第三章 静定结构内力计算(2)3学分

1）桁架中的结点并不能完全符合理想铰的情况；
2）各杆轴无法绝对平直，各杆轴线也不一定通 过铰心； 3）若考虑自重和实际荷载作用情况，荷载不一 定都作用在结点上。
桁架在荷载作用下，某些杆件必将发生弯曲而产生附加 内力，并不能如理想情况只产生轴力。 通常，把桁架在理想情况下计算出来的内力（即轴力） 称为主内力； 把由于理想情况不能完全实现而产生的附加内力（即弯 矩和剪力）称为次内力。
赵洲桥
2、拱定义：在竖向荷载作用下支座处产生水平 推力的曲杆结构。
在竖向荷载作用下支座处不产 生水平推力，这种外形像拱但 内力和支座却不具备拱的特性
的结构，属于曲梁。
支座对上部结构仅起到支持的 作用，其弯矩与同跨度、受相 同荷载作用的简支梁的弯矩相同。
在竖向荷载作用下支座处产 生水平推力，是拱。
支座除了提供向上的支座力 外，还对拱产生水平推力， 以阻止拱在A、B杆端产生水 平方向背离的移动。由于水 平推力的存在，拱中各截面 的弯矩将比相应的曲梁或简 支梁的弯矩要小，并且会使 整个拱体主要承受压力。
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
§3.4 静定桁架
一、概述
1、桁架简介
梁和刚架构件截面一般为实腹截面，承受的主要内 力为弯矩，横截面上主要产生非均匀分布的弯曲正应力 （图(a)），在截面的外边缘处正应力最大，而在中性 层附近的中部材料承受的正应力很小，材料的性能不能 得到发挥。同时这样的实腹梁随着跨度的加大，其自重 亦带来较大的内力，结构和经济上都极不合理。
§3.4 三铰拱
一、概述
1、拱结构简介
上一节学习的刚架以及本节研究的拱都是土木工 程上跨越空间的方法。在人类发明和利用拱之前，梁 必须横跨在柱上，柱间距离必须仔细计算，以防横梁 在过大的弯矩作用下因抗拉能力不够而发生折断。
而由于当时人类可以利用的建筑结构材料只有 砖、石、混凝土等脆性材料，它们抗拉和抗剪的性能 较差，故不能建造较大跨度的空间结构。罗马建筑师 们最先广泛应用并发展了半圆形拱。
取左半拱，由
有
所以
将拱与同跨度、同荷载的水平简支梁比较，式(1)与 (2)与恰好与相应简支梁的支座反力 和 相等。 而式(3)中水平推力的分子等于简支梁截面C的弯 矩 。故三铰拱的支座反力分别为：
三铰拱支座反力特点：
① 竖向反力与拱高f无关； ② 水平反力与拱高f成反比，f越小，水平反力越大， 也就是说，f越小，拱的特性就越突出； ③ 所有反力均与拱轴的形状无关，只取决于荷载与三 个铰的位置。
例：试绘制图示抛物线三铰拱的内力图。
y
20kN/m
100kN
345
2
4m
6
A
1
O
7B x
8×1.5=12m
拱轴方程为抛物 线，即：
100kN
20kN/m
A
B
以截面1和截面2的内力计算说明拱内力计算的方法。
1.支座反力
截面1处，x=1.5m，由拱轴方程可知： 切线倾角
y
20kN/m
100kN
345
2）空间（三维）桁架 组成桁架的杆件不都在同一平面内。
2、按外型分类
3、按几何组成分类
1）简单桁架 由基础或一个铰接三角形开始，依次增加二元
体而构成的几何不变体系称为简单桁架。
2）联合桁架
由两个或两个以上简单桁架按照几何不变体系的 组成规则所联成的结构称为联合桁架。
3）复杂桁架
不按上述两种方式组成的桁架。
2
4m
6
A
1
O
7B x
8×1.5=12m
100kN
20kN/m
截面1处的弯矩、剪力和轴力为：
截面2处的弯矩、剪力和轴力为：
• 由以上的例题计算中可知，在荷载作用下，三铰
拱任一截面上的内力有弯矩、剪力和轴力，如下
图(b)所示。这三个内力分量可进行力的合成，设 其合力为FR，因拱的轴力是压力，因此，合力FR 通常是个偏心压力，如图(c)所示。截面在FR的作 用下处于偏心受压状态，因此，截面上的正应力
三铰拱有下面的特点：
1)与梁相比，拱需要更坚固的支承； 2)与梁相比，拱可跨越更大的跨度； 3)拱宜采用脆性材料来建造。
3、三铰拱内力图的绘制
规定：
内力图画在水平基线上，弯矩图画在受拉侧；正值 剪力画在轴上侧；正值轴力（即受压的轴力）画在 轴上侧。
绘图步骤：
①将拱跨度L(或拱轴)等分为8～12段，取每一等分 截面为控制截面； ②根据公式计算各控制截面内力值并用竖标表示； ③用光滑曲线将各竖标顶点相连，即可绘制弯矩、 剪力和轴力图。
称为跨度。支座连线至桁架最高点的距离h 称为桁架高。
