二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]:求下列二次函数的最值:(1)求函数322-+=x x y 的最值. 解:4)1(2-+=x y当1-=x 时,y 有最小值4-,无最大值.(2)求函数322-+=x x y 的最值.)30(≤≤x解:4)1(2-+=x y∵30≤≤x ,对称轴为1-=x∴当12330有最大值时;当有最小值时y x y x =-=.[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设涨价(或降价)为每件x 元,利润为y 元,1y 为涨价时的利润,2y 为降价时的利润 则:)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ,即:定价为65元时,6250max =y (元))20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ,即:定价为57.5元时,6125max =y (元) 综合两种情况,应定价为65元时,利润最大.[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 解:设每件价格提高x 元,利润为y 元, 则:)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ,4500max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额? 解:设旅行团有x 人)30(≥x ,营业额为y 元, 则:)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ,30250max =y (元)答:当旅行团的人数是55人时,旅行社可以获得最大营业额.[例3]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表: 若日销售量y 是销售价x 的一次函数. ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?解:⑴设一次函数表达式为b kx y +=.则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ,•即一次函数表达式为40+-=x y .⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元, 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ,225max =y (元)答:产品的销售价应定为25元时,每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: ⑴在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30•元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x )存在如下图所示的一次函数关系式. ⑴试求出y 与x 的函数关系式;⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少? ⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案). 解:⑴设y=kx+b 由图象可知,3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得, 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x . ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值.当35)20(21400=-⨯=x 时,4500max =P (元)(或通过配方,4500)35(202+--=x P ,也可求得最大值)答:当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润4500元.⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39.作业布置: 1.二次函数1212-+=x x y ,当x=_-1,_时,y 有最_小_值,这个值是23-. 2.某一抛物线开口向下,且与x 轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个),此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”).3.不论自变量x 取什么实数,二次函数y =2x 2-6x +m 的函数值总是正值,你认为m 的取值范围是29>m ,此时关于一元二次方程2x 2-6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解:29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ,要使0>y ,只有029>-m ∴29>m4.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L 是 4.5米 .解:当05.3=y 时,21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ,5.1=x 或5.1-=x (不合题意,舍去)5.在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0(m/s )竖直向上抛出,•在不计空气阻力的情况下,其上升高度s (m )与抛出时间t (s )满足:S=V 0t-12gt 2(其中g 是常数,通常取10m/s 2),若V 0=10m/s ,则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m .解:t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时,5max =s ,所以,最高点距离地面725=+(米).6.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天 在某段公路上行驶上,速度为V (km/h )的汽车的刹车距离S (m )可由公式S=1100V 2确定;雨天行驶时,这一公式为S=150V 2.如果车行驶的速度是60km/h ,•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比,刹车距离相差_36_米.7.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价_5_元,最大利润为_625_元.解:设每件价格降价x 元,利润为y 元, 则:)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ,625max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.8.如图,一小孩将一只皮球从A 处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ,球路的最高点B (8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) .解:设9)8(2+-=x a y ,将点A )1,0(代入,得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ,得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ,)0,268(+C ,∴5.242688≈++=OC (米)9.(20XX 年青岛市)在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕,•某果品批发公司为指导今年(1)在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对(x ,y )所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式; (2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 的值最大?解:(1)由图象可知,y 是x 的一次函数,设y=kx+b ,• ∵点(•25,2000),(24,2500)在图象上,∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 , ∴y=-500x+14500.(2)P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润,最大利润为32000元.10.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg 蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元,写出p 关于x 的函数关系式; (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q -收购总额)? 解:(1)由题意知:p=30+x,(2)由题意知:活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则:W=Q -1000×30-400x=-10x 2+500x=-10(x 2-50x) =-10(x -25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元. 答:这批蟹放养25天后出售,可获最大利润.11.(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) .(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? 解:)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ,200max =y (元)(1)y 与x 之间的的函数关系式为;160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时,每天的销售利润最大,最大利润是200元. (3) 150200)30(22=+--x ,25)30(2=-x28351>=x (不合题意,舍去)252=x答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为25元.12.(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x (吨)时,所需的全部费用y (万元)与x 满足关系式9051012++=x x y ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价,(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)(1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,,请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与之间的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,(为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?解:(1)甲地当年的年销售额为万元;.(2)在乙地区生产并销售时,年利润.由,解得或.经检验,不合题意,舍去,.(3)在乙地区生产并销售时,年利润,将代入上式,得(万元);将代入,得(万元).,应选乙地.。
22.3.2二次函数的实际应用(利润问题)
并求出哪个月的利润最大?
思路导析: ⑴p与x是一次函数关系 ⑵销售月利润=(销售收入-成本)x销售量
22.3.2实际问题与二次函数
销售问题
复习回顾 1.求下列二次函数的最大值或最 小值:
⑴ y=-x2+2x-3; x=1时,ymax=-2 ⑵
2 y=(x-2) +4(
-1≤x≤1 ) x=-1时,ymax=13,
x=1时,ymin=5.
2. 已知某商品的进价为每件40元,售价是
每件60元,每星期可卖出300件。那么一周
2.若设每件降价x元时的总利润为y元. y=(60-40-x)(300+20x) =-20(x-2.5)2+6125 (0≤x≤20)
当x=2.5时,y的最大值是6125.
定价 : 60-2.5=57.5(元)
答:综合以上两种情况,定价为65元可获得 最大利润为6225元.
归纳小结
解决利润最大化问题
深化拓展3
某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的 销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间 的关系如下表: x(元) y(件) 15 25 20 20 30 10
… …
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
(1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的 函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售 价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
当x=5时,y的最大值是2250。 所以,定价为:45元,最大利润为2250元 答:定价为45元可获得最大利润为2250元.
二次函数利润问题含答案
1 / 7二次函数综合题的分类一二次函数综合题的分类一1、 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神。
为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神。
最近,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加,某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量W (千克)与销售价X (元(元//千克)有如下关系,千克)有如下关系,W=W=W=——2X+802X+80.设:这种农产品每天的销售利润为.设:这种农产品每天的销售利润为y (元)(元) (1)求y 与X 之间的函数关系式;之间的函数关系式;(2)当销售价总为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?)当销售价总为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?元的销售利润,销售价应定为多少元?(1)y =(x-20x-20))W=W=((x-20x-20))(-2x+80-2x+80))=-2x 2+120x-1600∴ y 与x 的函数关系式为y=y=--2x 2+120x-1600 +120x-1600(2)y =-2x 2+120x-1600=-2(x-30)2+200 ∴当x=30 时,时,y y有最大值200 所以当销售价定为30元/千克时,每天可获得最大销售利润200元(3)当y =150时,可得方程时,可得方程-2(x-30)-2(x-30)2+200=150 用这个方程,得x 1=25 =25 x 2=35 根据题意x 2=35不合题意,应舍去.不合题意,应舍去.∴当销售量为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.元.2、某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调查发现,这种商品在未来40天内的月销售量m (件)与时间t (天)的关系如下表:(天)的关系如下表:时间t (天)(天) 13 5 10 36 月销售量m (件)9490867624未来40天内,前20天每天的价格y 1(元(元 / /件)件)与时间t (天)的函数关系式为y 1=0.25t+25(1(1≤≤ t ≤20且t 为整数为整数))后20天每天的价格y 2(元/件)与时间t (天)的函数关系式为(天)的函数关系式为 y 2=-0.5t+400.5t+40((2121≤≤t ≤40且t 为整数)下面我们就来研究销售这种商品有关问题。
北师大 中考 实用总结二次函数的实际应用(利润最值问题7页)
-二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点:二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).即当0>a 时,函数有最小值,并且当abx 2-=,a b ac y 442-=最小值;当0<a 时,函数有最大值,并且当abx 2-=,a b ac y 442-=最大值.如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内,则当abx 2-=,a b ac y 442-=最值,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小;如果在此范围内y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222最小.[例1]:求下列二次函数的最值:(1)求函数322-+=x x y 的最值. 解:4)1(2-+=x y当1-=x 时,y 有最小值4-,无最大值.(2)求函数322-+=x x y 的最值.)30(≤≤x 解:4)1(2-+=x y∵30≤≤x ,对称轴为1-=x∴当12330有最大值时;当有最小值时y x y x =-=.[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设涨价(或降价)为每件x 元,利润为y 元,1y 为涨价时的利润,2y 为降价时的利润 则:)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ,即:定价为65元时,6250max =y (元))20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ,即:定价为57.5元时,6125max =y (元) 综合两种情况,应定价为65元时,利润最大.[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 解:设每件价格提高x 元,利润为y 元, 则:)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ,4500max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额? 解:设旅行团有x 人)30(≥x ,营业额为y 元, 则:)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ,30250max =y (元)答:当旅行团的人数是55人时,旅行社可以获得最大营业额.[例3]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表: 若日销售量y 是销售价x 的一次函数. ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?解:⑴设一次函数表达式为b kx y +=.则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ,•即一次函数表达式为40+-=x y .⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元, 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x-225)25(2+--=x 当25=x ,225max =y (元)答:产品的销售价应定为25元时,每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: ⑴在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程.3.超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30•元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x )存在如下图所示的一次函数关系式.⑴试求出y 与x 的函数关系式;⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案). 解:⑴设y=kx+b 由图象可知,3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得, 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x . ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x200001400202-+-=xx ∵020<-=a ∴P 有最大值.当35)20(21400=-⨯=x 时,4500max =P (元)(或通过配方,4500)35(202+--=x P ,也可求得最大值)答:当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润4500元.⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39.作业: 1.二次函数1212-+=x x y ,当x=_-1,_时,y 有最_小_值,这个值是23-. 2.某一抛物线开口向下,且与x 轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个),此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”).3.不论自变量x 取什么实数,二次函数y =2x 2-6x +m 的函数值总是正值,你认为m 的取值范围是29>m ,此时关于一元二次方程2x 2-6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解:29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ,要使0>y ,只有029>-m ∴29>m4.小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L 是 4.5米 .解:当05.3=y 时,21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ,5.1=x 或5.1-=x (不合题意,舍去)5.在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0(m/s )竖直向上抛出,•在不计空气阻力的情况下,其上升高度s (m )与抛出时间t (s )满足:S=V 0t-12gt 2(其中g 是常数,通常取10m/s 2),若V 0=10m/s ,则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m . 解:t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时,5max =s ,所以,最高点距离地面725=+(米).6.影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天 在某段公路上行驶上,速度为V (km/h )的汽车的刹车距离S (m )可由公式S=1100V 2确定;雨天行驶时,这一公式为S=150V 2.如果车行驶的速度是60km/h ,•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比,刹车距离相差_36_米.7.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价_5_元,最大利润为_625_元.解:设每件价格降价x 元,利润为y 元, 则:)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ,625max =y (元)-答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.8.如图,一小孩将一只皮球从A 处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ,球路的最高点B (8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) .解:设9)8(2+-=x a y ,将点A )1,0(代入,得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ,得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ,)0,268(+C ,∴5.242688≈++=OC (米)9.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:(1观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式; (2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 的值最大? 解:(1)由图象可知,y 是x 的一次函数,设y=kx+b ,• ∵点(•25,2000),(24,2500)在图象上,∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 , ∴y=-500x+14500. (2)P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润,最大利润为32000元.10.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg 蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元,写出p 关于x 的函数关系式; (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q -收购总额)? 解:(1)由题意知:p=30+x,(2)由题意知:活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则:W=Q -1000×30-400x=-10x 2+500x=-10(x 2-50x) =-10(x -25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元. 答:这批蟹放养25天后出售,可获最大利润.11.政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) .(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? 解:)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ,200max =y (元)(1)y 与x 之间的的函数关系式为;160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时,每天的销售利润最大,最大利润是200元.-(3) 150200)30(22=+--x ,25)30(2=-x28351>=x (不合题意,舍去)252=x答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为25元.12.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x (吨)时,所需的全部费用y (万元)与x 满足关系式9051012++=x x y ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价,(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)(1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,,请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与之间的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,(为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?解:(1)甲地当年的年销售额为万元;.(2)在乙地区生产并销售时, 年利润.由,解得或.经检验,不合题意,舍去,.(3)在乙地区生产并销售时,年利润,将代入上式,得(万元);将代入,得(万元).,应选乙地.。
