高中数学：三角函数模型的简单应用(1)
四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高巩固练习 新人教A版必修1
北京四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425(C) 725(D) -7252．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2πsB ．πsC ．0.5 sD ．1 s 3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2-+αα； （B ）sin 3+αα（C ）3sin 1+αα； （D ）2sin cos 1-+αα4．电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的关系式是5sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当1200t =s 时，电流强度I 为（ ）A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 5．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始旋转，15 s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y （m ）与时间x （s ）满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++，则有（ ）A ．215πω=，A=3 B ．152ωπ=，A=3 C ．215πω=，A=6 D ．152ωπ=，A=66．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t B ω=+，下表是某日各时的浪高数据：A ．1cos 126y t π=+ B ．13cos 262y t π=+C ．32cos62y t π=+D ．13cos 622y t π=+7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若β很小时，可取sin β≈β，试估算该气球的高BC 约为（ ）A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m8．设()y f t =是某港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港口某一天从0至24 h 记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y A t ωϕ=+的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．123sin6y t π=+，t ∈[0，24]B ．123sin 6y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，t ∈[0，24] C ．123sin12y t π=+，t ∈[0，24]D ．123sin 122y t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，t ∈[0，24]9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h （米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危sin()h A t ωϕ=+（ω＞0，ϕ＞0），则水面高度h 与时间t 的函数关系式为________．12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．（1）求出种群数量关于时间t 的函数解析式，t 以月为单位； （2）画出种群数量关于时间t 的简图．13．某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案与解析】 1. 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为15，设θ所对的直角边为x 则由勾股定理得：221()15x x ++=，解得35x =，34sin ,cos 55θθ∴==，7sin 5cos θθ∴+=，进一步求得1sin 5cos θθ-=-，所以227sin cos 25θθ-=-，故选D.2．【答案】D 【解析】周期212T ππ==（s ）． 3．【答案】A【解析】八边形的面积144sin 22cos 2S S S αα∆=+=⨯+-正=2sin 2cos 2αα-+ 4．【答案】B【解析】 155sin 1005sin 5cos (A)20032332I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．【答案】A【解析】 ∵T=15，故2215T ππω==，显然max min y y -的值等于圆O 的直径长，即max min 6y y -=，故max min 6322y y A -===． 6．【答案】B【解析】由周期T=12，得6πω=，max min 122y y A -==，max min 322y y B +==． 7．【答案】B【解析】由已知CD=3 m ，1180πβ=︒=，又sin 180CD AC πββ=≈=， ∴1803172(m)AC π=⨯≈，∴BC=AC ·sin30°≈86（m ）．故选B ．8．【答案】A【解析】在sin()y A t b ωϕ=++中，15932A -==． 159122b +==，2T πω=，而T=12，6πω=，显然0ϕ=． 9．【答案】52sin 24y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴250.82πωπ==， 将点（0.1，2）代入52sin 2y t πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4πϕ=．10．【答案】60米，(60-米 【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt △CDE 中，tan 3060DE CE =⋅︒==∴乙楼的高度为(60BD BE DE =-=-米． 11．【答案】6sin6h t π=-【解析】由题图知A=6，T=12，22126T πππω===，又由6sin 366πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，得cos 1ϕ=-，2k ϕππ=+，k ∈Z ．所以6sin 26sin 6sin 666h t k t t ππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．【解析】（1）设所求的函数解析式为sin()y A t b ωϕ=++，则7009008002b +==，A=100，且212T πω==，所以2πω=．又12πωϕ⨯+=-．所以23πϕ=-．因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （2）图象（简图）如图．13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数sin y A t b ω=+在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此212πω=，6πω=．又当t=0时，y=10；当t=3时，y max =13，得b=10，A=13―10=3． 于是所求函数解析式为3sin106y t π=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）．令3sin 1011.56y π=+≥，可得1sin62t π≥． ∴522666k t k πππππ+≤≤+（k ∈Z ）． ∴12k+1≤t ≤12k+5（k ∈Z ）．取k=0，则1≤t ≤5；取k=1，则13≤t ≤17； 而取k=2时，则25≤t ≤29（不合题意）．∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．。
高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计
高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计湖南省常德市第六中学颜春湖南常德415000一.教学分析（教材分析与学情分析）1.教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.二.教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三.教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.四.教学过程设计教学环节师生活动设计意图（一）呈现实际情境海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
