整体换元法在三角函数求值中的妙用
整体换元法在三角函数求值中的妙用
整体换元法在三角函数求值中的妙用整体换元法是微积分中常用的一种求积分的方法，它通过将被积函数中的自变量进行适当的变换，使被积函数的积分形式更加简单，从而方便求解。
在三角函数求值中，整体换元法同样能够发挥出它的妙用。
本文将通过一些具体的例子，来介绍整体换元法在三角函数求值中的应用。
首先，我们考虑一个简单的例子。
例子1：计算定积分∫(sin^2x+cos^2x)dx。
由三角函数的平方和公式sin^2x+cos^2x=1，将sin^2x用1-cos^2x代入上式中，得到∫(1-cos^2x)dx。
然后，我们进行整体换元，令u=cosx，du=-sinxdx。
当x取区间[0,π]时，u的取值范围是[1,-1]。
将上述变量代换带入原积分式中，得到∫(1-u^2)(-du)=-∫(1-u^2)du=-∫(u^2-1)du=-∫u^2du+∫du=-u^3/3+u+C=cos^3x/3+cosx+C。
通过上面的例子，我们可以看到整体换元法在三角函数求值中的应用。
接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子。
例子2：计算定积分∫(1+cosx)/(2+cosx)dx。
我们令u=2+cosx，du=-sinxdx，将上述变量代换带入原积分式中，得到∫(1+cosx)(-du/sinx)=∫(-du/sinxdx-du)=∫(-du/u)=ln，u，+C=ln，2+cosx，+C。
上述的例子都是通过整体换元法将被积函数变换为一个形式简单的表达式，从而方便求解。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题判断是否使用整体换元法。
通常情况下，当被积函数中同时存在三角函数和三角函数的导数时，我们可以考虑使用整体换元法。
最后，还需要注意整体换元法的逆向思维。
有时候，我们需要将整体换元后的结果变换回原来的自变量，以便于更好地理解和应用结果。
比如在例子1中，我们将u=cosx代换回原来的自变量x，可以得到结果cos^3x/3+cosx+C，这样更加直观地表示了原函数与三角函数的关系。
高三数学三角函数方法,公式精选精讲
三角函数方法谈三角函数是数学④的重点内容，也是高考考查的着力点，其中三角函数的概念与性质常以选择题、填空题的形式出现，三角恒等变换常以解答题的形式出现，它们多是容易题或中档题，是不应失分的题目．因为三角函数内容丰富、公式众多，考查形式灵活，其题目也绚丽多姿．本文针对三角函数的六类重、热点问题归纳总结，以巩固所学，提高能力，实现三角函数知识的升级． 一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解． 例1（07湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：函数()f x 的单调增区间．解析：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=．当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z）时，函数()f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．点评：①在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数。
②在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时还应注意ω的正、负，同学们可以自己求一下π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．二、根据三角函数性质确定函数解析式问题这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.关键是根据图象的位置求出相关参数A ，ω，θ等。
例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；的中点，当0y =，（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解析：（1）将0x=，y =2cos()y x ωθ=+cos θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT=，且0ω>，得2π2π2T πω===． （2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，0y =P的坐标为0π22x ⎛- ⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 46x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数θ的值，根据题意图象与y 轴相交于点(0建立等式关系凭借θ的限制条件就能确定θ的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点00()Q x y ，将点P 表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可. 三、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键． 例3（2007四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.解析：（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin 7α===．∴sin 7tan cos 1ααα===于是22tan tan 21tan ααα===-． （Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<．又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===()βααβ=--，得cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=，∴π3β=．点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进行角的变换利用三角公式进行求值即可. 四、最值或值域问题这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角． 例4（2007湖北理）已知ABC △的面积为3，且满足0≤AC AB ∙≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解析：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 五、实际应用问题这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题．解题的关键是利用三角函数表示出各有关元素，从而建立起函数关系．例5（2007海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得B C D B DC C D s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．点评：本题考查正弦余弦定理应用及应用所学知识解决实际问题的能力.解三角形应按照由易到难的顺序来求解，选用边角时尽量避免复杂运算，有时需要对一些复杂图形特殊处理，平面几何知识“功不可没”.例6如图，扇形AOB 的半径为1，中心角为600,PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时， 矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用王凤梅(山东省青岛市城阳区第一高级中学㊀２６６１０８)摘㊀要:换元法是高中生数学解题中较为常用的方法ꎬ对换元法进行灵活应用ꎬ将数学解题中的问题实施转化ꎬ以促使许多难题迎刃而解.因此ꎬ在高中数学的解题中运用换元法ꎬ将复杂结构实现简单化ꎬ混乱的思路清晰化ꎬ这不仅有助于学生思路的简化ꎬ而且还能使学生清晰的找到解题思路ꎬ从而实现高效解题.关键词:高中数学ꎻ换元法ꎻ解题ꎻ教学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－００１６－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:王凤梅(１９７０.８－)ꎬ女ꎬ山东省临沂人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀换元法作为高中数学具体教学中ꎬ较为常见的一种解题方法ꎬ在数学的解题中ꎬ通常会出现较为复杂或存有两个及其以上的未知条件的相关数学题ꎬ在解题的时候ꎬ可依据知识之间存在的内在联系ꎬ对数学题中存有的数量关系实施转化ꎬ并通过各变量的条件转换ꎬ将一种问题转变成另种问题ꎬ以实现整个解题的简化.同时ꎬ换元方法有许多种ꎬ如函数换元㊁变量换元㊁不等量换元㊁三角函数的换元等.在具体解题的时候ꎬ教师通过换元法的灵活应用ꎬ不仅能够对学生自身的思维敏捷度进行锻炼ꎬ而且还能使学生自身的思维能力得到有效提高.㊀㊀一㊁换元法内涵及其应用技巧归纳１.换元法内涵所谓的换元法ꎬ其主要就是把数学题目中原先的部分变量通过另一些变量进行替代ꎬ经过换元ꎬ通常能够产生缩减变量㊁简化形式的效果.