三角函数的应用-课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)
5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。
三角函数的应用ppt课件
D 系,在转动一周的过程中,H 关于 t 的函数解析式为( )
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
5.7三角函数的应用课件(人教版)
5.7三角函数的应用
函数y A sin(x )图像与性质的应用
1.函数y=Asin(ωx＋φ)中φ值的确定
以寻找“五点法”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
“第三点”(即图象降落时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
0.8
2
请看课本P245：
例1:如图，某地一天从6～14时的温度变化曲
线近似满足函数:
T/度
y Asin( x ) b. 30
这段曲线对应的函数
20
是什么？ 10
A 1 30 10 10
O
6 10 14 t/h
2
b 1 30 10 20
y 10sin( x 3 ) 20, x 6,14
三角函数
y＝a＋Acos
πx－6 6
(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表
示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月
平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温值为_2_0_.__5_ ℃.
解析：由题意得
a＋A＝28， a－A＝18，
所以
a＝23， A＝5，
所以 y＝23＋5cos π6x－6 .
当
x＝10
时，y＝23＋5×
－1 2
＝20.5.
B 则当
t
＝1 200
s 时，电流强度 I
为(
)
A.5 A C.2 A
B.2.5 A D.－5 A
学以致用：
πx＋π 4.已知函数 f(x)＝Asin 3 6 (A＞0)在它的一个最
函数y A sin(x )图像与性质的应用
1.函数y=Asin(ωx＋φ)中φ值的确定
以寻找“五点法”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
“第三点”(即图象降落时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
0.8
2
请看课本P245：
例1:如图，某地一天从6～14时的温度变化曲
线近似满足函数:
T/度
y Asin( x ) b. 30
这段曲线对应的函数
20
是什么？ 10
A 1 30 10 10
O
6 10 14 t/h
2
b 1 30 10 20
y 10sin( x 3 ) 20, x 6,14
三角函数
y＝a＋Acos
πx－6 6
(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表
示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月
平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温值为_2_0_.__5_ ℃.
解析：由题意得
a＋A＝28， a－A＝18，
所以
a＝23， A＝5，
所以 y＝23＋5cos π6x－6 .
当
x＝10
时，y＝23＋5×
－1 2
＝20.5.
B 则当
t
＝1 200
s 时，电流强度 I
为(
)
A.5 A C.2 A
B.2.5 A D.－5 A
学以致用：
πx＋π 4.已知函数 f(x)＝Asin 3 6 (A＞0)在它的一个最
《三角函数的应用》三角函数PPT优秀教学课件
已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动 、钟表指针的转动等．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
5.7三角函数的应用(课件(人教版))
新知探究
练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
练习2 从诞生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的诞生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
0.4
1.0
目标检测
（1）试画出散点图；
（2）视察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
解：（1）如图；
目标检测
（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
例2 海水受日月的引力，在一定时候产生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
5.7【课件(人教版)】三角函数的应用
3．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋π4)＋60(美 元)，t 为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t ＝150 天时，油价最低，则 ω 最小值为________． 解析：A＋60＝80 得 A＝20，且 150πω＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z，即 k＝1 时， ω 最小值为1120. 答案：1120
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析：设 y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以看到 A＝4，ω＝ 2Tπ＝02.π8＝52π， 又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2，即 y ＝－4cos52πt. 答案：y＝－4cos52πt
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 的最大值为 A.
(× )
(2)函数 y＝Asin(ωx－φ)的初相为 φ.
( ×)
(3)“五点法”作函数 y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为
π3，0.
( ×)
2．函数 y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是
A＋b＝14， 【解】 (1)由题意知－A＋b＝－2，
A＝8， 解得b＝6， 易知T2＝14－2，所以 T＝24， 所以 ω＝1π2， 易知 8sin1π2×2＋φ＋6＝－2，
即 sin1π2×2＋φ＝－1， 故1π2×2＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得 φ＝－23π， 所以 y＝8sin1π2x－23π＋6(x∈[0，24))．
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图像与应用-课件
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
xR
xR
x R且 x k, k Z
2
值 域 {y | 1 y 1} {y | 1 y 1}
R
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
单调性
在［ 2k, 2k］ 在［ 2k 1 , 2k］
解析： 1因为x 5 是函数y f x的一条对称轴，
8
则当x 5 时，y取最值，所以sin(2 5 ) 1，
8
8
所以 5 k (k Z)．
4
Байду номын сангаас
2
又 0，所以 3 .
