一次函数与三角形面积问题ppt课件
一次函数与反比例函数求三角形面积
一次函数与反比例函数求三角形面积
要求三角形的面积，首先要知道三角形的底和高。
对于一次函数，可以表示为y=ax+b。
设两个点的坐标为
（x1,y1）和（x2,y2），则可以通过这两个点求得直线的斜率
a和截距b。
斜率a即为直线的导数，表示直线的倾斜程度。
然后通过求两点间的距离|x2-x1|作为三角形的底d。
反比例函数形式为y=k/x，其中k是一个常数。
对于反比例函
数来说，由于分母x不能为0，所以不能计算出具体的斜率。
在求三角形面积时，我们可以假设x的值很小，可以无限接近于0，此时y的值趋于无穷大。
这时我们可以通过取两个非常
小的点（x1,y1）和（x2,y2）求出直线斜率的极限值，即为0。
我们同样通过|x2-x1|计算出三角形的底d。
对于一次函数和反比例函数，计算出底d之后，我们还需要计算出三角形的高h。
通过已有的函数表达式，可以在直线上取
两个点（x,y1）和（x,y2），计算出点到直线的距离即可，即
为三角形的高h。
最后，根据底d和高h，可以计算出三角形的面积S = 1/2 * d
* h。
一次函数与x轴y轴围成的三角形面积公式
一次函数与x轴y轴围成的三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，一次函数可是个重要的角色。
今天，咱们就来好好聊聊一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式这个有趣的话题。
还记得我上初中那会，有一次数学考试，最后一道大题就考到了这个知识点。
当时我拿到试卷，心里还美滋滋的，想着前几天刚认真复习过，这题肯定能拿下。
题目是这样的：已知一次函数 y = 2x + 4 ，求它与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积。
我一开始信心满满，先求出了与 x 轴、y 轴的交点坐标。
当 y = 0 时，2x + 4 = 0 ，解得 x = -2 ，所以与 x 轴的交点坐标是（-2，0）；当 x = 0 时，y = 4 ，与 y 轴的交点坐标就是（0，4）。
然后我就按照老师教的方法，算出了三角形的底和高。
以与 x 轴的交点到原点的距离为底，长度是 2 ；以与 y 轴的交点到原点的距离为高，长度是 4 。
最后用三角形面积公式 S = 1/2 ×底 ×高，算出面积是4 。
做完这道题，我心里那个得意呀，觉得自己肯定能拿高分。
可等到试卷发下来，我傻眼了，居然因为粗心，计算过程中少写了一个负号，扣了好几分。
那叫一个懊悔啊！好了，言归正传，咱们来说说一次函数与 x 轴、y 轴围成的三角形面积公式到底是怎么回事。
对于一次函数 y = kx + b （k≠0），它与 x 轴的交点坐标为（ -b/k ，0 ），与 y 轴的交点坐标为（0，b）。
那这个三角形的底就是与 x 轴交点的横坐标的绝对值，也就是 | -b/k | ；高就是与 y 轴交点的纵坐标的绝对值，即 | b | 。
所以，这个三角形的面积 S 就可以表示为：S = 1/2 × | -b/k | × | b | 。
为了更好地理解这个公式，咱们再来看几个例子。
比如一次函数 y = 3x - 6 ，它与 x 轴的交点，令 y = 0 ，3x - 6 = 0 ，解得 x = 2 ，交点坐标就是（2，0）；与 y 轴的交点，令 x = 0 ，y = -6 ，交点坐标是（0，-6）。
一次函数的图象(一)课件
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知函数$y = 2x + 1$，求当$x = -2$和$x = 3$时的函数值。
基础习题2
已知函数$y = -3x + 4$，求当$x = 0$和$x = 2$时的函数值。
基础习题3
已知函数$y = x - 5$，求当$y = 0$和$y = 5$时的自变量$x$的值 。
一次函数在数学问题中的应用
代数问题
在解代数方程时，一次函数可以 用来求解线性方程组，简化计算
过程。
几何问题
在解析几何中，一次函数可以用 来描述直线、平面等几何图形，
研究几何性质。
概率统计
在一次函数与概率统计结合的问 题中，一次函数可以用来描述概
率分布、回归分析等。
一次函数与其他数学知识的综合应用
03
一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
线性规划
在资源分配、成本预算等方面， 一次函数可以用来描述变量之间
的关系，实现最优资源配置。
经济分析
在经济学中，一次函数可以用来描 述商品价格与需求量之间的关系， 预测市场变化。
物理现象
在物理学中，一次函数可以用来描 述匀速直线运动、弹性形变等现象 ，解释物理规律。
一次函数的性质
斜率
决定直线的倾斜程度，$k > 0$ 时，直线从左下到右上倾斜；$k < 0$ 时，直线从左上到右下倾斜 。
截距
决定直线与 $y$ 轴的交点，即当 $x = 0$ 时，$y = b$。