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3、桁架的应用及其计算简图
a）应用：主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。
钢筋混凝土屋架
木屋架
施工中的钱塘江大桥 （1937）
福斯湾悬臂钢桁架桥 （ 1889年）
b）桁架计算简图的形成中通常引用了如下假设：
（1）桁架中的铰为绝对光滑而无摩擦的理想铰。 （2）各杆轴线均为直线且通过铰的中心。 （3）荷载与支座反力均作用在铰结点上。
6、拱结构的优缺点
(a)在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的 弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面 就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨 度。 (b)在拱结构中，主要内力是轴向压力，因此可以用 抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 (c)由于需要拱的支承结构（柱、墙或基础等）提供 足够的水平推力，其反作用力实际就是支承结构要 承受的力，这往往对支承结构带来很大的影响，使 得支承结构在很高的造价下才得以形成对上部结构 的约束。
即：
相应简支梁的截面K处的剪力
于是上式可改写为：
（3）轴力的计算公式
因拱轴向主要受压力，故规 定轴力以压力为正。取AK段为脱 离体，将作用在其上的各力向垂 直于截面的方向投影，有：
得： 即：
综上所述，三铰平拱在任意竖向荷载作用下的内力计算 公式总结为：
由上可知， 1）三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关， 还与各铰间拱轴线的形状有关。 2）因推力关系，拱内弯矩、剪力较之相应的简支梁都 小。因此拱结构可比梁跨越更大的跨度；但拱结构的支 承要比梁的支承多承受上部结构作用的水平方向的压 力，因此支承部位拱不及梁经济。 3）拱内以轴力(压力)为主要内力。
拱和曲梁的区别在于：竖向荷载作用下支座处是 否有水平推力。
3、拱的应用
主要用于屋架结构、桥梁结构。
4、拱的分类
静定拱
三铰拱
超静定拱
超静定拱
两铰拱
无铰拱
本节仅对静定的三铰拱进行研究。
5、拱的相关名称 拱顶
拱趾
拱高
拱趾 跨度
拱身截面形心之轴线称为拱轴。拱两端与支座联结
处称为拱趾，或称为拱脚。两拱趾在同一水平线上的拱 称为平拱，否则为斜拱。拱轴最高点称为拱顶，三铰拱 的中间铰通常布置在拱顶处。拱顶到两拱趾连线的竖向 距离 f 称为拱高，或称拱矢、矢高。拱高与跨度之比 f∕l称为高跨比或矢跨比。
• 说明:工程上由于除了有永久荷载（恒载）的作
用外，还有像车载、人群等可变荷载（活荷载） 作用，故实际上是不能保证拱一直处于理想的受 力状态，即 M=0。我们所研究的合理的拱轴线只 是一种理想状态。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线
MC0=ql2/8 FH=ql2/8f M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2
为合理拱轴线。
三、三铰拱的合理拱轴线
任意截面K的弯矩为：
。
当拱的跨度和荷载已知时，相应简支梁的弯矩
不随拱轴线改变，而
与拱轴线有关（ 只
与荷载与三个铰的位置有关，而与各铰间的轴线形
状无关）。因此，可以在三个铰之间适当地选择拱
的轴线形状，使拱中各截面的弯矩均为零。
即：
因此，有
三铰拱的合理拱轴线的纵坐 标y与相应简支梁弯矩图的竖 标成正比。
4、按支座反力的性质分类
1）梁式桁架：竖向荷载作用下支座处不产生水平反 力。 2）拱式桁架：竖向荷载作用下支座处产生水平反 力。
梁式桁架
拱式桁架
三、桁架内力的计算方法
1、结点法 2、截面法 3、联合法
1、结点法
所谓结点法就是取桁架的结点为脱离体，利 用各结点的静力平衡条件来计算杆件的内力。
• 结点法求解杆件内力需注意几个问题：
2、内力的计算公式
计算拱的内力时要求截面应与拱轴线正交，即与拱轴的
切线垂直。拱的内力计算依然用截面法，下面计算任一截面
K的内力，设拱的轴线方程为
，则K截面的坐标为
( ， )，该处拱轴线的切线与水平方向夹角为 。取AK