专题08 二次函数实际应用中的利润问题(解析版)-【压轴必考】
专题08 二次函数实际应用中的利润问题 经典例题例1.某电商销售某种商品一段时间后,发现该商品每天的销售量y (单位:千克)和每千克的售价x (单位:元)满足一次函数关系(如图所示),其中5080x ≤≤,(1)求y 关于x 的函数解析式;(2)若该种商品的成本为每千克40元,该电商如何定价才能使每天获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+;(2)该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大,最大利润是1800元.【解析】(1)设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+,则由图象可得()50,100和()80,40,代入得: 501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:2200k b =-⎧⎨=⎩,∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+; (2)设该电商每天所获利润为w 元,由(1)及题意得:()()240220022808000w x x x x =--+=-+-,∴-2<0,开口向下,对称轴为702b x a=-=, ∴5080x ≤≤,∴当70x =时,w 有最大值,即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=; 答:该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大,最大利润是1800元.例2.合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品,在5月份试销阶段发现,在售价不低于130元的情况下每件售价(元)与商品的日销量(件)始终存在下表中的数量关系:(1)请你观察上面表格中数据的变化规律,填写表中的a 值为(2)若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元,应将售价定为多少元?(3)柜组售货员小李发现销售该种商品m 件与n 件的利润相同,且m n ≠,请直接写出m 与n 所满足的关系式.【答案】(1)20;(2)160元;(3)m +n =80【解析】(1)∴130+70=200,135+65=200,140+60=200,∴每件的售价与产品的日销量之和为200,∴a =200-180=20,故答案为:20;(2)由(1)知:当每件产品每涨价1元时,日销售量减少1件,设每件产品定价为x 元(x >120),则产品的日销量为(200-x )元,依题意得:(x -120)(200-x )=1600,整理得:x 2-320x +25600=0,解得:x 1=x 2=160.答:每件产品定价为160元时,每日盈利可达到1600元;(3)由(1)知:当每件产品每涨价1元时,日销售量减少1件,∴当销售该种商品m 件时,定价为:(200-m )元,销售该种商品n 件时,定价为:(200-n )元, 由题意得:(200-m -120)m =(200-n -120)n ,整理得:(m -n )(m +n -80)=0,∴m ≠n ,∴m +n -80=0,即m +n =80.故答案为:(1)20;(2)160元;(3)m +n =80例3.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器,进价为每个40元,在销售过程中发现,这款蒸蛋器销售单价为60元时,每星期卖出100个.如果调整销售单价,每涨价1元,每星期少卖出2个,现网店决定提价销售,设销售单价为x 元,每星期销售量为y 个.(1)请直接写出y (个)与x (元)之间的函数关系式;(2)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润是2400元?(3)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?【答案】(1)y =-2x +220;(2)当销售单价是70元或80元时,该网店每星期的销售利润是2400元;(3)当销售单价是75元时,该网店每星期的销售利润最大,最大利润是2450元.【解析】(1)由题意可得,y =100-2(x -60)=-2x +220;(2)由题意可得,(-2x +220)(x -40)=2400,解得,170x =,280x =,∴当销售单价是70元或80元时,该网店每星期的销售利润是2400元.答:当销售单价是70元或80元时,该网店每星期的销售利润是2400元.(3)设该网店每星期的销售利润为w 元,由题意可得w =(-2x +220)(x -40)=223008800-+-x x , 当752b x a=-=时,w 有最大值,最大值为2450, ∴当销售单价是75元时,该网店每星期的销售利润最大,最大利润是2450元.答:当销售单价是75元时,该网店每星期的销售利润最大,最大利润是2450元.【变式训练1】天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件.试营销阶段发现:当销售单价是13元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件,设该商场销售这种文具每天的销售量为y 件,销售单价为x 元/件(3)1x ≥.(1)写出y 与x 之间的函数关系式;(2)设商场每天的销售利润为w (元),若每天销售量不少于150件,求商场每天的最大利润.【答案】(1)10380y x =-+;(2)1950元【解析】(1)当销售单价是13元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件,∴销售量y 件,销售单价x 元/件(13)x 之间的关系为:25010(13)10380y x x =--=-+; (2)每天销售量不少于150件,150y ∴,即10380150x -+,解得23x ,商场每天的销售利润2(10)(10)(10380)10(24)1960w x y x x x =-⋅=-⋅-+=--+,w ∴关于x 的抛物线对称轴为24x =,而100-<,开口向下,当23x 时,图象在对称轴左侧,w 随x 的增大而增大,23x ∴=时,w 最大,且w 最大值为1950,∴若每天销售量不少于150件,则商场每天的最大利润是1950元.【变式训练2】某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜.某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图(1)所示,每千克成本与销售月份之间的关系如图(2)所示(其中图(1)的图象是直线,图(2)的图象是抛物线).(1)求每千克蔬菜销售单价y 与销售月份x 之间的关系式;(2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大?并求出最大收益;(3)求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些?【答案】(1)y =23-x +7;(2)5月出售每千克收益最大,最大为73元;(3)一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4,5,6三个月.【解析】(1)设y kx b =+,将(3,5)和(6,3)代入得,3563k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得237k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.273y x ∴=-+; (2)设每千克成本与销售月份之间的关系式为:y =a (x -6)2+1,把(3,4)代入得,4=a (3-6)2+1,解得13a =.21(6)13y x ∴=-+,即214133y x x =-+. 收益23W =-217(413)3x x x +--+217(5)33x =--+, 103a =-<,∴当5x =时,73W =最大值.故5月出售每千克收益最大,最大为73元; (3)一年中销售每千克蔬菜的收益:23W =-217(413)3x x x +--+, 当1W =时,23-217(413)13x x x +--+=,解得:x 1=7,x 2=3, 103a =-<,x 为正整数,∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4,5,6三个月. 故答案为:(1)y =23-x +7;(2)5月出售每千克收益最大,最大为73元;(3)一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4,5,6三个月.【变式训练3】红星公司销售一种成本为40元/件的产品,若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x (单位:元/件),月销售量为y (单位:万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当月销售单价是多少元/件时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a 的值.【答案】(1)5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩;(2)当月销售单价是70元/件时,月销售利润最大,最大利润是90万元;(3)4.【解析】(1)由题意,当4050x ≤≤时,5y =,当50x >时,50.1(50)0.110y x x =--=-+,0y ≥,0.1100x ∴-+≥,解得100x ≤,综上,5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩; (2)设该产品的月销售利润为w 万元,①当4050x ≤≤时,5(40)5200w x x =-=-,由一次函数的性质可知,在4050x ≤≤内,w 随x 的增大而增大,则当50x =时,w 取得最大值,最大值为55020050⨯-=;②当50100x <≤时,2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+,由二次函数的性质可知,当70x =时,w 取得最大值,最大值为90,因为9050>,所以当月销售单价是70元/件时,月销售利润最大,最大利润是90万元;(3)捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元(大于50万元), 5070x ∴<≤,设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元,由题意得:(40)(0.110)Q x a x =---+,整理得:221400.1()390240a a Q x a +=--+-+, 140702a +>,∴在5070x <≤内,Q 随x 的增大而增大, 则当70x =时,Q 取得最大值,最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-,因此有90378a -=,解得4a =.【变式训练4】某企业研发了一种新产品,已知这种产品的成本为30元/件,且年销售量y (万件)与售价x (元/件)的函数关系式为()()2140,406080.6070x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ (1)当售价为60元/件时,年销售量为________万件;(2)当售价为多少时,销售该产品的年利润最大?最大利润是多少?(3)若销售该产品的年利润不少于750万元,直接写出x 的取值范围.【答案】(1)20;(2)当售价为50元/件时,年销售利润最大,最大为800万元;(3)4555x ≤≤【解析】(1)=6080608020x y x y =-+=-+=当时,代入中,得.(2)设销售该产品的年利润为W 万元,当60x ≤40<时,()()()2302140250800W x x x =--+=--+.∴20<-,∴当50x =时,800W =最大当6070≤≤x 时,()()()2308055625W x x x =--+=--+∴10-<,6070≤≤x ,∴当60x =时,600W =最大∴800600>,∴当50x =时,800W =最大∴当售价为50元/件时,年销售利润最大,最大为800万元.(3)4555x ≤≤理由如下:由题意得 ()()3021407504555x x x --+≥≤≤解得:故答案为:(1)20;(2)当售价为50元/件时,年销售利润最大,最大为800万元;(3)4555x ≤≤ 课后训练1.某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,销售单价为100元时,每月的销售量为50件,而销售单价每降低2元,则每月可多售出10件,且要求销售单价不得低于成本.(1)求该商品每月的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(不需要求自变量取值范围) (2)若使该商品每月的销售利润为4000元,并使顾客获得更多的实惠,销售单价应定为多少元?(3)超市的销售人员发现:当该商品每月销售量超过某一数量时,会出现所获利润反而减小的情况,为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元?【答案】(1)5550y x =-+;(2)70元;(3)80元.【解析】(1)∴依题意得()150100102y x =+-⨯⨯, ∴y 与x 的函数关系式为5550y x =-+;(2)∴依题意得()504000y x -=,即()()5550504000x x -+-=,解得:170x =,290x =, ∴7090<∴当该商品每月销售利润为4000,为使顾客获得更多实惠,销售单价应定为70元;(3)设每月总利润为w ,依题意得 ()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-∴50-<,此图象开口向下∴当()8008025x =-=⨯-时, w 有最大值为:258080080275004500-⨯+⨯-=(元),∴当销售单价为80元时利润最大,最大利润为4500元,故为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为80元.2.红星工厂研发生产某种产品,成本为3万元/吨,每天最多能生产15吨.工厂为持续发展,尝试与博飞销售公司建立产销合作关系,双方约定:合作第一个月,工厂产品仅由博飞销售公司订购代销,并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产,当日出厂价格y (万元/吨)与当日订购产品数量x (吨)之间的关系如图所示:(1)直接写出y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)红星工厂按产销合作模式生产这种产品,设第一个y (万元/吨)月单日所获利润为w (万元), ①求w (万元)与x (吨)的函数关系式;②为响应国家“乡村振兴”政策,红星工厂决定,将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会.试问:工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元?【答案】(1)9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩<;(2)①w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩<;②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元.【解析】(1)当0≤x ≤5时,设函数关系式为:y =kx +b ,把(0,9),(5,4)代入上式,得945b k b =⎧⎨=+⎩,解得:19k b =-⎧⎨=⎩,∴y =-x +9, 当5<x ≤15时,y =4,综上所述:9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩<; (2)①由题意得:w =(y -3)x =()()6(05)43(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨-≤⎪⎩<,∴w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩<; ②当05x ≤≤时,w =()22639x x x -+=--+,此时x =3,w 最大值=9,当515x ≤<时,w =x ,此时,x =15,w 最大值=15,综上所述:工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元.3.一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现销售量y (件)与售价x (元/件)(x 为正整数)之间满足一次函数关系:(1)求y 与x 的函数关系式(不求自变量的取值范围);(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元?【答案】(1)50012000y x =-+;(2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元,销售单价分别为12元【解析】(1)设y 和x 的函数表达式为y kx b =+,则10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得50012000k b =-⎧⎨=⎩, 故y 和x 的函数表达式为50012000y x =-+;.(2)设这一周该商场销售这种商品的利润为w 元,由题意得:3155001200006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩, 解得312x ≤≤,这一周该商场销售这种商品获得利润:()()()235001200035001350036000w y x x x x x =-=-+-=-+-,∴22750055125551252w x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭, ∴312x ≤≤,故12x =时,w 有最大值为54000,答:一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元,销售单价为12元.4.夏天到了,宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期,一水果店老板进行杨梅销售,已知杨梅进价为25元/千克.如果售价为30元/千克,那么每天可售出150千克:如果售价为32元/千克,那么每天可售出130千克.经调查发现:每天销售盘y (千克)与售价x (元/千克)之间存在一次函数关系.(1)求出y 关于x 的一次函数关系式;(2)若杨梅售价不得高于36元/千克,该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润,则销售单价应定为多少元/千克?(毛利润=销售额-进货成本〉(3)设杨梅每天销售的毛利润为W 元,当杨梅的售价定为多少元/千克时,每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?【答案】(1)y=-10x+450;(2)33元/千克;(3)售价定为35元/千克时,每天销售获得的毛利润最大,最大毛利润是1000元.【解析】(1)∴每天销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间存在一次函数关系,∴设y=kx+b,∴x=30时,y=150,x=32时,y=130,则1503013032k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得:10450kb=-⎧⎨=⎩,∴y关于x的一次函数关系式:y=-10x+450;(2)设销售单价应定为x元/千克,由题意得:(x-25)(-10x+450)=960,解得:x=37或x=33,∴杨梅售价不得高于36元/千克,∴x=37不合题意,∴x=33,答:销售单价应定为33元/千克;(3)设杨梅的售价定为m元/千克时,每天销售获得的毛利润最大,则W=(m-25)(-10m+450)=-10m2+700m-11250=-10(m-35)2+1000,∴-10<0,∴当m=35时,W有最大值,最大值1000元,答:杨梅的售价定为35元/千克时,每天销售获得的毛利润最大,最大毛利润是1000元.5.某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品,在市场试销中发现,此商品的月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间有如下表所示关系:(1)根据表中的数据,在图中描出实数对(,)x y所对应的点,并画出y关于x的函数图象;(2)根据画出的函数图象,求出y关于x的函数表达式;(3)设经营此商品的月销售利润为P(单位:万元).①写出P关于x的函数表达式;②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元(不计其它成本),若物价局限定商品的销售单价不.得超过...进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元? 【答案】(1)图象见解析;(2)216y x =-+;(3)①222032P x x =-+-;②销售单价应定为3元.【解析】(1)y 关于x 的函数图象如图所示:(2)由(1)可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+,则由表格可把()()4,8,5,6代入得:4856k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:216k b =-⎧⎨=⎩,∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+; (3)①由(2)及题意可得:()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-;∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-;②由题意得:2200x ≤⨯%,即4x ≤,∴22203210x x -+-=,解得:123,7x x ==,∴3x =; 答:此时的销售单价应定为3元.。
中考二次函数应用题(含答案解析)
