多叉树与二叉树的相互转换
数据结构——树、森林和二叉树之间的转换
数据结构——树、森林和⼆叉树之间的转换树转换⼆叉树（1）加线。
在所有兄弟结点之间加⼀条连线。
（2）去线。
树中的每个结点，只保留它与第⼀个孩⼦结点的连线，删除它与其它孩⼦结点之间的连线。
（3）层次调整。
以树的根节点为轴⼼，将整棵树顺时针旋转⼀定⾓度，使之结构层次分明。
（注意第⼀个孩⼦是结点的左孩⼦，兄弟转换过来的孩⼦是结点的右孩⼦）⼝诀：兄弟相连，长兄为⽗，孩⼦靠左。
核⼼：左孩⼦，右兄弟森林转换⼆叉树（1）把每棵树转换为⼆叉树。
（2）第⼀棵⼆叉树不动，从第⼆棵⼆叉树开始，依次把后⼀棵⼆叉树的根结点作为前⼀棵⼆叉树的根结点的右⼦树，⽤线连接起来。
⼆叉树转树是树转换为⼆叉树的逆过程。
还原结点A的孩⼦，结点A的左孩⼦开始，⼀直向右⾛，这些结点就是结点A的孩⼦，遇见顺序就是它们作为结点A孩⼦的顺序。
（1）加线。
若某结点X的左孩⼦结点存在，则将这个左孩⼦的右孩⼦结点、右孩⼦的右孩⼦结点、右孩⼦的右孩⼦的右孩⼦结点…，都作为结点X的孩⼦。
将结点X与这些右孩⼦结点⽤线连接起来。
（2）去线。
删除原⼆叉树中所有结点与其右孩⼦结点的连线。
（3）层次调整。
⼆叉树转森林假如⼀棵⼆叉树的根结点有右孩⼦，则这棵⼆叉树能够转换为森林，否则将转换为⼀棵树。
在⼆叉树种A有右⼦树上向右的⼀连串结点都是A的兄弟，那么就把兄弟分离，A的每个兄弟结点作为森林中树的根结点。
（1）从根结点开始，若右孩⼦存在，则把与右孩⼦结点的连线删除。
再查看分离后的⼆叉树，若其根结点的右孩⼦存在，则连线删除…。
直到所有这些根结点与右孩⼦的连线都删除为⽌。
（2）将每棵分离后的⼆叉树转换为树。
动态规划状态转移方程
1.资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2.资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3.线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F[i]:=max{f[j]+1}4.剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5.剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6.剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7.资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}8.贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9.贪心的动态规划2-----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10.剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];负负 g[I,k]*f[k+1,j];正负 g[I,k]*f[k+1,j];负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11.树型动态规划1-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12.树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}13.计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)14.递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15.递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16.最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17.判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18.判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20.线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21.线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1(i>0,j>0,x[i]=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);22.最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);24.数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25.数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26.双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28.数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29.数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30.线性动态规划3-----打鼹鼠’f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j])31.树形动态规划3-----贪吃的九头龙⎭⎬⎫⎩⎨⎧======⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++--+=0))2()0(&)0(())1(&)1((1],[]][,[*]0,[],',[]0,',[]][,[*]1,[],1',[]1,',[min ],,[m and j i or j i j i d i p i w k d k j j r f j l f i p i w k d k j j r f j l f k j i f32.状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map[i] and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33.递推天地3-----情书抄写员f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]34.递推天地4-----错位排列f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35.递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36.