较为常见的换元方式包含三种ꎬ具体为:(１)整体换元ꎬ如将ｘ表达式的ｆ(ｘ)进行整体替换成ｔꎬ并通过ｔ表示成其他的与ｘ有关的表达式ꎻ(２)利用关系ꎬ其主要指将较为相似的表达式进行换元ꎬ其主要是通过已知代数式和三角知识的联系实施换元ꎬ也就是在解题的时候ꎬ通过相同的参数ꎬ对两个变量进行表示ꎬ以减少变元ꎬ促使问题简化ꎻ(３)均值换元ꎬ当能够确切求出两个变量和的时候ꎬ就能通过均值换元.不论是何种换元ꎬ在换元之后ꎬ都能够对新变量实施运算ꎬ在对变量完成计算后ꎬ再对原变量进行取值ꎬ通过这样的解题思路ꎬ需确保换元时的等效变换ꎬ特别是定义域转变ꎬ只有确保变换的等效ꎬ才能确保计算结构的有效性.２.应用技巧归纳首先ꎬ常规换元法的掌握.对于不同换元法ꎬ其通常具有相应的形式ꎬ特别是三角换元.因此ꎬ对于难度较低的题目ꎬ学生只要充分掌握较为常规化的换元规律ꎬ并做出迅速反应ꎬ就能实现迅速解题.其次ꎬ注重题目形式的观察.对于难度相对较高的数学题型ꎬ其题目的条件通常具有较强的隐藏性ꎬ此时ꎬ就需对题目条件实施相应的梳理与分析ꎬ并找到换元实施的突破点.需要注意的是ꎬ题型的难度通常不会对换元的相关条件造成影响ꎬ因此ꎬ对条件实施初步解算以及分析ꎬ不仅有利于学生打开解题思路ꎬ而且还能实现高效解题.最后ꎬ注意等效的条件.应用换元法的前后ꎬ其等效性通常是其正确应用的重要保证ꎬ但也是在解题中最容易被忽略的部分.不论是哪种题型ꎬ难度如何ꎬ都需对等效性进行牢固记忆.㊀㊀二㊁换元法在高中数学解题中的应用策略１.基于换元法的三角函数教学高中数学的解题中ꎬ三角换元已经得到广泛应用.三角换元的解题中ꎬ其主要是通过相应的三角换元ꎬ把代数表达转变成三角表达ꎬ也就是把代数式解答或者证明转变成三角式解答与证明ꎬ以达到简化题目㊁理顺思路的作用.可应用同角三角关系ꎬ或者辅助角公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中的ａ㊁ｂ均是非零实数ꎬφ角则能通过ｔａｎφ＝ｂａ进行确定ꎬ以此对解题过程进行简化ꎬ从而使解题效率得到有效提高.例１㊀已知ｘ㊁ｙ满足ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝１ꎬ求ｘ２－ｙ２的取值６１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.范围.解㊀设ｘ＝ρｃｏｓθꎬｙ＝ρｓｉｎθꎬ那么ꎬρ２－ρ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１ꎬ也就是ρ２＝２２－ｓｉｎ２θꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２＝２ ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θ.设ｋ＝ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θꎬ由此可知ꎬｋｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝２ｋꎬｓｉｎ(２θ＋φ)＝２ｋｋ２＋１ꎬ其中ｔａｎφ＝１ｋꎬθɪ[０ꎬ２π).根据三角函数的有界性可得:２ｋｋ２＋１ɤ１ꎬ也就是－３３ɤｋɤ３３ꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２的取值范围是－２３３ɤｘ２－ｙ２ɤ２３３.２.基于构造辅助的函数换元基于构造辅助的函数换元属于极其重要的一种解题方法.对于函数而言ꎬ其作为高中数学具体教学中的核心知识ꎬ通常具有相应的导向性与工具性ꎬ大部分问题都能够以巧妙的构造进行函数辅助ꎬ促使复杂难解的问题转变为直观明了ꎬ转变为程序化.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｍｘ－ａＩｎｘ－ｍꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ/ｅｘꎬ其中的ｍꎬａ都是实数ꎬ设ｍ＝１ꎬａ<０ꎬ如果对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ[３ꎬ４](ｘ１ʂｘ２)ꎬ且ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)恒成立ꎬ求取ａ最小值.解㊀若ｍ＝１ꎬａ<０的时候ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ａＩｎｘ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ).由于ｆᶄ(ｘ)＝ｘ－ａｘ>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ那么ꎬｆ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数假设ｈ(ｘ)＝１ｇ(ｘ)＝ｅｘｅｘꎬ因此ꎬｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数.假设ｘ２>ｘ１ꎬ那么ꎬｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)等价为ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<ｈ(ｘ２)－ｈ(ｘ１)ꎬ即ｆ(ｘ２)－ｈ(ｘ２)<ｆ(ｘ１)－ｈ(ｘ１).构造函数ｕ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝ｘ－ａｌｎｘ－１－１ｅｅｘｘꎬ那么ꎬｕ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为减函数ꎬ因此ꎬｕᶄ(ｘ)＝１－ａｘ－１ｅ ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ɤ０位于[３ꎬ４]区间恒成立ꎬ也就是ａȡｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘ恒成立.假设ｖ(ｘ)＝ｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘꎬ由于ｖᶄ(ｘ)＝１－ｅｘ－１＋ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２＝１－ｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]ꎬｘɪ[３ꎬ４]ꎬ因此ꎬｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]>３４ｅ２>１ꎬ那么ｖᶄ(ｘ)<０ꎬｖ(ｘ)是减函数ꎬ因此ꎬｖ(ｘ)位于[３ꎬ４]上的最大值是ｖ(３)＝３－２３ｅ２ꎬ由此可知ꎬａ的最小值是３－２３ｅ２.通过构造辅助函数方法ꎬ对具体问题进行分析ꎬ明确原问题和和辅助函数之间的联系ꎬ并通过相应的推理ꎬ构造出合理的辅助函数ꎬ从而对问题进行有效解决.３.基于换元法的不等式解题不等的证明与解答相关问题属于高中数学中的重要模块ꎬ通过换元法ꎬ对题实施新元替换ꎬ不仅有助于学生解题思路进行梳理ꎬ而且还能实现高效解题.例３㊀若(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０恒成立ꎬ则ｋ值的取值范围是多少?解㊀首先进行换元ꎬ即ｘ－１３＝ｃｏｓαꎬ且ｙ＋１４＝ｓｉｎαꎬ由此可知ꎬｘ＝１＋３ｃｏｓαꎬｙ＝－１＋４ｓｉｎα.将其代入到不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０当中ꎬ可得出ｋ<４ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝５ｓｉｎ(α＋φ)ꎬ而－５ɤ５ｓｉｎ(α＋φ)ɤ５ꎬ所以ｋ<－５.在实际解题中ꎬ经过换元法进行新不等式的构建ꎬ不仅使解题思路得到有效简化ꎬ而且还能促使解题方式实现简便化ꎬ这对不等式相关问题解答是个重要突破口ꎬ也是一种高效的解法.综上所述ꎬ高中数学的具体教学中ꎬ换元法属于较为常见的一种解题方法ꎬ其不仅指解题过程的简化ꎬ而且还有助于学生形成良好的解题思路ꎬ并形成发散思维ꎬ同时ꎬ灵活的应用各种换元法ꎬ还能使繁琐且复杂的数学问题实现简化计算.㊀㊀参考文献:[１]潘帅.换元法在高中数学解题中的应用[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１３０.[２]钟文.高中数学解题中换元法的有效运用探析[Ｊ].读与写(教师)ꎬ２０１９(０２):２６４.[３]李京玉.高中数学解题思想方法之一 换元法[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１７(５０):２０５－２０６.[４]程子祺.关于换元法在高中数学数列部分的应用讨论[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１０５.[５]杜娟.换元法在高中数学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２６):７２.[６]黄高乐.如何利用换元法解高中数学题[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０１):４２.[责任编辑:李㊀璟]７１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
几种换元法在解题中的应用
