三角函数模型的简单应用ppt课件
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三角函数的应用ppt课件
D 系,在转动一周的过程中,H 关于 t 的函数解析式为( )
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
3-5三角函数模型的简单应用PPT课件
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例 1】 已知函数 y＝2sin2x＋π3，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明 y＝2sin2x＋π3的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3. (2)令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
答案：B
考基联动
考向导析
限时规范训练
4．设
ω＞0，函数
y＝sinωx＋π3
＋2
的图象向右平移4π个单位后与原图 3
象重合，则 ω 的最小值是
(
A.
2 3
B.43
C.32
D．3
解析：依题意知：平移后
y1＝sinωx－
4π 3
＋π3
＋2
＝sinωx＋3π－43πω＋2.
又 y 与 y1 的图象重合， 则－43πω＝2kπ(k∈Z)
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若 f(x)＞ 2，求 x 的取值范围． 2
解：(1)周期 T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，
∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin
φ＝
3， 2
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－π.
2
3
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
0－φ ω
π2－φ ω
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用
解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5
三角函数模型的简单应用课件
思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是： 1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解 数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.
思考3 怎样处理搜集到的数据？ 答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的 特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要 具体情况具体分析.
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| ； π
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ |ω| .
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k .
(2)A＝
ymax－ymin 2
，k＝
ymax＋ymin 2
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|； (2)y＝sin12x＋π6＋13； (3)y＝|tan 2x|. 解 (1)T＝π2；(2)T＝21π＝4π；(3)T＝π2.
2
探究点二 三角函数模型的应用
思考1 数学模型是什么，什么是数学模型的方法？ 答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括， 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加以抽象 概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法.
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小结作业
1.根据三角函数图象建立函数解析式， 就是要抓住图象的数字特征确定相关的 参数值，同时要注意函数的定义域.
2.对于现实世界中具有周期现象的实际
问题，可以利用三角函数模型描述其变
化规律.先根据相关数据作出散点图，再
进行函数拟合，就可获得具体的函数模
型，有了这个函数模型就可以解决相应
1511.13 9.78 3层
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3层以上
补充的题目
例1 求函数 y sin2 x sinx 1 的最小值, 并求此时x的值的集合.
练习1:求函数 y sin2 x 3sinx 1的最小 值与最大值.
例2 当时 | x | ,求函数 y cos2 x sinx
的最小值. 4
问题提出
1.函数 y Asin(x )中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
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y Asin(x ) b T/℃ 30
w 思 式考 中3：和如j何的确值定?函数
20 10ห้องสมุดไป่ตู้
, 3
8
4
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
84
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
太阳光
北半球： 0
90 | |
90 | |
三角函数的应用 ppt课件
（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
探究二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟， 其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻 开始计时，请回答下列问题：
（1） 作出函数的图象； [答案] 函数的图象如图所示.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置 等物理概念的意义和表示方法.
5.7三角函数的应用
学习目标
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问
题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
要点梳理
1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中
周期现象 的一种数学
模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化 规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、预
测未来等方面发挥重要作用．
[激趣诱思] 江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大 名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称 为“瓯江蓬莱”. 江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅 满目.寺院大门两边有一著名的叠字联: “云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消 (念‘yúnzhāocháo,zhāozhāocháo,zhāocháozhāosàn;cháochángzhǎng, chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiāo’).”该对联巧妙地运用了叠字 诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
课件7：§1.6 三角函数模型的简单应用
5cos2t－π3.当在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是(
)
A．s1>s2
B．s1<s2
C．s1＝s2
D．不能确定
【解析】当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，s1＝s2. 【答案】C
3．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)
的图象上一个最高点为(2,3)，与这个最高点相邻的一
个函数值为 0 的点是(6,0)，则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin8πx－π4
B．f(x)＝3sinπ4x－π4
C．f(x)＝3sinπ8x＋π4 【答案】C
D．f(x)＝3sin4πx＋π4
4．如图，一个半径为 10 cm 的水轮逆时针方向 每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离 为 dm(P 在水面下则 d 为负数)，则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A>0， ω>0，－π2<φ<π2)，且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间． 有以下四个结论：①A＝10；②ω＝21π5；③φ＝π6；④k＝5.其中所 有正确结论的序号是_①__②__④___．
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，做 上下自由振动．已知它们在时间 t(s)离开平衡位置的位移
s1(cm)和 s2(cm)分别由下面两式确定：s1＝5sin2t＋π6；s2＝
§1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模 型，通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解 决实际问题的能力．
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(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进
港.