递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37.递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k 边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39递推天地9-----Catalan 数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f[i]+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43剖分问题5-----最大奖励f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t44最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H 的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);49 资源问题-----化工场装箱员[,[1,],[1,]][,,]:min [,[1,],[1,]]1[10,[1,10],[1,10]f n i getA n n i j getB n n i f n i j f n j i getA n n j getB n n j f n i j i getA n n i j j getB n n i j ++++++⎧⎫⎪⎪=+++++++⎨⎬⎪⎪+--+++--+++--⎩⎭-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);51树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);52递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53双重动态规划-----有限的基因序列f[i]:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55线性动态规划------日程安排f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])56递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}58树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0)-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]61线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}62线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);64树形动态规划-----APIO2007 风铃f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]68目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]69树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;70地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71最大子矩阵问题-----最大字段和问题f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]72最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
树与二叉树的转换的实现
目录一、数据结构课程设计任务书﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒11.1设计题目﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒11.2设计要求﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1二、设计小组成员﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1三、指导老师﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1四、设计课题﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1五、基本思路及关键问题的解决方法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1六、算法及流程图﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2 七．调试过程中出现的问题及相应解决办法﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3八、课程设计心得体会﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3九、源程序﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4十、参考文献及资料一、数据结构课程设计任务书1.1．设计题目树与二叉树的转换实现1.2设计要求1、以及树的前序、后序的递归、非递归遍历算法，层次序的非递归遍历算法的实现，应包含建树的实现。
2、遍历的内容应是千姿百态的。
二、设计小组成员金亮三．指导老师武彬四．设计课题实现树与二叉树的转换的实现，以及树的前序、后序的递归、非递归遍历算法，层次序的非递归遍历算法的实现，应包含建树的实现。
（多种遍历可以只实现一个。
）五．基本思路及关键问题的解决方法1.二叉树创建用链表实现创建一个树结点的结构体，从键盘输入数据，存入数组。
把下标为2*i+1 的值存入左孩子，为2*i+2的存入右孩子。
2.先序遍历二叉树的递归算法若二叉树为空，则空操作；否则（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。
void PreOrder(BiNode root)。
3.后序遍历二叉树的递归算法若二叉树为空，则空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树。
（3）访问根结点；void PostOrder(BiNode root)。
4.先序非递归算法BiNode根指针，若 BiNode!= NULL对于非递归算法，引入栈模拟递归工作栈，初始时栈为空。
树形动态规划
