用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算
matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算【主题】matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算【序号1】引言在概率和统计领域，计算概率和分位数一直是一个重要的课题。
传统的方法可能在计算复杂的分布时显得力不从心，而蒙特卡洛方法却能够以随机模拟的方式来解决这些问题。
本文将介绍如何使用MATLAB来进行概率和分位计算，重点讨论如何利用蒙特卡洛方法来进行模拟，以及如何在MATLAB环境中实现这一过程。
【序号2】MATLAB中的蒙特卡洛方法MATLAB作为一个强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行概率和统计计算。
在MATLAB中，蒙特卡洛方法可以通过随机数生成函数和循环结构来实现。
我们需要生成符合指定分布的随机数样本，然后利用这些样本进行模拟计算，最终得到所需的概率和分位数结果。
【序号3】随机数生成在MATLAB中，可以利用内置的随机数生成函数来生成符合某个特定分布的随机数样本。
可以使用randn函数来生成符合正态分布的随机数样本，使用rand函数来生成在[0,1]区间均匀分布的随机数样本。
除了内置函数，MATLAB还提供了更多灵活的工具箱，可以生成更加复杂的分布样本，如指数分布、泊松分布等。
【序号4】模拟计算一旦得到了符合特定分布的随机数样本，就可以利用这些样本进行模拟计算。
以正态分布为例，我们可以利用蒙特卡洛方法来估计在某个区间内的概率，或者计算某个分位数的取值。
通过多次模拟，取平均值可以得到一个较为准确的估计结果。
在MATLAB中，可以利用循环结构和向量化的方式来高效地实现这一过程，并得到稳健可靠的结果。
【序号5】具体案例下面通过一个具体案例来展示如何在MATLAB中使用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算。
假设我们需要计算标准正态分布的概率P(-1<Z<1)和95%的分位数。
我们可以利用randn函数生成一组标准正态分布的随机数样本，然后利用循环结构来进行模拟计算。
我们得到了P(-1<Z<1)约等于0.6827和95%的分位数约等于1.645，这些结果可以帮助我们更好地理解正态分布的性质。
基于matlab环境下蒙特卡罗法的实现
基于Matlab 环境下蒙特卡罗法的实现建筑与土木工程2011级 201121022 温秋平针对应用蒙特卡罗对连续型分布采取直接抽样法解决结构可靠度所遇到的困难，提出利用MATLAB 其强大数值计算功能来解决此类问题。
利用MATLAB 进行蒙特卡罗抽样模拟，在一定程度上减少了对连续型分布采用直接抽样时的困难，大大提高了计算效率。
1.蒙特卡罗法蒙特卡洛方法是以数理统计原理为基础的，又称随机模拟方法，是随着电子计算机的发展而逐步发展起不来的一种独特的数值方法。
用蒙特卡洛方法来研究事件的随机性是结构可靠度分析的一个重要方面。
蒙特卡洛方法的优点是，它回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需要考虑结构极限状态曲面的复杂性，只需要得到结构的响应即可；缺点是计算虽大，因此目前还不作为一种常规的结构可靠度分析的方法来使用，只适用于一些情况复杂的结构，由于其具有相对较高的精度，常用于结构可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果的校核。
直接抽样方法是蒙特卡洛分析最基本的一种方法，对于基本随机变量12(,,,)n X X X X =，其概率密度函数为()f x ，对应结构某一状态的功能函数为()Z g x =。
将随机样本值序列X 代入功能函数()Z g x =，若Z<0，则模拟的结构失效一次。
若总的模拟数为N ，功能函数Z<0的次数为f n ，则结构失效概率f P 的估计值ˆfP 为： ˆf fn P N= (1.1) 由伯努利大数定理：lim ()1f f N nP P Nε→∞-<= (1.2) 可得ˆfP 以概率收敛于f P 。
失效概率的同样可以表达为：[()]()f P I g x f x dx +∞-∞=⎰(1.3)其中[()]I g x 为()g x 的示性函数，即：1 ()0[()]0 ()0g x I g x g x <⎧=⎨≥⎩ (1.4)则结构失效概率f P 的估计值ˆf P 为：11ˆ[()]Nffii n P I g x NN===∑ (1.5)对于结构可靠度问题，其对应的结构失效概率的数量级通常为371010--。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
蒙特卡洛方法 matlab代码
蒙特卡洛方法 matlab代码蒙特卡洛方法是一种随机模拟的数值计算方法，广泛应用于金融、物理、计算机科学、统计学等领域。