几种换元法在解题中的应用作者：辛德钰来源：《中学教学参考·文综版》2009年第10期解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一变量去代替它,从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法的解题关键是根据题目的结构形式及相关数学性质恰当地选择新变量,同时还应注意替换后变量取值范围的变化.一、整体换元法将欲证或待求的式子用一个未知量表示,然后根据题设条件求出该未知量,使问题获得解决.【例1】若0≤x≤2,则函数y=4■-3·2■+5的最值是 .解析:原式可变形为y=4■·4■-3·2■+5,即y=■·(2■)■-3·2■+5(0≤x≤2).令2■=t,则问题转化为y=■t■-3t+5(1≤t≤4),即y=■(t-3)■+■(1≤t≤4).根据二次函数区间最值,可知当t=3,即2■=3时,函数取得最小值,最小值为■;当t=1,即x=0时,函数取得最大值,最大值为■.填最大值■、最小值■.注:这是一个复合函数的最值问题,通过整体换元化函数的二次函数,再由二次函数在区间上的单调性确定最值而得解.切记在换元过程中,一定要明确中间变量t的取值范围.注意所换“元”取值范围的制约作用.二、“1”的代换法在解题中,进行“1”的代换常能起到化难为易,化隐为显的作用.【例2】已知tanθ=■,求■的值.解析:∵1=sin■θ+cos■θ,∴原式=■=■=■(分子分母同除以cos■θ).∵tanθ=■,∴上式=■=-■.三、三角换元法将代数问题通过三角代换转化为三角问题称为三角换元法.【例3】求函数y=■+■的值域.解析:函数的定义域为[0,1],故可设x=sin■θ,则原函数化为y=■+■=sinθ+cosθ=■sin(θ+■).∵0≤θ≤■,∴■≤θ+■≤■,∴■≤sin(θ+■)≤1,∴1≤■sin(θ+■)≤■,∴1≤y≤■.注:若a■+b■=1,可想到a=cosθ,b=sinθ;若出现■可考虑到a=cos■θ(θ∈[0,■])或a=sin■θ(θ∈[0,■]);若a■-b■=1,则可考虑a=secθ,b=tanθ,与此类似的有很多,同学们不妨自己归纳一下.四、均值换元法我们知道,对于任意实数a,b,有a=■+■,b=■-■,令■=p,■=q,则a=p+q,b=p-q,这种代换称为和差代换.特别地,若a=p+q,可设p=■+t,q=■-t(t为参变量)进行代换,这种代换称为均值代换.【例4】若cosα+2sinα=-■,则tanα等于( ).A.■B.2C.-■D.-2解析:设cosα=-■+t,2sinα=-■-t,则(-■+t)■+(■)■(-■-t)■=1,解得t=■,∴cosα=-■+■=-■,sinα=■(-■-■)=-■,∴tanα=2.五、常值换元法当题中的常值特征比较特殊、规律不明显时,若用字母来代替常值,往往能使题中所隐含的规律明朗化,从而获得简解.【例5】已知a=■(2010■-2010■)(n∈N*),则(a-■)■的值为( ).A.(-1)■2010■B.(-1)■2010C.2010■D.-2010■解析:设t=2010,则a=■(t■-t■)(n∈N*),解得t■=a+■或t■=a-■(舍去),而a-■=-(a+■)■=-t■,∴原式=(-t■)■=(-1)■2010■.六、比(或等)值换元法当题中出现等比(值)的形式时,我们往往令该比(或值)为k,从而化分式为整式.【例6】设a,b,c都是正数,且3■=4■=6■,则以下正确的是( ).A.■=■+■B.■=■+■C.■=■+■D.■=■+■解析:设3■=4■=6■=k,则k>0且k不等于1,两边同时取对数得a=log■k,b=log■k,c=log■k,∴■=log■3,■=log■2,■=log■6=log■2+log■3,∴■+■=2log■3+2log■2=2(log■2+log■3)=■.七、增量换元法对于实数,若a≥b,a=b+m(m≥0),则称m为增量.用增量换元可将不等量变为等量,将不等关系化为相等关系.【例7】若-4A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1解析:设x+m=1,则x=1-m(0f(x)=■=■=■(-m-■)(0又■(-m-■)=-■(m+■)≤-1(当且仅当m=1时取“=”号),∴ f(x)≤-1,则有最大值-1. (责编金铃)。
高考数学之三角函数压轴小题的解法
教海探索摘要：纵观这几年的高考数学题目，经常在三角函数这块出一些比较难的压轴小题，这类题目深度考查三角函数的图象与性质，然而学生对于这类压轴小题的得分却很低，所以本文详细介绍这一类三角函数压轴小题的解法，旨在帮助学生攻克这类三角函数压轴小题。
关键词：三角函数；压轴小题；取值范围；整体换元本文中笔者将讲解这类压轴小题的具体考法以及“正面解法”，正面解法是指在小题里，特别是选择题里，不采用特值检验选项的方法，完全依据题目给的条件推出正确选项.在平时做练习题的时候，训练正面解法有助于提升我们的数学思维，加深对三角函数图象与性质的理解。
一、从单调性方面考查w 的取值范围这种题目会给出正余弦型函数在某区间上是单调递增或单调递减或者直接说是单调的，只要题目中提到正余弦型函数在某区间上是单调的，那这个单调区间的长度一定小于等于T2（T 是正余弦型函数的最小正周期），这时再结合最小正周期公式T =2πw，可以初步确定w 的一个大范围。
确定了w 的一个大范围，接下来我们用整体换元法来推出w 的具体范围：题目中给出了单调区间，等于给出了x 的范围，我们可以推出wx +φ的范围，这时我们将wx +φ视为一个整体，令t =wx +φ，此时正余弦型函数就变成了我们熟悉的正余弦函数。
这时我们一定要明白wx +φ的范围是由题目中给的单调区间推过来的，而正余弦函数的单调区间公式是一个总的单调区间。
所以wx +φ的范围一定是包含于（⊆）正余弦函数的单调区间公式，这时就可以解出w 的范围，再联立一开始利用单调区间的长度一定小于等于T2求得的w 的大范围，从而求出w的具体范围。
接下来以一道高考题为例：2012年高考新课标卷理科第9题：已知w >0，函数f (x )=sin(wx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求w 的取值范围。
解析：在(π2,π)上单调递减，可以得出π-π2≤T2，结合最小正周期公式T =2πw ，可以得出π2≤πw 。
整体换元在数学解题中的应用
整体换元在数学解题中的应用作者：周淦利来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第08期任何一道数学问题,都是由一些基本要素组成,各基本要素之间相互关联、相互制约,形成一个有机的整体.我们在研究数学问题时,目光不能只局限于问题的各个组成部分,而要有意识地放大考察问题的视角,将需要解决的问题中貌似独立但实质上又相互联系的量看作一个整体,研究问题的整体形式、整体结构和整体功能,全面理解题意,在动态分析中寻找解决问题的整体思路和途径,这就是整体思想方法.在具体解题时,为了化繁为简、化难为易,促使问题顺利解决,常常需要把某个式子看作一个整体,看作一个新的变元,用一个字母去替代它,实行变量替换,从而使问题得到解决,这就是换元法.在分析、探索一些数学问题的解题途径时,我们可根据问题的特点,将整体思想方法与换元法结合起来,对问题进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入,从而使问题能够简捷、明快地获得解决,这就是整体换元的思想方法.下面通过一些具体的例子,对整体换元的思想方法在数学解题中的应用略加阐述.一、整体换元在函数中的应用例1 已知函数f(x)的值域是[38,49],求函数y=f(x)+1-2f(x)的值域.解:设1-2f(x)=t,则f(x)=1-t22,∵f(x)∈[38,49],∴t∈[13,12],于是y=f(x)+1-2f(x)=-12t2+t+12,(t∈[13,12]),容易求得y∈[79,78].评注:本题中将1-2f(x)看成一个整体,设为新变元t,从而将比较复杂的无理函数的值域求法,转化为简单的二次函数值域求法.例2 已知函数f(x)=x+1x-x+1x+1,(x>0),试求f(x)的最大值.解:设t=x+1x+x+1x+1,则t≥2+3,(当且仅当x=1时,取“=”).∵t•f(x)=1,且t≥2+3,∴0评注:此题若直接考虑,会感到无从入手,但是从整体角度出发,引入一个新变元t=x+1x+x+1x+1进行整体配对,则问题轻松得到解决.二、整体换元在不等式中的应用例3 解不等式:2x+5>x+1.解:设t=2x+5,则x=t22-52,于是原不等式可化为t>t22-52+1,整理得t2-2t-3评注:引入新变元t后,将无理不等式化为有理不等式,可以避开直接解无理不等式时分类讨论的麻烦.例4 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,f(x)≤1,求证:(1)c≤1,(2)-1≤x≤1时,g(x)≤2.证明:(1)令x=0,由已知f(x)≤1,可得c≤1.(2)∵x=(x+1)2-(x-1)24,∴g(x)=ax+b=a[(x+12)2-(x-12)2]+b(x+12-x-12)=[a(x+12)2+b(x+12)+c]-[a(x-12)2+b(x-12)+c]=f(x+12)-f(x-12),∵-1≤x≤1时,有0≤x+12≤1,-1≤x-12≤0,则根据绝对值不等式的性质得f(x+12)-f(x-12)≤f(x+12)+f(x-12)≤2,即g(x)≤2.