树形动态规划动态规划： 问题可以分解成若⼲相互联系的阶段，在每⼀个阶段都要做出决策，全部过程的决策是⼀个决策序列。
要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
动态规划就是解决多阶段决策最优化问题的⼀种思想⽅法。
阶段： 将所给问题的过程，按时间或空间（树归中是空间，即层数）特征分解成若⼲相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。
状态： 各阶段开始时的客观条件叫做状态。
决策： 当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从⽽确定下⼀阶段的状态，这种决定称为决策。
（即孩⼦节点和⽗亲节点的关系）策略： 由开始到终点的全过程中，由每段决策组成的决策序列称为全过程策略，简称策略。
状态转移⽅程： 前⼀阶段的终点就是后⼀阶段的起点，前⼀阶段的决策选择导出了后⼀阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段（在树中是孩⼦节点和⽗亲节点）状态的演变规律，称为状态转移⽅程。
⽬标函数与最优化概念： ⽬标函数是衡量多阶段决策过程优劣的准则。
最优化概念是在⼀定条件下找到⼀个途径，经过按题⽬具体性质所确定的运算以后，使全过程的总效益达到最优。
树的特点与性质：1、有n个点，n-1条边的⽆向图，任意两顶点间可达2、⽆向图中任意两个点间有且只有⼀条路3、⼀个点⾄多有⼀个前趋，但可以有多个后继4、⽆向图中没有环；拿到⼀道树规题，我们有以下3个步骤需要执⾏：1. 判断是否是⼀道树规题：即判断数据结构是否是⼀棵树，然后是否符合动态规划的要求。
如果是，那么执⾏以下步骤，如果不是，那么换台。
2. 建树：通过数据量和题⽬要求，选择合适的树的存储⽅式。
如果节点数⼩于5000，那么我们可以⽤邻接矩阵存储，如果更⼤可以⽤邻接表来存储(注意边要开到2*n，因为是双向的。
这是⾎与泪的教训)。
如果是⼆叉树或者是需要多叉转⼆叉，那么我们可以⽤两个⼀维数组brother[]，child[]来存储（这⼀点下⾯会仔细数的）。
3. 写出树规⽅程：通过观察孩⼦和⽗亲之间的关系建⽴⽅程。
数据结构课程设计之-树与二叉树的转换
衡阳师范学院《数据结构》课程设计题目：树与二叉树的转换系别：计算机科学系专业：计算机科学与设计班级：1302学生姓名：***学号：********指导老师：**完成日期：2015年1月3号目录一．需求分析 (3)二．概要设析 (3)三．详细设计 (5)1.树的建立 (5)2.一般树转化成二叉树 (6)3.先序遍历树的递归算法 (7)4.后序遍历树的递归算法 (7)5.先序遍历树的非递归算法 (7)6.后序遍历树的非递归算法 (8)7.层次序非递归的算法 (9)四．设计与调试分析 (10)五．用户手册 (10)六．测试结果 (11)七．附录（源程序） (14)八．总结 (20)一.需求分析本程序的功能是对任意树进行递归前序遍历和后序遍历，以及实现树的非递归的前序、和后序遍历，还有对树的层序遍历以及树与二叉树的转换。
二．概要设计对于本次设计，需要用到树的建立,树与二叉树的转换算法先序后序二叉树的递归算法;先序后序非递归算法;层次序遍历算法1树的建立用链表实现创建一个树结点的结构体，从键盘输入数据，存入数组。
把下标为2*i+1 的值存入左孩子，为2*i+2的存入右孩子。
BiNode creat()，BiNode stree_creat(char *a,int k)。
2一般树转化成二叉树转换时结点的第一个孩子变为它的左孩子，兄弟节点变为他的右孩子。
voidexchange()，class Tree3先序遍历树的递归算法若二叉树为空，则空操作；否则（1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。
void PreOrder(BiNode root)。
4后序遍历树的递归算法若二叉树为空，则空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树。
（3）访问根结点；void PostOrder(BiNode root)。
5先序遍历树的非递归算法若二叉树为空，则空操作；否则（1）先将根节点进栈，在栈不为空时循环；(2)出栈p，访问*p若其右孩子节点不空将右孩子节点进栈若其左孩子节点不空时再将其左孩子节点进栈。
树二叉树树森林与二叉树的转换树的应用课件-58页文档资料
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i-1 个结点。(i 0)
证明：i = 1 时，有2i-1 = 20 =1，成立 假定 ：i = k 时性质成立；
当 i = k+1 时，第k+1的结点至多是第k层结点 的两倍，即总的结点个数至多为2×2k-1 = 2k
故命题成立
的子树 7、删除指定结点的某一子树 8、树的遍历
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8
二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称 为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
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二叉树的五种不同形态
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二叉树的性质
n = 23.10.2019 0
n2
+
1
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定义1 满二叉树(Full Binary Tree) 一棵深度为k 且有2k-1个结点的二叉树。
定义2 完全二叉树(Complete Binary Tree)
若设二叉树的高度为h，则共有h+1层。 除第h层外，其它各层(0h-1)的结点数都达 到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结 点，这就是完全二叉树。
左向右连续给结点编号1, 2, …, n-1,n，然后按此结点编号将树中
各结点顺序地存放于一个一维数组中, 并简称编号为i的结点为结
点i (1 i n)。则有以下关系：
若i == 1, 则 i 无双亲
若i > 1, 则 i 的双亲为i /2
若2*i <= n, 则 i 的左子女为2*i；否则，i无左子女，必定是
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树转为二叉树的方法
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怎样生成Huffman树？ 步骤如下：
(1) 由给定的 n 个权值{w1, w2, …, wn}构成n棵二叉树的集合
（即森林）F = { T1, T2, …, Tn }，其中每棵二叉树 Ti 中