一次函数的表示方法
01
02
03
解析法
使用函数表达式 $y = kx + b$ 表示。
一次函数的图象与面积
练一练
已知直线y=kx+b过点A（－1，5）， 且平行于直线y=－x+2．
一．求直线y=kx+b的关系式； 若B（m，－5）在这条直线上，O为原点， 求m的值及S△AOB。
二、由面积关系求一次函数关系式
例题精讲
已知直线y=kx+b与x轴交于点(4，
y
分析：
o
x
y=–x+4
４. 如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数
y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是C（
）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
1 2x + 1 与 直 线 a 关 于 y 轴 对 称 ， 在 同
一
坐标系中画出它们的图象，并求
已
知 直 线 出 直 线 a 的 解 析 式 .
的△ABP的面积s关于时间t的函数图象
如图乙。若AB=6cm，试回答下列问题
A
F bs
6cm
D Ea
B2cm/Ps C
图甲
o 46 9 t 图乙
A
6cm
B2cm8m/Psc
F
D 6cmE 4cm
4b 22a 4
s
C
o 46
·M 9· N·t
问题： 图甲
图乙
（坐的（的（际7标函面123意564）））是数积义MP图否关是？点点甲乙可系怎ab在坐中的以式样整标BC值D的求呢变个DC是E是ab出？的化的的在否多？长的长移图可少M是？是动甲以？N多多过中求所少少程具出在？？中有？直什△N线A么点B实P
一次函数三角形面积最小值
一次函数三角形面积最小值在数学中，我们经常会遇到求解最值的问题。
今天，我们来讨论一种有趣的问题：如何找到一条直线，使得与坐标轴所围成的三角形面积最小？我们需要明确一次函数的定义。
一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量，y是因变量。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
现在，我们假设三角形的顶点为A（a, 0），B（b, 0）和C（c, f(c)），其中a、b和c分别是自变量的取值，f(c)是一次函数的值。
我们知道，三角形的面积可以通过以下公式计算：面积=底边长度*高/2。
在这个问题中，底边长度为c-a，高为f(c)。
我们的目标是找到一个c的取值，使得三角形的面积最小。
为了实现这个目标，我们需要求解面积对c的导数，并使导数等于0，即求解面积函数的极值点。
我们计算底边长度：底边长度=c-a。
然后，我们计算高：高=f(c)。
接下来，我们将底边长度和高代入面积公式，得到面积函数：S=(c-a)*f(c)/2。
为了求解面积函数的极值点，我们对其求导。
根据一次函数的性质，我们知道一次函数的导数恒为常数。
因此，面积函数的导数为：S'=(f(c)-f(a))/2。
现在，我们将导数等于0，解方程得到c的取值：f(c)-f(a)=0，即f(c)=f(a)。
根据这个结果，我们可以得出结论：当c的取值使得f(c)=f(a)时，三角形的面积最小。
通过这个推导过程，我们发现一次函数三角形面积最小值的关键在于寻找使得函数值相等的两个点。
这两个点所确定的直线就是我们所要求的直线。
总结一下，我们讨论了一次函数三角形面积最小值的问题。
通过求解面积函数的导数，我们找到了使得三角形面积最小的直线。
这个问题不仅考察了数学知识，还涉及到优化和最值求解的思想。
希望通过这个问题的讨论，大家对数学的应用和思考能力有所提升。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形面积要计算一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，我们首先需要明确一次函数的图像和坐标轴之间的关系。
一次函数的图像是一条直线，而坐标轴是由两条垂直于彼此的直线组成的。
当一次函数与x轴相交时，我们可以找到与x轴相交的两个点，然后通过这两个点和与它们连结的线段来计算三角形的面积。
我们用y = mx + b来表示一次函数的一般形式。
其中，m是斜率，b是y轴截距。
当这个函数与x轴相交时，我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标。
假设我们找到了两个相交点(x1, 0)和(x2, 0)。
接下来，我们可以计算通过这两个点的线段的长度。
线段的长度可以通过两点之间的距离公式来计算，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在我们的情况下，y1和y2都是零，所以这个式子简化为：d=√((x2-x1)²)这个线段的长度就是一次函数与x轴相交的两点之间的水平距离。