5.7.1三角函数的应用教学设计(第1课时)(高硕)-高中数学新教材必修第一册小单元教学专家指导(视
5.7 三角函数的应用第一课时教学设计一、内容和及其解析 （一）教学内容本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A 版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。
（二）教学内容解析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养，从而培养学生的创新精神和实践能力. 二、教学目标及解析 （一）教学目标1．会通过建立三角模型，解决实际问题。
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．掌握对函数sin()y A x ωϕ=+图像的应用，培养直观想象和逻辑推理核心素养能力。
3．通过学习三角函数模型的实际应用，能使学生学会把实际问题抽象为数学问题，培养数学建模素养。
（二）教学目标解析①要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，根据相等关系或不等关系列式. ②在建立三角函数模型这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想来打开思路，解决问题. ③在应用研究数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.④实际问题通常涉及复杂的数据，因此可能需要用到计算机或计算器. 三、教学问题诊断分析问题1 如何理解函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中，A ω ϕ，，的物理意义． 突破：通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数A ω ϕ，，从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解A ω ，，的物理意义． 问题2 三角函数模型的作用突破：三角函数作为描述现实世界中（周期现象）的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用． 三角函数模型的应用体现在两个方面： ①已知函数模型求解数学问题；②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三 角函数的有关知识解决问题． 问题3 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 突破：教学难点：重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题； 难点：实际问题抽象为三角函数模型.四、教学支持条件PPT 课件，视频五、教学过程设计（主体内容） （一）情景导入现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？【学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充】 【预设的答案】：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面： （1）匀速圆周运动。
《三角函数的应用(一)》示范课教学设计【高中数学人教】
第一课时 三角函数的应用（一）任务一、整体感知问题 1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．任务二、新知探究1．问题研究1——简谐运动问题 2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图1）．答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s 与时间t 之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F 与时间t 之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．图12．建模解模问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？答案：搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．活动：教师或者学生画出散点图．问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y 随时间t 的变化规律？答案：根据散点图（如图2），分析得出可以用y =A sin(ωt +φ)这个函数模型进行刻画． 问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？答案： 依据数据表和散点图，可得A =20，T =60s ，求得ω=3π10，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y =20sin(3π10t +φ)，解得φ=－2π+2k π，k ∈Z ，所以函数的解析式为y =20sin(3π10t －2π)，t ∈[0，+∞)． 教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y =A sin(ωx +φ)，x ∈[0，+∞)表示，其中A >0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：图2表1A 就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 简谐运动的周期是2π=T ω，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 简谐运动的频率是π21ω==T f ，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx +φ称为相位；x =0时的相位φ称为初相.问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？答案：振幅A ＝20mm ，周期T ＝53s ，频率f ＝35次，相位为3π10t －2π，初相为－2π． 3．问题研究2——交变电流例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当601,6007,1501,6001,0=t 时，求电流i ．4．建模解模问题7 观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用i =A sin(ωt +φ)，t ∈[0，+∞)来刻画.其中A 为振幅，ωπ2为周期，ωt +φ为相位，φ为初相．问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？答案：由图可知，A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33A ． 解：由图3（2）可知，电流最大为5A ，因此A =5；电流变化的周期T =501s ，即ωπ2=501s ，解得ω=100π；再由初始状态（t =0）的电流约为4.33A ，可得sin φ=0.866，因此φ约为3π．所图3（1） 图3（2）以电流i 随时间t 变化的函数解析式是 π5sin(100π)[0,)3i t t =+∈+∞，． 当0=t 时，235=i ； 当6001=t 时，5=i ； 当1501=t 时，0=i ； 当6007=t 时，5-=i ； 当601=t 时，0=i ． 练习1 如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是).∞,0[∈),3cos(3++=t t l g s π （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad ）；（2）已知g =9.8m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1s ，线的长度应当是多少（精确到0.1cm ）?解：（1）∵)3cos(3π+=t l g s ，∴可得s 的最大值为3． 设偏角为θ，可得最大偏角满足sin θ=253．利用计算器计算可得θ=0.1203rad ． 答：当l =25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad ．（2）沙漏摆动的周期为1π2==lgT ，解得2)π2(g l =，故cm 8.2)π2(8.92≈=l ． 图4答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．任务三、归纳小结问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．。
人教版高中数学必修4A版三角函数模型的简单应用课件
10 14
t/h
y A sin( x ) b
思考3：如何确定函数 式中 w和 j 的值?