只有一个带权为 wi 的根结点，其左右子树均空。 (2) 在F 中选取两棵根结点的权值最小的树 做为左右子树构
将整个霍夫曼树的结点存储在一个数组中：HT[1..n]; 将结点的编码存储在HC[1..n]中。
提示3：霍夫曼树如何构造？构造好之后又如何求得 各结点对应的霍夫曼编码？——算法参见教材P147。
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小结：哈夫曼树及其应用
1.Huffman算法的思路： ——权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 2.构造Huffman树的步骤： 对权值的合并、删除与替换 3. Huffman编码规则： 左“0” 右“1”，是一种前缀 码 也称为最小冗余编码、紧致码，等等，它是数据压缩 学的基础。
01 d
01
i 01
a
n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 WPL=1bit×7＋2bit×5+3bit(2+4)=35
特点：每一码都不是另一码的前缀，绝不会错译! 称为前缀码
8
霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用
长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最
4，怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？ 法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。
取 d=00，i=01，a=10，n=11 法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。
取 d=0; i=10, a=110, n=111 最快的编码是哪个？ 是非等长的Huffman码！ 怎样实现Huffman编码？先要构造Huffman树！
二叉树转换为树的规则
二叉树转换为树的规则摘要：一、二叉树与树的定义1.二叉树的定义2.树的定义二、二叉树转换为树的规则1.树的根节点2.树的层次结构3.树的节点关系三、转换方法与步骤1.遍历二叉树2.构建树结构3.确定节点关系四、转换过程中的注意事项1.避免重复遍历2.确保节点唯一性3.考虑节点顺序正文：二叉树与树是计算机科学中常用的数据结构，它们在数据存储与处理方面具有重要作用。
二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
在实际应用中，有时需要将二叉树转换为树结构。
本文将详细介绍二叉树转换为树的规则及方法。
首先，我们需要了解二叉树与树的定义。
二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
树是一种非线性的数据结构，由若干个节点组成，这些节点通过边相互连接，具有唯一的根节点。
二叉树转换为树的规则主要包括以下几点：1.树的根节点：二叉树的根节点将成为树的根节点。
2.树的层次结构：二叉树的层次结构将转换为树的层次结构。
具体来说，二叉树的同一层节点将转换为树的同一行节点。
3.树的节点关系：二叉树中相邻的兄弟节点在树中将成为兄弟节点或子节点。
对于二叉树的每个节点，它的左子节点将成为树的子节点，右子节点将成为兄弟节点。
需要注意的是，在转换过程中要确保节点关系的正确性。
接下来，我们介绍二叉树转换为树的步骤：1.遍历二叉树：首先需要遍历二叉树，获取每个节点的信息，如节点值、左右子节点等。
2.构建树结构：根据遍历得到的节点信息，构建树的层次结构。
树的根节点即为二叉树的根节点，树的层次结构应与二叉树的层次结构保持一致。
3.确定节点关系：根据二叉树中节点之间的关系，确定树中节点之间的关系。
具体来说，二叉树的左子节点将成为树的子节点，右子节点将成为兄弟节点。
在二叉树转换为树的过程中，需要注意以下几点：1.避免重复遍历：在遍历二叉树时，应尽量避免重复遍历同一节点，以提高转换效率。
理论基础 —— 二叉树 —— 树、森林、二叉树的转换
【概述】从树的孩子兄弟表示法和二叉树的二叉链表表示可以看出，树的孩子兄弟表示法实质上是二叉树的二叉链表存储形式，第一个孩子指针和右兄弟指针分别相当于二叉链表的左孩子指针和右孩子指针。
因此，从物理结构上看，树的孩子兄弟表示法和二叉树的二叉链表是相同的，只是解释不同。
以二叉链表为媒介，可导出树与二叉树的对应关系，即给出一棵树，可以找到唯一的一棵二叉树与之对应，这样树的操作实现就可借助二叉树存储，利用二叉树上的操作来实现。
【树转二叉树】将一棵树转为二叉树的方法是：1. 加线：树中所有相邻兄弟结点间加一条线2. 去线：对树中的每个结点，只保留他与第一个子结点的连线，删除与其他子结点的连线3. 层次调整：以根结点为轴心，将树顺时针旋转一定角度，使之层次分明根据树与二叉树的转换关系以及二叉树的遍历操作可知：树的前序遍历 <----> 二叉树的前序遍历树的后序遍历 <----> 二叉树的中序遍历【森林转二叉树】森林是若干棵树的集合，将森林中的每棵树转为二叉树，再将每棵树的根节点视为兄弟，这样森林就转成了二叉树。
将一棵树转为二叉树的方法是：1. 转树：将森林中的每棵树转换成二叉树2. 连接：从第二棵树二叉树开始，依次将后一棵二叉树的根节点作为前一棵二叉树根结点的右孩子【二叉树转树或森林】树和森林都能转成二叉树，二者的不同是树转成的二叉树其根结点无右子树，森林转成的二叉树其根结点有右子树。
显然，这一转换过程是可逆的，即根据二叉树的根结点有无右子树，将其还原成树或森林。
将一棵二叉树转成树或森林的方法是：1. 加线：若某结点 x 是其双亲 y 的左孩子，则把结点 x 的右孩子、右孩子的右孩子、……，都与结点 y 用线连起来2. 去线：删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线3. 层次调整：整理 1、2 步得到的树或森林，使之层次分明【森林的遍历】森林有两种遍历方法：前序遍历：前序遍历森林中的每一棵树后序遍历：后序遍历森林中的每一棵树。
树与二叉树的关系
将一棵树转换为二叉树的方法： ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点，只保留其与第一个 孩子结点之间的连线，删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针 旋转一定的角度，使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树，T是B的根结点，L是B的 左子树，R为B的右子树，设B对应的森林F（B） 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn，则有： （1）B为空，则：F（B）为空的森林（n＝0）。
（2）B非空，则：
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空，则遍历方法为：