中考二次函数应用题(含答案解析)二次函数应用题1.某商场销售一种小商品,进货价为8元/件,当售价为10元/件时,每天的销售量为100件.在销售过程中发现:销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.设销售单价为x(元/件)(10x≥的整数),每天销售利润为y(元).(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若每件该小商品的利润率不超过100%,且每天的进货总成本不超过800元,求该小商品每天销售利润y的取值范围.2.某地在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为: y81620712x x xx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩(,为整数)(,为整数),每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如表:x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格直接写出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少?3.某商场购进一种每件成本为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式;(3)疫情期间,有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%,那么将售价定为多少,来保证每天获得的总利润最大,最大总利润是多少?(利润率=利润÷成本×100%)(4)疫情过后,有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a 元(10≤a ≤25),捐赠后发现,该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大.请直接写出a 的取值范围.4.北京冬奥会上,由于中国冰雪健儿们的发挥出色,中国金牌总数位列第三,向世界证明了中国是冰雪运动强国!青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银.在数学上,我们不妨约定:在平面直角坐标系中,将点()2,1P 称为“爱凌点”,经过点()2,1P 的函数,称为“爱凌函数”.(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”,关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”,则r =_____,s =_____,t =_____.(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”,且两个函数图象有且只有一个交点,求k 的值.(3)如图,点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点,其中D 在第四象限,C 在第一象限对称轴右侧,直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点: ①求点E ,F 的坐标;(用含1x ,2x 的代数式表示);②若1OE OF ⋅=,试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”,并说明理由.5.国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,低排量的汽车比较畅销,某汽车经销商购进A ,B 两种型号的低排量汽车,其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元;花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同. (1)求A ,B 两种型号汽车的进货单价;(2)销售过程中发现:A 型汽车的每周销售量yA (台)与售价xA (万元台)满足函数关系yA =﹣xA +18;B 型汽车的每周销售量yB (台)与售价xB (万元/台)满足函数关系yB =﹣xB +14.若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台,设每周销售这两种车的总利润为w 万元.①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润,求B 型汽车的最低售价?②求当B 型号的汽车售价为多少时,每周销售这两种汽车的总利润最大?最大利润是多少6.某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y (件)与每件销售价x (元)的关系数据如下: x 30 32 34 36 y40363228(1)已知y 与x 满足一次函数关系,根据上表,求出y 与x 之间的关系式(不写出自变量x 的取值范围);(2)设该商店每天销售这种商品所获利润为w (元),求出w 与x 之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?7.某服装厂批发应季T 恤衫,其单价y (元)与一次批发数量x (件)(x 为正整数....)之间的关系满足图中折线的函数关系.(1)求y 与x 的函数关系式;(2)若每件T 恤衫的成本价是60元,当100400x <≤时,求服装厂所获利润w (元)与x (件)之间的函数关系式,并求一次批发多少件时所获利润最大,最大利润是多少? 8.嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是120元,花卉的平均每盆利润是15元,调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x 盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ,2W (单位:元).(1)第二期盆景的数量为_________盆,花卉的数量为_________盆; (2)用含x 的代数式分别表示1W ,2W ;(3)当x 取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大,最大总利润是多少?9.为响应政府“节能”号召,某强照明公司减少了白炽灯的生产数量,引进新工艺生产一种新型节能灯,己知这种节能灯的出厂价为每个20元.某商场试销发现,销售单价定为25元/个,每月销售量为250个;每涨价1元,每月少卖10个. (1)求出每月销售量y (个)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w (元)与销售单价x (元)之间的函数关(3)若每月销售量不少于200个,且每个节能灯的销售利润至少为7元,则销售单价定为多少元时,所获利润最大?最大利润是多少?10.如图,用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园,其中一面靠墙,墙长10米,墙的对面有一个2米宽的门,设垂直于墙的一边长为x 米,菜园的面积为S 平方米.(1)直接写出S 与x 的函数关系式; (2)若菜园的面积为96平方米,求x 的值;(3)若在墙的对面再开一个宽为a (0<a <3)米的门,且面积S 的最大值为124平方米,直接写出a 的值.【参考答案】二次函数应用题1.(1)2102801600y x x =-+- (10x ≥的整数) (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】(1)销售单价为x 元/件时,每件的利润为(8)x -元,此时销量为[10010(10)]x --,由此计算每天的利润y 即可;(2)首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围,且每天的进货总成本不超过800元,再结合(1)的解析式,利用二次函数的性质求解即可. (1)解:(1)根据题意得: (8)[10010(10)]y x x =--- 整理,得 2102801600y x x =-+-(10x ≥的整数) (2)解:∵每件小商品的利润不超过100%,∴8100%8x -⨯≤, ∴16x ≤,∵每天进货总成本不超过800元, ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤, ∴10x ≥, ∴1016x ≤≤,∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+, 当14x =时,有360y =最大值当10x =时,有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值,∴小商品每天销售利润y 的取值范围是:200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题,准确表示出题中的数量关系,熟练运用二次函数的性质求解是解题关键.2.(1)()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数 (2)()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数 (3)当6x =时,w 有最大值为196. 【解析】 【分析】(1)观察表中数据可得,当19x ≤≤时,20z x =-+;当1012x ≤≤时,10z =,则z 与x 的关系式可得;(2)分三种情况:当16x 时,当79x ≤≤时,当1020x ≤≤时,分别写出w 关于x 的函数关系式并化简,则可得答案;(3)分别写出当16x 时,当78x 时,当912x 时的函数最大值,然后比较取最大值即可. (1)解:观察表中数据可得,当19x ≤≤时,20z x =-+;当1012x ≤≤时,10z =. z ∴与x 的关系式为:()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数; (2)解:当16x 时,2(20)(8)12160w x x x x =-++=-++; 当79x ≤≤时,2(20)(20)40400w x x x x =-+-+=-+; 当1020x ≤≤时,10(20)10200w x x =-+=-+;w ∴与x 的关系式为:()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数;(3)解:当16x 时,212160w x x =-++2(6)196x =--+,6x ∴=时,w 有最大值为196;当79x ≤≤时,2240400(20)w x x x =-+=-,w 随x 增大而减小,7x ∴=时,w 有最大值为169;当1020x ≤≤时,10200w x =-+,w 随x 增大而减小,10x ∴=时,w 有最大值为100;100169196<<,6x ∴=时,w 有最大值为196.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系正确列式并分段计算是解题的关键.3.(1)180(100180)y x x =-+<≤ (2)228018000(100180)W x x x =-+-<≤(3)将售价定为130元,每天获得的总利润最大,最大总利润是1500元 (4)2025a ≤≤ 【解析】 【分析】(1)设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠,利用待定系数法可求出其解析式,再求出x 的取值范围即可;(2)根据利润=(售价-单价)×销售量,即可得出答案;(3)根据题意可求出x 的取值范围,再根据二次函数的性质,即可得出答案;(4)根据题意可求出x 的取值范围和W 与x 、a 的关系式,再将其配方,根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增,即可得出关于a 的不等式,解出a 的解集即可得出答案. (1)解:设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠, 根据图象可知点(130,50)和点(150,30)在y kx b =+的图象上,∴5013030150k b k b =+⎧⎨=+⎩, 解得:1180k b =-⎧⎨=⎩.∴180y x =-+. 令0y =,则1800x -+=, 解得:180x =,∴y 与x 之间的函数关系式为180(100180)y x x =-+<≤; (2)根据题意可得2(100)(100)(180)28018000W x y x x x x =-=--+=-+-,即每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式为228018000(100180)W x x x =-+-<≤; (3)根据题意可得:10030%100x -≤, 解得:130x ≤. ∴100130x <≤.∵2228018000(140)1600W x x x =-+-=--+, ∴当130x =时,W 有最大值,且2max (130140)16001500W =--+=(元).故将售价定为130元,每天获得的总利润最大,最大总利润是1500元; (4)根据题意可知10050%100x -≤ 解得:150x ≤.22228018000(180)(140)40160024a a W x x a x x a ⎡⎤=-+---+=--++-+⎢⎥⎣⎦.∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大, ∴1401502a+≥, 解得:20a ≥. ∵1025a ≤≤, ∴2025a ≤≤. 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用.根据题意找到等量关系,列出等式是解题关键.4.(1)2;-1;-1;(2)12k =-;(3)①()20,2E x -+;()10,2F x -+;②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”;理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据已知条件,代入求解即可;(2)首先用待定系数法求出反比例函数解析式,然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值;(3)首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系,然后利用C ,D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ,进一步代入点C 或者点D 的坐标,表示出截距b ,然后将坐标(2,1)代入一次函数,和前面的结论比较是否符合条件. (1)解:∵(3r +4s ,r +s )为“爱凌点”,∴3421r s r s ⎧⎨⎩+=+=, 解得:21r s ⎧⎨-⎩==,将(2,1)代入y =x 2−x +t 得:2122t =-+,解得t =−1. 故答案为:2;-1;-1. (2)将(2,1)分别代入y =kx +b 与y =mx中, 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩,即122b k m =-⎧⎨=⎩,∵两个函数图象有且只有一个交点,∴kx +1−2k =2x只有一个根,即:kx 2+(1−2k )x −2=0, Δ=(1−2k )2+8k =0, ∴k =−12. (3)①令x 2−3x +2=0,得:11x =,x 2=2, ∴A (1,0),B (2,0), ∵C 、D 两点在抛物线上,∴C (x 1,x 12−3x 1+2),D (x 2,22232x x -+),设AD 的函数关系式为:11AD y k x b =+,则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩, 解得:121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩,∴()()2222AD y x x x =-+-+, 令x =0,则22y x =-+,∴()202E x -+,, 设AC 的函数关系式为:22AC y k x b =+,则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩, 解得:212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩,∴()()1122AC y x x x =-+-+, 令x =0,则12y x =-+,∴()102F x -+,; ②y =kx +b 是“爱凌函数”,理由如下: ∵若OE •OF =1,∴21221x x -+-+=, ∴(2−x 2)(x 1−2)−1=0, ∴2x 1−x 1x 2+2x 2−5=0,∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点,∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩, 解得:121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩,∴CD 的关系式为:y =(x 1+x 2−3)x +2−x 1x 2, 将(2,1)代入得: 2(x 1+x 2−3)+2−x 1x 2=1,即2x 1−x 1x 2+2x 2−5=0,与前提条件OE•OF =1所得出的结论一致, ∴经过C ,D 的一次函数y =kx +b 是“爱凌函数”. 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点,将结论与前提条件进行比较,整个题目涉及的未知数比较多,计算过程中需要仔细.5.(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台,②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时,每周销售这两种汽车的总利润最大,最大利润是23万元 【解析】 【分析】(1)设未知数,用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价,然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可.(2)①用利润公式:利润=(售价-进价)×数量,分别表示出A 、B 型汽车利润,然后列不等式求解即可;②B 型号的汽车售价为t 万元/台,然后将两车的总利润相加得出一个二次函数,求二次函数的最值即可. (1)解:设B 型汽车的进货单价为x 万元,根据题意,得: 502x +=40x, 解得x =8,经检验x =8是原分式方程的根, 8+2=10(万元),答:A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元; (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台,则A 型汽车的售价为(t +1)万元/台, ①根据题意,得:(t +1﹣10)[﹣(t +1)+18]≥(t ﹣8)(﹣t +14), 解得:t ≥414,∴t 的最小值为414,即B 型汽车的最低售价为414万元/台, 答:B 型汽车的最低售价为414万元/台; ②根据题意,得:w =(t +1﹣10)[﹣(t +1)+18]+(t ﹣8)(﹣t +14) =﹣2t 2+48t ﹣265 =﹣2(t ﹣12)2+23,∵﹣2<0,当t =12时,w 有最大值为23.答:A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时,每周销售这两种汽车的总利润最大,最大利润是23万元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用,不等式的应用,二次函数的应用,理清数量关系,明确等量关系是解题关键. 6.(1)2100y x =-+(2)221603000w x x =-+-,当销售单价为40元时获得利润最大 【解析】 【分析】(1)待定系数法求解一次函数解析式即可;(2)根据题意得210()(3)00w x x +--=,计算求出满足要求的解即可. (1)解:设该函数的表达式为y kx b =+,根据题意,得30403236k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2100k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为2100y x =-+. (2)解:根据题意,得210()(3)00w x x +--= 221603000x x =-+-224020(0)x =--+∵20a =-<∴当40x =时,w 的值最大∴当销售单价为40元时,获得利润最大. 【点睛】本题考查了一次函数的应用,二次函数的应用,二次函数的图象与性质.解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的知识. 7.(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩(2)一次批发250件时,获得的最大利润为6250元【解析】【分析】(1)利用待定系数法结合图象求出解析式;(2)根据件数乘以单件的利润列得函数关系式,根据二次根式的性质解答.(1)解:当0≤x ≤100时,y =100;当100<x ≤400时,设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ,则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴111010y x =-+; 当x >400时,y =70; 综上,100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时,w 有最大值,即一次批发250件时,最大利润为6250元.【点睛】此题考查了求函数解析式,二次函数的最值问题,正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键.8.(1)40x +,60x -(2)212404800W x x =-++,215900W x =-+(3)6x =时,W 最大,最大利润为5778元【解析】【分析】(1)根据第二期培植盆景与花卉共100盆,培植的盆景比第一期增加x 盆列式即可; (2)根据利润=平均利润×销售数量列式计算即可;(3)表示出总利润W ,根据二次函数的性质求出最大值即可.(1)解:由题意得:第二期盆景的数量为()40x +盆,则花卉的数量为()()1004060x x -+=-盆,故答案为:40x +,60x -;(2)解:由题意得:21(40)(1202)2404800W x x x x =+-=-++,()2156015900W x x =-=-+;(3)解:由题意得:22122404800159002255700W W W x x x x x -++--+=++=+=, ∵对称轴为254x =,而x 为正整数, ∴当6x =时,5778W =,当7x =时,5777W =,∵57785777>,∴6x =时,W 最大,最大利润为5778元.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,找到合适的数量关系列出算式是解题的关键. 9.(1)10500y x =-+(2)21070010000w x x =-+-(3)销售单价定为30元时,所获利润最大,最大利润是2000元.【解析】【分析】(1)根据“销售单价定为25元/个,每月销售量为250个;每涨价1元,每月少卖10个”可得函数解析式;(2)由(1)及题意可进行求解;(3)由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩,然后根据(2)及二次函数的性质可进行求解. (1)解:由题意得:()250102510500y x x =--=-+;(2)解:由(1)及题意得:()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-;(3)解:由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩, 解得:2730x ≤≤,由(2)可知21070010000w x x =-+-,∵100-<,即开口向下,对称轴为直线352b x a=-=, ∴当2730x ≤≤时,w 随x 的增大而增大,∴当x =30时,所获利润最大,最大利润为1090070030100002000w =-⨯+⨯-=;答:销售单价定为30元时,所获利润最大,最大利润是2000元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键.10.(1)S=﹣2x2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】(1)根据矩形面积公式即可写出函数关系式;(2)根据(1)所得关系式,将S=96代入即可求解;(3)再开一个宽为a的门,即矩形的另一边长为(32-2x+a)m,根据矩形的面积公式即可求解.(1)根据题意得,S=(30﹣2x+2)x=﹣2x2+32x;(2)当S=96时,即96=﹣2x2+32x,解得:x1=12,x2=4,∵墙长10米,∴30﹣8+2=25>10,∴x的值为12;(3)∵S=(30﹣2x+a+2)x=﹣2x2+(32+a)x,∵32﹣2x+a≤10,则x≥12a+11,∵面积取得最大值为S=124,∴﹣2x2+(32+a)x=124,把x=12a+11代入,得﹣2(12a+11)2+(32+a)(12a+11)=124,解得a=2.8.答:a的值为2.8.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,根据矩形面积公式得出函数解析式是根本,根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键.。
二次函数的应用练习题及答案
二次函数的应用练习题及答案一:知识点利润问题:总利润=总售价–总成本总利润=每件商品的利润×销售数量二:例题1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个形,则这两个形面积之和的最小值是cm2.2、某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是________________3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,经调查发现,若每件衬衫每降价1元,商场平均每天可以多售出2件.若每件降价x 元,每天盈利y 元,求y 与x 的关系式.若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?每件衬衫降价多少元时,商场每天盈利最多?盈利多少元?5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.求:房间每天的入住量y关于x的函数关系式.该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式.该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品,在市场营销的过程中发现:如果该商品按每件最低价3元销售,日销售量为18件,如果单价每提高1元,日销售量就减少2件.设销售单价为x,日销售量为y.写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式;设日销售的毛利润为P,求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式;在下图所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图,并标出顶点的坐标;观察图象,说出当销售单价为多少元时,日销售的毛利润最高?是多少?7、我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160元,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y 与x之间的函数关系式.O若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?8、为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款,用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品,并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元,员工每人每月的工资为2500元,公司每月需支付其它费用15万元.该产品每月销售量y与销售单价x之间的函数关系如图所示.求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式;当销售单价定为50元时,为保证公司月利润达到5万元,该公司可安排员工多少人?若该公司有80名员工,则该公司最早可在几个月后还清无息贷款?9、大学毕业生响应“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售,购进价格为20元/件.销售结束后,得知日销售量P与销售时间x之间有如下关系:P=-2x+80;又知前20天的销售价格Q1 与销售时间x之间有如下关系:Q1?1x?30 ,后10天的销售价格Q与2销售时间x之间有如下关系:Q2=45.试写出该商店前20天的日销售利润R1和后l0天的日销售利润R2分别与销售时间x之间的函数关系式;请问在这30天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润.注:销售利润=销售收入一购进成本.10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天的日销售量m与时间t的关系如下表:未来40天,前20天每天的价格y1与时间t的函数关系式为y1?t?25,后20天每天的价格y2与时间t的函数关系式为y2??1t?40。
中考数学压轴题重难点突破八 二次函数的实际应用 类型二:最大利润问题
y=20+5x25-20(50-x)=26 x250-525,
-12x2+15x+500(1≤x≤20),
即
y=26
x250-525(21≤x≤40).
