三角函数中“1”的妙用

三角函数中“1”的妙用

宁夏银川市高级中学 王波 750004

在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。

理论一：sin 2α+cos 2α=1

应用举例

例1． 已知α是第一象限角，化简下式

ααcos sin 21+

解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos sin 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++

=2)cos (sin αα+

=ααcos sin +

∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +

例2：已知3tan =α，求ααcos sin 的值

解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。我们发现ααcos sin 的分母

是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了

解：∵3tan =α

∵

ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=α

αααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3

131+=103 理论二：14tan

=π（145tan 0=）

应用举例 例3：求值0

15tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=β

αβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000

015

tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题

θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b b

a a

b a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a

∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设

ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕsin 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b

此时可得θθ

cos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθ

cos sin b a +=)cos(

ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+

解析：化简x x cos sin 3+，就意味着将原式化成)sin(ϕ+x a 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos sin 3+=)cos 2

1sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6

sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π

+x

例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最大值，并求出

此时的x 的值

解：x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =2

12cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++

πx ， 当2242π

ππ

+=+k x ， 即)(8

Z k k x ∈+=ππ时，22max +=y

理论四：单位圆中的三角函数线的应用

单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。它的具体应用就不在具体举例。

综上我们发现“1”在三角函数解题中扮演着不可替代的角色，当

我们在题海中“山重水复疑无路”时，“1”或许可以让你“柳岸花明又一村”找到解题的方法。