三角函数模型的应用

3．y＝|sinx|是以______为周期的波浪形曲线．
4．太阳高度角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有 如下关系：________________.
自查自纠： 1．三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h0＝htanθ
已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝24sin160πt＋ 110.其中 f(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟 心跳的次数为( )
(2)列表：
t0
3
6
9
12
h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5
描点连线，即得函数 h＝－2cosπ6t＋2.5 的图象如图所示：
点拨： 本题主要考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思 想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问 题，是解题的关键．
(2015·上海模拟)设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24 分钟旋转一 周，轮上观光箱所在圆的方程为 x2＋y2＝1.已知时间 t＝0 时，观光箱 A 的坐标为
点拨： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认 识，这是研究数学问题的常用方法．
(经典题)弹簧挂着的小球作上下振动，时间 t(s)与小球相对 平衡位置(即静止时的位置)的高度 h(cm)之间的函数关系式是 h＝2sin(2t －π4)，t∈[0，＋∞)．
(1)以 t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间 上的简图；
已知某海滨浴场海浪的高度 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单 位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acosωt＋b. (1)根据以上数据，求函数 y＝Acosωt＋b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于 1.25 m 时才对冲浪爱好者开放，请 依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．
2．三角函数应用问题解题流程 三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理 等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题， 其解题流程大致是：审读题目，理解题意→设角，建立三角函数模型 →分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材 料，建立三角函数关系，是解决问题的关键． 3．将图象和性质赋予实际意义 在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的 思想，灵活运用三角函数的图象和性质，将图象和性质赋予实际意义．
12， 23，则当 0≤t≤24 时(单位：分)，动点 A 的纵坐标 y 关于 t 的函数的单调
递减区间是________．
解：由题意，T＝24，设 y＝sin(ωt＋φ)，则 ω＝22π4＝1π2，又 sin(0
＋φ)＝ 23，所以 φ＝π3，y＝sin1π2t＋π3.令 2kπ＋π2≤1π2t＋π3≤2kπ＋32π
(1)根据以上数据，求出函数 y＝f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认
为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离
水面距离)为 6.5 米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内
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停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
• 4.5 三角函数模型的应 用
1．如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助 ____________来描述．
2．三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模 型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等 方面都发挥着十分重要的作用．具体的，我们可以利用搜集到的数 据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行____________ 而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际 问题．
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的
深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作 y＝f(t)．下面是 该港口在某季节每天水深的数据：
t(时) 0
3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
解：由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，ymax＝3
＋5＝8.故选 C.
在 100 m 的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别 为 30°，60°，则塔高为( )
A.2300 m
B.2003 3 m
C.1003 3 m
D.1300 m
解：如图，设塔高为 h m，
则有 100tan30°＝(100－h)tan60°，所以 h＝2300(m)．故选 A.
A．60 B．70 C．80 D．90
解：由题意可得 f＝T1＝126π0π＝80.所以此人每分钟 心跳的次数为 80.故选 C.
(2015·陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足
函数 y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
()
A．5 B．6 C．8 D．10
位置38π＋kπ，2，最低点位置78π＋kπ，－2，k∈N，最高点、最低点到平
衡位置的距离均为 2cm. (4)小球往复振动一次所需时间即周期， T＝22π＝π≈3.14(s)．
(5)小球 1s 振动的次数为频率，f＝1T＝π1≈3.114≈0.318(次/s)．
类型三 三角函数拟合
受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨
(k∈Z)，得 24k＋2≤t≤24k＋14(k∈Z)，取 k＝0，得 2≤t≤14.故填
[2，14]．
类型二 根据解析式建立图象模型
画出函数 y＝|cosx|的图象并观察其周期．
解：函数图象如图所示．
从图中可以看出，函数 y＝|cosx|是以 π 为周期的波浪形曲线． 我们也可以这样进行验证：|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|， 所以，函数 y＝|cosx|是以 π 为周期的函数．
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
(1)求函数 h＝f(t)的关系式； (2)画出函数 h＝f(t)的图象．
解：(1)如图，以 O 为原点，过点 O 的圆 O1 的切线为 x 轴，建 立直角坐标系，设点 A 的坐标为(x，y)，则 h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则 cosθ＝2－2 y， y＝－2cosθ＋2. 又 θ＝212π·t＝π6t， 所以 y＝－2cosπ6t＋2，h＝f(t)＝－2cosπ6t＋2.5.
