高等数学第七版下册复习纲要

高等数学第七版下册复习纲要Chapter 7: XXXI。

XXX1.Order of a XXX: The highest order of the unknown n'XXX is called the order of the XXX.2.XXX an identity is called a XXX.XXX the same number of independent arbitrary constants as the order of the n is called the general XXX.Particular XXX.3.XXX: A particular XXX initial ns。

or it can be directly observed from the n of the XXX。

XXX not always XXX.II。

XXX1.XXX1) Form of the n: g(y)dy = f(x)dx.2) XXX: n of variables.3) n steps:① Separate the variables and write XXX(y)dy =② XXX(y) = F(x) + C in the form of ∫g(y)dy = ∫f(x)dx;③ Make the XXX.2.XXX1) Form of the n:dyφdx2) XXX: Variable n.3) n steps:① Introduce a new variable u = y/x。

then y = ux and dy/dx = u + xdu/dx;② Substitute y = ux and dy/dx = u + xdu/dx into the original n to get u + xdu/dx = φ(u);③ Separate variables and XXX;④ Substitute u back to get the n in terms of y and x.3.XXX1) Form of the n:dy/dx + P(x)y = Q(x).XXX: dy/dx + P(x)y = 0.Non-XXX: dy/dx + P(x)y = Q(x) ≠ 0.2) XXX:XXX: XXX variables.The general XXX is y = Ce^(-∫P(x)dx)。

(C∈R).For non-XXX: n of parameters.Assume y = u(x)e^(-∫P(x)dx) is the general n。

where u(x) is an unknown n.Differentiate and XXX get u'(x)e^(-∫P(x)dx) = Q(x)e^(-∫P(x)dx).Integrate both sides and solve for u(x)。

then substitute back to get the n in terms of y and x.一、平面1.平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0，其中(A,B,C)为法向量，D为常数。

2.点M(x1,y1,z1)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离为d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。

3.平面π1 : Ax1 + By1 + Cz1 + D1 = 0 与平面π2 : Ax2 + By2 + Cz2 + D2 = 0 平行的判定为：π1 // π2 ⇔ (A1,B1,C1) // (A2,B2,C2) ⇔ A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.4.平面π1 : Ax1 + By1 + Cz1 + D1 = 0 与平面π2 : Ax2 + By2 + Cz2 + D2 = 0 垂直的判定为：π1 ⊥ π2 ⇔ (A1,B1,C1) ⊥(A2,B2,C2) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.5.平面π1 : Ax1 + By1 + Cz1 + D1 ≠π2 : Ax2 + By2 + Cz2 + D2 的夹角为：cosθ = |A1A2 + B1B2 + C1C2| / √((A1^2 + B1^2 + C1^2) (A2^2 + B2^2 + C2^2))。

6.平面π1 : Ax1 + By1 + Cz1 + D1 = 0 与直线L2 : x - x2 / m2 = y - y2 / n2 = z - z2 / p2 的关系为：π1 ⊥ L2 ⇔ (A1,B1,C1) ⊥ (m2,n2,p2) ⇔ A1m2 + B1n2 + C1p2 = 0.二、直线1.过点P(x,y,z)，以方向向量s = (m,n,p) 的直线的点向式方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p。

2.过点P(x,y,z)，以方向向量s = (m,n,p) 的直线的参数式方程为：x = x0 + tm。

y = y0 + tn。

z = z0 + tp。

3.直线的一般式方程为：(A1x + B1y + C1z + D1 = 0) ∧(A2x + B2y + C2z + D2 = 0) ∧ (s = n1 × n2)。

4.直线方程之间的转化：i) 点向式⇔参数式ii) 一般式→ 点向式：找点，找方向向量s = n1 × n2.5.直线L1 : (x - x1) / m1 = (y - y1) / n1 = (z - z1) / p1 与直线L2 : (x - x2) / m2 = (y - y2) / n2 = (z - z2) / p2 平行的判定为：L1 // L2 ⇔ s1 // s2 ⇔ m1/m2 = n1/n2 = p1/p2.6.直线L1 : (x - x1) / m1 = (y - y1) / n1 = (z - z1) / p1 与直线L2 : (x - x2) / m2 = (y - y2) / n2 = (z - z2) / p2 垂直的判定为：L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⊥ s2 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.1.直线L1和L2的夹角为cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|/√(m1^2+n1^2+p1^2)√(m2^2+n2^2+p2^ 2)。

