高考数学数列问题的题型与方法

高考数学数列问题的题
型与方法
Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
第11讲 数列问题的题型与方法
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合
1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 二、方法技巧
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法： ①若? =?
+（n-1）d=?
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
②若?
，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当1a >0,d<0时，满足10
0m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值.
(2)当1a <0,d>0时，满足1
0m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得
取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项
1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明
11-+-=-n n n n a a a a 或
1
1-+=n n n n a a
a a 而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意n s 与n a 之间关系的转化。

如：
n a =1100n n S S S -≤⎧⎨-≥⎩ 2
1≥=n n ， n a =∑=--+n
k k k a a a 211)(．
4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
四、例题解析
例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以
Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．
例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2 ==
n a c n
n
n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有
S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又
b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①
已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．
当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2
1
n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =3
1
（a n -1） (n ∈N +),（1）求
a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。

解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21
- 又)1(3122-=a S ,即
)1(31221-=+a a a ,得4
1
2=a .
(Ⅱ)当n >1时,),1(31
)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a
得
,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为2
1
-的等比数列. 例4、（04年重庆）设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-3
2
a n (n =1,2,---),令
b n =a n +1-a n
(n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。

解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222
()3333
n n n n n n a a a a a b +++=--=-=
故{b n }是公比为32的等比数列，且故,3
2
121=-=a a b
),2,1()3
2( ==n b n n
（II ）由得n n n n a a b )32
(1=-=+
)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++
])3
2(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-
注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n n
n
记数列}3
2{11
--n n n 的前n 项和为T n ，则
12222222
12(),2()()333333n n n n T n T n -=+⋅++⋅=+⋅++⋅
211222222
1()()()3[1()](),3333333
n n n n n T n n -=++++-=--两式相减得
1
1
121
22(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823
n
n n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-
+=+++=+++-=++-故从而
例5．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正
整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2
5
-为首
项，1-为公差的等差数列{}n x 。

⑴求点n P 的坐标；
⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的
斜率为n k ，求：n
n k k k k k k 13221111-+++ 。

⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ⋂∈，其中1a 是T S ⋂中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式。

解：（1）23
)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n
13535
33,(,3)4424
n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----
（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：
,4
5
12)232(2+-++=n n x a y
把)1,0(2
+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。

32|0'+===n y k x n ，)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n
n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =6
41
101)32151(21+-=+-n n
（3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，
}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .
设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得
).
(247,24),
(12,129
248
**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-
又 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，解决（3）的关键在于算出S T 及求数列{}n a 的公差。

例6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
)
12(1
n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32
m
成立若存在，求出m 的值；若不存
在，请说明理由。

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2
n n
a a a n n n +-=+++=⨯=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n
故=n S
40
9922
+--n n n n
65
≥≤n n
（3）)1
1
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n ∴n T )]1
1
1()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=
n n 若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161m
n n >
+对任意*N n ∈成立， )(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2
116<∴m m ∴的最大整数值是7。

即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32
m
T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

.
五、强化训练
（一）用基本量方法解题
1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2= （B ）
A －4
B －6
C －8
D －10 （二）用赋值法解题
2、（96年）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（C ）
A 130
B 170
C 210
D 260
3、（01年）设{a n }是公比为q 的等比数列， S n 是{a n }的前n 项和,若{S n }是等差数列，则q =__1_
4、设数列{a n }的前项的和S n =
2
)
13(1-n a （对于所有n ≥1），且a 4=54,则
a 1=__2___
（三）用整体化方法解题
5、（00年）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有（C ） A a 1+a 101>0 B a 2+a 100<0 C a 3+a 99=0 D a 51=51
6、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A ） A 13 B 12 C 11 D 10
7、（03年上海）在等差数列{a n }中a 5=3，a 6=-2,a 4+a 5+…+a 10=-49 （四）用函数方法解题
8、（04年天津）已知数列{a n },那么“对任意的n ∈N +,点P n (n ,a n )都在直线y =x +1上”是“{a n }为等差数列”的（ B ）
A 必要条件
B 充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
9、（99年上海）已知等差数列{a n }满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是{a n }的前n 项和，S n 取得最大值，则n =___9______.
10、（01年上海）已知数列{a n }中a n =2n -7,(n ∈N +),1a +2a +--+15a =_153___ （五）用递推方法解题
11、（03年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a 2n +1-na n 2+a n +1a n =0,求它的通项公式是__1/n
12、（04年全国）已知数列{a n }满足=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+---+(n -1)a n -1 (n >1),则
{a n }的通项a n =______a 1=1;a n =2
!
n n ≥2
13、（04年北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为__3___，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__当n 为偶数时，S n n =
5
2
；当n 为奇数时，S n n =
-5212
14. （04年全国）已知数列{a n }中，a 1=1，a 2k =a 2k -1+(-1)K ,a 2k +1=a 2k +3k ,其中
k =1,2,3，…。

(1)求a 3,a 5； （2）求{a n }的通项公式
解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31==a 3+(－1)2=4 a 5=a 4+32=13, 所以，
a 3=3,a 5=13.
(II) a 2k +1=a 2k +3k = a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k +1－a 2k －1=3k +(－1)k , 同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, a 3－a 1=3+(－1). 所以(a 2k +1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)
=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],
由此得a 2k +1－a 1=23(3k －1)+2
1
[(－1)k －1],
于是a 2k +1=.1)1(21231--++k
k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2
123+k
(－1)k －1－1+(－1)k
=2
1
23+k (－1)k =1.
{a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n
=;12
1)
1(2
3
2
12
1-⨯
-+-+n n 当n 为偶数时，.12
1)1(2
322
-⨯-+=n
n n a。