评注:本题第(2)小题的解答,运用了整体思想,找出了g(x)与f(x)的关系,避免了分类讨论(常规解法是对a>0,a=0,a三、整体换元在三角中的应用例5 已知0解:令sin x+cos x=t,则sin x cos x=t2-12,于是y=(1+sin x)(1+cos x)=sin x cos x+sin x+cos x+1=12t2+t+12=12(t+1)2∵0评注:本题中把sin x+cos x看成一个新变元t,利用整体代换,将函数式化成了关于t 的二次函数,使得问题得到解决.事实上sin x+cos x、sin x-cos x、sin x cos x三者之间有着内在的必然联系,通过整体换元,可以将它们统一.例6 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.解:设A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°,则A+B=2+sin70°,A-B=-12-sin70°,从而可得A=34.评注:本题通过整体观察式子的结构特点,整体地构造了一个对偶式cos220°+sin250°+cos20°sin50°,使得问题获得了简捷的解决.四、整体换元在数列中的应用例7 等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为解:∵S m=a1+…+a m,S2m-S m=a m+1+…+a2m,S3m-S2m=a2m+1+…+a3m,又a1,a2,…,a3m成等差数列,则S m,S2m-S m,S3m-S2m也成等差数列,∴2(S2m-S m)=S m+S3m-S2m,整理得S3m=3(S2m-S m)=3(100-30)=210.评注:很多数列问题,若分开求解往往运算麻烦或解题思路不明,若通过对问题的整体结构进行分析,然后整体换元,常可简化解题过程,减少运算量.下面的几道习题都是这样,请同学们练习.练习1:等比数列的前n项和为2,前2n项和为12,若n为偶数,再求前3n项和.答案:62.练习2:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a 5.答案:5.练习3:等差数列{a n}中,S10=100,S100=10,求S110.答案:-110.练习4:一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27,求公差d的值.答案:5.练习5:已知等差数列{a n}的公差d=1,且a1+a2+a3+…+a98=137,求a2+a4+a6+…+a98的值.答案:93.练习6:已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n,若S nT n=2n+13n+2,试求a9b9的值.答案:3553.五、整体换元在立体几何中的应用例8 长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,求长方体的一条对角线长.解:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有2(ab+bc+ac)=114(a+b+c)=24,将它们整体代入长方体的对角线长公式l=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)中可得l=5.评注:本题在解答的过程中运用了整体思想,不必计算出a,b,c的值,就可以把问题轻松解决.六、整体换元在解析几何中的应用例9 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0),求证:-a2-b2a证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x′,y′),则x1+x2=2x′y1+y2=2y′,由b2x21+a2y21=a2b2b2x22+a2y22=a2b2可得b2(x2-x1)(x2+x1)+a2(y2-y1)(y2+y1)=0,所以有-x2-x1y2-y1=a2y′b2x′,即AB中垂线的斜率为a2y′b2x′,所以AB中垂线的方程为y-y′=a2y′b2x′(x-x′),令y=0得x0=a2-b2a2x′,因为-a评注:对于有些解析几何问题,若分开讨论往往运算量大,如果注意到其整体结构特点,设法通过整体换元将问题变形转化,以达到避免一些不必要的运算,降低求解难度.其中“设而不求”是整体思想方法的最大体现.(作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)。
高中数学三角函数反三角函数换元法讨论
高中数学三角函数反三角函数换元法讨论在高中数学中，三角函数和反三角函数是一个非常重要的知识点。
掌握了三角函数和反三角函数的性质和换元法，可以帮助我们解决各种与三角函数相关的问题。
本文将围绕三角函数和反三角函数的换元法展开讨论，通过具体的例题来说明其考点和解题技巧。
一、三角函数和反三角函数的基本性质在开始讨论三角函数和反三角函数的换元法之前，我们先来回顾一下它们的基本性质。
1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们都具有周期性、奇偶性和单调性等特点。
例如，正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)，而余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π)=cos(x)。
正弦函数和余弦函数都是偶函数，即sin(-x)=sin(x)，cos(-x)=cos(x)。
而正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
2. 反三角函数的基本性质反三角函数是三角函数的反函数，用来解决三角函数的逆运算问题。
常见的反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)等。
它们的定义域和值域有所不同，例如反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
二、三角函数和反三角函数的换元法在解决一些复杂的三角函数问题时，我们可以利用三角函数和反三角函数的换元法来简化问题。
下面通过具体的例题来说明。
例题1：求解方程sin(2x)=1/2。
解法：我们可以利用反正弦函数来求解这个方程。
由于sin(π/6)=1/2，所以sin(2x)=sin(π/6)。
根据反正弦函数的定义，我们有2x=π/6+2kπ 或2x=π-π/6+2kπ，其中k为整数。
解方程得到x=(π/12+kπ) 或x=(5π/12+kπ)。
通过这个例题，我们可以看到，利用反三角函数的换元法，我们可以将原来的三角函数方程转化为一个简单的代数方程，从而更容易求解。
灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题
备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题，不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象，还需运用各种数学思想，如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体，用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时，灵活运用整体代换思想，可使问题快速获解.在解题时，需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换，这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A ＞0,ω＞0,0＜||ϕ＜π2)部分图象如图1所示，若x 4-x 1=π，x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式；(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解：(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得，f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致，因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ，所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ，则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π，k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ，通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式；然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应，于是将θ替换成2x -π6，通过整体代换求得x 的取值范围，即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时，可灵活运用数形结合思想，借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象；然后通过观察图象，确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点，并明确函数的变化趋势；再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ，x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，则k 的取值范围为______.