3 , 8 4
T/℃
30
20 10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
3 y 10sin( x ) 20, x [6,14]. 8 4
时刻 0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深 5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
时刻 0
3
6 5
9
12 15 18
21 2.5
24 5
水深 5 7.5
2.5 5 7.5 5
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 水深
8 6 4 2 o
0
y
3
6
9
12 15 18
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
涨潮
圣米切尔山
落潮
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
21 2.5
24 5
5 7.5 5
2.5 5 7.5 5
6
12
18
24
x
y Asin( x ) h
A 2.5, h 5, T 12, 0,
6
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
20.高中数学三角函数模型的简单应用说课课件
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米， 该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的 速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将 船驶向较深的水域？
１、让学生 从感性上理 解潮起潮落 这一自然现 象。
２、让学生 巩固解决具 有周期性的 实际问题的 建模思想和 解题方法。
教学内容
（一）、设计思想
引导学生观察日常生活， 通过对具 有周期性变化这一类实际问题进行建模 练习，让学生尝到数学建模成功的“甜 ”和难于解决实际问题的“苦”，从而 拓广视野，增长知识，积累经验；在建 模过程中，让学生自觉地运用问题所给 的条件进行自主探究，寻求解决问题的 最佳方法和途径，从而培养学生的创新 精神和实践能力．
学生归纳三个实 际问题的共同点
及本节课的数学 思想和方法。
培养学生的 归纳能力
进一步培养 学生的创新 精神和实践 能力.
教学内容
布置作业:
下面是某位同学做单摆实验 时测得的数据，x(单位：s) 为时间，y(单位：cm)为单 摆离开平衡位置的位移。
教师活动
其中T= ，l为摆线的长 度，g为当地的重力加速度。 （1）试求这些数据近似满足 的函数解析式。 （2）当摆长为100cm时，测 得单摆的周期为1s,则当地的 重力加速度为多少？
人教A版 数学必修4 第一章第六节
(说课稿)
前 言
“数学教育不仅要重视基础知识和基 本技能的落实,而且要重视学生能力的培 养,特别是学生的创新精神和实践能力的 培养。”
教材分析 教学目标分析 教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
教材分析
（一）、设计思想 （二）、地位和作用 （三）、学情分析 （四）、教学重点与难点分析
逆时针方向开始运动，运 动t(s)后与地面的距为
湘教版高中数学必修第一册5-5三角函数模型的简单应用教学课件
方法归纳
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合 曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为 决策和管理提供依据．
跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数， 其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论， 判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( √ ) (2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的 “散点图”来获得相应的函数模型．( √ ) (3)函数y＝|cos x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．( × )
要点二 三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点 图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模 型来解决相应的实际问题．
状元随笔 解答三角函数应用题应注意四点 (1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语 言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟 其中的数学本质，列出等量或不等量的关系． (2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、 图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题． (3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知 识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复 杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决 问题． (4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算 器．
人教A版高中数学必修四三角函数模型的简单应用评估训练
高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《1.6三角函数模型的简单应用》评估训练双基达标 限时20分钟1．函数y ＝sin |x |的图象( )．A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性 解析 ∵x ∈R ，且f (－x )＝sin |－x |＝sin |x |＝f (x )．∴函数y ＝sin |x |是偶函数，图象关于y 轴对称．答案 C2．电流I (A )随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )．A.150 B ．50 C.1100D ．100 解析 由题知T ＝2πω＝2π100π＝150. 答案 A3．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的交点有( )． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析 当x ＝0时，sin x ＝0，tan x ＝0，(0,0)为两函数图象的交点，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，两函数图象无交点． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，两函数图象无交点． 所以所求交点只有1个．答案 D4．振动量函数y ＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．解析 T ＝1f ＝23，∴ω＝2πT ＝3π， ∴相位ωx ＋φ＝3πx －π.答案 3πx －π5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3与y ＝－a (a ∈R )的交点中距离最小为________． 解析 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3与y ＝－a 的交点中距离最小为一个周期T ＝π2. 答案 π26．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (0<φ<2π)．(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图可知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)∵从6时到14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴12T ＝14－6，∴T ＝16，ω＝π8，A ＝12(30－10)＝10， b ＝12(30＋10)＝20，此时y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20. 将x ＝6，y ＝10代入上式，得φ＝3π4， 综上所求的解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]． 综合提高 限时25分钟7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆来回摆动一次所需的时间为( )．A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1s 解析 单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝1 s. 答案 D8．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π4对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数”的一个函数是( )． A ．