（1）后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 （2）后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 （3）访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上，利用哈夫曼树，可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent，Lchild，Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];
poj dp题目列表
[1]POJ 动态规划题目列表容易：1018, 1050, 1083, 1088, 1125, 1143, 1157, 1163, 1178, 1179, 1189, 1208, 1276, 1322, 1414, 1456, 1458, 1609, 1644, 1664, 1690, 1699, 1740(博弈), 1742, 1887, 1926(马尔科夫矩阵，求平衡）, 1936, 1952, 1953, 1958, 1959, 1962, 1975, 1989, 2018, 2029, 2039, 2063, 2081, 2082, 2181, 2184, 2192, 2231, 2279, 2329, 2336, 2346, 2353, 2355, 2356, 2385, 2392, 2424,不易：1019, 1037, 1080, 1112, 1141, 1170, 1192, 1239, 1655, 1695, 1707, 1733(区间减法加并查集), 1737, 1837, 1850, 1920(加强版汉罗塔), 1934(全部最长公共子序列), 1937(计算几何), 1964(最大矩形面积，O(n)算法), 2138, 2151, 2161, 2178,推荐：1015, 1635, 1636(挺好的), 1671, 1682, 1692(优化), 1704, 1717, 1722, 1726, 1732, 1770, 1821, 1853, 1949, 2019, 2127, 2176, 2228, 2287, 2342, 2374, 2378, 2384, 24111015 Jury Compromise1029 False coin1036 Gangsters1037 A decorative fence1038 Bugs Integrated, Inc.1042 Gone Fishing1050 To the Max1062 昂贵的聘礼1074 Parallel Expectations1080 Human Gene Functions1088 滑雪1093 Formatting Text1112 Team Them Up!1141 Brackets Sequence1143 Number Game1157 LITTLE SHOP OF FLOWERS1159 Palindrome1160 Post Office1163 The Triangle1170 Shopping Offers1178 Camelot1179 Polygon1180 Batch Scheduling1185 炮兵阵地1187 陨石的秘密1189 钉子和小球1191 棋盘分割1192 最优连通子集1208 The Blocks Problem1239 Increasing Sequences1240 Pre-Post-erous!1276 Cash Machine1293 Duty Free Shop1322 Chocolate1323 Game Prediction1338 Ugly Numbers1390 Blocks1414 Life Line1432 Decoding Morse Sequences 1456 Supermarket1458 Common Subsequence1475 Pushing Boxes1485 Fast Food1505 Copying Books1513 Scheduling Lectures1579 Function Run Fun1609 Tiling Up Blocks1631 Bridging signals 2分+DP NLOGN 1633 Gladiators1635 Subway tree systems1636 Prison rearrangement1644 To Bet or Not To Bet1649 Market Place1651 Multiplication Puzzle1655 Balancing Act1661 Help Jimmy1664 放苹果1671 Rhyme Schemes1682 Clans on the Three Gorges 1690 (Your)((Term)((Project)))1691 Painting A Board1692 Crossed Matchings1695 Magazine Delivery1699 Best Sequence1704 Georgia and Bob1707 Sum of powers1712 Flying Stars1714 The Cave1717 Dominoes1718 River Crossing1722 SUBTRACT1726 Tango Tango Insurrection 1732 Phone numbers1733 Parity game1737 Connected Graph1740 A New Stone Game1742 Coins P1745 Divisibility1770 Special Experiment1771 Elevator Stopping Plan 1776 Task Sequences1821 Fence1837 Balance1848 Tree1850 Code1853 Cat1874 Trade on Verweggistan 1887 Testing the CATCHER 1889 Package Pricing1920 Towers of Hanoi1926 Pollution1934 Trip1936 All in All1937 Balanced Food1946 Cow Cycling1947 Rebuilding Roads1949 Chores1952 BUY LOW, BUY LOWER 1953 World Cup Noise1958 Strange Towers of Hanoi 1959 Darts1962 Corporative Network 1964 City Game1975 Median Weight Bead 1989 The Cow Lineup2018 Best Cow Fences2019 Cornfields2029 Get Many Persimmon Trees 2033 Alphacode2039 