(3)当 1≤x≤20 时, y=-12x2+15x+500=-12(x-15)2+612.5,
1 ∵-2<0,∴当 x=15 时,y 有最大值 y1=612.5; ∵26 250>0,
一家网店的经营,了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售
的相关信息如表所示.
销售量 p/件
p=50-x
销售单价 q/(元/件)
当 1≤x≤20 时,q=30+12x; 当 21≤x≤40 时,q=20+5x25
(1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件; (2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数解析式; (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大?最大的利润是多少?
26 250 当 x=21 时,y= x -525 有最大值 y2=725,∵y1<y2,
∴这 40 天中该网店第 21 天获得的利润最大,最大利润为 725 元.
3.(2022·十堰)某商户购进一批童装,40 天销售完毕.根 据所记录的数据发现,日销售量 y(件)与销售时间 x(天)
2x(0<x≤30), 之间的关系式是 y=-6x+240(30<x≤40).销售单价 p(元/件)与销售时间 x(天)之间的函数关系如图所示.
②当 20<x≤30 时,由图可知 p 是 x 的一次函数,且过点(20,40),(40,30), 设销售单价 p=kx+b(k≠0), 将(20,40),(40,30)代入得 2400kk++bb==4300,,解得kb==-5012.,∴p=-12x+50, ∴w=py=-12x+50·2x=-x2+100x=-(x-50)2+2 500,
(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)
二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?2.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,41-y A x B 两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).C B C A 03(1)求此抛物线的解析式;(2)过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与直线B AB DC 相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;BD l C (3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到P A C P 什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.PAC ∆P PAC ∆3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙x(第13题)另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米.矩形ABCD 的面积为S 平方米.(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围). (2)当x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值.(参考公式:二次函数2y ax bx c =++(0a ≠),当2bx a=-时,244ac b y a-=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月份x 之间满足函数关系,去年的月销售量p (万台)与月份x 之间成一次函数关系,其502600y x =-+中两个月的销售情况如下表:月份1月5月销售量 3.9万台 4.3万台(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少?(2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下%m 乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求的值(保留一位小数).m )5.831 5.9166.083 6.1645、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量(件)与销售单价(元)符合一次函数y x ,且时,;时,.y kx b =+65x =55y =75x =45y =(1)求一次函数的表达式;y kx b =+(2)若该商场获得利润为元,试写出利润与销售单价之间的关系式;销售单价定W W x 为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价的范围.x 6、某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。
第05讲二次函数利润问题的四种题型(带答案)
第05讲二次函数利润问题的四种题型题型一:“每每”的利润问题商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场每天可多售出2件,设每件商品降低x元,“每每”问题的做题步骤①找出原来的销量:30件,原来的每件盈利:50元;②确定每件产品降价(或涨价)后的利润:(50-x)元;③计算出降价(或涨价)后销量的变化量:2x件;④找出降价(或涨价)后的销量,本题里有明确的“多出”字样,即为:(30+2x)件;⑤利润=每件利润×数量:=5−5+B计算注意事项①若题中要求价格为整数,而二次函数的对称轴不是整数,要用二次函数的性质取适当的整数求最值;②结果可能不唯一,例如题中要求结果为整数,而对称轴是51.5,那么51和52都可以;③看清楚题中是否有“最优惠”等条件,算出多个结果需要舍根。
【例1】商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场每天可多售出2件,设每件商品降低x元,据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变,销售正常的情况下,设商场日盈利y元,求y与x的函数关系式;(3)在(2)的条件下,每件商品降价多少元时,商场日盈利最高?【答案】(1)2x ,()50x -;(2)2701500y x x =--+(3)每件商品降价35元时,商场日盈利最高.【分析】(1)每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x 元.商场日销售量增加2x 件,每件商品盈利()50x -元;(2)根据(1)得,单件利润乘以销售量等于利润,即可得到y 与x 的函数关系式;(3)由题意得:利润函数的表达式为()()50302y x x =-+,再化为顶点式得()2352725y x =-++,得,当35x =时,y 有最大值.【详解】(1)解:每天销售30件,每件盈利50元,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,∴当降价x 元时,商场日销售量增加2x 件,每件商品盈利为()50x -元,故答案为:2x ,()50x -;(2)解:根据题意得:=50−30+2=−2−70+1500.(3)解:()22701500352725y x x x =--+=-++,当35x =时,y 有最大值,答:每件商品降价35元时,商场日盈利最高.【点睛】本题考查二次函数的销售问题,涉及到利润函数=单件利润乘以销售数量,利用二次函数的性质求最值,通常都是化为顶点式来解决问题.1.(2022·贵州遵义·三模)红星公司销售一种成本为4元/件的产品,若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x (单位:元/件),月销售量为y (单位:万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当月销售单价是多少元/件时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a 元,已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a 的值2.(2022·辽宁朝阳·模拟预测)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场每天可多售出2件,设每件商品降低x元据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变,销售正常的情况下,设商场日盈利y元,求y与x的函数关系式;(3)在(2)的条件下,每件商品降价多少元时,商场日盈利最高?3.(贵州遵义·统考一模)某水果批发店销售一种优质水果,已知这种优质水果的进价为10元/千克.经市场调查发现:若售价为12元/千克时,每天的销售量为180千克;若售价每千克提高1元,每天的销售量就会减少10千克.设每天的销售量为y千克,每千克的售价为x元.请解答以下问题:(1)为让利给顾客,当这种优质水果售价为多少时,每天可获得利润960元.(2)当售价定为多少时,每天可获得最大利润,并求最大利润是多少?4.(2022·四川巴中·统考中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.5.(2022·山东青岛·统考中考真题)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?6.(2022·贵州铜仁·统考中考真题)为实施“乡村振兴”计划,某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收,销售前对本地市场进行调查发现:当批发价为4千元/吨时,每天可售出12吨,每吨涨1千元,每天销量将减少2吨,据测算,每吨平均投入成本2千元,为了抢占市场,薄利多销,该村产业合作社决定,批发价每吨不低于4千元,不高于5.5千元.请解答以下问题:(1)求每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)当批发价定为多少时,每天所获利润最大?最大利润是多少?1.(2022·贵州遵义·三模)红星公司销售一种成本为4元/件的产品,若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件;月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位:元/件),月销售量为y(单位:万件).(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当月销售单价是多少元/件时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元,已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值【答案】(1)()540500.110(50100)xyx x⎧≤≤=⎨-+<≤⎩(2)7元/件,最大利润为9万元(3)4a=【分析】(1)分4050x≤≤和50x>两种情况,根据“月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式,再根据0y≥求出x的取值范围;(2)在(1)的基础上,根据“月利润=(月销售单价-成本价)⨯月销售量”建立函数关系式,分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得;万元,先根据捐款当月的月销售单价、月销售2.(2022·辽宁朝阳·模拟预测)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场每天可多售出2件,设每件商品降低x 元据此规律,请回答:(1)商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x 的代数式表示);(2)在上述条件不变,销售正常的情况下,设商场日盈利y 元,求y 与x 的函数关系式;(3)在(2)的条件下,每件商品降价多少元时,商场日盈利最高?【答案】(1)2x ,()50x -;(2)2701500y x x =--+(3)每件商品降价35元时,商场日盈利最高.【分析】(1)每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x 元.商场日销售量增加2x 件,每件商品盈利()50x -元;(2)根据(1)得,单件利润乘以销售量等于利润,即可得到y 与x 的函数关系式;(3)由题意得:利润函数的表达式为()()50302y x x =-+,再化为顶点式得()2352725y x =-++,得,当35x =时,y 有最大值.【详解】(1)解:每天销售30件,每件盈利50元,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,∴当降价x 元时,商场日销售量增加2x 件,每件商品盈利为()50x -元,故答案为:2x ,()50x -;(2)解:根据题意得:()()250302701500y x x x x =-+=--+.(3)解:()22701500352725y x x x =--+=-++,当35x =时,y 有最大值,答:每件商品降价35元时,商场日盈利最高.【点睛】本题考查二次函数的销售问题,涉及到利润函数=单件利润乘以销售数量,利用二次函数的性质求最值,通常都是化为顶点式来解决问题.3.(贵州遵义·统考一模)某水果批发店销售一种优质水果,已知这种优质水果的进价为10元/千克.经市场调查发现:若售价为12元/千克时,每天的销售量为180千克;若售价每千克提高1元,每天的销售量就会减少10千克.设每天的销售量为y 千克,每千克的售价为x 元.请解答以下问题:(1)为让利给顾客,当这种优质水果售价为多少时,每天可获得利润960元.(2)当售价定为多少时,每天可获得最大利润,并求最大利润是多少?【答案】(1)当这种优质水果售价为18元时,每天可获得利润960元(2)当售价定为20元时,每天可获得最大利润,最大利润是1000元【分析】(1)先根据题意求得销量与售价的关系,然后根据销量乘以每千克的利润等于总利润,列出一元二次方程,解方程即可求解;(2)设利润为w ,根据题意列出二次函数,根据二次函数的性质即可求解.【详解】(1)解:设每天的销售量为y 千克,每千克的售价为x 元,根据题意得,()180121010300y x x =--⨯=-+,()()1010300960x x --+=,解得:1218,22x x ==,∵为让利给顾客,∴18x =,答:当这种优质水果售价为18元时,每天可获得利润960元;(2)解:设利润为w ,则()()()22101030010400300010201000w x x x x x =--+=-+-=--+,∴20x =时,w 最大,最大利润是1000元,答:当售价定为20元时,每天可获得最大利润,最大利润是1000元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,二次函数的应用,根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键.4.(2022·四川巴中·统考中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a 元,销售猪肉粽的利润为w 元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽进价为30元(2)1800元【分析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x 元,每盒豆沙粽的进价为y 元,根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组,解出即可.(2)根据当50a =时,每天可售出100盒,每盒猪肉粽售价为a 元时,每天可售出猪肉粽()100250a --⎡⎤⎣⎦盒,列出二次函数关系式,再化成顶点式即可得解.(1)设每盒猪肉粽的进价为x 元,每盒豆沙粽的进价为y 元,由题意得:102100x y x y -=⎧⎨+=⎩解得:4030x y =⎧⎨=⎩∴每盒猪肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽进价为30元.(2)(40)[1002(50)]w a a =---22(70)1800a =--+.∴当70a =时,w 最大值为1800元.∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用,根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键.5.(2022·山东青岛·统考中考真题)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.(1)请求出这种水果批发价y (元/千克)与购进数量x (箱)之间的函数关系式;(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数).(2)李大爷每天应购进这种水果7箱,获得的利润最大,最大利润是140元.【分析】(1)根据题意列出8.20.2(1)y x =--,得到结果.(2)根据销售利润=销售量⨯(售价-进价),利用(1)结果,列出销售利润w 与x 的函数关系式,即可求出最大利润.【详解】(1)解:由题意得8.20.2(1)y x =--0.28.4x =-+∴批发价y 与购进数量x 之间的函数关系式是0.28.4y x =-+(110x ≤≤,且x 为整数).(2)解:设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w 元则[120.5(1)]10w x y x=---⋅[120.5(1)(0.28.4)]10x x x=----+⋅2341x x=-+∵30a =-<园”.2022年该村桃子丰收,销售前对本地市场进行调查发现:当批发价为4千元/吨时,每天可售出12吨,每吨涨1千元,每天销量将减少2吨,据测算,每吨平均投入成本2千元,为了抢占市场,薄利多销,该村产业合作社决定,批发价每吨不低于4千元,不高于5.5千元.请解答以下问题:(1)求每天销量y (吨)与批发价x (千元/吨)之间的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;(2)当批发价定为多少时,每天所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)220y x =-+,4 5.5x ≤≤(2)将批发价定为每吨5.5千元时,每天获得的利润最大,最大利润是31.5千元.【分析】(1)根据题意直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量的取值范围;(2)根据销售利润=销售量×(批发价-成本价),列出销售利润w (元)与批发价x (千元/吨)之间的函数关系式,再依据函数的增减性求得最大利润.(1)解:根据题意得()()12242204 5.5y x x x =--=-+≤≤,所以每天销量y (吨)与批发价x (千元/吨)之间的函数关系式220y x =-+,自变量x 的取值范围是4 5.5x ≤≤(2)解:设每天获得的利润为w 千元,根据题意得()()222202224402(6)32w x x x x x =-+-=-+-=--+,∵20-<,∴当6x <,W 随x 的增大而增大.∵4 5.5x ≤≤,∴当 5.5x =时,w 有最大值,最大值为22 5.563231.5-⨯-+=(),∴将批发价定为每吨5.5千元时,每天获得的利润最大,最大利润是31.5千元.【点睛】本题考查二次函数应用,解题的关键是读懂题意,列出函数关系式.题型二:二次函数和一次函数综合的利润问题【例2】2022年春,新冠肺炎有所蔓延,市场对口罩的需求量仍然较大.某公司销售一种进价为12元/袋的口罩,其销售量y (万袋)与销售价格x (元/袋)的变化如表:价格x (元/袋)…14161820…销售量y(万袋)…5432…另外,销售过程中的其他开支(不含进价)总计6万元.(1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识,请判断销售量y (万袋)与价格x (元/袋)满足什么函数?并求出y 与x 之间的函数表达式;(2)设该公司销售这种口罩的净利润为w (万元),当销售价格定为多少元时净利润最大,最大值是多少?,可判断该函数是一次函数;设1.(2022·贵州遵义·校考一模)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)6004503001500(1)请直接写出p与x之间的函数关系式:(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.2.(2021·四川德阳·二模)某工厂制作A、B两种手工艺品,B每件获利比A多105元,制作16件A与制作2件B获利相同.(1)制作一件A和一件B分别获利多少元;(2)工厂安排65人制作A,B两种手工艺品,每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下,增加制作C工艺品.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品),要求每天制作A,C两种手工艺品的数量相等,设每天安排x人制作B,y人制作A.写出y与x之间的函数关系式;(3)在(1)(2)的条件下,每天制作B不少于5件.当每天制作B为5件时,每件B获利不变,若B每增加1件,则当天平均每件B获利减少2元,已知C每件获利30元,求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值.3.(2022·辽宁大连·校考模拟预测)新冠肺炎疫情后期,我县某药店进了一批口罩,成本价为2元/个,投入市场销售,其销售单价不低于成本,按物价局规定销售利润率不高于80%.经一段时间调查,发现每天销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间存在一次函数关系,且有两天数据为:销售价定为2.3元,每天销售1080个;销售价定为2.5元,每天销售1000个.(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润,那么这种口罩的销售单价应定为多少元?(3)设每天的总利润为w元,当销售单价定为多少元时,该药店每天的利润最大?最大利润是多少元?1.(2022·贵州遵义·校考一模)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:销售价格x (元/千克)3035404550日销售量p (千克)600450300150(1)请直接写出p 与x 之间的函数关系式:(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用,当40≤x ≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a 的值.【答案】(1)301500p x =-+(2)这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大(3)a 的值为2.【分析】(1)首先根据表中的数据,可猜想y 与x 是一次函数关系,任选两点求表达式,再验证猜想的正确性;(2)根据题意列出日销售利润w 与销售价格x 之间的函数关系式,根据二次函数的性质确定最大值即可;(3)根据题意列出日销售利润w '与销售价格x 之间的函数关系式,并求得抛物线的对称轴,再分两种情况进行讨论,依据二次函数的性质求得a 的值.