三角函数模型的简单应用 ppt课件
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三角函数的应用ppt课件
D 系,在转动一周的过程中,H 关于 t 的函数解析式为( )
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
3-5三角函数模型的简单应用PPT课件
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例 1】 已知函数 y＝2sin2x＋π3，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明 y＝2sin2x＋π3的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3. (2)令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
答案：B
考基联动
考向导析
限时规范训练
4．设
ω＞0，函数
y＝sinωx＋π3
＋2
的图象向右平移4π个单位后与原图 3
象重合，则 ω 的最小值是
(
A.
2 3
B.43
C.32
D．3
解析：依题意知：平移后
y1＝sinωx－
4π 3
＋π3
＋2
＝sinωx＋3π－43πω＋2.
又 y 与 y1 的图象重合， 则－43πω＝2kπ(k∈Z)
(1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若 f(x)＞ 2，求 x 的取值范围． 2
解：(1)周期 T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，
∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin
φ＝
3， 2
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－π.
2
3
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
0－φ ω
π2－φ ω
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用
解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
三角函数模型的简单应用课件ppt课件PPT课件
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小结作业
1.根据三角函数图象建立函数解析式， 就是要抓住图象的数字特征确定相关的 参数值，同时要注意函数的定义域.
2.对于现实世界中具有周期现象的实际
问题，可以利用三角函数模型描述其变
化规律.先根据相关数据作出散点图，再
进行函数拟合，就可获得具体的函数模
型，有了这个函数模型就可以解决相应
1511.13 9.78 3层
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3层以上
补充的题目
例1 求函数 y sin2 x sinx 1 的最小值, 并求此时x的值的集合.
练习1:求函数 y sin2 x 3sinx 1的最小 值与最大值.
例2 当时 | x | ,求函数 y cos2 x sinx
的最小值. 4
问题提出
1.函数 y Asin(x )中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
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y Asin(x ) b T/℃ 30
w 思 式考 中3：和如j何的确值定?函数
20 10ห้องสมุดไป่ตู้
, 3
8
4
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
84
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
太阳光
北半球： 0
90 | |
90 | |
三角函数的应用 ppt课件
（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
探究二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟， 其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻 开始计时，请回答下列问题：
（1） 作出函数的图象； [答案] 函数的图象如图所示.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置 等物理概念的意义和表示方法.
5.7三角函数的应用
学习目标
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问
题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
要点梳理
1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中
周期现象 的一种数学
模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化 规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、预
测未来等方面发挥重要作用．
[激趣诱思] 江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大 名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称 为“瓯江蓬莱”. 江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅 满目.寺院大门两边有一著名的叠字联: “云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消 (念‘yúnzhāocháo,zhāozhāocháo,zhāocháozhāosàn;cháochángzhǎng, chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiāo’).”该对联巧妙地运用了叠字 诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
课件7：§1.6 三角函数模型的简单应用
5cos2t－π3.当在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是(
)
A．s1>s2
B．s1<s2
C．s1＝s2
D．不能确定
【解析】当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，s1＝s2. 【答案】C
3．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)
的图象上一个最高点为(2,3)，与这个最高点相邻的一
个函数值为 0 的点是(6,0)，则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin8πx－π4
B．f(x)＝3sinπ4x－π4
C．f(x)＝3sinπ8x＋π4 【答案】C
D．f(x)＝3sin4πx＋π4
4．如图，一个半径为 10 cm 的水轮逆时针方向 每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离 为 dm(P 在水面下则 d 为负数)，则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A>0， ω>0，－π2<φ<π2)，且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间． 有以下四个结论：①A＝10；②ω＝21π5；③φ＝π6；④k＝5.其中所 有正确结论的序号是_①__②__④___．
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，做 上下自由振动．已知它们在时间 t(s)离开平衡位置的位移
s1(cm)和 s2(cm)分别由下面两式确定：s1＝5sin2t＋π6；s2＝
§1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模 型，通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解 决实际问题的能力．
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x
.