To and Fro2047 Concert Hall Scheduling 2063 Investment2081 Recaman's Sequence 2082 Terrible Sets2084 Game of Connections2127 Greatest Common Increasing Subsequence 2138 Travel Games2151 Check the difficulty of problems2152 Fire2161 Chandelier2176 Folding2178 Heroes Of Might And Magic2181 Jumping Cows2184 Cow Exhibition2192 Zipper2193 Lenny's Lucky Lotto Lists2228 Naptime2231 Moo Volume2279 Mr. Young's Picture Permutations2287 TianJi -- The Horse Racing2288 Islands and Bridges2292 Optimal Keypad2329 Nearest number - 22336 Ferry Loading II2342 Anniversary party2346 Lucky tickets2353 Ministry2355 Railway tickets2356 Find a multiple2374 Fence Obstacle Course2378 Tree Cutting2384 Harder Sokoban Problem2385 Apple Catching2386 Lake Counting2392 Space Elevator2397 Spiderman2411 Mondriaan's Dream2414 Phylogenetic Trees Inherited2424 Flo's Restaurant2430 Lazy Cows2915 Zuma3017 Cut the Sequence3028 Shoot-out3124 The Bookcase3133 Manhattan Wiring3345 Bribing FIPA3375 Network Connection3420 Quad Tiling ?/?cat=5[2]动态规划方法总结1. 按状态类型分写在前面：从状态类型分，并不表示一题只从属于一类。
Poj动态规划
[1]POJ 动态规划题目列表容易：1018, 1050, 1083, 1088, 1125, 1143, 1157, 1163, 1178, 1179, 1189, 1208, 1276, 1322, 1414, 1456, 1458, 1609, 1644, 1664, 1690, 1699, 1740(博弈), 1742, 1887, 1926(马尔科夫矩阵，求平衡）, 1936,1952, 1953, 1958, 1959, 1962, 1975, 1989, 2018, 2029,2039, 2063, 2081, 2082,2181, 2184, 2192, 2231, 2279, 2329, 2336, 2346, 2353,2355, 2356, 2385, 2392, 2424,不易：1019,1037, 1080, 1112, 1141, 1170, 1192, 1239, 1655, 1695, 1707,1733(区间减法加并查集), 1737, 1837, 1850, 1920(加强版汉罗塔), 1934(全部最长公共子序列), 1937(计算几何), 1964(最大矩形面积，O(n)算法), 2138, 2151, 2161(烦，没写), 2178,推荐：1015, 1635, 1636(挺好的), 1671, 1682, 1692(优化), 1704, 1717, 1722, 1726, 1732, 1770, 1821, 1853, 1949, 2019, 2127, 2176, 2228, 2287, 2342, 2374, 2378, 2384, 2411状态DP树DP构造最优解四边形不等式单调队列1015 Jury Compromise1029 False coin1036 Gangsters1037 A decorative fence1038 Bugs Integrated, Inc.1042 Gone Fishing1050 To the Max1062 昂贵的聘礼1074 Parallel Expectations1080 Human Gene Functions1088 滑雪1093 Formatting Text1112 Team Them Up!1141 Brackets Sequence1143 Number Game1157 LITTLE SHOP OF FLOWERS1159 Palindrome1160 Post Office1163 The Triangle1170 Shopping Offers1178 Camelot1179 Polygon1180 Batch Scheduling1185 炮兵阵地1187 陨石的秘密1189 钉子和小球1191 棋盘分割1192 最优连通子集1208 The Blocks Problem1239 Increasing Sequences1240 Pre-Post-erous!1276 Cash Machine1293 Duty Free Shop1322 Chocolate1323 Game Prediction1338 Ugly Numbers1390 Blocks1414 Life Line1432 Decoding Morse Sequences 1456 Supermarket1458 Common Subsequence1475 Pushing Boxes1485 Fast Food1505 Copying Books1513 Scheduling Lectures1579 Function Run Fun1609 Tiling Up Blocks1631 Bridging signals 2分+DP NLOGN 1633 Gladiators1635 Subway tree systems1636 Prison rearrangement1644 To Bet or Not To Bet1649 Market Place1651 Multiplication Puzzle1655 Balancing Act1661 Help Jimmy1664 放苹果1671 Rhyme Schemes1682 Clans on the Three Gorges 1690 (Your)((Term)((Project)))1691 Painting A Board1692 Crossed Matchings 1695 Magazine Delivery 1699 Best Sequence1704 Georgia and Bob1707 Sum of powers1712 Flying