解：由题意可得，f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π，-sin x ()π≤x ≤2π，画出函数的图象，如图2所示.图2当x ∈[]0,π时，f ()x 的最大值为3，当x ∈[]π,2π时，f ()x 的最大值为1，由图可知，要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，需使1＜k ＜3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式，我们很容易画出函数的图象，于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象，并移53动直线.通过观察图象，可以发现，只有在1＜k ＜3时，函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想，就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω＞0)的周期为π，当x ∈éëùû0,π2时，方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2，则f ()x 1+x 2=_____.解：∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6，而函数的周期为π，∴T =2πω=π，ω=2，∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6，画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0，π2上的图象，如图3所示.0图3由图可知，关于x 1、x 2，x 1+x 2=2×π6=π3，则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后，在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0，π2上的图象，即可通过观察图象，发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时，函数f ()x 的对称轴为x =π6，根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题，需寻找问题中的等量关系，选取合适的变量，建立关于变量的方程或者方程组，通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15，θ∈()0,π，则cot θ=_____.解：将sin θ+cos θ=15平方，可得sin θcos θ=-1225，因为θ∈()0,π，所以sin θ＞0，cos θ＜0，且sin θ＞||cos θ，将sin θ，cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根，则sin θ=45，cos θ=-35，可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ，而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ，于是将已知关系式平方，根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1，得到sin θcos θ=-1225，即可根据韦达定理，构造一元二次方程x 2-15x -1225=0，并将sin θ、cos θ看作方程的两个根，通过解方程，求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0，求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解：2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ，Δ=(cos x 22x =9()cos x -22，可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4，整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ，则tan x =12，所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程，即可通过解方程求得sin x 的表达式，进而求得tan x 的值.可见，灵活运用数学思想，能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中，需根据题意，将已知关系式进行代换，将数形结合起来，构造出合适的方程或方程组，以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想，快速求得问题的答案.（作者单位：冯艳玲，福建省三明市第九中学；谢定亮，福建省三明第一中学）备考指南54。
上海石笋中学必修第一册第五单元《三角函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A．2425-B ．725-C ．7-D ．17-2．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=3．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45 C ．35D ．35 4．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-5．已知函数()()2sin 3,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=7．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．3-D ．33-8．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）． A ．12B ．3 C ．12-D ．3-9．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ）A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=10．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-11．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-12．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为75°，则山高h =______米.14．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-=⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________. 15．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______. 16．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 17．方程21sin 3sin cos 2x x x +=在[0,]4π上的解为___________18．在①a 2，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，3b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19．已知50sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 三、解答题21．已知函数()sin 31f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ[,]22x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.22．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值.23．已知函数25()cos()2cos (0)32f x wx wx wx w π=+-+>的图像上相邻的两个最低点的距离为π. （1）求w 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.24．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．25．已知向量a ＝cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间[2π-，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 26．