在这里，我们将介绍如何用matlab实现蒙特卡洛方法。
本文主要内容包括：蒙特卡洛方法的基本原理、常见应用、matlab代码实现、实例应用等。
一、蒙特卡洛方法基本原理蒙特卡洛方法是一种基于统计学的数值计算方法，其基本原理是使用随机数模拟复杂系统的行为，从而获得数值上的解决方案。
它的核心思想是，通过大量的重复实验来模拟随机过程，最终得到与实际结果相似的概率性解决方案。
蒙特卡洛方法有许多不同的应用，例如解决随机过程和数学物理问题、评估金融和投资风险等。
二、蒙特卡洛方法常见应用蒙特卡洛方法在许多领域都有广泛应用。
以下是一些蒙特卡洛方法的应用：1. 金融和投资风险评估：通过模拟资产价格的随机行为，可以估计资产组合的波动性和风险。
2. 物理建模：用来计算复杂系统的行为，例如氢气中原子之间的相互作用。
3. 工程设计：用于模拟复杂系统的行为，例如机械系统的振动行为。
4. 统计学：用于估算总体参数的不确定性和置信区间。
蒙特卡洛方法的实现过程包括以下几个步骤:1. 选择模型：选择适合模型，其模型应足够灵活，可以处理不同类型的数据和数据格式。
2. 生成随机数：应生成适量的随机数。
这些随机数可以是具有不同分布的数值，例如正态分布、均匀分布等。
3. 执行计算：为获得数值上的解决方案，应对随机数进行计算。
1. 步骤1：选择模型例如，我们要计算正态分布的均值。
这是一种非常基本的蒙特卡洛问题。
2. 步骤2：生成随机数我们可以用matlab生成伪随机数，例如normal随机数：n = 10000;data = normrnd(0, 1, n, 1);在这里，我们将生成10000个均值为0，标准差为1的正态分布随机数。
3. 步骤3：执行计算为了计算正态分布的均值，我们可以使用matlab的mean函数：ans = mean(data)输出将是这些随机数的平均值。
Matlab笔记——蒙特卡罗方法018
18. 蒙特卡罗方法（一）概述一、原理蒙特卡罗（Monte Carlo ）方法，是一种基于“随机数”的计算机随机模拟方法，通过大量随机试验，利用概率统计理论解决问题的一种数值方法。
其理论依据是：大数定律、中心极限定理（估计误差）。
常用来解决如下问题：1. 求某个事件的概率，基于“频率的极限是概率”；2. 可以描述为“随机变量的函数的数学期望”的问题，用随机变量若干个具体观察值的函数的算术平均值代替。
一般形式为求积分：[]()()()d ba E f X f x x x ϕ=⎰ X 为自变量（随机变量），定义域为[a,b], f (x )为被积函数，()x ϕ为概率密度函数。
蒙特卡罗法步骤为：(1) 依据概率分布()x ϕ不断生成N 个随机数x , 依次记为x 1, …, x N , 并计算f (x i );(2) 用f (x i )的算术平均值1()Nii f x N =∑近似估计上述积分类比：“积分”同“求和”，“d x ”同“1/N ”，“()x ϕ”同“服从()x ϕ分布的随机数”；(3) 停止条件：至足够大的N 停止；或者误差小于某值停止。
3. 利用随机数模拟各种分布的随机现象，进而解决实际问题。
二、优缺点优点：能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程；受几何条件限制小；收敛速度与问题的维数无关；误差容易确定。
缺点：收敛速度慢；误差具有概率性；进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的。
三、应用随机模拟实验，随机最优化问题，含有大量不确定因素的复杂决策系统进行风险模拟分析（金融产品定价、期权）。
（二）用蒙特卡罗法求事件概率一、著名的“三门问题”源自博弈论的一个数学游戏：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后面藏有一辆汽车，而两扇门的后面各藏有一只山羊。
参赛者从三扇门中随机选取一扇，若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。
当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候，节目主持人会从剩下的两扇门中打开一扇藏有山羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择，选取另一扇仍然关着的门。
概率实验报告_蒙特卡洛积分
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
用蒙特卡洛方法估计积分值
用蒙特卡洛方法估计积分值一.实验目的：1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较二.实验原理：做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。
Monte Carlo 步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。