Stars1714 The Cave1717 Dominoes1718 River Crossing1722 SUBTRACT1726 Tango Tango Insurrection 1732 Phone numbers1733 Parity game1737 Connected Graph1740 A New Stone Game 1742 Coins P1745 Divisibility1770 Special Experiment 1771 Elevator Stopping Plan 1776 Task Sequences1821 Fence1837 Balance1848 Tree1850 Code1853 Cat1874 Trade on Verweggistan 1887 Testing the CATCHER 1889 Package Pricing1920 Towers of Hanoi1926 Pollution1934 Trip1936 All in All1937 Balanced Food1946 Cow Cycling1947 Rebuilding Roads1949 Chores1952 BUY LOW, BUY LOWER 1953 World Cup Noise1958 Strange Towers of Hanoi 1959 Darts1962 Corporative Network 1964 City Game1975 Median Weight Bead 1989 The Cow Lineup2018 Best Cow Fences2019 Cornfields2029 Get Many Persimmon Trees2033 Alphacode2039 To and Fro2047 Concert Hall Scheduling2063 Investment2081 Recaman's Sequence2082 Terrible Sets2084 Game of Connections2127 Greatest Common Increasing Subsequence 2138 Travel Games2151 Check the difficulty of problems2152 Fire2161 Chandelier2176 Folding2178 Heroes Of Might And Magic2181 Jumping Cows2184 Cow Exhibition2192 Zipper2193 Lenny's Lucky Lotto Lists2228 Naptime2231 Moo Volume2279 Mr. Young's Picture Permutations2287 TianJi -- The Horse Racing2288 Islands and Bridges2292 Optimal Keypad2329 Nearest number - 22336 Ferry Loading II2342 Anniversary party2346 Lucky tickets2353 Ministry2355 Railway tickets2356 Find a multiple2374 Fence Obstacle Course2378 Tree Cutting2384 Harder Sokoban Problem2385 Apple Catching2386 Lake Counting2392 Space Elevator2397 Spiderman2411 Mondriaan's Dream2414 Phylogenetic Trees Inherited2424 Flo's Restaurant2430 Lazy Cows2915 Zuma3017 Cut the Sequence3028 Shoot-out3124 The Bookcase3133 Manhattan Wiring3345 Bribing FIPA3375 Network Connection3420 Quad Tiling ?/?cat=5[2]动态规划方法总结1. 按状态类型分写在前面：从状态类型分，并不表示一题只从属于一类。
数据结构复习题
数据结构复习题：一、判断题1、（）采用循环链表作为存储结构的队列就是循环队列。
2、（）哈夫曼树一定是完全二叉树。
3、（）选择排序是一种稳定的排序方法。
4、（）在顺序存储结构的线性表中，取第i个元素操作的时间复杂度为O(1)。
5、（）有向图中第i个顶点的出度等于其邻接矩阵中第i行非0元素的个数。
6、（）在按值有序的线性链表中可以采用折半查找法进行查找。
7、（）只有在初始数据为逆序时，冒泡排序所执行的比较次数最多。
8、（）在具有n个结点的完全二叉树中，无法确定其叶子结点的个数。
9、（）一棵树转换成二叉树后，该二叉树的根结点一定没有右子树。
10、（）对任意一个图，从它的某个顶点出发进行一次深度或广度优先搜索遍历时，均可访问到该图的每个结点。
11、（）二叉树的存储结构必须采用二叉链表结构。
12、（）给定一组关键字序列，按顺序构造二叉排序树，其树的形态与关键字的排列顺序无关。
13、（）当初始序列为逆序时，简单选择排序的比较次数达到最多。
14、（）在单链表表示的线性表中，取线性表第i个元素操作的时间复杂度为O(n)（n为链表长度）。
15、（）具有n结点的二叉树，其最大深度为n。
16、（）在具有13个叶子结点的二叉树中，其度为2的结点个数一定为12。
17、（）具有n个顶点无向图，其生成树中一定存在n-1条边。
18、（）能采用折半查找法进行查找的查找表必须是有序并为顺序存储。
19、（）若一棵二叉树中不存在度为1的结点，则该二叉树一定是一棵完全二叉树。
20、（）快速排序是目前所有排序方法中效率最高的稳定排序。
二、选择填空1、下列排序方法中，排序所花时间不受数据初始排列特性影响的算法是＿＿＿＿。
A）冒泡排序B）简单选择排序C）快速排序D）直接插入排序2、在一棵度为3的树中，度为3的结点数为2个，度为2的结点数为1个，度为1的结点数为2个，那么度为0的结点数为＿＿＿＿个。
A）4 B）5 C）6 D）73、对于给定的8个元素：34，76，45，18，26，54，92，65，按给定顺序生成一棵二叉排序树，该树的深度为＿＿＿＿。
树与二叉树的转换及设计和实现
/*初始化*/
void Initiate(BiTreeNode **root) { *root = (BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));
}
/*删除左子树*/
BiTreeNode *DeleteLeftTree(BiTreeNode *curr) {
if(curr == NULL || curr->leftChild == NULL) return NULL;
Destroy(&curr->leftChild); curr->leftChild = NULL; return curr; }
（2）删除原二叉树中所有双亲结点与右孩子结点的连线。
