三角函数的应用PPT
5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)
5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。
三角函数的应用ppt课件
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
《三角函数的应用》三角函数PPT优秀教学课件
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
5.7 三角函数的应用(课件)
第五章 三角函数
课前自主预习
知识点 A, ω， φ的物理意义
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅 __A______ 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的___最__大__距__离____
周期
T＝2ωπ
它是做简谐运动的物体往复运动___一__次_____所需要的时间
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谢谢观看！
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第五章 三角函数
[方法总结]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
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第五章 三角函数
随堂本课小结
实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述． 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
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第五章 三角函数
[变式探究 2] 若本例中海滨浴场某区域的水深 y(米)与时间 t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
用 y＝Asin ωt＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式． 解 函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个 周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因此2ωπ＝12，ω＝π6. 又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
《三角函数的应用》课件
三角函数的应用领域
01
02
03
物理学
在物理学的振动、波动、 电磁学等领领域中，三角函数用于 解决各种实际问题。
航海学
在航海学中，三角函数用 于计算航行角度、距离等 关键参数。
02
三角函数的基本性质
正弦函数
定义
正弦函数是三角函数的一种，定 义为y=sinx，x∈R。
详细描述
在数学中，三角函数被广泛应用于解决各种 问题，如代数、几何、微积分等。例如，在 求解代数方程时，可以通过三角函数进行因 式分解；在求解几何问题时，可以通过三角 函数计算角度和长度；在微积分中，三角函 数可以用于求解微分方程和积分方程等。
经济问题中的三角函数应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
在经济领域中，三角函数的应用相对较少，但在某些特定 问题中仍然有应用。
复数的运算
掌握利用三角函数进行复数的运 算，如乘法、除法、指数运算等。
傅里叶变换
理解傅里叶变换的概念，掌握利 用三角函数进行傅里叶变换的方 法，解决信号处理、图像处理等
领域的问题。
05
总结与展望
三角函数应用的总结
三角函数在数学、物理和工程领域中的应用
三角函数在解决数学问题、分析物理现象和设计工程结构等方面发挥了重要作用。例如，在解析几何中，三角函 数用于研究平面和三维空间中的角和线段；在物理学中，三角函数用于分析振动、波动和电磁波等现象；在工程 学中，三角函数用于设计桥梁、建筑和机械等结构。
三角函数的周期性和奇偶性
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数的 周期分别为2π、2π和π。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数， 余弦函数是偶函数。
03
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
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你会计算吗？
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角, 且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么, 钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).
E
怎么做?
2m
C
400
D
5m B
我高兴，我会做
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求
1350 8m
┌
┐
F 30m E C
有两个 直角三角 形
先做 辅助 线!
A F D 4 E 2 ,B F 3 0 42 . taA n BCAF 4 2 0.23.2
BF304 2
∴∠ABC≈13°.
答:坡角∠ABC约为13°.
这种体积你会算吗？
解:如图,(2)如果坝 长100m,那么修建这个 大坝共需多少土石方 (结果精确到0.01m3 )B.
你认为货轮继续向东航行途中会有触 北
A
礁的危险吗?
东
要解决这个问题,我们可以将其数学
化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?B
CD
看我露一手
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只
要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无
触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=
300
50m
6┌00 BC
xta 6n 0 0xta 30 n 05.0
x 50 5025 34m 3.
ta6n00 ta3n00
答:该塔约有43m高.
33 3
老师期望:这道题你能有更简单的解法.
试试自己的分析能力
某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的400减至350,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).
B c
sinA=cosB.
a
同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. tanA sinA.
A
┌
b
C
特殊角300,450,600角的co三sA角函数值.
船有无触礁的危险
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10 海里内暗礁.今有货轮四由西向东航 行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行 驶20海里后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.
DE的长. tan400 BC, BC BtD a4n00 .
BD
E
B ta B E B nD C 2 B E B E t5D ta 4 a4 0 n n 0 0 0 2 26 .1 1.2.9 (4 m )5 .25 m C
BD 5
∴∠BDE≈51.12°.
co5s1.120 DB,
2 0 .4 86 163
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
古塔究竟有多高
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那 么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
现在你能完成这个任务吗?
要解决这问题,我们仍需将 其数学化.
现在你能完成这个任务吗?
B
请与同伴交流你是怎么想的?
准备怎么去做?
┌
AD
C
我是最棒的！
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.
求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
sin400 BC, BD
BC BsDi4n00 .
B
4m
sin350 BC, AB
350 400
20海里.设AD=x,则
北
A
ta5n05BD ,ta2n05C,D
x
x
东
550
Байду номын сангаас
B D xta 5n 0,5 C D xta2n 0 .5
xta 50 n 5 xta 20 n 52.0
B
250 ┌C D D
x ta 50 n 2 5 t0 a 20 n 5 1 .4
20 2.6 0 海 7. 里
(2)如果坝长100m,那么修建这个 C 大坝共需多少土石方(结果精确到
0.01m3 ).
先构造直 角三角形!
你会构建两个直角三角 形求解吗？
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小; 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作 AF⊥BC于点F.
则 E C D D EtC a 4n 0 5 42 , B
A 6m D
400
D E co D 5.1 D s 10 B E2 0 .6 527 7 .9D7 m 7 . 5m
B
答:钢缆ED的长度约为7.97m.
都来当个小专家！
A
B 咋 办
2 如图,水库大坝的截面是梯形
ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底
D
BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小;
义务教育教科书（北师）九年级数学下册
第一章直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sinAcoBsa, coAssinBb,
c
c
互余两角之间的三角函数关系:
A 6m D
1350 8m
┌
┐
F 30m E C
100m
由梯形S 面 A积 D BC A 公 得 F,式
请与同伴交流你是怎么想 的? 准备怎么去做?
行家看“门道”
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.D
设CD=x, 则t∠aAA DnC=D 6 00A ,C∠ C ,BtDa C=B n 300D ,B C,C
x
x
A C xta 6n 0,0 B C xta 3n 0 .0A
AD
┌ C
A s B B 3 i0 n C 5 B ss3 iD 4 i0 n 0 5 n 5 4 0 .0 5 .67 4 4 3 .4 2m 6 8 8 .
A B B 4 . D 4 4 8 0 .4 m . 8
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
成功在于坚持
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.
求(2)
AD的长. tan400 BC,
DC
DC
BC tan400
.
tan350 BC, AC
BC ACtan350 .
B
AD A C DC
4m
B BC sD tia4 n13n00 50ta1 t3an1045 n00ta14 An00 35D00 .641m 00.
┌ C
答:楼梯多占约0.61m一段地面.