如x i 表示生成的第i 个x 。
生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值2．误差分析Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。
严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。
三．实验内容：第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较(1).∫322dx x将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，1)(=x f x 2)(x x h =真值为6.3333程序内容运算结果（2）xdx x sin 20∫π将被积函数展开为[0,2π]上的均匀分布，π2)(=x f x ，x x x h sin 2)(π=真值为1程序内容运算结果（3）∫+∞−02dxe x将被积函数展开为（0, ∞+）上参数为2的卡方分布，f(x)=,ℎ()=2程序内容运算结果：第二题估计积分，并对误差进行估计（1）.∫将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x)=1,ℎ()=程序内容运算结果(2)∫√将被积函数展开为(0,10)上的均匀分布，f(x)=0.1,ℎ()=√ 程序内容四.实验总结：通过实验了解了概率论在值估计及生活中的运用。
通过对上面五个问题的求解知道，由于随机数的任意性，虽然计算机每次的运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。
用蒙特卡洛方法计算积分
用蒙特卡洛方法计算积分简介蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来计算数学问题的方法。
在计算积分时，蒙特卡洛方法可以提供一种简单而有效的解决方案。
方法步骤1. 确定积分范围：首先确定要计算的积分范围，并将其表示为一个多维的定积分。
2. 创建随机点：生成一组随机点，这些随机点需要在积分范围内均匀分布。
3. 判断点的位置：对于每个随机点，判断它是否在被积函数的曲线下方。
4. 计算积分值：计算在被积函数下方的点数与总随机点数的比例，并乘以积分范围的体积，得到积分的近似值。
优势和注意事项蒙特卡洛方法的优势在于其简单性和适用性广泛性。
然而，在使用蒙特卡洛方法进行积分计算时，需要注意以下几点：- 随机点的数量：随机点的数量越多，计算结果越精确，但计算时间也会增加。
- 积分范围的选择：选择合适的积分范围可以提高计算效率和准确性。
- 随机点的生成：生成随机点需要遵循均匀分布原则，以确保计算结果的准确性。
示例以下是使用蒙特卡洛方法计算积分的示例代码：import randomdef monte_carlo_integration(f, a, b, n):count = 0for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)y = random.uniform(min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b)))if 0 < y <= f(x):count += 1return count / n * (b - a) * (max(f(a), f(b)) - min(f(a), f(b)))def f(x):被积函数定义，根据实际情况修改return x**2a = 0 # 积分下限b = 1 # 积分上限n = # 随机点数量result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)print("Approximate integral value:", result)注意：上述代码仅为示例，实际运行时请根据需要修改被积函数和参数。
matlab 蒙特卡洛计算分位数
在编写文章之前，首先需要对所选择的主题进行全面的了解和分析。
对于这个主题，我们需要明确了解Matlab中蒙特卡洛计算分位数的概念和应用，以便写出一篇高质量的文章。
在文章的开头，我们可以先简单介绍一下Matlab这个软件以及蒙特卡洛计算分位数的基本概念，这样可以让读者对文章主题有一个整体的把握。
我们可以逐步深入讨论蒙特卡洛方法在Matlab中如何用来计算分位数的过程和原理，可以结合一些具体的例子来说明。
在文章的内容部分，我们可以逐步展开深入讨论。
可以介绍Matlab 中的蒙特卡洛模拟方法是如何在统计学中用来估计分位数的，具体流程和计算公式是怎样的。
可以进一步讨论在Matlab中如何编写代码实现蒙特卡洛模拟计算分位数，并对计算结果进行分析和解释。
在文章的后半部分，我们可以对蒙特卡洛计算分位数的优缺点进行分析，以及在实际应用中的注意事项和技巧。
我们还可以共享一些个人对这个主题的理解和看法，以及对未来可能的发展和应用的展望。