现在，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的形式是：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三条边的长度，而s是半周长，s=(a+b+c)/2在我们的情况下，三角形的两条边就是x轴和一次函数的图像，而我们已经计算出了这两条边的长度，记为d。
所以我们可以将这些值代入到海伦公式中来计算三角形的面积：A=√(s(s-d)(s-d)(s-d))由于两边的长度都是d，我们可以简化公式为：A=√((3d/2)(d/2)(d/2)(d/2))A=√((3d/2)(d/2)³)A=√((3d/2)*(d²/4)²)A=√((3d²/8)*d²)A=(d/2)*√(3d²/2)A=(d/2)*√(3)d因此，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是(d/2)*√(3)d。
让我们通过一个具体的例子来计算一下，假设一次函数是y=2x+3、我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标：0=2x+32x=-3x=-3/2所以，我们找到了与x轴相交的两个点(-3/2,0)和(0,0)。
一次函数求坐标三角形面积问题
（0，8）
P
o
6
A
（8，0）x
能力训练
3、点P(x,y)在第一象限，且在直线y=8-x上， 点A(6，0)，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式； （2）当点P横坐标为5时， 求△OPA的面积？ （3）当S=12时，求P点坐标?
考纲要求：C（掌握） 教学目标： 1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交 点坐标的求法，会求出两直线交点坐标， 进一步体会函数、坐标、几何图形之间的 相互转化，在解决函数相关问题中的重要 作用. 2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的 面积的计算方法，体会一次函数的有关面 积问题的解决思路.
1、一次函数的图象是一条直线, 如何画出一次函数的 图象? 两点作图法
直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积是__8___.
B (2)直线经过点P(3，a)，求△OAP的面积?
P（3，1）
如何求△OBP
A
的面积?
二、由面积关系求点坐标
例2.已知直线y=kx+b与y轴交于点A（0，4），与x轴交于 点B,且△OAB的面积为4，求B点坐标。
解:∵直线与y轴交于点A（0，4）
y=2x-4
DA
O
2
x
EC
-4 B
这节课你学到了什么？
1、由一次函数解析式求面积
函数解析式
与坐标轴的 交点坐标
2、由面积关系求点的坐标
线段长
三角形面积
三角形面积 底或高 的长度
与坐标轴的 交点坐标
3.要掌握分类讨论，数形结合，转化的数学思想。
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
北师大版八年级数学上册《函数》一次函数PPT课件
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值 需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有 式子同时有意义．
知2－讲
知例(1)3识y＝点求3x下＋列7；函(2数) 中y＝自3变x1量2x；的(取3) 值y＝范围x： 4 .
干旱持续时间t/天 蓄水量V/万立方米
0 10 20 30 40 50 60
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应几个V值？ (4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数关系式．
知3－讲
知导引识：点(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水 量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即 可；(3)观察图象即可得解；(4)可根据函数的定义来判断． 解：(1)这个图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关
知1－讲
例1 已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，
则三角形的面积S＝ 1 ×12·h，即S＝6h.在 2
这个式子中，常量和变量分别是什么？ 导引：根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面
积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半， 已知边长，因此可以得出常量是边长的一半， 变量是高和面积． 解： 常量是6，变量是h和S.