2.直线L与平面Π垂直的判定为L⊥Π⇔S//N⇔m(x-x1)+n(y-y1)+p(z-z1)=0.3.直线L与平面Π平行的判定为L//Π⇔S⊥N⇔Am+Bn+Cp=0.4.直线L与平面Π的夹角为sinθ=|Am+Bn+Cp|/√(A^2+B^2+C^2)√(m^2+n^2+p^2)。

5.点P(x,y,z)到直线L的距离为d=|AP×s|/|s|，其中s为L的方向向量。

6.曲线C在yoz平面的方程为f(y,z)=0，其绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S：f(±√(x^2+y^2),z)=0.7.空间曲线C的参数方程为{x=F(t)。

y=G(t)。

z=H(t)}，其在xoy平面上的投影曲线为C'：{x=H(x,y)。

y=G(x,y)}。

8.内点是指在点集内部且不是孤立点的点，聚点可以是点集的边界点或内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点。

9.二元函数f(x,y)在点(x,y)处的二重极限为limf(x,y)=(x,y)→(x,y)A，连续性为limf(x,y)=(x,y)→(x,y)f(x,y)。

10.二元函数的偏导数指对其中一个自变量求导数，分别记作∂z/∂x和∂z/∂y。

1.二元函数的偏导数表示函数在某一方向上的变化率，因此可以用来描述曲面的切平面和法线方向。

2.偏导数存在性与全微分存在性的关系可以用来判断一个函数是否可微分，进而判断其是否具有局部极值点。

3.二元复合函数的偏(全)导数可以用来求解多元函数的最值问题，例如求解约束条件下的最优解。

4.隐函数微分法可以用来求解隐含在方程中的函数的导数，例如求解曲线的切线方程或曲面的法线方程。

5.偏导数的几何应用还包括描述曲面的形状、求解曲面的面积和体积等问题。

x,y,z)k，其中i,j,k分别表示三维空间的标准基向量。

4).梯度的性质：a.梯度向量的方向是函数值增加最快的方向。

b.梯度向量的模长是函数在该点的方向导数的最大值。

c.梯度向量垂直于等值面。

d.若梯度向量不为零，则函数在该点的等值线在该点处的切线与梯度向量垂直。

e.若梯度向量为零，则该点为函数的驻点，即函数在该点的导数为零。

1.曲线的切线方程和法平面方程1）对于以参数式方程x=φ(t)。

y=ψ(t)。

z=χ(t)表示的曲线，在t=t时刻对应的点M(x,y,z)，其切线方程为x-xy-yz-z=0，其中x'=dφ/dt。

y'=dψ/dt。

z'=dχ/dt；法平面方程为φ(t)(x-x)+ψ'(t)(y-y)+χ'(t)(z-z)=0.2）对于以一般式方程F(x,y,z)=0表示的曲线，在点M(x,y,z)处的切线和法平面方程可以通过求解隐函数组F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=z-χ(t)=0，然后求出切线的方向向量和法平面的法向量来得到。

其中，切线方程为x-xy-yz-z=0，其中x'=1/Fx(M)。

y'=1/Fy(M)。

z'=-1/Fz(M)；法平面方程为Fx(M)(x-x)+Fy(M)(y-''y)+Fz(M)(z-z)=0.2.曲面的切平面方程和法线方程1）对于以一般式方程F(x,y,z)=0表示的曲面，在点M(x,y,z)处的切平面线方程为Fx(M)(x-x)+Fy(M)(y-''y)+Fz(M)(z-z)=0，其中Fx(M)。

Fy(M)。

Fz(M)分别为F(x,y,z)在点M处的偏导数；法方程为x-xy-yz-z=0，其中x'=Fx(M)。

y'=Fy(M)。

z'=-Fz(M)。

2）对于以特殊式方程F(x,y,z)=f(x,y)-z=0表示的曲面，在点M(x,y,z)处的切平面线方程为fx'(x,y)(x-x)+fy'(x,y)(y-y)-(z-z)=0，其中fx'(x,y)。

fy'(x,y)分别为f(x,y)在点M处的偏导数；法方程为x-xy-yz-z=0，其中x'=fx'(x,y)。

y'=fy'(x,y)。