y ＝sin x 2B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos x2 解析 最小正周期为π，可排除A 、D ；B 、C 的周期均为π，但当x ＝π4时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＝cos π2＝0， ∴x ＝π4不是y ＝cos 2x 的对称轴，排除B. 答案 C9．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转．当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．解析 经过t s 秒针转了π30t rad.由图知sin πt 60＝d 25，所以d ＝10sin πt 60. 答案 10sin πt 6010．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．解析 由题可知T 2＝7－3＝4，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4. 又⎩⎨⎧5＋92＝B ，9－52＝A ，∴⎩⎨⎧ A ＝2，B ＝7. 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7(*) 又过点(3,9)，代入(*)式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1. 由3π4＋φ＝π2，且|φ|<π2，∴φ＝－π4， 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)． 答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 11．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解 (1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180min. (2)f ＝1T＝80. (3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ，p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．12．(创新拓展)某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24) (小时)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某天各时的浪高数据：(1)(小时)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：依据散点图，可以选用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t 时间(小时)的函数关系．从表中数据和散点图可知，A ＝1.5－0.52＝12，T ＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h ＝1.5＋0.52＝1，于是y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第二点，即π6×0＋φ＝π2，得φ＝π2，从而y＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫π6t＋π2＋1，即y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意可知，当y≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以12cosπ6t＋1≥1，即cos π6t≥0，所以2kπ－π2≤π6t≤2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3≤t≤12k＋3(t∈Z)．而0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．。
5.7三角函数的应用课件——高中数学人教A版必修第一册
h
Asin
t
B
，
A
0
，
0,
π 2
；
因为筒转动的角速度为 π rad/s ，故 π ；又 A B 1.5 2.5 4 ；
12
12
A
B
1.5
2.5
1
，解得
A
2.5
，
B
1.5
，则
h
2.5
sin
π 12
t
1.5
；又当t
0
时， h 3 ，则 2.5sin 1.5 3 ，sin 3 ，则 cos 1 sin2 4 ；故当t 3 时，
借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为(7.016,3.995) ，
因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口.
1.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.假定在水流量稳定的情况下，筒
车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h 为 1.5m，筒车的半径 r 为
2
2
因为
1 2
2π
14
6
，所以
π 8
.
将 A 10 ， b 20 ， π ， x 6 ， y 10 代入函数解析式，可得 3π .
8
4
综上，所求解析式为
y
10
sin
π 8
x
3π 4
20
，
x
[6,14]
.
例4 海水受日月的引力，在一定的时候产生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫 潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在 落潮时返回海洋，下是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
高中数学第一章三角函数1.8三角函数的简单应用作业含解析北师大版第二册
§8三角函数的简单应用(15分钟30分)1。
已知某人的血压满足函数解析式f（t)=24sin 160πt+115,其中f（t)为血压，t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A.60B.70 C。
80 D。
90【解析】选C。
由题意得函数的周期为T==,所以频率f==80,所以此人每分钟心跳的次数为80.2.智能主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图）。
已知噪声的声波曲线y=Asin的振幅为1，周期为2π,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析式为()A。
y=sin x B.y=cos xC。
y=-sin x D。
y=—cos x【解析】选C.由某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω〉0,0≤φ<）的振幅为1,周期为2π，初相为0,知声波曲线:y=sin x，通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y=-sin x。
3。
（2020·枣庄高一检测)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0（,-)，角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】选C.通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除选项A，D；再根据当t=π时,点P在x轴上，此时点P到x轴距离d为0,排除选项B。
4。
(2020·重庆高一检测）重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合。
已知拱桥部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面89。
5 m,则将下列函数等比放大后,与主桁形状最相似的是()A.y=0。
45cos x B。
y=4.5cos xC。
y=0.9cos x D。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.7三角函数的应用
解 （1）由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交 ON于点M.
当π2<θ≤π 时，∠BOM＝θ－π2. h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sinθ－π2； 当 0≤θ≤π2，π<θ≤2π 时，上述解析式也适合. 则 h 与 θ 间的函数解析式为 h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
解析 设 y＝Asin（ωt＋φ）（A>0，ω>0），则从表中数据可以得到 A＝4，ω＝2Tπ ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2， 即 y＝－4cos52πt. 答案 y＝－4cos52πt
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养. 2.三角函数模型构建的步骤：
解 （1）由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180，
则周期 T＝2（t2－t1）＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.