【详解】(1)解:由表格的数据可知:p 与x 成一次函数关系,设函数关系式为p=kx+b ,则3060040300k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:k=-30,b=1500,∴p=-30x+1500,∴所求的函数关系为p=-30x+1500;(2)解:设日销售利润w=p (x-30)=(-30x+1500)(x-30),即223024004500030(40)3000w x x x =-+-=--+,∵-30<0,∴当x=40时,w 有最大值3000元,故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;(3)解:日获利w '=p (x-30-a )=(-30x+1500)(x-30-a ),即230(240030)(150045000)w x a x a '=-++-+,作16件A与制作2件B获利相同.(1)制作一件A和一件B分别获利多少元;(2)工厂安排65人制作A,B两种手工艺品,每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下,增加制作C工艺品.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品),要求每天制作A,C两种手工艺品的数量相等,设每天安排x人制作B,y人制作A.写出y与x之间的函数关系式;(3)在(1)(2)的条件下,每天制作B不少于5件.当每天制作B为5件时,每件B获利不变,若B每增加1件,则当天平均每件B获利减少2元,已知C每件获利30元,求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值.3.(2022·辽宁大连·校考模拟预测)新冠肺炎疫情后期,我县某药店进了一批口罩,成本价为2元/个,投入市场销售,其销售单价不低于成本,按物价局规定销售利润率不高于80%.经一段时间调查,发现每天销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间存在一次函数关系,且有两天数据为:销售价定为2.3元,每天销售1080个;销售价定为2.5元,每天销售1000个.(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润,那么这种口罩的销售单价应定为多少元?(3)设每天的总利润为w 元,当销售单价定为多少元时,该药店每天的利润最大?最大利润是多少元?【答案】(1)4002000(2 3.6)y x x =-+≤≤(2)3元(3)3.5元,900元【分析】(1)设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+,用待定系数法可得y 与x 之间的函数关系式为4002000y x =-+,根据销售单价不低于成本,按物价局规定销售利润率不高于80%,可得2 3.6x ≤≤;(2)根据题意得:()()24002000800x x --+=,即可解得答案;(3)由题意得:()()24002000w x x =--+,整理计算,再利用二次函数的性质可得答案.【详解】(1)设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+,将销售价定为2.3元,每天销售1080个;销售价定为2.5元,每天销售1000个代入得:2.310802.51000k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得4002000k b =-⎧⎨=⎩,y ∴与x 的函数关系式为4002000y x =-+,销售单价不低于成本,按物价局规定销售利润率不高于80%,22280%x x ≥⎧∴⎨-≤⨯⎩,解得2 3.6x ≤≤,()40020002 3.6y x x ∴=-+≤≤;(2)根据题意得:()()24002000800x x --+=,整理得:27120x x -+=,解得:13x =,24(x =不合题意,舍去),答:如果每天获得800元的利润,销售单价应定为3元;(3)由题意得:()()24002000w x x =--+240028004000w x x =+-()2400712.2512.254000w x x =--+--2400( 3.5)900w x =--+4000-< ,∴抛物线开口向下,w 有最大值,3.5x ∴=时,w 最大值是900,答:销售单价定为3.5元时,每天的利润最大,最大利润是900元.【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数的应用,解题关键是读懂题意,找到等量关系列方程和函数关系是.题型三:二次函数和分段函数综合的利润问题①写分段函数解析式是要明确自变量的取值范围;②要分段求利润的最值,再比较两段之间的最大值;③注意自变量的范围和结果的取舍。
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
最大利润问题——典型题专项训练知识点 1 利润最大化问题1.毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游,经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y=-x2+100x+28400,要使所获营业额最大,则旅行团应有( )A.30人B.40人C.50人D.55人2.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.36元3.2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.(1)求一次函数y=kx+b的表达式.(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4.两个数的和为6,这两个数的积最大可以达到________.5.某果园有90棵橘子树,平均每棵树结520个橘子.根据经验估计,每多种一棵橘子树,平均每棵树就会少结4个橘子.设果园里增种x棵橘子树,橘子总个数为y个,则果园里增种________棵橘子树时,橘子总个数最多.6.生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测量出这种植物高度的增长情况(如下表).科学家经过猜想,推测出y与x之间是二次函数关系.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)推测最适合这种植物生长的温度,并说明理由.图2-4-127.如图2-4-13所示,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是边BC,CD上的两个动点,且AE⊥EF,则AF的最小值是________.图2-4-138.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小明和小华提出的问题.图2-4-149.经市场调查,某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?10.东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p=\f(1412)t+48(25≤t≤48,t为整数),且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表:(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系,试求在第30天的日销售量是多少;(2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.详解1.C 2.A3.解:(1)根据题意,得65k+b=55,75k+b=45,)解得k=-1,b=120.)∴一次函数的表达式为y=-x+120.(2)根据题意,得W=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900.∵抛物线的开口向下,∴当x<90时,W随x的增大而增大,而60≤x≤87,∴当x=87时,W最大=-(87-90)2+900=891.∴当销售单价定为87元/件时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.4.95.20 [解析] 设果园里增种x棵橘子树,那么果园里共有(x+90)棵橘子树,∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结4个橘子,∴平均每棵树结(520-4x)个橘子.∴y=(x+90)(520-4x)=-4x2+160x+46800,∴当x=-b2a=-1602×(-4)=20时,y最大,橘子总个数最多.6.解:(1)设y=ax2+bx+c(a≠0),选(0,49),(2,41),(-2,49)代入后得方程组c=49,4a-2b+c=49,4a+2b+c=41,解得a=-1,b=-2,c=49,∴y与x之间的函数表达式为y=-x2-2x+49.(2)最适合这种植物生长的温度是-1 ℃.理由:由(1)可知,当x=-b2a=-1时,y取最大值50,即说明最适合这种植物生长的温度是-1 ℃.7.5 [解析] 在Rt△ADF中,AF2=AD2+DF2=42+(4-CF)2,若AF最小,则CF最大.设BE=x,CF=y,∵∠B=∠AEF=90°,则∠BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠FEC,∴△ABE∽△ECF,∴ABEC=BECF,即44-x=xy,化简得y=-x2+4x4=-14(x-2)2+1,∴当x=2时,y有最大值为1,此时DF最小,为3,由勾股定理得到AF=AD2+DF2=5.8.解:(1)小华的问题解答:设利润为W元,每个定价为x元,则W=(x-2)·[500-100(x-3)]=-100x2+1000x -1600=-100(x-5)2+900.当W=800时,解得x=4或x=6,又因为2×240%=4.8(元),所以x=6不符合题意,舍去,故每个定价为4元时,每天的利润为800元.(2)小明的问题解答:当x<5时,W随x的增大而增大.所以当x=4.8时,W最大,为-100(4.8-5)2+900=896(元).所以800元销售利润不是最多,每个定价为4.8元时,才会使每天利润最大.9.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.(2)当1≤x<50时,二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=-b2a=45,∴当x=45时,y最大=-2×452+180×45+2000=6050;当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,∴当x=50时,y最大=-120×50+12000=6000.综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.10.解:(1)依题意,得y=120-2t.当t=30时,y=120-60=60.答:在第30天的日销售量为60千克.(2)设日销售利润为W元,则W=(p-20)y.当1≤t≤24时,W=(14t+30-20)(120-2t)=-12t2+10t+1200=-12(t-10)2+1250.当t=10时,W最大=1250.当25≤t≤48时,W=(-12t+48-20)(120-2t)=t2-116t+3360=(t-58)2-4.由二次函数的图象及性质知,当t=25时,W最大=1085.∵1250>1085,∴在第10天的销售利润最大,最大日销售利润为1250元.(3)依题意,得每天扣除捐款后的日销售利润W=(14t+30-20-n)(120-2t)=-12t2+2(n+5)t+1200-120n.其图象对称轴为直线t=2n+10,要使W随t的增大而增大.由二次函数的图象及性质知,2n+10≥24,解得n≥7.又∵n<9,∴7≤n<9.。
二次函数最大利润问题
一.解答题(共7小题)1.某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?2.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,那么销售单价应控制在什么范围内?3.进入冬季,某商家根据市民健康需要,代理销售一种防尘口罩,进货价为20元/包,经市场销售发现:销售单价为30元/包时,每周可售出200包,每涨价1元,就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包.(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式,并直接写出售价x的范围;(3)当售价x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?4.某商店准备进一批小工艺品,每件的成本是40元,经市场调查,销售单价为50元,每天销售量为100个,若销售单价每增加1元,销售量将减少10个.(1)求每天销售小工艺品的利润y(元)和销售单价x(元)之间的函数解析式;(2)商店若准备每天销售小工艺品获利960元,则每天销售多少个?销售单价定为多少元?(3)直接写出销售单价为多少元时,每天销售小工艺品的利润最大?最大利润是多少?5.某水果店销售某种水果,原来每箱售价60元,每星期可卖200箱,为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖20箱.已知该水果每箱的进价是40元,设该水果每箱售价x元,每星期的销售量为y箱.(1)求y与x之间的函数关系式:(2)当销售量不低于400箱时,每箱售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?6.2016年3月国际风筝节期间,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润W最大,最大利润是多少?7.某商品的进价为每件20元,当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,如果调整价格,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.①求每天所得的销售利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.②求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?最大利润是多少?③若商场要每天获得销售利润2000元,同时让利于顾客,销售单价应定为多少元?一.解答题(共7小题)1.某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时,每星期可卖出300件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题:(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元,请写出y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少?【分析】(1)根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式,由“确保盈利”可得x的取值范围.(2)将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值.【解答】解:(1)根据题意得y=(70﹣x﹣50)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000,∵70﹣x﹣50>0,且x≥0,∴0≤x<20;(2)∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣)2+6125,∴当x=时,y取得最大值,最大值为6125,答:当降价2.5元时,每星期的利润最大,最大利润是6125元.【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是根据题意确定相等关系,并据此列出函数解析式.2.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,那么销售单价应控制在什么范围内?【分析】(1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答;(3)把y=4000代入函数解析式,求得相应的x值,即可确定销售单价应控制在什么范围内.【解答】解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=(x﹣50)(﹣5x+550)=﹣5x2+800x﹣27500,∴y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);(2)y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5(x﹣80)2+4500,∵a=﹣5<0,∴抛物线开口向下.∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,=4500;∴当x=80时,y最大值(3)当y=4000时,﹣5(x﹣80)2+4500=4000,解得x1=70,x2=90.∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4000元.【点评】本题考查二次函数的实际应用.建立数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出函数关系式和方程,再求解.3.进入冬季,某商家根据市民健康需要,代理销售一种防尘口罩,进货价为20元/包,经市场销售发现:销售单价为30元/包时,每周可售出200包,每涨价1元,就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包.(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式,并直接写出售价x的范围;(3)当售价x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?【分析】(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式;(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式,由供货厂家规定市场价不得低于30元/包,且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围;(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围,可以解答本题.【解答】解:(1)由题意可得,y=200﹣(x﹣30)×5=﹣5x+350即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是:y=﹣5x+350;(2)由题意可得,w=(x﹣20)×(﹣5x+350)=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤70),即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是:w=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40);(3)∵w=﹣5x2+450x﹣7000=﹣5(x﹣45)2+3125∵二次项系数﹣5<0,∴x=45时,w取得最大值,最大值为3125,即当售价x(元/包)定为4,5元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大,最大利润是3125元.【点评】本题考查二次函数的应用,解题的关键是明确题意,可以写出相应的函数解析式,并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值.4.某商店准备进一批小工艺品,每件的成本是40元,经市场调查,销售单价为50元,每天销售量为100个,若销售单价每增加1元,销售量将减少10个.(1)求每天销售小工艺品的利润y(元)和销售单价x(元)之间的函数解析式;(2)商店若准备每天销售小工艺品获利960元,则每天销售多少个?销售单价定为多少元?(3)直接写出销售单价为多少元时,每天销售小工艺品的利润最大?最大利润是多少?【分析】(1)根据题意可以得到y与x的函数关系式,从而可以解答本题;(2)根据(1)中的函数关系式,令y=960,求出相应的x的值,即可解答本题;(3)根据(1)中关系式,将它化为顶点式即可解答本题.【解答】解:(1)销售单价为x元时,每销售一个获利(x﹣40)元,每天共销售[100﹣10(x﹣50)]个,∴y=(x﹣40)[100﹣10(x﹣50)]=﹣10x2+1000x﹣24000,即每天销售小工艺品的利润y(元)和销售单价x(元)之间的函数解析式是y=﹣10x2+1000x﹣24000;(2)根据题意,得(x﹣40)[100﹣10(x﹣50)]=960,解得,x1=48,x2=52,当x1=48时,销售量为100﹣10(x﹣50)=120(个),当x2=52时,销售量为100﹣10(x﹣50)=80(个),答:每天销售120个,定价为48元或每天销售80个,定价为52元;(3)∵y=﹣10x2+1000x﹣24000=﹣10(x﹣50)2+1000,∴销售单价为50元时,每天的销售利润最大,最大利润是1000元,答:销售单价为50元时,每天的销售利润最大,最大利润是1000元.【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,利用函数和方程的思想解答.5.某水果店销售某种水果,原来每箱售价60元,每星期可卖200箱,为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖20箱.已知该水果每箱的进价是40元,设该水果每箱售价x元,每星期的销售量为y箱.(1)求y与x之间的函数关系式:(2)当销售量不低于400箱时,每箱售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?【分析】(1)根据售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系即可得到结论.(2)设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【解答】解:(1)由题意可得:y=200+20(60﹣x)=﹣20x+1400(0<x<60);(2)设每星期利润为W元,W=(x﹣40)(﹣20x+1400)=﹣20(x﹣55)2+4500,∵﹣20x+1400≥400,∴x≤50,∵﹣20<0,抛物线开口向下,=4000.∴x=50时,W最大值∴每箱售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点评】本题考查二次函数的应用,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,属于中考常考题型.6.2016年3月国际风筝节期间,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润W最大,最大利润是多少?