专题1-1 三角函数 重难点、易错点突破(含答案)

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破

（建议用时：180分钟）

1 同角三角函数关系巧应用

同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.

一、知一求二

例1 已知sin α＝255，π2

≤α≤π，则tan α＝_________________________________.

二、“1”的妙用

例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32

.

三、齐次式求值

例3 已知tan α＝2，求值：

(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α

＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.

2 三角函数的性质总盘点

三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.

一、定义域

例1 函数y ＝

cos x －12

的定义域为________.

二、值域与最值

例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.

三、单调性

例3 已知函数f (x )＝sin(π3

－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；

(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.

四、周期性与对称性

例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3

)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.

五、奇偶性

例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3

(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.

1 善用数学思想——巧解题

一、数形结合思想

例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.

二、分类讨论思想

例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.

三、函数与方程的思想

例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3

)的最大值是________.

四、转化与化归思想

例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5

).

2 三角恒等变形的几个技巧

三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．

一、灵活降幂

例1 3－sin 70°2－cos 210°

＝________. 二、化平方式

例2 化简求值：

12－12

12＋12cos 2α(α∈(3π2

，2π))．

三、灵活变角

例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3

＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦

例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ

的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值

例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

1 数形结合百般好，形象直观烦琐少

——构建正弦、余弦函数图象解题

正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.

一、确定函数的值域

例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧

a ，a ≤

b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.

二、确定零点个数

例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.

三、确定参数的值

例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3

)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.

四、判断函数单调性

例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪

⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦

⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦

⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围

例5 当0≤x ≤1时，不等式sin

πx 2

≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根

例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.

2 聚焦三角函数最值的求解策略

一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解

例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x

的最值．

例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．

二、利用正弦、余弦函数的有界性求解

例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1

的值域．

例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4

的值域．

三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值

例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．