应已达到稳

态值的95%；t=4T 时，输出达到稳态值的%，故一般取

)(3s T t s =，(对应Δ=5%的误差带) 或 )(4s T t s =，(对应Δ=2%的误差带) 显然，时间常数T 是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间s t 也越小，响应过程的快速

性也越好。

由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即

011)(1=-=∞-=h e ss

假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为121)(+=

Ts s G ，试自行推导其单位阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。

二、一阶系统的单位斜坡响应

因为单位斜坡输入的拉氏变换为

2

1)(s s R = 则由式(3-3)可得系统输出量的拉氏变换式

2111)(s

Ts s C += 将上式展开成部分分式 11)(2

2++-=Ts T s T s

s C （3-7）

进行拉氏反变换，并用符号)(t C t 来表示单位斜坡响应，即

t T t Te T t t C 1)(-+-= 0≥t

式中)(T t -为响应的稳态分量；t T Te

1-为响应的瞬态分量，当时间t 趋于无穷

时衰减到零。 由斜坡响应曲线(如图3-7所示)可见，一阶系统的单位斜坡响应在稳态时与输入信号之间是有差的，其差值为

T Te T t t t c t e t T t t t ss =+--=-=-∞→∞→)]([lim )]([lim 1

显然这个差值并不是指系统稳态时输出、输入在速度上的差值，而是由于

输出滞后一个时间T ，使系统存在一个位置上的跟踪误差。其数值与时间常数T 相等。因此，时间常数T 越小，则响应越快，跟踪误差越小，输出量相对输入信号的滞后时间也越短。

三、一阶系统的单位脉冲响应

当输入量为单位脉冲函数时，其拉氏变换式为1)(=s R 。

根据方程(3-3)可得系统输出量的拉氏变换式

11)(+=Ts s C 对上式进行拉氏反变换，并用符号)(t k 表示系统的响应，则有

01)(≥=-t e T t k T t

（3-8）

方程(3-8)的响应曲线如图3-8所示。

显然，响应是一条单调下降的指数曲线。输出量的初始值为T 1，当时间趋于无穷时输出量趋于零，所以对应的稳态分量为零。时间常数T 同样反映了响应过程的快速性，T 越小，响应的持续时间越短，快速性也越好。

四、线性定常系统的重要特性

上述分析表明，当系统的输入量为单位斜坡函数t t r =)(·)(1t 时，系统输出量)(t c t 为

0)(≥+-=-t Te T t t c T t

t

当系统的输入量为单位阶跃函数)(1)(t t r =(即为单位斜坡函数的导数)时，系统输出量)(t h 为

01)()(≥-==-t e t c t h T t

t

最后，当输入为单位脉冲函数(即单位阶跃函数的导数)时，系统输出量)(t k 为

01)()(≥==-t e T t h t k T t

比较系统对三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。或者说，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于任意阶线性定常系统。