总结回顾部分可以对全文进行梳理，概括性地总结Matlab中蒙特卡洛计算分位数的核心观点和内容，以及对读者进行主题的深刻理解和灵活应用提供帮助。
文章的篇幅应该达到3000字以上，并且不需要出现字数统计。
通过以上安排，可以确保写出一篇既有深度又有广度的高质量文章，帮助读者更好地理解和应用Matlab中蒙特卡洛计算分位数的知识和技巧。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过大量的随机样本来逼近数学问题的解。
在统计学中，蒙特卡洛模拟常常被用来估计分位数。
分位数是指将数据集按大小顺序排列后，处于某一位置的数值，常用的分位数包括中位数、四分位数等。
在Matlab中，我们可以借助蒙特卡洛模拟方法来计算分位数，并且可以通过编写代码实现这一过程。
我们需要了解蒙特卡洛模拟方法在统计学中的应用。
蒙特卡洛模拟是通过生成大量的随机样本来估计数学问题的方法。
在计算分位数时，我们可以利用蒙特卡洛模拟来估计数据分布的形状和参数，从而得到分位数的估计值。
蒙特卡洛模拟法及其Matlab案例
一蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(Mon te Ca rlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Me tropo lis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
二蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下： 1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
用蒙特卡罗方法计算定积分
19.
20.
sum/4000
结果如图
由图可知，结果稳定在0.46附近。 有牛顿-莱布尼茨公式可知
5.
xlabel('x轴'),ylabel('y轴')
6.
7.
for n=1:4000
8.
sumset(n)=0;
9.
end
10.
11.
sum=0;
12.
13.
for n=1:4000
14.ห้องสมุดไป่ตู้
sum=sum+sin(random(n));
15.
sumset(n)=sum/n;
16.
end
17.
18.
subplot(2,1,2),plot(x,sumset);
其中，
是计算机上生成的伪随机数。
用蒙特卡罗方法积分
首先选定一个区间
，然后抽取4000个随机点的坐标
服从区间 上的均匀分布。
，他们
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
1.
random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
服从区间 上的均匀分布。
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
，他们
1. random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
3.
y=sin(x);
4.
subplot(2,1,1),plot(x,y,'k',x,random,'.');
用Monte Carlo方法计算定积分
机投点。若点落在 y f (x) 下方称为中的，否则成为不中，则点中的概率为：
p ，若进行了N 次投点，其中n 次中的，则得到 的一个估计 M (b a)
1
M (b a)
n N
。
其实施步骤为：
1）独立产生2N 个U(0,1)的随机数 ui , vi ,i 1, 2,..., N;
2）计算 xi a ui (b a), yi Mvi 和 f (xi ) ；
10
0.9431
11
0.8474
12
0.4438
13
0.4385
14
0.6692
15
0.9327
16
0.2334
17
0.2148
18
0.9569
19
0.4379
20
0.5157
则满足条件 yi f (xi ) 的 yi 个数 n=12,利用公式（1）得到，所求积分的估计值为
M (b a) n 12 1.885 N 20
关个方面的 Monte Carlo 的使用，特别是在对数值结果的精确的讨论。 Monte Carlo 理论的应用非常广泛,由于作者的知识水平,研究能力有限,
Monte Carlo 理论在各行各业中都有广泛使用,思想、理论等方面仍存在欠缺之
处,但这些都是以后的努力研究的方向,有侍继续发掘。
参考文献： [1]曲双石，王会娟；MonteCarlo 方法及其应用[J]；统计教育；2009.1. [2]柴中林，银俊成；蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论[J]；应用数学与 计算数学学报。2008.第 1 期. [3]张韵华，奚梅成，陈效群；数值计算方法与算法[M];科学出版社 2006.第 2 版.