(1)根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m
…
(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
知识点 1 函 数
知1－导
做一做 1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着
层数的增加，物体的总数是如何变化的？
知1－导
一次函数的图像和性质PPT演示课件
1．下列函数中，是正比例函数的是
A．y＝－8x
B．y＝－x8
C．y＝5x2＋6
D．y＝－0.5x－1
2．一次函数 y＝x－2 的图象不经过 ( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
( A)
•32
3．已知正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则正比例
函数的解析式为
考点聚焦
考点1 一次函数与正比例函数的概念
•1
考点2 一次函数的图象和性质 (2)正比例函数与一次函数的性质
第一、三 象限
第二、四 象限
•2
第一、二、 三象限
第一、三、 四象限
第一、二、 四象限
第二、三、 四象限
•3
考点3 两条直线的位置关系
k1≠k2 k1＝k2，b1≠b2
•4
考点4 两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标 轴围成的三角形的面积
•21
变式题
5．已知直线 y＝kx＋b 经过点(k,3)和(1，k)，则 k
的值为( B )
A. 3
B．± 3
C. 2
D．± 2
•22
变式题
▪ 6、在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y
＝kx＋b交x轴于点A(－2，0)，交y轴于点
B．若△AOB的面积为8，则k的值为( D ) ▪ A．1 B．2 C．－2或4 D．4或－4
图10－2 •26
变式题
▪ 1（1）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b＞0的解集为____________ ▪ （2）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b≥0的解集为____________ ▪ （3）根据图象信息可求得关于x的不等式 ▪ kx＋b≤0的解集为____________
数学人教版八年级下册一次函数与三角形面积(铅锤法))
y
C B A
O
x
三 应用与升华 1 y x 1 4 如图，直线 2 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标 轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由
．
y
m B O A
C
x
四 归纳小结 1 坐标系中处理面积问题，要寻找并 利用____________的线 通常有以下三种思路： ①__________________（规则图形）； ②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）．
探 究
与一次函数有关的三角形的 面积问题
宜昌市外国语初级中学 袁晓芹
一 知识回顾 (一) 一条直线与两坐标轴围成的三角形面积 问题 问题1：已知直线y=2x-6与x轴、y轴分别交于 点A、B，求△AOB的面积.
(
二)、两条直线与一坐标轴围成的三角形的面积问
题
问题2、求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与y轴围成 的三角形的面积
2 坐标系中面积问题的处理方法举例 ①割补求面积（铅垂法）：
P a B A M h A h B
P
S△ APB
1 ah 2
②转化求面积
：
C h h A B
l1
l2
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2 上．
二 探究新知
例1 如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，3)， B(3，-2)，求△AOB的面积。
y A
O B
x
例2 如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，
点B，点P的坐标为(-2，2) ，则S△PAB=_____．
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-2
-3
3
交流展示
2 .满足
S AOP
1 2 SAOB
A
y y=2x+4 4B
3 2
1
（1）若点P是y轴上一动点，-4 -3
-2
-1 O -1
12 3 4 x
试确定点P的位置.
-2
-3
（2）若点P是直线 y 2x 4
上一动点，试确定点P的位置 .
（3）若点P是平面内任意一动点，试确 定点P的位置.
2
y
当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标．
C B
O
A
1 y=
2
x
9
学 习教 需师 要寄 探语 索
10
结束
11
非负性。
7
求面积时，尽量使底或高 中的一者确定下来（通过 对图像的观察，确定底和 高），然后根据面积公式，
建立等式。
8
巩固练习
•如图，直线 y
3 x 1 3
与x轴、y轴分别交于A， B两点，以线段AB为边在第一象
限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点P是直线 y
1
上的动点，
4
探究
3. 若点P的坐标为（-2，m），
且
SΔABP
=
1 2
SΔAOB
，试确定
点P的位置.
5
思路：画出草图，把要求的 图形构建出来，根据面积公 式，把直线与坐标轴的交点 计算出来，把坐标转化成线
段，代入面积公式求解。
6
规则图形 （公式法） 不规 则图形 （割补法） 不含参 数问题 含参数问题（用参 数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的
与一次函数有关的 三角形面积问题
1
复习引入
已知一次函数 y 2x 4 .
（1）求图象与 x轴交点A, 与 y轴交点B的坐标.
（2）求图象与坐标轴所围 2, y y=2x+4
4B
与 x 轴交点坐标A(-2,0)
3
2
设 x 0, y 4,
1
A
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
与 y 轴交点坐标B(0,4)
-1
-2
1
(2)SΔOAB = 2 OA· OB =4
-3
2
探究
1. 若点P是 x 轴上一个动点,
且 SBOP
1 2
SAOB
点P的位置.
y y=2x+4
,试确定 4 B 3
2
1
A
-4 -3 -2 -1 O -1
12 3 4 x