故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组
对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个
三角函数式为
.
t0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1φ
（3）简谐运动的频率由公式___f=__T_=__2_π_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内
2020年高考数学专题复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(2016·高考浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D.由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π2，故选D.(2019·金华市东阳二中高三调研)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：选A.因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12. 只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度即得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选A.已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移2π9个单位B ．向左平移2π9个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.①求f (x )的解析式；②作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)． 【解】 (1)选C.因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos[π2－(2x －π6)]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos[2(x －π3)]，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度，可以得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，即y ＝sin(2x －π6)的图象，故选C.(2)①因为函数f (x )的最小正周期是π， 所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ②因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6，列表如下：描点、连线得图象：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法①五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．②图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． ③由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|.1．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2ρ＝0，所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2019·温州市十校联合体期初)函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，则f (x )的表达式为________．【解析】 (1)由图象知A ＝1，因为T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2，所以函数的解析式是y ＝sin(2x ＋φ)， 因为函数的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 所以φ＝k π－2π3，k ∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝－2π3，所以函数的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，故选B. (2)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－（－1）2＝2，b ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.【答案】 (1)B (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1. (2019·宁波市高考模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A.由图可得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以T ＝π，所以T ＝2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π3. 2．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点，且|PQ |＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．解：(1)过P 作x 轴的垂线PM ，过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得|PM |＝2，|PQ |＝13，由勾股定理得|QM |＝3，所以T ＝6，又T ＝2πω，所以ω＝π3，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3.(2)将函数y ＝f (x )图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝sin π3x .函数h (x )＝f (x )·g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3sin π3x＝12sin 2π3x ＋32sin π3x cos π3x ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2π3x ＋34sin 2π3x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π6＋14. 当x ∈[0，2]时，2π3x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，所以当2π3x －π6＝π2，即x ＝1时，h (x )max ＝34.三角函数图象与性质的综合应用(高频考点)三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中档题．主要命题角度有：(1)图象变换与函数性质； (2)恒等变换与函数性质； (3)三角函数图象与性质； (4)三角函数性质与平面向量；(5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)．角度一 图象变换与函数性质将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．函数F (x )是奇函数，最小值是－2B ．函数F (x )是偶函数，最小值是－2C ．函数F (x )是奇函数，最小值是－ 2D ．函数F (x )是偶函数，最小值是－ 2【解析】 f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将f (x )的图象向左平移π8个单位后得F (x )的图象，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，所以F (x )是奇函数，最小值为－ 2.故选C.【答案】 C角度二 恒等变换与函数性质设f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )＋2cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值集合．【解】 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＋2cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期是2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .即使f (x )≥32成立的x 的取值集合是{x |k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z }．角度三 三角函数图象与性质已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin(π2＋π3)＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．【答案】 D函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．1．(2019·宁波市十校联考模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝23πB ．x ＝－112πC ．x ＝13πD ．x ＝512π解析：选A.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝k π＋π2，求得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，可得所得函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x ＝2π3，故选A.2．(2019·杭州市高三期末检测)设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB |min ＝2π，则正实数ω＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.函数f (x )＝sin|ωx |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ωx ，x ≥0－sin ωx ，x ＜0，ω为正数，所以f (x )的最小值是－1，如图所示：设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点，且|AB |min ＝T ＝2πω＝2π，解得ω＝1.故选B.3．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，则函数f (x )的最小正周期为______，振幅的最小值为________．解析：函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，化简可得：f (x )＝a 2＋（a ＋1）2sin(2x ＋θ)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12sin(2x ＋θ)，其tan θ＝1＋aa.函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 振幅为2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12， 当a ＝－12时，可得振幅的最小值22.答案：π22三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解】 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)，所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.三角函数的三个常用性质(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的奇偶性和对称性是对应的，奇函数对应对称中心，偶函数对应对称轴．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调性的实质是复合函数的单调性．(3)形如y ＝a sin x ＋b (y ＝a cos x ＋b )的函数最值利用正(余)弦函数的最值求解；形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的函数最值转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值求解．三角函数最值问题的两种常见类型 类型1 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．类型2 y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式(sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x ·cos x ＝sin 2x 2)将y＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．易错防范(1)平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； (2)解决三角函数性质的有关问题时，要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关．