实验五 MATLAB蒙特卡罗方法
实验任务一：记录L次实验的实验数据及误差 序号 数据 误差 1 2 3 4 5 6 7
实验任务二：修改实验程序MonteC计算L次实验数 据均值及均值误差( mean 计算平均值 ) L 8 16 32 64 128 256
均值
误差
7/10
冰淇淋锥图形绘制程序
function icecream(m,n) if nargin==0,m=20;n=100;end t=linspace(0,2*pi,n); r=linspace(0,1,m); x=r'*cos(t);y=r'*sin(t); z1=sqrt(x.^2+y.^2); z2=1+sqrt(1+eps-x.^2-y.^2); X=[x;x];Y=[y;y]; Z=[z1;z2]; mesh(X,Y,Z) view(0,-18) colormap([0 0 1]),axis off
xy 2 dxdy 其中D为y= x – 2与y2 = x 所围
D的边界曲线交点为：(–1，1)，(4，2)，被积函数在求 积区域内的最大值为16。积分值是三维体积，该三维 图形位于立方体区域 0≤ x ≤4，–1≤ y ≤2，0 ≤ z ≤16 内，立方体区域的体积为192。 data=rand(10000,3); x=4*data(:,1); y=-1+3*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2)); M=length(II); V=192*M/10000
N个点均匀分布于六面体中,锥体中占有m 个,则锥体与六面体体积之比近似为 m : N
2
蒙特卡罗算法与matlab(精品教程)——【Matlab算法】
第一章：Monte Carlo方法概述一、Monte Carlo历史渊源Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。
它和Simulation有细微区别。
单独的Simulation 只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。
（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。
虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。
出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。
十一、Monte Carlo方法适用用途（一）数值积分计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。
但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。
如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例1如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。
这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo数值积分方法和上述类似。
matlab下二重积分的蒙特卡洛算法
clear all; clc; format long; %二重积分的int函数法，用于校对蒙特卡洛法 syms x y; z=x^2*y^2; x1=1; x2=2; y1=3; y2=4; disp('int法结果') ans_int=int(int(z,y,y1,y2),x,x1,x2) %蒙特卡洛法计算结果 disp('monte_carlo法结果') ans_monte_carlo=monte_carlo(1,2,3,4,10000,20000) %二者误差 disp('误差') error=abs(ans_monte_carlo-ans_int)
博客园 用户登录 代码改变世界 密码登录 短信登录 忘记登录用户名 忘记密码 记住我 登录 第三方登录/注册 没有账户, 立即注册
matlab下 二 重 积 分 的 蒙 特.m
%被积函数（二重）
function ff=monte_carlo_ff(x,y)
ff=x*y^2;%函数定义处
end
%%monte_carlo.m
%蒙特卡洛计算二重积分 function result=monte_carlo(a,b,c,d,n,m) %先y后x积分，a是x积分下限，b是x积分上限，c是y积分下限，d是y积分上限，n，m是蒙特卡洛参数 sumxff=0; for i=1:n sumyff=0; xff=a+(b-a)*rand(); for j=1:m yff=c+(d-c)*rand(); sumyff=sumyff+monte_carlo_ff(xff,yff); end aversumyff=sumyff/m; sumxff=sumxff+(b-a)*aversumyff; end result=sumxff/n; end
用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现专业班级：材料43学生姓名：王宏辉学号：2140201060指导教师：李耀武完成时间：2016年6月8日用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab 编程实现实验内容：1用蒙特卡洛方法估计积分 2sin x xdx π⎰，2-0x e dx +∞⎰和22221xy x y e dxdy ++≤⎰⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分 21x e dx ⎰和2244111x y dxdy x y+≤++⎰⎰的值，并对误差进行估计。
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等；（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理：蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。
具体操作如下：一般地，积分⎰=bdx x g a )(S 改写成⎰⎰==bbdx f h dx f g aa )(x )(x )(x f(x))(x S 的形式，（其中为)f(x 一随机变量X 的概率密度函数，且)f(x 的支持域）（｝｛b f ,a 0)(x |x ⊇>)，f(x))(x )(x g h =）;令Y=h(X)，则积分S=E （Y ）；利用matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由⎩⎨⎧∉∈==)b (a,,)b (a,,01I(x) ,)(x )(x y x x I h ，得到随机变量Y 的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。
蒙特卡罗方法详解与MATLAB实现
2) 3) 4) 5) 6)
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
2) 受几何条件限制小