4
解析： 2由f x为偶函数，
则当x 0时，y取最值，
所以sin(2 0 ) 1， 则 k (k Z)．又 0，
2
2
x k,k Z 无对称轴
2
2
y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时为奇函数；
当 φ ＝ kπ(k∈Z) 时 为 偶 函 数 ； 对 称 轴 方 程 可 由 ωx ＋ φ ＝ kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
例 3 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0)的 图像在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为 M(2,2 2)，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)，求这个 函数的解析式．
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎 样想的？与同伴进行交流.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
三角函数的应用-PPT课件
已知几个元素,可以求出其余的未知元素?
B
利用三个关系研究这个问题.
ca
(1) 三边的关系 c2= a2+b2
A
关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个.
b
C
(2) 锐角的关系 ∠A+∠B=90°
关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
sinA=
S 36 4 2 72 2. 2
V 100 S 100 72 2 10182 .34 m3 .
答:修建这个大坝共需土石方约 10182.34m3.
回味无穷
由锐角的三角函数值求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin AD x tan 55 ,CD x tan 25.
x tan 55 x tan 25 20.
B
25°
┌ CD
x
20 tan 55 tan 25
20
20.79海里.
1.4281 0.4663
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
问题解决
行家看“门道”
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下. 解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60 , BC x tan 30.
B
c a
bC
sinBA=
∠AB 的对边 斜边
cosAB
=
∠BA的邻边 斜边
高中数学三角函数的应用课件
LOGO
β
分析：根据已知条件，应该设法计算 出AB或AC的长。
？
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理 ，
D
A
BC AB sin( ) sin(90 )
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BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
LOGO
解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( ) 27.3 cos 501' sin 54 40' sin(54 40' 501' ) 177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。
BC AB sin A sin C
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
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LOGO
三角函数的灵活运用，可以解决生活中有关距离，高度，深
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例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路 南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处， LOGO 测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度 CD.
D
8°
C 25° B 15° A
分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角 边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ
水平位置时它与地面的距离).
根据测量数据,你能求出物体MN的
高度吗?说说你的理由.
做一做P16 5
测量物体的高度
活动三:测量底部不可以到达的物体的高度. 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
根据测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你 的理由.
做一做P26 4
测量物体的高度
活动二:测量底部可以到达的物体的高度. 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地
直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行:
怎 么解?
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
说一说 (2)如果一个物体的高度已知或容易测量,那
? 么如何测量某测点到该物体的水平距离.
独立
作业
知识的升华
P28 习题1.7 1,2,3题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
独立
P28 习题1.7 1,2,3题 作业
1 分组制作简单的测倾器.
2选择一个底部可以到达的物体,测量它的高度,并撰写 一份活动报告,阐明活动课题,测量示意图,测得数据和 计算过程等.
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
coAs sinBb, c
B
互余两角之间的三角函数关系:
c
sinA=cosB.
a
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1. tanA sinA.
Байду номын сангаас
A
┌
b
C
cosA
特殊角300,450,600角的三角函数值.
有的放矢P225
测量物体的高度
驶向胜利 的彼岸
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.
3.选择一个底部不可以到达的物体,测量 它的高度并撰写一份活动报告,阐明活动课 题,测量示意图,测得数据和计算过程等.
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
下课了!
• 能提出问题高于解决问题.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 12:23:28 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
咋 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一 办 条直线上),测得M的仰角∠MCE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点 A,B之间的距离AB=b.
根据测量数据,你能求出物体MN的高 度吗?说说你的理由.
议一议P27 6
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
(1)到目前为止,你有哪些测量物体高度的方法?
活动方式:分组活动,全班交流研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪,测角 仪等),皮尺等测量工具.
做一做P25 3
测量物体的高度
驶向胜利 的彼岸
活动一:测量倾斜角. 测量倾斜角可以用测倾器,简单的测 倾器由度盘,铅垂和支杆组成(如图). 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: 1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心 线,铅垂线和度盘的00刻线重合,这时 度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M, 记下此时铅垂线所指的度数.
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度(1) 三角函数的应用
回顾与思考1
直角三角形的边角关系
驶向胜利 的彼岸
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sinAcoBs a, c