[基础达标]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：选B.令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3．(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2－1解析：选B.函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin 2x ，沿y 轴向上平移1个单位，得到y ＝sin 2x ＋1，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1.故选B.4．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2在x ＝2π3时取得最大值，且它的最小正周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的图象的一条对称轴是x ＝5π12解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)在x ＝2π3时取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝±1，即2×2π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中A <0；对于选项A ，因为f (0)＝A sin π6＝A 2≠12，所以选项A 不正确；对于选项B ，因为函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间满足：π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是增函数，所以选项B 不正确；对于选项C ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，即选项正确；对于选项D ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0， 所以x ＝5π12不是f (x )的图象的一条对称轴，即选项D 错误．故选C.5．(2019·杭州中学高三月考)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选C.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω－14π， 向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ω＋14π. 因为所得的两个图象对称轴重合， 所以ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π①，或ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π＋k π，k ∈Z ②.解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k ，k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π＋π24，32(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫3k π－3π8，23(k∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋5π8，32(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k∈Z )解析：选D.由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π4.由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )．7．(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π38．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)， 所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：311．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52， 即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．12．已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.[能力提升]1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.2．(2019·杭州市七校联考)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A ．3π4B ．4π3C ．5π3D ．3π2解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C.3．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx －π3＝－π6＋2kπ或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z .所以x ＝π6ω＋2k πω或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z .设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω.因为方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，计算得出72<ω≤256. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2564．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位， 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再向下平移2个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象， 若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－17π12，－5π12，7π12，19π12， 当x 1＝19π12，x 2＝－17π12时，2x 1－x 2取最大值55π12，故答案为55π12.答案：55π125．(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，求f (B )的取值范围． 解：(1)f (x )＝12sin 2x 3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＝0即2x 3＋π3＝k π(k ∈Z )得x ＝3k －12π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k －12π，0，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，所以12≤cos B <1，0<B≤π3，π3<2B 3＋π3≤5π9，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9－π2，所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3≤1，所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3＋32≤1＋32，即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，－π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得T 2＝πω＝π2，所以ω＝2，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1 ＝sin(2x ＋π6＋φ)＋b －1.再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin 2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1(n ∈Z )．(2)由(1)可得g (x )＝sin 2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0，1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，因为h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m6<1， 解得m <－5或m ＝－2 6.。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.6三角函数模型的简单应用
由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数； π 单调递增区间为[－ ＋kπ，kπ]，k∈Z， 2 π 单调递减区间为[kπ， ＋kπ]，k∈Z. 2
根据图象可知，函数 y ＝ |sin x| 的周期是 π ，函数在区间 π π kπ，kπ＋ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， kπ－ ，kπ， k ∈ Z 上递增； 在区间 k∈Z 上递减． 2 2
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.6
探究点二
利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、 昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心
填一填·知识要点、记下疑难点 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
§1.6
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(1)ymax＝ A＋k ，ymin＝ －A＋k . ymax－ymin ymax＋ymin 2 (2)A＝ ，k＝ . 2 2π (3)ω 可由 ω＝ T 确定，其中周期 T 可观察图象获得． π (4)由 ωx1＋φ＝ 0 ，ωx2＋φ＝ 2 ，ωx3＋φ＝ π ，ωx4＋φ 3 ＝ 2π ，ωx5＋φ＝ 2π 中的一个确定 φ 的值． 3．三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模 型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测 其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
本 课 时 栏 目 开 关
理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画 周期性问题的最优秀的数学模型． 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形 的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
浙江省镇海中学高中数学(人教版)必修四课件：三角函数模型的简单应用(共38张PPT)
改 造 是否符合实际 修改
现实模型的解
还原 说明
三角函数模型的解
抽象 概括 数学 方法
解析式 图 形
现实模型
三角函数模型
明目标、知重点
体验探究
1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？
太阳光
90 | |
明目标、知重点
解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上 的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射 南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。 根据太阳高度角的定义有
所以 即在盖楼时， h0 h0 为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高 1.35倍的间距。
解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上 的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射 南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。 根据太阳高度角的定义有
h0明目标、知重点Fra bibliotekP
A B C
明目标、知重点
太阳高度角的定义
•如图，设地球表面某地纬 度值为 ， •正午太阳高度角为 ，此 时太阳直射纬度为
90 | | •那么这三个量之间的关系 是
北半球 南半球
90
地心
太阳光
90 90 | |
明目标、知重点
90 | |
太阳光直射南半球
90
地心
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纵坐标不变,横坐标伸长或缩短到原来的
1倍
| |
练习
1.把正弦曲线向左平移 7 个单位长度,然后
把每个点的横坐标扩大到原来３倍（纵坐标不
变）,然后再把每个点的纵坐标扩大到原来的4
倍（横坐标不变）,所得到的图象的函数是： ____y___4_si_n_ _13_x___7 _ __.