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域； （2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈， 解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．C【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-， 则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：C4．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】 由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=， 故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D5．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项.因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A.6．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D 7．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin 22y r α===-. 故选：C.8．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=． 故选：A ．9．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题 10．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．11．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x x x xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】求出在两个直角三角形中表示出再在直角梯形中建立等量关系解得【详解】首先山高为长度根据图可得∴解得故答案为：解析：150【分析】PQ h =，求出CQ ，在两个直角三角形中表示出,BC AQ ，再在直角梯形AQCB 中建立等量关系，解得h ． 【详解】首先sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒12==， cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒12=+=，1tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30+︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒ 山高h 为PQ 长度，根据图可得，200sin1550CQ =︒=，tan 60h AQ ==︒，tan 75PCBC =︒50h-=((250h =--，∴((250200cos15503h h --+=︒=，解得150h =.故答案为：150.14．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：35【分析】利用诱导公式化简得出tan 3α=-，根据”1”的代换结合齐次式化简计算得出函数值． 【详解】由已知得：cos 2cos 3cos sin αααα--=-=，则tan 3α=-222222sin sin cos tan tan 933sin sin cos sin cos tan 1915ααααααααααα++-+====+++故答案为：3515．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3解析：3 【分析】由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案． 【详解】ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，()tan +tan 1+2tan +31tan tan 112A B A B A B ===---⨯，所以tan 3C =，故答案为：3. 16．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关 解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； 再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..17．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 21222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈， 又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=． 故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．18．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析. 【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可 【详解】在ABC cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c =选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c =选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+所以由sin sin c b C B=得sin 4sin b Cc B == 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos A =相关公式进行求解，难度属于中档题19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 45πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 444444525220ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sinθ＋cosθ＝两边平方得到 解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】 由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 三、解答题21．（Ⅰ）2=3απ或53π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.【分析】（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π=++，则可得sin(+)03πα=，即可求出；（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由()sin 2sin()131f x x x x π=++=++，由()=2sin()113f παα++=，得sin(+)03πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； （Ⅱ）由题知，2sin(23(2)1)x f x π+=+2()2sin 2++12sin 2+1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出2()2sin 2+13g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解.22．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π， 得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 23．（1）1；（2）()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，.【分析】本题考查三角函数的图像和性质、三角恒等变换，根据三角恒等变换公式()f x 化简函数解析式，根据图像和性质求单调递增区间. 【详解】（1）5()(cos cossin sin )(1cos 2)332f x wx wx wx wx ππ=--++23sin 23sin cos 222wx wx wx =--+1cos 2323cos 222wx wx wx -=-⨯-+12cos 22wx wx =+ sin(2)6wx π=+又因为()f x 图象上相邻的两个最低点间的距离为π，0w >， 所以22w，解得1w =.（2）据（1）求解知，()sin(2)6f x x π=+令222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以所求的单调递增区间是()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. 