2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 蒙特卡罗方法的收敛性，
蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误 差是普遍关心的一个重要问题。 收敛性 误差 减小方差的各种技巧 效率
收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的 简单子样X1，X2，…，XN的算术平均值： 1 N XN = ∑ Xi N i =1 作为所求解的近似值。由大数定律可知， 如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值 （E(X)<∞），则 P lim X N = E ( X ) = 1 N →∞ 即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ，当子 样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针， 射击）化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个 问题为例，分别加以说明。 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏） 由 上面两 个例题 看出 ，蒙 特卡 罗方 法 常 以一 个 “概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由 已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察值， 求得问题的近似解。
1 gN = N
∑ g (r )
i =1 i
N
作为积分的估计值（近似值）。
为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的 次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难， 甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代 以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试 验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
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用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现专业班级：材料43学生姓名：***学号：**********指导教师：***完成时间：2016年6月8日用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab 编程实现实验内容：1用蒙特卡洛方法估计积分 2sin x xdx π⎰，2-0x e dx +∞⎰和22221xy x y e dxdy ++≤⎰⎰的值，并将估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分 21x e dx ⎰和22x y +≤⎰⎰的值，并对误差进行估计。
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等；（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理：蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。
具体操作如下：一般地，积分⎰=bdx x g a )(S 改写成⎰⎰==bb dx f h dx f g aa )(x )(x )(x f(x))(x S 的形式，（其中为)f(x 一随机变量X 的概率密度函数，且)f(x 的支持域）（｝｛b f ,a 0)(x |x ⊇>)，f(x ))(x )(x g h =）;令Y=h(X)，则积分S=E （Y ）；利用matlab 软件，编程产生随机变量X 的随机数，在由⎩⎨⎧∉∈==)b (a,,)b (a,,01I(x) ,)(x )(x y x x I h ，得到随机变量Y 的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。
积分⎰⎰=Adxdy g S )y (x,的求法与上述方法类似，在此不赘述。
概率密度函数的选取：一重积分，由于要求)f(x 的支持域）（｝｛b f ,a 0)(x |x ⊇>，为使方法普遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数22e 21)(x xf -=π支持域为R ，故选用22e 21)(x x f -=π。
类似的，二重积分选用22221)y (x,y x e f +-=π，支持域为2R 。
估计评价：进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。
程序设计：依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。
为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function 语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function 函数内容。
编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。
程序代码及运行结果：第一类一重积分程序代码：%%%构造示性函数function I=I1(x,a,b)if x>=a&&x<=bI=1;elseI=0;end%保存为I1.m%%%%%%%%%%%%%%%%%%第一类一重积分,程序主体：%保存为f11.mfunction outf11=f11()g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数g1=inline(g1);a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限b=input('输入积分上界b:');Real=input('积分真值:');%输入积分真值fprintf('输入样本容量 10^V1--10^V2:\r')V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2n=10^mfor j=1:10x=randn(1,n);for i=1:nt1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量endy1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);Y1(j)=y1*t1'/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y1*t'/10; %十次均值D=abs(EY-Real); %绝对误差RD=D/Real; %绝对误差d=0;for i=1:10d=d+(Y1(i)-Real)^2;endd=d/(10-1);EY1(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值D1(m-V(1)+1)=D; %绝对误差RD1(m-V(1)+1)=RD; %绝对误差MSE1(m-V(1)+1)=d; %方差endReal,EY1,D1,RD1,MSE1outf11=[EY1;D1;RD1;MSE1]; %存放样本数字特征%保存为f11.m运行结果：%估计积分2sinx xdxπ⎰，积分真值为1 m=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):x.