练习
1.把正弦曲线上每个点的横坐标缩短到原来1/3倍
Z
3
2
y 3sin(1 x )
26
例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化
曲线近似满足函数 y Asin(x ) b y
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30
20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.
10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
3、由图象求函数性质
例2、画出函数y | sin x |的图象,并观察周 期性和奇偶性.
GSP
变式1、画出函数y sin | x |的图象,并观察 周期性和奇偶性.
GSP
从图中可以看出,函数 y sin x是以π为 周期的波浪形曲线。
我们也可以这样进行验证：
由于 sin(x ) sin x sin x , 所以,函数 y sin x是以π为周期的函数。
1.6三角函数模型的简单应用 （一）
一、复习:三角变换
1.y=sinx →y=Asinx(振幅变换）
横坐标不变,纵坐标伸长或缩短到原来的A倍
2.y=sin x →y=sin（ x+ ） (平移变换）
向左或向右平移 个单位
当=1时,平移| |个单位长度
3.y=sinx →y=sin x (周期变换）
天某个时刻的温度变化情况,因此应当特别注
意自变量的变化范围.
如何求A、b、ω、φ：
A 最大值 最小值 2
b 最大值 最小值 2
2
T
: 把最高点（或最低点）坐标代入函数，解出 .
练习:
函数 y Asin(x ) b. 的最小值是-2,
其图象在一个周期内最高点与最低点横坐标的
差是3 ,且图象过点(0,1),求函数解析式.
3
y Asin(x )
(1)A 3
yA 3
(2) T 10 4 2
23 3
又T 2 1
2
T 4
O
4
10
3
x
(3)
y
3
1 sin(
x
)
3
2 A点的坐标为(
4
, 3)
3
3sin( 1 4 ) 3
23
2
sin(
)
1
3
2k , k Z
当k
6
0时 ，
6
2
3
2k , k
（纵坐标不变）,然后向右平移
个单位长度
4
最后再把每个点的纵坐标缩短到原来的1/5倍（横坐
标不变）,所得到的图象的函数是：
___y___15__s_in___3_x___3_4_.
二、新课：三角函数模型的简单应用
1、由图象求振幅A
y 2sin x
5
向上平移3个单位长度
4 3
y 2sin x 3
2
y Asin x b
1
O
2
A
最 大 值
最小值
5
1
2
2
2
2
b
最 大 值
最小值
5
1
3
2
2
y
y Asin x b
最 大 值 最 小 值
4
A 2
3
4 (2) 3 2
2 1
b 最 大 值 最 小 值 2
O 2
4 (2) 1 2
y 3sin x 1
x
2
2、由图象求解析式
y Asin(x )
利用函数图象的直观性,通过观察图象而 获得对函数性质的认识,这是研究数学问题 的常用方法.
练习：求的函数 y sin x 周期． sin x
若函数为 y sin 2x sin 2x ,则周期如何．
作业
a：根据图象求解析式
y
A
4
O
5
2
11
2
x
4
(1)A 2
(2) T
4 12 6 4
T
又T 2 2
(3) y 2sin(2x )
A点的坐标为( , 2)
12
2sin(2 ) 2
sin(
12
) 1
6
2k , k Z
6
2
yA 2
O
x
6 12
2
一般2k取 ,：k | Z|≤π当kLeabharlann 3 0时，
3
y 2sin(2x )
函数 y Asin(x ) b的半个周期
0 6 10 14 x
的图象, 所以，A
1 • 2 14 6 2
1 2
30 10
. 将x
8
10,
6
b, y12103代0 入10上 式2， 0 解得＝34
.
综上，所求解析式为y
10 sin(
x
3
)
20,
x 6,14
84
一般的,所求出的函数模型只能近似刻画这