【点睛】思路点睛：三角恒等变换综合应用的解题思路：（1）利用降幂、升幂公式将()f x 化为sin cos a x b x 的形式；（2）构造())f x x x +；（3）和差公式逆用，得())f x x ϕ=+ (其中ϕ为辅助角，tan b aϕ=)；（4）利用())f x x ϕ=+研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 24．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值． 【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； 【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=． （Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以 当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-． 选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =2(22)22x x =+2)4x π=+（． 因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值．【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值. 25．（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π-时, 最小值为32-. 【分析】（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出()f x 的最大值和最小值.【详解】解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-cos 21222x x -- 1=sin 2coscos 2sin662x x ππ-- 1=sin 2)62x π--（由2,262k x k k πππππ--+∈Z 2≤≤2， 解得：,63k x k k ππππ-+∈Z ≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63k k k ππππ-+∈Z .（2）因为02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， 所以1sin2)62x π--1≤（≤，即31sin 2)0262x π---≤（≤， 当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为32-.【点睛】关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到， 2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1=sin2)62x π--（， 进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题26．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()f α= 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，())21sin 2sin 22sin cos 2cos 132f πααααααα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++== 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.。
高考冲刺 三角函数的概念图像与性质(基础)
高考冲刺 三角函数的概念图象和性质【高考展望】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【知识升华】 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
高中数学解题秘籍系列换元法解决三角函数求值
【高中数学解题秘籍系列(上)】————换元法解决三角函数求值换元是很好的可以将复杂问题简单化的工具，其本质是转化，通过转化把隐性的条件显现出来，能有效衔接条件与结论。
比如在三角函数中，求值作为三角函数最常见的问题之一，很多同学在学习过程中只会硬解，有时不仅耗时长，而且易算错。
解决这类问题的关键在于寻找角的关系，寻找已知和未知条件的关系，利用换元的思想、整体与部分的思想，就会简化此类题目的难度，提高解题效率。
类型一、由tan ba α=, 则可令sin cos bt at αα=⎧⎨=⎩例1. 若3tan 4α=, 则2cos 2sin 2αα+=( ) A.6425 B. 4825 C. 1 D. 1625【解答】解: 由3tan 4α=， 可令sin 3,cos 4k k αα==, 进而由22sin cos 1αα+=可得2251k =, 即2125k = 所以, 222cos 2sin 2cos 4sin cos 16k ααααα+=+=2264486425k k +==, 故选A .类型二、由sin cos m αα+=, 则可令sin 2cos 2m d m dαα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩这种换元方法通常称为均值换元法, 由于结构对偶, 因此, 可以使换元后的计算量在一定程度上得到淢少.例2. (2012年大纲卷理科第7题) 已知α是第二象限角, 3sin cos 3αα+=, 则cos 2α=( ) A. 53-B. 59-C. 59D. 53【解答】解: 由3sin cos 3αα+=, 可令3sin ,cos 6d αα=+36d =-,进而由22sin cos 1αα+=,易得2512d =, 即d 156=±,若156d =-, 则315cos 06α+=>, 这与已知α是第二象限角矛盾, 故必有156d =. 所以, 222233cos 2cos sin 66d d ααα⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231553363d =-=-⨯=-, 故选A. 【赏析】同理, 由sin cos m αα-=, 则可令： sin 2cos 2m d m d αα⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 即sin 2cos 2m d m d αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.例3. (2012年高考辽宁卷理科第7题) 已知sin αcos 2,(0,)αα-=∈π, 则tan α=( )A. 1-B. 22-C. 22D. 1 【解答】解: 由sin cos 2αα-=, 可令2sin ,cos 2d αα=+22d =-, 由22sin cos 1αα+=，得0d =, 故2sin 2α=, 2cos 2α=-, 进而tan 1α=-, 故选A.【赏析】若出现形如sin cos m αα±=，这样的条件，也可以用上面的换元法求解.1.2d211322d ⎫⎛++⎪ ⎭⎝2t1sin cos x x =2121+-当4x π=时类型五、若条件中出现复角x ω+cos α⎛- ⎝cos x ∴=-又0β<<42βαπ∴<-<sin 2βα⎛⎫- ⎪⎝⎭455sin ,cos 93x y ∴==, 8545791sin 2,sin 2,cos2,cos2819819x y x y ∴=-==-=, ()4224cos()cos cos 2233x y x y x y αβ--⎛⎫∴+=+=- ⎪⎝⎭7918545239cos 2cos 2sin 2sin 2819819729x y x y =+=-⨯-⨯=-. 【赏析】上述例题中, 我们利用换元法, 借助方程组, 把已知角α ,β用角,x y 表示出来, 再代入所求的cos()αβ+中, 将问题转化为关于角,x y 的三角函数求值问题, 从而实现问题的解决。
利用换元法求三角函数的性质
利用换元法求三角函数的性质摘要高中数学中有一个经常使用的大家能耳熟能详的转化方法——换元法，它能够使我们在解决问题时从不同的方面出发，转化问题，使复杂问题简单化，从而解决问题。
换元法在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
关键字换元法；三角函数下面我们看课本上的这样一段话：“从前面的例子中可以看出，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期仅与自变量的系数有关。
那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？事实上，令z=ωx+φ ，那么x∈R必修并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z ∈R及函数y=Acosz，z∈R的周期都是2π。