（3）整理所有保留的和添加的连线，使每个结点的所有孩子结点位于相同 层次高度。
ABEຫໍສະໝຸດ CFDG
( a)
A
B
E
C
F
D
G
( b)
A
B
E
C
F
D
G
( c)
A
B
C
D
E
F
G
( d)
二叉树还原为树的过程 （a）二叉树;（b）双亲与非第一个孩子加连线;
（c）删除结点与右孩子连线;（d）树
树与二叉树的转换及设计和实现
1.树转换为二叉树
树转换为二叉树的方法是： （1）树中所有相同双亲结点的兄弟结点之间加一条连线。 （2）对树中不是双亲结点第一个孩子的结点，只保留新添加的该结点与左 兄弟结点之间的连线，删去该结点与双亲结点之间的连线。 （3）整理所有保留的和添加的连线，使每个结点的第一个孩子结点连线位 于左孩子指针位置，使每个结点的右兄弟结点连线位于右孩子指针位置。
第5章 树和二叉树
B A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
T1
T2
M
2015年10月20日
T3
树的其它表示方式
A D K L F C G E B H M J I
A
A B E K L F C G
B C D
嵌套集合
E
D H M
F
G
H
I
J
I J
K
L
M
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
2015年10月20日
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉树的链式存储
PARENT
lchild
data
rchild
DATA
lchild
data
parent rchild
LCHILD
RCHILD
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉链表
A A ^ B D lchild data rchild
B
C
E
G
F
二叉树的五种不同形态
2015年10月20日
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种
2015年10月20日
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ …… //关于左子树和右子树的说明 //至少有20个 基本操作 P： }ADT BinaryTree
第六章树与二叉树教案 二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此， k =log2n + 1
问题：
一棵含有n个结点的二叉树，可能达 到的最大深度和最小深度各是多少？
1
答：最大n,
2
最小[log2n] + 1
第六章 树和二叉树教案
二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 二叉树的遍历
二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
性质 2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个 结点（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉
树上的结点数至多为
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
（等比数列求和）
k
k
(第i层的最大结点数) 2i1 2k
i 1
i 1
性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶 子结点（0度节点）、n2 个度为 2 的结 点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1+2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。
二叉树与多叉树之间的互相转化_解释说明
二叉树与多叉树之间的互相转化解释说明1. 引言1.1 概述在计算机科学中，树是一种重要的数据结构，常用于表示层级关系或者树状结构。
其中，二叉树和多叉树是最基本和常见的两种树形结构。
二叉树是每个节点最多拥有两个子节点的树，而多叉树则允许每个节点拥有任意数量的子节点。
在实际应用中，我们可能需要将一个已有的二叉树转化为多叉树或反之亦然。
因此，本文将着重探讨如何在二叉树与多叉树之间进行互相转化。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、二叉树与多叉树的定义与特性、从二叉树到多叉树的转化方法、从多叉树到二叉树的转化方法以及结论部分。
首先，我们将简要介绍本文的概述和目标。
接着，我们将详细讨论二叉树与多叉树各自的定义和特性，并给出相应示例说明。
然后，我们将深入探究如何从已有二叉树转化为多叉树，并提供具体实现步骤和算法设计。
同样地，我们也将详细说明如何从多叉树转化为二叉树，并给出相应示例和实际应用。
最后，本文将对整个转化过程及其应用价值进行总结，并展望未来该领域的发展方向。
1.3 目的本文旨在解释和指导读者了解二叉树与多叉树之间的互相转化方法。
通过对二叉树和多叉树定义、特性以及转化过程的深入探讨，读者将能够理解不同类型树之间的联系与区别，并学习如何进行有效的转化。
同时，本文还将通过具体实例和实际应用来展示这些转化方法在计算机科学领域的重要性和价值。
读者通过阅读本文，将获得关于二叉树与多叉树互相转化的全面知识，以便在实际问题中正确应用并提升自身的编程能力。
2. 二叉树与多叉树的定义与特性：2.1 二叉树的定义与特性：二叉树是一种特殊的有序树结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点，被分为左子节点和右子节点。
以下是二叉树的一些基本特性：- 根节点：二叉树中的唯一一个没有父节点的节点称为根节点。
- 叶子节点：没有子节点的节点称为叶子节点。
- 内部节点：带有至少一个子节点的非叶子节点称为内部节点。
- 子树：以某个节点和其所有后代构成的子集称为该节点所对应的子树。
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图
树到二叉树的转换
多叉树与二叉树的相互转换 1. 树转换为二叉树
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图
多叉树
将一棵树转换为二叉树的方法是：
(1) 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。
(2) 对树中的每个结点，只保留其与第一个孩子结点之
间的连线， 删去其与其它孩子结点之间的连线。
(3) 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的 角度， 使之结构层次分明。 可以证明，树做这样的转换所构成的二叉树是唯一的。 图中给出了将前图所示的树转换为二叉树的转换过程示意。