由计算器可得
2.5sin x 5 5.5
6
sin x 0.2
6
MODE MODE 2
SHIFT sin-1 0.2 = 0.20135792≈0.2014
在区间0,12内,函数y 2.5sin x 5的图象与直线y 5.5有两个交点
时刻 0:00 3:00 6:00
水深/米 5.0 7.5 5.0
时刻 9:00 12:00 15:00
水深/米 2.5 5.0 7.5
时刻 18:00 21:00 24:00
水深/米 5.0 2.5 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的 距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那 么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
y 2.5sin x 5
6
由 y 2.5sin x 5 得到港口在整点时水深的近似值:
6
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预 测其未来等方面都发挥十分重要的作用。
具体的，我们可以利用搜集到的数据，作பைடு நூலகம் 相应的“散点图”，通过观察散点图并进行 函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用 这个函数模型来解决相应的实际问题。
探究一：根据图象建立三角函数关系
例1 如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近 似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这一天6～14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃
30
20 10
O
6 10 14
x
t/h
解:(1)最大温差是20℃
(2)从6～14时的图象是函所数求y出=A的si函n(数ω模x+型φ只)+能b的
6
A, B,因此
x
0.2014, 或
-
0.2014
6y
6
8
xA 0.3848, xB 5.6152 6 A
B y=5.5
C
D
由函数的周期性易得 : 4 xC 12 0.3848 12.3848,
xD 12 5.6152 17.6152 2
y 2.5sin x 5
正弦函数y=sinx的图象保留x轴上方部分，将x轴下方部 分翻折到x轴上方，得到y=|sinx|的图象
探究三：根据相关数据进行三角函数拟合
例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象 叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在 涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
也可以利用函数的零值点来求．
例2 画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.
解
y
y=|sinx|
1
2
2
O -1
2
2 x
周期为π
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得 对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用 方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的 联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法 吗？
个交点.
通过计算.在6时的水深约为5米, y
此时货船的安全小深约为4.3 8
米.6.5时的水深约为4.2米,此时 货船的安全小深约为4.1米;7时
6
的小深约为3.8米,而货船的安 4
全小深约为4米.因此为了安全, 2
货船最好在6.5时之前停止卸货,
将船驶向较深的水域.
O
y 2.5sin x 5 6 P
半个周期的图象
近似刻画这天某个时段
A 1 30 10 10
2
b
1 2
30温注1度意0变自2化变0 ,量因的此变应化当范特围别
1 2 14 6
2
8
将x=6,y=10代入上式,解得
y T/℃
30
3
20
所以
4
10
y
10
sin
8
x
3
课件演示
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角
坐标系中画出散点图
y
根据图象,可以考虑用函数 y=Asin(x+)+h刻画水深与题意 之间的对应关系.
A=2.5,h=5,T=12,=0
由 T 2 12, 得 .
6
所以,港口的水深与时间的关系可用 近似描述.
6 4 2 O 3 6 9 12 15 18 21 24 x
6
O
5
10
15
x
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或 在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以 在港口停留5小时左右.
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同 一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一
4
20,
x
6,14
O
6 10 14
x
t/h
题型总结：
求函数f(x)= Asin(x + )+ b的方法：
A
=
1 2
f
x
max
-
f
x
min
b
=
1 2
f
x
max
+
f
x
min
利用T = 2π，求得ω ω
利用最低点或最高点在图象上,
该点的坐标满足函数解析式可求得φ