【分析】(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,根据“当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个”,即可得出y关于x的函数关系式;(2)设王大伯获得的利润为W,根据“总利润=单个利润×销售量”,即可得出W关于x的函数关系式,代入W=840求出x的值,由此即可得出结论;(3)利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=﹣10(x﹣20)2+1000,根据二次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,根据题意可知:y=180﹣10(x﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30).(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x﹣10)y=﹣10x2+400x﹣3000,令W=840,则﹣10x2+400x﹣3000=840,解得:x1=16,x2=24,答:王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.(3)∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10(x﹣20)2+1000,∵a=﹣10<0,∴当x=20时,W取最大值,最大值为1000.答:当售价定为20元时,王大伯获得利润最大,最大利润是1000元.【点评】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是:(1)根据数量关系找出y 关于x的函数关系式;(2)根据数量关系找出W关于x的函数关系式;(3)利用二次函数的性质解决最值问题.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系找出函数的关系式是关键.7.某商品的进价为每件20元,当销售单价是25元时,每天的销售量为250件,如果调整价格,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.①求每天所得的销售利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式,并写出x的取值范围.②求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?最大利润是多少?③若商场要每天获得销售利润2000元,同时让利于顾客,销售单价应定为多少元?【分析】①直接利用总利润=每件商品利润×每天的销售量,进而得出答案.②将以上所得函数解析式配方成顶点式,再利用二次函数的性质求解可得;③在所求函数解析式中令w=2000,得出关于x的方程,解之可得,根据“让利给顾客”对所求x的值取舍即可得.【解答】解:①w=(25+x﹣20)(250﹣10x)=﹣10x2+200x+1250(0≤x≤25 );②w=﹣10x2+200x+1250=﹣10(x﹣10)2+2250.∵﹣10<0,∴函数图象开口向下,w有最大值,当x=10时,w max=2250,故当单价为35元时,该文具每天的利润最大,最大利润为2250元.③当w=2000时,得﹣10x2+200x+1250=2000解得:x1=5,x2=15,因为让利给顾客,所以,商场要每天获得销售利润2000元,销售单价应定为30元;【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识,最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣时取得.。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]:求下列二次函数的最值:(1)求函数322-+=x x y 的最值.解:4)1(2-+=x y当1-=x 时,y 有最小值4-,无最大值.(2)求函数322-+=x x y 的最值.)30(≤≤x解:4)1(2-+=x y∵30≤≤x ,对称轴为1-=x∴当12330有最大值时;当有最小值时y x y x =-=.[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设涨价(或降价)为每件x 元,利润为y 元,1y 为涨价时的利润,2y 为降价时的利润则:)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ,即:定价为65元时,6250max =y (元))20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ,即:定价为57.5元时,6125max =y (元) 综合两种情况,应定价为65元时,利润最大.[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?解:设每件价格提高x 元,利润为y 元, 则:)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x当5=x ,4500max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额? 解:设旅行团有x 人)30(≥x ,营业额为y 元, 则:)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x当55=x ,30250max =y (元)答:当旅行团的人数是55人时,旅行社可以获得最大营业额.[例3]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表:若日销售量y 是销售价x 的一次函数.⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 解:⑴设一次函数表达式为b kx y +=. 则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ,•即一次函数表达式为40+-=x y .⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元, 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ,225max =y (元)答:产品的销售价应定为25元时,每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: ⑴在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中, “某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程.3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30•元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y (千克)•与销售单价x (元)(30≥x )存在如下图所示的一次函数关系式. ⑴试求出y 与x 的函数关系式;⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案).解:⑴设y=kx+b 由图象可知,3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得, 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x . ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值.当35)20(21400=-⨯=x 时,4500max =P (元)(或通过配方,4500)35(202+--=x P ,也可求得最大值)答:当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润4500元.⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x∴31≤x ≤34或36≤x≤39. 作业布置:1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价_5_元,最大利润为_625_元. 解:设每件价格降价x 元,利润为y 元, 则:)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ,625max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.(2006年青岛市)在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕,•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:销售价x (元/千克) … 25 24 23 22 … 销售量y (千克) (200)250030003500…(1)在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对(x ,y )所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式; (2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 的值最大? 解:(1)由图象可知,y 是x 的一次函数,设y=kx+b ,•∵点(•25,2000),(24,2500)在图象上, ∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 , ∴y=-500x+14500.(2)P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500, 当销售价为21元/千克时,能获得最大利润,最大利润为32000元.3.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg蟹的销售总额为Q元,写出Q 关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?解:(1)由题意知:p=30+x,(2)由题意知:活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x2+900x+30000.(3)设总利润为W元则:W=Q-1000×30-400x=-10x2+500x=-10(x2-50x) =-10(x-25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元.答:这批蟹放养25天后出售,可获最大利润.4.(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) . (1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? 解:)802)(20()20(+--=-=x x w x y )40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ,200max =y (元)(1)y 与x 之间的的函数关系式为;160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时,每天的销售利润最大,最大利润是200元. (3) 150200)30(22=+--x ,25)30(2=-x28351>=x (不合题意,舍去)252=x答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为25元.12.(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x (吨)时,所需的全部费用y (万元)与x 满足关系式9051012++=x x y ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价,(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)(1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,,请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与之间的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,(为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?解:(1)甲地当年的年销售额为万元;.(2)在乙地区生产并销售时,年利润.由,解得或.经检验,不合题意,舍去,.(3)在乙地区生产并销售时,年利润,将代入上式,得(万元);将代入,得(万.元).,应选乙地.可编辑。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题(附答案)1. 某网店经营一种品牌水果, 其进价为10元/千克, 保鲜期为25天, 每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式;(2)当该品牌水果定价为多少元时, 每天销售所获得的利润最大?(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克, 根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售, 发现在保鲜期内不能及时销售完毕, 于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售, 求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完?2. 特产店销售一种水果, 其进价每千克40元, 按60元出售, 平均每天可售100千克, 后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天可增加20千克销量.(1)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元, 每千克水果应降多少元?(2)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大, 每千克水果应降多少元?3.某文具店购进A, B两种钢笔, 若购进A种钢笔2支, B种钢笔3支, 共需90元;购进A种钢笔3支, B种钢笔5支, 共需145元.(1)求该文具店购进A.B两种钢笔每支各多少元?(2)经统计, B种钢笔售价为30元时, 每月可卖64支;每涨价3元, 每月将少卖12支, 求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时, 每月获利最大?最大利润是多少元?4.某公司可投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本), 成功研发出一种产品, 公司按订单生产(产量=销售量), 第一年该产品正式投产后, 生产成本为8元/件, 此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=﹣x+28.(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式;(2)该产品第一年的利润为20万元, 那么该产品第一年的售价是多少?(3)第二年, 该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发, 使产品的生产成本降为6元/件, 为保持市场占有率, 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, 另外受产能限制, 销售量无法超过14万件, 请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.5.某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来, 购进一批电学实验盒子, 一台电学实验盒的成本是30元, 当售价定为每盒50元时, 每天可以卖出20盒.但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品, 专营店准备对它进行降价销售.根据以往经验, 售价每降低3元, 销量增加6盒.设售价降低了x(元), 每天销量为y(盒).(1)求y与x之间的函数表达式;日销售利润w875 1875 1875 875(元)(注: 日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))(1)求y与x的函数关系式;(2)当销售单价x为多少元时, 日销售利润w最大?最大利润是多少元?(3)当销售单价x为多少元时, 日销售利润w在1500元以上?(请直接写出x的范围)7. 某公司销售一批产品, 进价每件50元, 经市场调研, 发现售价为60元时, 可销售800件, 售价每提高1元, 销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元, 问这批产品的售价每件应提高多少元?(2)若公司要在这次销售中获得利润最大, 问这批产品售价每件应定为多少元?8.某公司开发了一种新型的家电产品, 又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资万元用于该产品的广告促销, 已知该产品的本地销售量(万台)与本地的广告费用(万元)之间的函数关系满足.该产品的外地销售量(万台)与外地广告费用(万元)之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示.其中点为抛物线的顶点.结合图象, 求出(万台)与外地广告费用(万元)之间的函数关系式;()2求该产品的销售总量y(万台)与本地广告费用x(万元)之间的函数关系式;如何安排广告费用才能使销售总量最大?9.某电子厂生产一种新型电子产品, 每件制造成本为20元, 试销过程中发现, 每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润为400万元?(3)根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不能高于40元, 如果厂商每月的制造成本不超过520万元, 那么当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?10.某灯具厂生产并销售A, B两种型号的智能台灯共100盏, 生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元;如果生产并销售不超过20盏B型台灯, 则每盏B型台灯可以获利90元, 如果超出20盏B型台灯, 则每超出1盏, 每盏B型台灯获利将均减少2元.设生产并销售B型台灯x盏.(其中x>20)(2)当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时, 求生产并销售A, B 两种台灯各多少盏?(3)如何设计生产销售方案可以获得最大利润, 最大的利润为多少元?11.某商场销售一批名牌衬衫:平均每天可售出20件, 每件盈利40元, 为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价促销措施, 经市场调查发现:如果每件衬衫降价1元, 那么平均每天就可多售出2件.(1)求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式;(1)请直接写出a的值为;(2)从第21天到第40天中, 求q与x满足的关系式;(3)若该网店第x天获得的利润y元, 并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y=﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为: ;ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大?13. 某工厂生产甲、乙两种产品, 已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A;生产1吨产品乙需要3吨原材料A. 根据市场调研, 产品甲、乙所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间分别满足函数关系:产品甲:y=ax2+bx且x=2时, y=2.6;x=3时, y=3.6产品乙: y=0.3x(1)求产品甲所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间满足的函数关系;(2)若现原材料A共有20吨, 请设计方案, 应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产, 才能使得最终两种产品的所获利润最大.14. 某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40元. 为了扩大销售, 增加盈利, 商场采取了降价措施. 假设在一定范围内, 衬衫的单价每降1元, 商场平均每天可多售出2件, 设衬衫的单价降x元, 每天获利y元.(1)如果商场里这批衬衫的库存只有44件, 那么衬衫的单价应降多少元, 才能使得这批衬衫一天内售完, 且获利最大, 最大利润是多少?种成本为25元/件的新型商品.在40天内, 其销售单价n(元/件)与时间x(天)的关系式是:当1≤x≤20时, ;当21≤x≤40时, .这40天中的日销售量m(件)与时间x(天)符合函数关系, 具体情况记录如下表(天数为整数):时间x(天)日销售量m(件)45 40 35 30 25 …(1)请求出日销售量m(件)与时间x(天)之间的函数关系式;(2)若设该同学微店日销售利润为w元, 试写出日销售利润w(元)与时间x(天)的函数关系式;16.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球, 规定试销期间单价不低于成本价, 且获利不得高于40%.经试销发现, 销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元, 试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时, 该商店可获最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元, 请确定销售单价x的取值范围.销售单价q(元/件)与x满足: 当1≤x<25时q=x+60;当25≤x≤50时q=40+ . (1)请分析表格中销售量p与x的关系, 求出销售量p与x的函数关系.(2)求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.(1)请你根据表中的数据, 用所学知识确定与之间的函数表达式;(2)该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格, 才能使日销售利润最大?(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售, 判断一个月能否销售完这批文具盒, 并说明理由.20. 