由于z+2π=（ωx+φ）+2π=ω（x+2πω）+2π所以自变量x只要并且至少要增加到x+2πω，函数值才能重复出现，即T=2πω是使等式Asin[ω（x+2πω）+φ]=Asin（ωx+φ）Acos[ω（x+2πω）+φ]=Acos（ωx+φ）成立的最小正数，从而，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ），x∈R（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0）的周期T=2πω根据、这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。
”上面是《数学（必修4）》（人教版普通高中课程标准实验教科书）的第36面的“探究与发现”的内容，随后课本中很多地方都出现了“令z=ωx+φ”的字眼，比如：①课本第38面的例3的第二小题，求最值；②课本第39面的例5，求函数的递增区间；③课本第44面的例6，求正切函数的定义域、周期和单调区间；④课本第53面的例1，利用五点法描写三角函数的图像；这些都涉及到了求三角函数性质的各个方面。
事实上，我们在使用了“令z=ωx+φ”之后，就可以将三角函数的y=Asin （ωx+φ），x∈R（或y=Acos（ωx+φ），x∈R）的函数性质与正弦函数y=sinx（或y=cosx）的函数性质挂钩，这样就可以在求解函数的值域，周期，单调区间，甚至于画图的时候都能够得到问题的简单的解决方法。
浅谈换元法在数学解题中的应用
浅谈换元法在数学解题中的应用数学解题是人们巩固旧有知识、获取新的知识、培养思维的一种重要的方法,面对繁杂多变的数学问题,人们常常把复杂的、不熟悉的未知问题,转化为简单的、熟悉的已知问题,这就是化归思想,而换元法是体现这一思想的最重要的方法之一。
换元法是指引入一个或几个数的变量代替原来某些变量(或代数式),通过对新的变量的探究,反馈探索原有变量所蕴含问题的一种解题方法。
它体现了化繁为简、化难为易的思想。
它在方程问题、不等式问题、函数解析式问题、函数值域与最值问题等方面都有广泛的运用。
一、换元法在解方程中的运用例1:解无理方程:2x2+6x+-1=0分析:无理方程的解法,关键是有理化,考虑把看成一个整体t,化原方程为与t 相关的一元二次方程,再由t求x。
解:令=t(①),则x2+3x+1=t2(t≥0)原方程可化为:2t2+t-3=0解得t=1或t=(舍去)由t=1代入①知:x2+3x=0故x=0或x=-3∴原方程组的解为x=0或x=-3例2:解方程组分析:这是一个分式方程组,若直接去分母,将会变得异常复杂,但若把、、看成一个整体,则可看成一个三元一次方程组,这时极易求解。
解:令=a,=b,=c,则方程组可化为:解这个三元一次方程得:a=1,b=2,c=3故原方程组的解为:x=1,y= ,z=二、换元法在不等式证明中的运用例3:若a,b,c∈R+,求证:++≥分析:a,b,c∈R+,这是均值不等式a+b≥2成立的充分条件。
但如何运用这一不等式呢?考虑把各分母整体看待,并用之表示出分子,这时可裂项后用均值不等式。
证明:设,则x,y,z∈R+且则左边=++=+++++-≥3-=左边≥右边,即原不等式成立例4:若a2+b2≤1,c2+d2≤4,求证:|ac+bd|≤2。
分析:考虑到cos 2θ+sin 2θ=1这一特点,得用三角换元。
证明:令a=rcosθ,b=rsinθ,则|r|≤1令c=Rcosφ,d=Rsinφ,则|R|≤2故|ac+bd|=|rcosθ·Rcosφ+rsinθ·Rsinφ|=|r|·|R|·|cosθ·cosφ+sinθ·sinφ|=|r|·|R|·|cos(θ-φ)≤2即原不等式成立三、换元法在求函数值域与最值中的运用例5:求函数y=的最小值。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
换元法在三角函数中的应用
- 1 - 换元法在三角函数中的应用江苏省盐城市龙冈中学（224011） 陈建权换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果。
换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的。
高中数学中换元法的类型有：三角代换、整体代换、对偶代换、几何代换、均值代换及“1”的代换等。
其中以三角代换最为常用，尤其是在三角函数这一章，由于三角换元本身与三角函数不可割舍的联系，使得换元法在这一章显得特别活跃，在解题中常常有意想不到的收获。
一、三角代换例1．设三角形三边a 、b 、c 满足a 2 + b 2 = c 2。
求证：当n ≥3且n ∈N 时，a n + b n < c n 。
证明：设a = ccos θ，b = csin θ，0 < θ< 2π，∵0< cos θ<1且 n ≥3，∴ cos n θ≤cos 3θ< cos 2θ，同理sin n θ< sin 2θ，则a n + b n = c n (cos n θ+sin n θ)< c n (cos 2θ+sin 2θ)= c n 。
一般地，对条件a 2± b 2= r 2，a ±b = 1，常可考虑三角代换。
例2．判断函数f(x)=111122+++-++x x x x 的奇偶性。
此题在函数奇偶性判断中非常常见，但由于f(x)的表达式较为复杂，化简又相当不便，因而不少学生易作出错误的判断。
解：由条件知x ∈R ，故可设x = tg α，α∈（-2π，2π），则- 2 -f(x)=111122+α+α+-α+α+tg tg tg tg = 1|sec |1|sec |+α+α-α+αtg tg ，∵α∈（-2π，2π）， ∴ sec α= αcos 1> 0，∴ f(x)= α+α+α-α+cos sin 1cos sin 1=)2sin 2(cos 2cos )2cos 2(sin 2sinα+ααα+αα = tg 2α = tg 2arctgx ，∴ f(-x)= tg 2)(x arctg - = tg 2arctgx -= - tg 2arctgx = -f(x)，故f(x)为奇函数。
高中数学复习指导：三角函数中常见的三种换元类型
π
2
+
π
4
)
= sin( 2θ +
π
4
)=
2 (sin 2θ + cos 2θ ) 2
=
2 (2 sin θ cosθ + cos 2 θ − sin 2 θ ) 2
=
2 4 3 3 4 31 2 [2 × (− ) × + ( ) 2 − (− ) 2 ] = − . 2 5 5 5 5 50
二、三角式换元： 三角式换元： 例 3、已知 f ( x) = −2a sin(2 x +
sin x + cos x = a + b 是关于 a、b 的一次式，而 sin x cos x = ab 是关于 a、b 的二次式，根
据用“低次”表示“高次”的思想，可设 sin x + cos x 为一个新元. 解：设 sin x + cos x = t ，两边平方得：1 + 2sin x ⋅ cos x = t 2 ，
sin x ⋅ cos x =
t2 −1 π ，又 t = sin x + cos x = 2 sin(x + ), 2 4
∴ t ∈ [ − 2, 2] .
f ( x) = t +
t 2 − 1 t 2 + 2t − 1 (t + 1)2 − 2 = = ， 2 2 2
(t + 1) 2 − 2 g(t) = 的对称轴为 t = −1 ， 2
y 3 x y = cos θ， = sin θ ， 5 3
解： C即 : ( ) 2 + ( ) 2 = 1 ，因此令
x 5
于是 C 上一点可以设为 P(5cosθ ,3sinθ ) ， P 到 l : 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离
浅析三角换元法在高中数学解题中的巧用
浅析三角换元法在高中数学解题中的巧用作者：***来源：《师道·教研》2020年第06期在高中数学教学中，很多教师还采用过去单一的教学模式而忽略对学生数学思维能力的培养。
在新课程改革背景下，对学生数学思维能力的培养是当代数学核心素养的基本内容。
教师应当改善以往传统单一的教学模式，不仅要让学生掌握最基本的数学知识，还应该在教学中提高学生的数学素养。
我通过对三角换元法在高中数学解题中的巧用研究教学，从中渗透提升学生的数学思维能力。
一、三角换元法在教学中的意义三角换元法是高中数学解题中常用的一种换元方法。
换元法的实质是根据等量代换，通过构造元和设元来变换变量，最后将问题进行转化，使得问题简单化，易于处理。
而三角换元法主要是将题目中的代数式与三角函数恒等式联系起来进行换元，代数式和三角进行转化后，题目就变得简单多了，学生的解题思路也变得清晰了。
我通过三角换元法巧用在高中数学中一些经典题目进行分析，在教学中我特别重视学生的数学逻辑思维分析能力，使学生能在分析过程中形成数学解题能力和技巧。
二、三角换元法在高中数学解题中的巧用1.三角换元法巧解函数值域与最值问题例如，求函数y=x+1-x的值域。
这一类题学生常规的解题思路是利用导数知识，求函数极值点和定义域两个端点对应的函数值，比较大小，最后得出函数值域。
但这道题目的函数表达式有两个根号，学生会发现求导后形式比较复杂，解题比较繁琐，而且也容易出错，甚至有的学生直接放弃。
所以我们可以引导学生考虑利用三角换元法去简化题目，化繁为简。
通过观察函数表达式，可知“”里的值之和：x+（1-x）=1，与x无关，引导学生可将三角恒等式sin2θ+cos2θ=1联系起来。
设x=sin2θ，θ∈0，π2，这样换元的依据就是函数本身要去根号还有两者值域的联系，所以要注意换元后θ的取值范围。
最后将新元代入原函数容易求得。
这样问题就转化为学生熟悉的求三角函数值域问题。
例1：求函数f（x）=3x+6+8-x的值域。