*sin(x) g1 =x.*sin(x)输入积分下界a:0输入积分上界b:pi/2积分真值:1输入样本容量10^V1--10^V2:V1:1V2:5n =10n =100n =1000 n =10000 n =100000 Real =1EY1 =1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018 D1 =0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 RD1 =0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 MSE1 =0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001m=1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.00180.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.00180.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.00180.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001%估计积分 2-0x edx +∞⎰真值为0.8862M=f11输入一元被积函数如x.*sin(x):exp(-x.^2) g1 =exp(-x.^2)输入积分下界a:0 输入积分上界b:+inf 积分真值:pi^0.5/2%0.8862 输入样本容量 10^V1--10^V2: V1:1n =10n =100n =1000 n =100000.8862EY1 =0.9333 0.9077 0.8873 0.8871 D1 =0.0470 0.0215 0.0010 0.0009 RD1 =0.0531 0.0243 0.0012 0.0010 MSE1 =0.1927 0.0112 0.0016 0.0000 M =0.9333 0.9077 0.8873 0.88710.0470 0.0215 0.0010 0.00090.0531 0.0243 0.0012 0.00100.1927 0.0112 0.0016 0.0000第一类二重积分程序代码：%%%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数function I=I2(x,y)if x^2+y^2<=1I=1;elseI=0;end%保存为I2.m%第一类二重积分程序主体%保存为f12.mfunction outf12=f12()g2=input('输入二元被积函数如exp(x.^2+y.^2):','s')%输入被积函数g2=inline(g2,'x','y');Real=input('积分真值:');%输入积分真值fprintf('输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:\r') V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2n=10^mfor j=1:10x=randn(1,n);y=randn(1,n);for i=1:nt2(i)=I2(x(i),y(i));%示性及求和向量endy2=g2(x,y)*(2*pi).*exp((x.^2+y.^2)/2);Y2(j)=y2*t2'/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y2*t'/10; %十次均值D=abs(EY-Real); %绝对误差RD=D/Real; %绝对误差d=0;for i=1:10d=d+(Y2(i)-Real)^2;endd=d/(10-1);EY2(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值D2(m-V(1)+1)=D; %绝对误差RD2(m-V(1)+1)=RD; %绝对误差MSE2(m-V(1)+1)=d; %方差endReal,EY2,D2,RD2,MSE2outf12=[EY2;D2;RD2;MSE2]; %存放样本数字特征%保存为f12.m运行结果：%估计积分22221x y x y e dxdy ++≤⎰⎰，真值为pi*(exp(1)-1)%5.3981m=f12输入二元被积函数如exp(x.^2+y.^2):exp(x.^2+y.^2)g2 =exp(x.^2+y.^2)积分真值:pi*(exp(1)-1)%5.3981输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:V1:1V2:4n =10n =100n =1000 n =10000 Real =5.3981EY2 =4.77025.1250 5.4317 5.4041 D2 =0.6279 0.2732 0.0335 0.0060RD2 =0.1163 0.0506 0.0062 0.0011 MSE2 =3.8965 0.5564 0.0247 0.0017m =4.77025.1250 5.4317 5.4041 0.6279 0.2732 0.0335 0.0060 0.1163 0.0506 0.0062 0.0011 3.8965 0.5564 0.0247 0.0017第二类一重积分程序代码：%%%构造示性函数function I=I1(x,a,b)if x>=a&&x<=bI=1;elseI=0;end%保存为I1.m%第二类一重积分程序主体%程序保存为f21.mfunction outf21=f21()g1=input('输入一元被积函数如exp(x.