专题1-1 三角函数 重难点、易错点突破(含答案)

专题1-1 三角函数重难点、易错点突破
（建议用时：180分钟）
1 同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.
一、知一求二
例1 已知sin α＝255，π2
≤α≤π，则tan α＝_________________________________.
二、“1”的妙用
例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32
.
三、齐次式求值
例3 已知tan α＝2，求值：
(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α
＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.
2 三角函数的性质总盘点
三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.
一、定义域
例1 函数y ＝
cos x －12
的定义域为________.
二、值域与最值
例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.
三、单调性
例3 已知函数f (x )＝sin(π3
－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；
(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.
四、周期性与对称性
例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3
)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.
五、奇偶性
例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3
(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.
1 善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.
二、分类讨论思想
例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.
三、函数与方程的思想
例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3
)的最大值是________.
四、转化与化归思想
例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5
).
2 三角恒等变形的几个技巧
三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．
一、灵活降幂
例1 3－sin 70°2－cos 210°
＝________. 二、化平方式
例2 化简求值：
12－12
12＋12cos 2α(α∈(3π2
，2π))．
三、灵活变角
例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3
＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ
的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值
例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
1 数形结合百般好，形象直观烦琐少
——构建正弦、余弦函数图象解题
正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.
一、确定函数的值域
例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a ≤
b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.
二、确定零点个数
例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.
三、确定参数的值
例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3
)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.
四、判断函数单调性
例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦
⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦
⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围
例5 当0≤x ≤1时，不等式sin
πx 2
≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根
例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.
2 聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解
例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x
的最值．
例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．
二、利用正弦、余弦函数的有界性求解
例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1
的值域．
例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4
的值域．
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．
四、利用函数的单调性求解
例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x
的最值．
例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为
P ，正方形面积为Q .求P Q
的最小值．
易错问题盘点
一、求角时选择三角函数类型不当而致错
例1 已知sin α＝
55，sin β＝1010
，α和β都是锐角，求α＋β的值．
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513
，求cos C .
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x
的奇偶性．
五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错
例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．
专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案
1 同角三角函数关系巧应用
例1 解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55
， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α
＝－2. 答案 －2
点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.
例2 证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，
所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x
＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.
点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.
例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9
＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝
2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2 α≠0，分子分母同除以
cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1
点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.
2 三角函数的性质总盘点
例1解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3
，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3
]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3
]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.
例2 解析 因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23
π，f (x )＝cos x 的图象如图所示： 可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12
). 答案 [－12，12
) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.
例3 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3
). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3
)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12
，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12
]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12
]，k ∈Z 中， 令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12
，0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.
例4 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1， 所以f (x )＝sin(2x －π3
)， 由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2
，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2
，k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.
例5 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.
由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2
＋3k π－φ＝0，k ∈Z ， 解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2
. 答案 3π2
点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象
关于原点对称.
1 善用数学思想——巧解题
例1 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图： 由图知，x ∈(π4，5π4).
答案 (π4，5π
4
)
点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，
则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.
当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4；
当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4，
综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4
.
点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.
例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋
32)2－7
4
， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋3
2)2
－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为5
4. 答案 54
点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π
5
.
因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π
5，
即tan(－13π4)>tan(－17π
5
).
点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.
2 三角恒等变形的几个技巧
例1 解析
3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－
1＋cos 20°2＝3－cos 20°
3－cos 20°
2
＝2.
答案 2
点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－1
2
sin 22θ，等等．
例2 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)， 所以cos α>0，sin α
2>0，
故原式＝
12－12
1＋cos 2α
2
＝ 12－1
2
cos α＝ sin 2α2＝sin α2
.
点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.
例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－7
9.
答案 －7
9
点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π
3＋2α”，善于发现前者和后者
的一半互余．
例4 解析 cos 2θ
1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ
cos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ
1＋tan 2θ＋2tan θ
＝1－1
4
1＋14＋2×(－12)
＝3
414
＝3.
答案 3
点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ
1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式
比．
例5 解 原式＝1
2cos 20°cos 40°cos 80°
＝
4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝1
16
.
点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.
1 数形结合百般好，形象直观烦琐少
——构建正弦、余弦函数图象解题
例1 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ，sin x ≤cos x ，
cos x ，sin x >cos x ，
作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣
⎡⎦
⎤
－1，
22. 答案 ⎣
⎡⎦⎤－1，2
2
点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x
及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2
点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.
例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭
⎫π
3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫
π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋
π
32＝π
4
处取得最小值.
∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －10
3(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143
；
当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案
14
3
点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π
4处取
得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫
π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.
例4 解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.
由图象可知②正确. 答案 ②
点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y ＝sin
πx
2
，y ＝kx 的函数图象，如图所示.
当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sin
πx
2
≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]
点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sin
πx
2
的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.
当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭
⎫0＋π
4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π
4对称，
x 1＋x 2＝π
2
.
故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π
2
.
点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.
2 聚焦三角函数最值的求解策略
例1 解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x
2－sin 2x
＝1－14sin 22x 2－sin 2x
＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－1
2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.
例2 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5
8π，k ∈Z }．
点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．
例3 解 原函数整理得sin x ＝y ＋1
2(y －1).
∵|sin x |≤1，∴⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.
即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1
3∪[3，＋∞)． 例4解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，
∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －3
1＋y 2
.
∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪
－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－12－2615，
－12＋2615.
点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b
c cos x ＋
d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．
例5 解
y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2
⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭
⎫a 2
2＋2a ＋1.
当a
2
<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a
2.
当a
2
>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1(a <－2)，
－a
2
2－2a －1(－2≤a ≤2)，
1－4a (a >2).
点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．
例6 解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝3
4
；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.
点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝1
2(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos
x ＝1
2
(1－t 2)． 例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1
(sin x ＋2)，
令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1
t
.
利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1
t 在[1,3]上为增函数．
故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝8
3
.
例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝1
2a 2tan θ.设正方形边长为x ，
AG ＝x cos θ，BC ＝a
cos θ
.BC 边上的高h ＝a sin θ，
∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)2
4sin 2θ
＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的， 所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝9
4
. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．
易错问题盘点
例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝310
10
， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝
55×31010＋255×1010＝2
2
. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)． 所以α＋β＝π4或3π
4. [剖析] 由sin α＝
55，sin β＝10
10
，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．
[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝
55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝310
10
， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2
2.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π
4
.
温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.
例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
⎩
⎪⎨⎪⎧
tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－6
1－7＝1.
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5
4
π.
[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．
[正解] 由⎩
⎪⎨⎪
⎧
tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.
∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π
2<β<π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝5
4
π.
例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±4
5
，
由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16
65.
当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝56
65
.
[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±4
5后，
没有对cos A ＝－4
5这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．
[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±4
5，
当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π
3.
∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π
3
. 故当cos A ＝－4
5时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．
∴cos A ＝4
5
，
cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16
65
.
例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x
＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x
2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x
2，
由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x
2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．
[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x
2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变
形后的函数定义域扩大致错．
[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π
4
(k ∈Z )，
故函数f (x )的定义域是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，
显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．
例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π
2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π
4
，k ∈Z .
[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．
[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．
即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.
∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π
4
，k ∈Z .。