某工厂加工一种商品, 每天加工件数不超过100件时, 每件成本80元, 每天加工超过100件时, 每多加工5件, 成本下降2元, 但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x(件), 每件商品成本为y(元),(1)求出每件成本y(元)与每天加工数量x(件)之间的函数关系式, 并注明自变量的取值范围;(2)若每件商品的利润定为成本的20%, 求每天加工多少件商品时利润最大, 最大利润是多少?21.家用电器开发公司研制出一种新型电子产品, 每件的生产成本为18元, 按定价40元出售, 每月可销售20万件, 为了增加销量, 公司决定采取降价的办法, 经过市场调研, 每降价1元, 月销售量可增加2万件.(1)求出月销售利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(2)为了获得最大销售利润, 每件产品的售价定为多少元?此时最大月销售利润是多少?(3)请你通过(1)中函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围, 使月销售利润不低于480万元.22.城隍庙是宁波市的老牌商业中心, 城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装, 购进时的单价是600元, 根据市场调查, 在一段时间内, 销售单价是800元时, 销售量是200件, 销售单价每降低10元, 就可多售出20件.(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售该品牌女装获得的利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:x(10万元)y 1 1.5 1.8 …(1)求y与x的函数关系式;(2)如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费, 试写出年利润S(10万元)与广告费x(10万元)的函数关系式;(3)如果投入的年广告费为10~30万元, 问广告费在什么范围内, 公司获得的年利润随广告费的增大而增大?24.绿色生态农场生产并销售某种有机产品, 每日最多生产130kg, 假设生产出的产品能全部售出, 每千克的销售价y1(元)与产量x(kg)之间满足一次函数关系y1=﹣x+168, 生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数图象如图中折线ABC所示.(1)求生产成本y2(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;(2)求日利润为W(元)与产量x(kg)之间的函数关系式;(3)当产量为多少kg时, 这种产品获得的日利润最大?最大日利润为多少元?25.新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品, 该产品的成本为每件40元, 市场调查统计:年销售量y(万件)与销售价格x(元)(40≤x≤80, 且x为整数)之间的函数关系如图所示.(1)直接写出y与x之间的函数关系式;(2)如何确定售价才能使每年产品销售的利润W(万元)最大?(3)新鑫公司计划五年收回投资, 如何确定售价(假定每年收回投资一样多)?26. 某商品的进价是每件40元, 原售价每件60元. 进行不同程度的涨60 61 62 63 …价后, 统计了商品调价当天的售价和利润情况, 以下是部分数据:售价(元/件)利润(元)6000 6090 6160 6210 …(1)当售价为每件60元时, 当天售出件;(2)若对该商品原售价每件涨价x元(x为正整数)时当天售出该商品的利润为y元.①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式:.②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元?27.服装厂批发某种服装, 每件成本为65元, 规定不低于10件可以批发, 其批发价y (元/件)与批发数量x(件)(x为正整数)之间所满足的函数关系如图所示.(1)求y与x之间所满足的函数关系式, 并写出x的取值范围;(1)由题意知商品的最低销售单价是元, 当销售单价不低于最低销售单价时, y是x的一次函数. 求出y与x的函数关系式及x的取值范围;(2)在(1)的条件下, 当销售单价为多少元时, 所获销售利润最大, 最大利润是多少元?29. 某店只销售某种进价为40元/kg的产品, 已知该店按60元kg出售时, 每天可售出100kg, 后来经过市场调查发现, 单价每降低1元, 则每天的销售量可增加10kg.(1)若单价降低2元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为_____元;若单价降低x元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为______元;(用含x的代数式表示)(2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元, 单价应降价多少元?(3)当单价降低多少元时, 该店每天的利润最大, 最大利润是多少元?30. 某文具店出售一种文具, 每个进价为2元, 根据长期的销售情况发现:这种文具每个售价为3元时, 每天能卖出500个, 如果售价每上涨0.1元, 其销售量将减少10个. 物价局规定售价不能超过进价的240%.(1)如果这种文具要实现每天800元的销售利润, 每个文具的售价应是多少?(2)该如何定价, 才能使这种文具每天的利润最大?最大利润是多少?31.某制衣企业直销部直销某类服装,价格(元)与服装数量(件)之间的关系如图所示,现有甲乙两个服装店,计划在"五一”前到该直销部购买此类服装, 两服装店所需服装总数为件,乙服装店所需数量不超过件,设甲服装店购买件,如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装,两服装店需付款总和为元.(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)若甲服装店购买不超过100件,请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱32. 某企业接到生产一批手工艺品订单, 须连续工作15天完成. 产品不能叠压, 需专门存放, 第x天每件产品成本p(元)与时间x(天)之间的关系为p=0.5x+7(1≤x≤5, x 为整数). 约定交付产品时每件20元. 李师傅作了记录, 发现每天生产的件数y(件)与时间X(天)满足关系:(1)写出李师傅第x天创造的利润W(不累计)与x之间的函数关系式.(只要结果, 并注明自变量的取值范围.)(2)李师傅第几天创造的利润最大?是多少元?(3)这次订单每名员工平均每天创造利润299元. 企业奖励办法是: 员工某天创造利润超过平均值, 当天计算奖金30元. 李师傅这次获得奖金共多少元?33. 某手机专营店, 第一期进了品牌手机与老年机各50部, 售后统计, 品牌手机的平均利润是160元/部, 老年机的平均利润是20元/部, 调研发现:①品牌手机每增加1部, 品牌手机的平均利润减少2元/部;②老年机的平均利润始终不变.该店计划第二期进货品牌手机与老年机共100部, 设品牌手机比第一期增加x部. (1)第二期品牌手机售完后的利润为8400元, 那么品牌手机比第一期要增加多少部?(2)当x取何值时, 第二期进的品牌手机与老年机售完后获得的总利润W最大, 最大总利润是多少?34.某公司经销一种水产品, 在一段时间内, 该水产品的销售量W(千克)随销售单价x(元/千克)的变化情况如图所示.(1)求W与x的关系式;(2)若该水产品每千克的成本为50元, 则当销售单价定为多少元时, 可获得最大利润?(3)若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于90元/千克, 且公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润, 则销售单价应定为多少元?35. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示, 成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段, 图2的图象是抛物线)(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低, 此时出售每千克的收益是多少元?(收益=售价﹣成本)(2)哪个月出售这种蔬菜, 每千克的收益最大?简单说明理由.(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元, 且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克, 求4、5两个月的销售量分别是多少万千克?36. 某商品的进价为每件20元, 市场调查反映, 若按每件30元销售, 每天可销售100件;若销售单价每上涨1元, 每天的销售就减少5件.(1)设每天该商品的销售利润为y元, 销售单价为x元(x≥30), 求y与x的函数解析式;(2)求销售单价为多少元时, 该商品每天的销售利润最大, 最大利润是多少?37. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40~70元之间, 若以每箱70元销售平均每天销售30箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱.(1)求出y 与x 之间的函数表达式(2)该新型“吸水拖把”每月的总利润为w (元), 求w 关于x 的函数表达式, 并指出销售单价为多少元时利润最大, 最大利润是多少元?(3)由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大, 厂家又进行了改装, 此时超市老板发现进价提高了m 元, 当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系, 随着销量的增大, 最大利润能减少1750元, 求m 的值.39.某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%, 则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映, 该花卉每盆售价25元时, 每天可卖出25盆.若调整价格, 每盆花卉每涨价1元, 每天要少卖出1盆. (1)该花卉每盆批发价是多少元?(2)若每天所得的销售利润为200元时, 且销量尽可能大, 该花卉每盆售价是多少元? (3)为了让利给顾客, 该花店决定每盆花卉涨价不超过5元, 问该花卉一天最大的销售利润是多少元?40. 某商店经营一种小商品, 进价为3元, 据市场调查, 销售单价是13元时平均每天销售量是400件, 而销售价每降低一元, 平均每天就可以多售出100件.(Ⅰ)假定每件商品降低x 元, 商店每天销售这种小商品的利润y 元, 请写出y 与x 之间的函数关系. (注:销售利润=销售收入-购进成本)(Ⅱ)当每件小商品降低多少元时, 该商店每天能获利4800元?40元, 根据市场调查:在一段时间内, 销售单价是50元时, 销售量是600件,而销售单价每涨2元, 就会少售出20件玩具.(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>50), 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元, 并把结果填写在表格中:销售单价(元)销售量y(件)①销售玩具获得利润ω(元)②(2)在(1)问条件下, 若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元, 且商场要完成不少于400件的销售任务, 求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元?42.如图,某工厂与两地有铁路相连,该工厂从地购买原材料,制成产品销往地.已知每吨进价为600元(含加工费),加工过程中1吨原料可生产产品吨,当预计销售产品不超过120吨时,每吨售价1600元,超过120吨,每增加1吨,销售所有产品的价格降低2元.设该工厂有吨产品销往地.(利润=售价—进价—运费)(1)用的代数式表示购买的原材料有吨.(2)从地购买原材料并加工制成产品销往地后,若总运费为9600元,求的值,并直接写出这批产品全部销售后的总利润.(3)现工厂销往地的产品至少120吨, 且每吨售价不得低于1440元, 记销完产品的总利润为元, 求关于的函数表达式, 及最大总利润.43. 水产经销商以10元/千克的价格收购了1000千克的鳊鱼围养在湖塘中(假设围养期每条鳊鱼的重量保持不变), 据市场推测, 经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千克, 在围养过程中(最多围养20天), 平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水。
(完整版)有关二次函数的利润最值问题
有关二次函数的利润最值问题1.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元.2.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y(单位:元)与售价x(单位:元/件)之间的函数解析式.(2)当销售价定为45元时,计算月销售量和销售利润.(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下,使月销售利润达到10000元,销售价应定为多少?(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润?求出最大利润.3.某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?4.某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.在1~12月份中,公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y=a(x﹣h)2+k,二次函数y=a(x﹣h)2+k的一部分图象如图所示,点A为抛物线的顶点,且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12,点A、B的纵坐标分别为﹣16、20.(1)试确定函数关系式y=a(x﹣h)2+k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润;(3)在前12个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?5.某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?6.某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售,现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售,以便开拓市场.若只在甲城市销售,销售价格为y(元/件)、月销量为x(件),y是x的一次函数,如表,月销量x(件)1500 2000销售价格y(元/件)185 180成本为50元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费72500元,设月利润为W甲(元)(利润=销售额﹣成本﹣广告费).若只在乙城市销售,销售价格为200元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a 为常数,40≤a≤70),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2元的附加费,设月利润为W乙(元)(利润=销售额﹣成本﹣附加费).(1)当x=1000时,y甲=元/件,w甲=元;(2)分别求出W甲,W乙与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);(3)当x为何值时,在甲城市销售的月利润最大?若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同,求a的值;(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大?7.某服装店购进一批秋衣,价格为每件30元.物价部门规定其销售单价不高于每件60元,不低于每件30元.经市场调查发现:日销售量y(件)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)求该服装店销售这批秋衣日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(3)当销售单价为多少元时,该服装店日获利最大?最大获利是多少元?8.某水果店购买一批时令水果,在20天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系;如图②,销售单价p(元/千克)与销售时间x (天)之间的函数关系式.(1)求y关于x和p关于x的函数关系式;(2)若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售金额最高是第几天?9.某机器零件经销商,购进甲型零件600个,其进价为200元,甲型零件有两种售货渠道:A渠道是批发给其他小型经销商;B渠道是零售,零售价为250元.该经销商准备用A渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件,乙型零件的进价为150元,零售价为300元.已知该经销商用A渠道销售甲型零件时,其批发价y(元/个)与批发个数x(个)之间的函数关系为y=﹣x+200.(1)求该经销商用B渠道销售的甲型零件的销售额p1(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式;(2)求零售乙型零件的销售额p2(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式;(3)求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式,并求出当批发多少个甲型零件时,利润最大,最大利润是多少?10.某水果店新进一种水果,进价为20元/盒,为了摸清行情,决定试营销10天,商家通过这10天的市场调查发现:①销售价y(元/盒)与销售天数x(天)满足以下关系:天数1≤x≤5 6≤x≤10 销售价格y x+24 30②每天的销售量p(盒数)与销售天数x关系如图所示.(1)试求每天的销售量p(盒数)与销售天数x之间函数关系式;(2)设水果店的销售利润为s(元),求销售利润s(元)与销售天数x(天)之间的函数关系式,并求出试营销期间一天的最大利润.有关二次函数利润的最值问题参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1.(2017•高安市一模)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元.【分析】(1)利润=单件利润×销售量;(2)根据利润的计算方法表示出关系式,解方程、画图回答问题.【解答】解:(1)若商店经营该商品不降价,则一天可获利润100×(100﹣80)=2000(元);(3分)(2)①依题意得:(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160(5分)即x2﹣10x+16=0解得:x1=2,x2=8(6分)经检验:x1=2,x2=8都是方程的解,且符合题意,(7分)答:商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元;(8分)②依题意得:y=(100﹣80﹣x)(100+10x)(9分)∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250 (10分)画草图:观察图象可得:当2≤x≤8时,y≥2160∴当2≤x≤8时,商店所获利润不少于2160元.(13分)【点评】本题关键是求出利润的表达式,体现了函数与方程、不等式的关系.2.(2017•南通一模)某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件.(1)写出月销售利润y(单位:元)与售价x(单位:元/件)之间的函数解析式.(2)当销售价定为45元时,计算月销售量和销售利润.(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下,使月销售利润达到10000元,销售价应定为多少?(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润?求出最大利润.【分析】(1)利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可;(2)将x=45代入求出即可;(3)当y=10000时,代入求出即可;(4)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案.【解答】解:(1)由题意可得:y=(x﹣30)[600﹣10(x﹣40)]=﹣10x2+1300x﹣30000;(2)当x=45时,600﹣10(x﹣40)=550(件),y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250(元);(3)当y=10000时,10000=﹣10x2+1300x﹣30000解得:x1=50,x2=80,当x=80时,600﹣10(80﹣40)=200<300(不合题意舍去)故销售价应定为:50元;(4)y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250,故当x=65(元),最大利润为12250元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,得出y与x的函数关系是解题关键.3.(2017•山东一模)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?【分析】(1)当售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,y=260﹣x,50≤x≤80,当如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件,y=420﹣3x,80<x<140,(2)由利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式,(3)分别求出两个定义域内函数的最大值,然后作比较.【解答】解:(1)当50≤x≤80时,y=210﹣(x﹣50),即y=260﹣x,当80<x<140时,y=210﹣(80﹣50)﹣3(x﹣80),即y=420﹣3x.则,(2)由利润=(售价﹣成本)×销售量可以列出函数关系式w=﹣x2+300x﹣10400(50≤x≤80)w=﹣3x2+540x﹣16800(80<x<140),(3)当50≤x≤80时,w=﹣x2+300x﹣10400,当x=80有最大值,最大值为7200,当80<x<140时,w=﹣3x2+540x﹣16800,当x=90时,有最大值,最大值为7500,故售价定为90元.利润最大为7500元.【点评】本题主要考查二次函数的应用,应用二次函数解决实际问题比较简单.4.(2017•利辛县一模)某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.