思考8：右图中， 设点P(x0，y0)， 有人认为，由于 P点是两个图象的 交点，说明在x0
y
8
y=2.5sinpx+5
6 4
.P
6
2
y=-0.3x+6.1
o 2 4 6 8 10 12
x
时，货船的安全水深正好与港口水深相
等，因此在这时停止卸货将船驶向较深
水域就可以了，你认为对吗？
.
理论迁移
yA sin(x)b T/℃ 30
思考3：如何确定函数 20
式中w 和j 的值?
10
, 3
8
4
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
y 1 0 sin (x3 ) 2 0 ,x [6 ,1 4 ]. 84
思考5：这一天12时的温度大概是多少
（℃）？ . 27.07℃.
1.6 三角函数模型的简单应用
.
问题提出
1.函数 yAsin(x)中的参数 A, ,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与
性质，其中周期性是三角函数的一个显著性
质.在现实生活中，如果某种变化着的现象
具有周期性，那么它就可以借助三角函数来
描述，并利用三角函数的图象和性质解决相
应的实际问题.
.
.
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
yA sin(x)b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？ 20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b
o 6 10 14 t/h
的值分别是多少？ A=. 10,b=20.
.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全
间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那
么该船在什么时间必须停止卸货，将船
驶向较深的水域？
货船最好在
y 8
y=2.5sinpx+5 6.5时之前停
6
6
止卸货，将
4
船驶向较深
2
y=-0.3x+6.1 的水域.
o 2 4 6 8 10 12
.
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
y 8
6
4
2
o
6 12 18 24 x
yA sin (x . 3 )h
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
思考4：用函数 yA sin (x )h来
刻画水深和时间之间的对应关系，如何
确定解析式中的参数值？
（ 8） 使 f(x)成 为 偶 函 数 ， 应 对 f(x)的 图 象 作 怎 样 的 平 移 变 换 ？
.
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
呈周期性变化规律.
.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考2：设想水深y y
是时间x的函数， 8
作出表中的数据对 6
应的散点图，你认 4
为可以用哪个类型 2
的函数来拟合这些 o 6 12 18 24 x
数据？
例 1、 函 数 f(x)=Asin(w x+j)的 图 象 如 下 图 所 示 ，
试 依 图 推 出 ：
y
（ 1） f(x)的 最 小 正 周 期 ；- p
2 Op
4
7p 4
x
（ 2 ） f(x )=0 时 x 的 取 值 集 合 ；
（ 3 ） 使 f(x )< 0 的 x 的 取 值 集 合 ；
.
思考6：一条货船的吃水深度（船底与
水面的距离）为4米，安全条例规定至
少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底
的距离），该船何时能进入港口？在
港口能呆多久？
y 8
6
B
A
4
CD
2
o
5
. 10 15
x
y 8
6
B
4A
CD
2
o
5
10 15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港.每次可 以在港口停留5小时左右.
A 2 .5 ,h 5 ,T 1 2 ., 0 , 6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y2.5sin x5 近似描述，你能
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
.
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小
球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t
（s）的变化曲线是一个三角函数的图
象，如图. （1）求这条曲线对 应的函数解析式； （2）小球在开始振
s/cm 4
7p 12
动时，离开平衡位 O p
t/s
置的位移是多少？ .
12
-4
小结作业
1.根据三角函数图象建立函数解析式， 就是要抓住图象的数字特征确定相关的 参数值，同时要注意函数的定义域.
.
例 1、 函 数 f(x)=Asin(w x+j)的 图 象 如 下 图 所 示 ，
试 依 图 推 出 ：
y
（ 4） f(x)的 单 调 区 间 ； - p2 O p
4
7p 4
x
（ 5 ） 使 f( x ) 取 最 小 值 时 x 的 取 值 集 合 ；
（ 6） 图 象 的 对 称 轴 方 程
（ 7） 图 象 的 对 称 中 心
时刻 0 3
6
9
பைடு நூலகம்
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？