为脱离体，截面K的内力可分解为 、 、 。
FQK沿截面方向，即沿拱轴线 的法线方向，FNK沿垂直于截 面的方向，即沿拱轴线的切线
现以平拱为例，推导其支座反力和内力的计 算公式，与此同时，我们将其与同跨度、同荷载的 相应简支梁进行了比较。
1、支座反力的计算公式
三铰拱两端是固定铰支座，其支座反力共有四 个，全部反力的求解共需四个平衡方程。与三铰刚 架类似，一般需取两次脱离体，除取整体列出三个 平衡方程外，还需取左半个拱（或右半个拱）为脱 离体，再列一个平衡方程（通常列对中间铰的力矩 平衡方程），方可求出全部反力。
分布不均匀。
• 若能使拱截面上的弯矩为零（同时使剪力也为零， 但一般情况下很难同时满足），则截面上将只有 轴向压力——沿横截面均匀分布，因而材料的力 学性能能得到充分的发挥。
• 因此，在设计时，可先取一适当的拱轴线，使拱 上各截面只承受轴力，而弯矩为零，此时，任一 截面上的正应力分布将是均匀的，这样的拱轴称
对实心梁作如下改造：将实腹构件中受力较小的中性层附 近的材料去掉，剩下两部分，一是远离中性层的主要起抗弯 作用的上下边缘部分，二是连接上下边缘并主要起到抗剪作 用的斜杆与竖杆部分，它们以二力杆件的形式出现。此时在 竖向荷载作用下主要承受轴力，且每根杆件横截面上应力分 布均匀，因此，材料的力学性能得到了充分的发挥，同时也 大大减小了结构部分带来的自重，比实腹梁适用于更大跨度 的楼屋盖结构和各种空间结构。
1）同其它静定结构（静定梁、静定刚架或三铰拱） 一样，首先应求出所有支座反力。
通过本节的学习可以了解到，由于拱的横截面主 要受轴向压力作用，而剪力和弯矩较梁又要小，所以 拱结构可利用抗压强度较高而抗拉强度低的砖、石、 混凝土等建筑材料来建造。
欧洲历史上最有影响的拱结构的代表有圣索非亚 大教堂、巴黎圣母院等，而在我国最具代表性的作品 则是赵洲桥，他们都为具有大跨度特征的穹拱结构。
称满足如上三条假设的桁架为理想桁架。
按上述假定，就可得出桁架各杆均为两端铰接的 直杆(称为二力杆），横截面内力只有轴力，轴力符号 以拉力为正，压力为负；截面上的应力是均匀分布的， 可同时达到最大容许值，因此，材料能得到充分利用。
钢筋混凝土屋架
理想情况下的计算简图
木屋架
理想情况下的计算简图
实际桁架通常不能完全符合上述理想情况。例如：
方向。
（1）弯矩的计算公式
弯矩的符号规定以使拱内侧纤维受拉为正。取AK段为脱离
体，
由
，有：
根据：
以及简支梁K截面上的弯矩：
，
上式可改写为：
即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应截面 的弯矩减去由于拱的推力所引起的弯矩。可见，由于推 力的存在，拱的弯矩比相应梁的弯矩要小。
（2）剪力的计算公式
剪力的符号规定仍然以使截面 一侧的脱离体有顺时针方向转动趋 势时为正。取AK段为脱离体，将作 用在其上的各力沿着横截面K方向投 影，得：
大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主内力（轴 力）占总的内力（轴力+弯矩+剪力）的80%以上，因 此，主内力是桁架中内力的主要部分，即桁架的内力主 要是轴力，弯矩和剪力是微小的。
本节仅对理想桁架（即各杆都只受轴力）进行讨论，次 内力的问题有专业文献论述。
二、桁架的分类
1、按维数分类
1）平面（二维）桁架 组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一平面 内。
实心梁
2、桁架的定义
定义：桁架是由若干直杆组成且全为铰结点的结
构。
桁架的杆件依其所在位置的不同分为弦杆和腹杆两种。 桁架上、下外围的杆件称为弦杆。上边的杆件称为上弦杆， 下边的杆件称为下弦杆。桁架上弦杆和下弦杆之间的杆件称 为腹杆。腹杆又分为竖杆和斜杆。弦杆上相邻两结点间的区 间称为节间，其距离d 称为节间长度。两支座间的水平距离l
措施：如果基础不能承受水平推力，可以去掉一
根水平链杆，而在拱内加一根拉杆。
拉杆
三铰拱
拉杆拱
由于设置了水平拉杆，拱趾需要的水平推力通过 拉杆在水平方向的拉力实现，拉力代替了水平推力， 此时在支座处仅产生竖向反力，称这种结构为拉杆拱。
二、三铰拱的内力分析
三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力的 求解与三铰刚架完全相同，都是利用平衡条件即可 确定。