^2):','s')%输入被积函数g1=inline(g1);a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限b=input('输入积分上界b:');fprintf('输入样本容量 10^V1--10^V2:\r')V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2n=10^mfor j=1:10x=randn(1,n);for i=1:nt1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量endy1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);Y1(j)=y1*t1'/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y1*t'/10; %十次均值d=0;for i=1:10d=d+(Y1(i)-EY)^2;endd=d/(10-1);EY1(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值MSE1(m-V(1)+1)=d; %方差endEY1,MSE1outf21=[EY1;MSE1]; %存放样本数字特征%%%%程序保存为f21.m运行结果：%估计积分 210x e dxm=f21输入一元被积函数如exp(x.^2):exp(x.^2)g1 =exp(x.^2)输入积分下界a:0输入积分上界b:1输入样本容量 10^V1--10^V2:V1:1V2:4n =10n =100n =1000n =10000EY1 =2.0782 1.6583 1.5029 1.4590 MSE1 =0.4315 0.0889 0.0057 0.0008m =2.0782 1.6583 1.5029 1.45900.4315 0.0889 0.0057 0.0008%用matlab 指令求积分 210x e dxf=inline('exp(x.^2)')f =Inline function:f(x) = exp(x.^2)>> S=quadl(f,0,1)S =1.4627第二类二重积分程序代码：%%%构造示性函数，求不同区域上积分只需更改示性函数function I=I2(x,y)if x^2+y^2<=1I=1;elseI=0;end%保存为I2.m%第二类二重积分函数主体%，程序保存为f22.mfunction outf22=f22()g2=input('输入二元被积函数如1./(1+x.^4+y.^4).^0.5:','s')%输入被积函数g2=inline(g2,'x','y');fprintf('输入样本容量 10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:\r')V=zeros(1,2);V(1)=input('V1:');%输入样本容量V(2)=input('V2:');for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2n=10^mfor j=1:10x=randn(1,n);y=randn(1,n);for i=1:nt2(i)=I2(x(i),y(i));%示性及求和向量endy2=g2(x,y)*(2*pi).*exp((x.^2+y.^2)/2);Y2(j)=y2*t2'/n; %单次实验样本均值endt=ones(1,10);EY=Y2*t'/10; %十次均值d=0;for i=1:10d=d+(Y2(i)-EY)^2;endd=d/(10-1);EY2(m-V(1)+1)=EY; %样本容量为10^m时的样本均值MSE2(m-V(1)+1)=d; %方差endEY2,MSE2outf22=[EY2;MSE2]; %存放样本数字特征%第二类二重积分，程序保存为f22.m运行结果：%估计积分22x y dxdy+≤⎰⎰m=f22输入二元被积函数如1./(1+x.^4+y.^4).^0.5:1./(1+x.^4+y.^4).^0.5 g2 =1./(1+x.^4+y.^4).^0.5输入样本容量10^V1*10^V1--10^V2*10^V2:V1:1V2:4n =10n =100n =1000n =10000EY2 =3.0759 2.9699 2.8566 2.8269 MSE2 =1.3267 0.0900 0.0060 0.0014m =3.0759 2.9699 2.8566 2.82691.3267 0.0900 0.0060 0.0014实验结果整理：第一类一重积分：估计积分2sinx xdxπ⎰积分真值：1 积分估计值：1.0018样本容量：10 100 1000 10000 100000 样本均值：1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018绝对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 相对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 均方误差：0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001估计积分2-0x e dx +∞⎰积分真值：0.8862积分估计值：0.8871 样本容量：10 1001000 10000 样本均值：0.9333 0.9077 0.8873 0.8871 绝对误差：0.0470 0.0215 0.0010 0.0009 相对误差：0.0531 0.0243 0.0012 0.0010 均方误差：0.1927 0.0112 0.0016 0.0000第一类二重积分：估计积分22221x y x y e dxdy ++≤⎰⎰积分真值：5.3981 积分估计值： 5.4041 样本容量：10 100 1000 10000 样本均值：4.7702 5.1250 5.4317 5.4041 绝对误差： 0.6279 0.2732 0.0335 0.0060 相对误差：0.1163 0.0506 0.0062 0.0011 均方误差：3.8965 0.5564 0.0247 0.0017第二类一重积分：估计积分 210x e dx ⎰积分估计值：1.4590样本容量：10 100 1000 10000 样本均值：2.0782 1.6583 1.5029 1.4590 样本方差：0.4315 0.0889 0.0057 0.0008 用matlab 指令求得积分结果1.4627第二类二重积分：估计积分22x y +≤⎰⎰积分估计值：2.8269样本容量：10 100 1000 10000 样本均值：3.0759 2.9699 2.8566 2.8269 样本方差：1.3267 0.0900 0.0060 0.0014实验结果分析：从第一类积分看，以估计积分 20sin x xdx π⎰为例：积分真值：1 积分估计值：1.0018样本容量：10 100 1000 10000 100000 样本均值：1.2635 1.0088 1.0066 1.0109 1.0018 绝对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 相对误差：0.2635 0.0088 0.0066 0.0109 0.0018 均方误差：0.6439 0.0205 0.0028 0.0006 0.0001随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势；随着样本容量的增大，样本均值有接近积分真值的趋势，说明估计具有无偏性；绝对误差、相对误差、均方误差呈减小趋势，说明增大样本容量能提高估计精度；验证了蒙特卡洛方法估计积分值的可行性，为后续估计第二类积分提供了参考。