(2)小球开始振动的位置在哪里？ (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？ (5)小球 1s 能振动多少次？
解：(1)画出 h＝2sin2t－π4的简图(长度为一个周期)．
按五个关键点列表：
π 3π 5π 7π 9π
t
88 8 8 8
2t－π4
解：(1)由题意知 T＝12，所以 ω＝2Tπ＝212π＝π6. 由 t＝0，y＝1.5 得 A＋b＝1.5；由 t＝3，y＝1.0 得 b＝1.0， 所以 A＝0.5，b＝1，即 y＝12cosπ6t＋1，t∈[0，24]． (2)由题意知，当 y>1.25 时才可对冲浪者开放， 所以12cos6πt＋1>1.25，cosπ6t>12.
某市的纬度是北纬 21°34′，小王想在某住宅小区买房，该 小区的楼高 7 层，每层 3 m，楼与楼之间相距 15 m，要使所买楼房 在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______ 层的房．(地球上赤道南北各 23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬 季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)
解：(1)根据数据画出散点图，根据图象，可考虑用函数 y＝Asin(ωt ＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系，则周期 T＝12，振幅 A＝3， h＝10，
所以 y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于 5＋6.5＝11.5(米)，即 3sin6πt＋ 10≥11.5，sinπ6t≥12，2kπ＋π6≤π6t≤2kπ＋56π(k∈Z)，0≤t≤24，所以 12k＋1≤t≤12k ＋5(k∈Z)．在同一天内取 k＝0 或 1，则 1≤t≤5 或 13≤t≤17.
0
π 2
π
3π 2
2π
2sin2t－4π 0
2
0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得 h＝2sin2t－π4(t≥0)在一个周期
的简图，如图所示．
(2)t＝0 时，h＝2sin－π4＝－ 2，即小球开始振动时的位置为(0，－
2)(平衡位置的下方 2cm 处)． (3)t＝38π＋kπ(k∈N)时，h＝2；t＝78π＋kπ(k∈N)时，h＝－2.即最高点
已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可以拟合
为函数 I＝5 2sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在 0.5 s
内往复运动的次数为________次．
解：因为 f＝T1＝2ωπ＝120π0π＝50， 所以 0.5 s 内往复运动的次数为 0.5×50＝25.故填 25.
解：设最低高度为 h0，则由题意知，太阳的高度角为 90°－
|21°34′－（－23°26′）|＝45°，所以 15＝t2a1n－ 45h°0 ，得 h0
＝6.所以最低应选在第 3 层．故填 3.
类型一 建立三角模型
如图，某大风车的半径为 2 m，每 12 s 旋转一周，它 的最低点 O 离地面 0.5 m．风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始， 运动 t(s)后与地面的距离为 h(m)．
所以该船最早能在凌晨 1 时进港，最晚下午 17 时出港，在港口最多停留 16 小 时．
点拨： (1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出 数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时 间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以 前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式．
所以 2kπ－π3<π6t<2kπ＋π3，k∈Z， 即 12k－2<t<12k＋2，k∈Z.① 因为 0≤t≤24，故可令①中 k 分别为 0，1，2， 得 0≤t<2 或 10<t<14 或 22<t≤24. 所以有 8 个小时的时间可供冲浪运动．
1．三角函数模型的三种模式 在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角 函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间 的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、 体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式： ①给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角 函数的性质，解决一些实际问题； ②给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他 问题； ③搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合 函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来 解决相应的实际问题．