在1~12月份中,公司前x个月累计获得的总利润y (万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y=a(x﹣h)2+k,二次函数y=a(x﹣h)2+k的一部分图象如图所示,点A为抛物线的顶点,且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12,点A、B的纵坐标分别为﹣16、20.(1)试确定函数关系式y=a(x﹣h)2+k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润;(3)在前12个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?【分析】(1)根据题意此抛物线的顶点坐标为(4,﹣16),设出抛物线的顶点式,把(10,20)代入即可求出a的值,把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式;(2)相邻两个月份的总利润的差即为某月利润.(3)根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润,再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润,为关于x的一次函数,且为增函数,得到x取最大为12时,把x=12代入即可求出最多的利润.【解答】解:(1)根据题意可设:y=a(x﹣4)2﹣16,当x=10时,y=20,所以a(10﹣4)2﹣16=20,解得a=1,所求函数关系式为:y=(x﹣4)2﹣16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(2)当x=9时,y=(9﹣4)2﹣16=9,所以前9个月公司累计获得的利润为9万元,又由题意可知,当x=10时,y=20,而20﹣9=11,所以10月份一个月内所获得的利润11万元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(3)设在前12个月中,第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)则有:s=(n﹣4)2﹣16﹣[(n﹣1﹣4)2﹣16]=2n﹣9,因为s是关于n的一次函数,且2>0,s随着n的增大而增大,而n的最大值为12,所以当n=12时,s=15,所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多,最多利润是15万元.﹣﹣(4分)【点评】本题考查了二次函数的应用,主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式,灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题,是一道综合题.5.(2017•高台县模拟)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?【分析】(1)根据进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件,再根据每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式,即可得出答案.(2)根据(1)得出的函数关系式,再进行配方得出y=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5,当x=5.5时y有最大值,从而得出答案.【解答】解:(1)由题意得:y=(210﹣10x)(50+x﹣40)=﹣10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数);(2)根据(1)得:y=﹣10x2+110x+2100,y=﹣10(x﹣5.5)2+2402.5,∵a=﹣10<0,∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.∵0<x≤15,且x为整数,当x=5时,50+x=55,y=2400(元),当x=6时,50+x=56,y=2400(元)∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.【点评】本题考查二次函数的实际应用,关键是读懂题意,找出之间的等量关系,根据每天的利润=一件的利润×销售件数,建立函数关系式,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.6.(2017•微山县模拟)某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售,现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售,以便开拓市场.若只在甲城市销售,销售价格为y(元/件)、月销量为x(件),y是x的一次函数,如表,月销量x(件)15002000销售价格y(元/件)185180成本为50元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费72500元,设月利润为W (元)甲(利润=销售额﹣成本﹣广告费).若只在乙城市销售,销售价格为200元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,40≤a ≤70),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳x 2元的附加费,设月利润为W 乙(元)(利润=销售额﹣成本﹣附加费).(1)当x=1000时,y 甲= 190 元/件,w 甲= 67500 元;(2)分别求出W 甲,W 乙与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围);(3)当x 为何值时,在甲城市销售的月利润最大?若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同,求a 的值;(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大?【分析】(1)设y 甲=kx +b ,列出方程组即可解决,再根据w 甲=x (y ﹣50)﹣72500,求出w 甲的解析式,分别求出x=1000时,y 甲,w 甲,即可.(2)根据利润=销售额﹣成本﹣附加费,即可解决问题.(3)①x=﹣,y 最大值=进行计算即可.②利用公式列出方程即可计算.(4)当x=5000时,w 甲=427500,w 乙=﹣5000a +750000,再列出不等式或方程即可解决问题.【解答】解:(1)设y 甲=kx +b ,由题意,解得, ∴y 甲=﹣x +200, ∴x=1000时,y 甲=190,w 甲=x (y ﹣50)﹣72500=﹣x 2+150x ﹣72500,x=1000时,w 甲=67500,故答案分别为190,67500.(2)w 甲=x (y ﹣50)﹣72500=﹣x 2+150x ﹣72500, w 乙=﹣x 2+(200﹣a )x ,(3)∵0<x<15000∴当x=﹣=7500时,w甲最大;由题意得,=,解得a1=60,a2=340(不合题意,舍去).所以a=60.(4)当x=5000时,w甲=427500,w乙=﹣5000a+750000,若w甲<w乙,427500<﹣5000a+750000,解得a<64.5;若w甲=w乙,427500=﹣5000a+750000,解得a=64.5;若w甲>w乙,427500>﹣5000a+750000,解得a>64.5.所以,当40≤a<64.5时,选择在乙销售;当a=64.5时,在甲和乙销售都一样;当64.5<a≤70时,选择在甲销售.【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法,解题的关键是学会利用二次函数求函数的最值问题,学会利用不等式或方程解决方案问题,属于中考常考题型.7.(2017•宁波一模)某服装店购进一批秋衣,价格为每件30元.物价部门规定其销售单价不高于每件60元,不低于每件30元.经市场调查发现:日销售量y (件)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)求该服装店销售这批秋衣日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(3)当销售单价为多少元时,该服装店日获利最大?最大获利是多少元?【分析】(1)根据y与x成一次函数解析式,设为y=kx+b,把x与y的两对值代入求出k与b的值,即可确定出y与x的解析式,并求出x的范围即可;(2)根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可;(3)利用二次函数的性质求出W的最大值,以及此时x的值即可.【解答】解:(1)设y=kx+b,根据题意得,解得:k=﹣2,故y=﹣2x+200(30≤x≤60);(2)W=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2(x﹣65)2+2000;(3)W=﹣2(x﹣65)2+2000,∵30≤x≤60,∴x=60时,w有最大值为1950元,∴当销售单价为60元时,该服装店日获利最大,为1950元.【点评】此题考查了二次函数的应用,待定系数法求一次函数解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.8.(2017•新野县一模)某水果店购买一批时令水果,在20天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量y(千克)与销售时间x (天)之间的函数关系;如图②,销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数关系式.(1)求y关于x和p关于x的函数关系式;(2)若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售金额最高是第几天?【分析】(1)分两种情况进行讨论:①0≤x≤15;②15<x≤20;针对每一种情况,都可以先设出函数的解析式,再将已知点的坐标代入,利用待定系数法求解;①0≤x<10时p=25,10≤x≤20时,设解析式为p=mx+n,利用待定系数法求解;(2)日销售金额=日销售单价×日销售量.日销售量不低于36千克,即y≥36.先解不等式3x≥36,得x≥12,再解不等式﹣9x+180≥36,得x≤16,则求出“最佳销售期”共有4天;然后根据p=﹣x+35(10≤x≤20),利用一次函数的性质,即可解答.【解答】解:(1)分两种情况:①当0≤x≤15时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x,∵直线y=k1x过点(15,45),∴15k1=45,解得k1=3,∴y=3x(0≤x≤15);②当15<x≤20时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b,∵点(15,45),(20,0)在y=k2x+b的图象上,∴解得:∴y=﹣9x+180(15<x≤20);综上,可知y与x之间的函数关系式为:y=.①当0≤x<10时,p=25,当10≤x≤20时,设销售单价p(元/千克)与销售时间x(天)之间的函数解析式为p=mx+n,∵点(10,25),(20,15)在p=mx+n的图象上,∴,解得:,∴p=﹣x+35(10≤x≤20),∴p=;(2)若日销售量不低于36千克,则y≥36.当0≤x≤15时,y=3x,解不等式:3x≥36,得,x≥12;当15<x≤20时,y=﹣9x+180,解不等式:﹣9x+180≥36,得x≤16,∴12≤x≤16,∴“最佳销售期”共有:16﹣12+1=5(天);∵p=﹣x+35(10≤x≤20),k=﹣1<0,∴p随x的增大而减小,∴当12≤x≤16时,x取12时,p有最大值,此时p=﹣12+35=23(元/千克).答:此次销售过程中“最佳销售期”共有5天,在此期间销售金额最高是第12天.【点评】此题考查了一次函数的应用,有一定难度.解题的关键是理解题意,利用待定系数法求得函数解析式,注意数形结合思想与函数思想的应用.9.(2017•临沭县校级模拟)某机器零件经销商,购进甲型零件600个,其进价为200元,甲型零件有两种售货渠道:A渠道是批发给其他小型经销商;B渠道是零售,零售价为250元.该经销商准备用A渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件,乙型零件的进价为150元,零售价为300元.已知该经销商用A渠道销售甲型零件时,其批发价y(元/个)与批发个数x(个)之间的函数关系为y=﹣x+200.(1)求该经销商用B渠道销售的甲型零件的销售额p1(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式;(2)求零售乙型零件的销售额p2(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式;(3)求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w(元)与批发个数x(个)之间的函数关系式,并求出当批发多少个甲型零件时,利润最大,最大利润是多少?【分析】(1)根据题意知用B渠道销售甲零件(600﹣x)个,由销售额=销售价×销售量可得;(2)先求得A渠道销售甲型零件的全部销售款,再求得购进乙型零件的总数量,从而得到零售乙型零件的销售额;(3)根据“总利润=B渠道销售所得利润+A渠道销售所得利润+销售乙零件所得利润”列出函数解析式,再根据二次函数的性质可得答案.【解答】解:(1)当经销商用A渠道销售甲型零件x个时,则用B渠道销售甲零件(600﹣x)个,∴p1=250(600﹣x)=﹣250x+150000;(2)∵经销商用A渠道销售甲型零件的全部销售款为(﹣x+200)x,∴购进乙型零件的总数量为,则零售乙型零件的销售额p2=×300=﹣x2+400x;(3)根据题意,得:w=(600﹣x)(250﹣200)+(﹣x+200﹣200)x+(300﹣150)•=﹣x2+150x+30000=﹣(x﹣)2+,∵x为整数,∴x=187或x=188时,w取得最大值,最大值为44062.4,答:当批发187或188个甲型零件时,利润最大,最大利润是44062.4元.【点评】本题主要考查二次函数的应用,根据题意弄清销售过程中A渠道、B渠道及销售乙产品的销售价及销售量等基本量是解题的关键.10.(2017•安徽模拟)某水果店新进一种水果,进价为20元/盒,为了摸清行情,决定试营销10天,商家通过这10天的市场调查发现:①销售价y(元/盒)与销售天数x(天)满足以下关系:天数1≤x≤56≤x≤10销售价格y x+2430②每天的销售量p(盒数)与销售天数x关系如图所示.(1)试求每天的销售量p(盒数)与销售天数x之间函数关系式;(2)设水果店的销售利润为s(元),求销售利润s(元)与销售天数x(天)之间的函数关系式,并求出试营销期间一天的最大利润.【分析】(1)待定系数法求解可得;(2)根据“总利润=单件利润×销售量”结合x的范围分别求解可得.【解答】解:(1)设销售量p与销售天数x关系式为p=kx+b,由图象可得,解得:,∴每天的销售量p与销售天数x之间函数关系式为p=﹣2x+24;(2)当1≤x≤5时,s=(y﹣20)p=(x+24﹣20)(﹣2x+24)=﹣(x﹣2)2+100,当x=2时,s取得最大值100;当6≤x≤10时,s=(y﹣20)p=(30﹣20)(﹣2x+24)=﹣20x+240,当x=6时,s取得最大值120;综上,试营销期间一天的最大利润为120元.【点评】本题主要考查二次函数的应用,根据x的范围分情况得到s关于x的函数解析式及熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键.。
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
10
y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时, y最大值 1052 100560006250
所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大?(为了便于计 算,要求每箱的价格为整数)
精选ppt
13
有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克, 放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后 每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一天 需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去, 假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元(放 养期间蟹的重量不变).
际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买
进商品需付40(300-10x)元,因此,得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x:定2价ba为5358时1 , y元最时大,利18润最53大2,6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
(1)题目中有几种调整价格的方法?
(2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是 自变量?哪些量随之发生了变化?
精选ppt
9
某商品现在的售价为每件60元,每星期 可卖出300件,市场调查反映:每涨价1 元,每星期少卖出10件;每降价1元,每 星期可多卖出18件,已知商品的进价为 每件40元,如何定价才能使利润最大?
利用二次函数解决利润问题专项练习附答案
利用二次函数解决利润问题基础题知识点利用二次函数解决利润问题1.某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( )A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2D.y=a(1+x)2 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,可卖出(350-10x)件商品,则商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( ) A.y=-10x2-560x+7 350 B.y=-10x2+560x-7 350 C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-7 350 3.某商店经营某种商品,已知所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的表达式为y=-x2+24x+2 956,则获利最多为( ) A.3 144元B.3 100元C.144元D.2 956元4.喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x 为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数表达式为( )A.y=-10x2+100x+2 000 B.y=10x2+100x+2 000 C.y=-10x2+200x D.y=-10x2-100x+2 000 5.某水果店销售一批水果,每箱进价为40元,售价为60元,每天可卖50箱,则一天的销售利润为____________元.由于积压时间不能太长,所以该店决定降价售出,若每降价5元,则每天可多售出10箱.若现在售价为x元(40<x<60),则现在每天可多卖出________箱,每天共卖出_____箱,每箱的利润为_____元,即每天的总利润为________________________元.6.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为:每投入x万元,可获得利润P=-1100(x-60)2+41(万元).每年最多可投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是____________.7.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为____________元.8.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种____________棵橘子树,橘子总个数最多.9.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个.为了获得最大利润,每个售价应定为多少元?中档题10.某体育商店试销一款成本为50元的足球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于50%.经试销发现,每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数y=-x+120,那么可求出该超市试销中一天可获得的最大利润为____________元.11.(龙岩中考)小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话.小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克.小强:如果每千克的利润为3元,那么每天可售出250千克.小红:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元.【利润=(销售价-进价)×销售量】(1)(2)价x(元)之间存在怎样的函数关系.并求y(千克)与x(元)(x>0)的函数表达式;(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,求W与x 之间的函数表达式.当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?综合题12.(莆田中考)某水果店销售某种水果,由历年市场行情可知,从第1月至第12月,这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势,每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数表达式y2=mx2-8mx+n,其变化趋势如图2所示.(1)求y2的表达式;(2)第几月销售这种水果,每千克所获得的利润最大?最大利润是多少?参考答案1.D 2.B 3.B 4.A 5.1 000 (120-2x) (170-2x) (x -40) (x -40)(170-2x) 6.205万元 7.25 8.10 9.设售价在90元的基础上上涨x 元,总利润为y 元, 由题意,得y =(10+x)(400-20x)=-20(x -5)2+4 500. ∴当x =5时,y 有最大值,最大值为4 500.此时90+x =95. ∴售价为95元时可获得最大利润. 10.1 12511.(1)300 250 150(2)y 是x 的一次函数.设y =kx +b ,∵当x =10时,y =300;当x =11时,y =250, ∴⎩⎪⎨⎪⎧10k +b =300,11k +b =250.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-50,b =800. ∴y =-50x +800.经检验:x =13,y =150也适合上述表达式. ∴y 与x 的函数表达式为y =-50x +800.(3)由题意,得W =(x -8)y =(x -8)(-50x +800)=-50x 2+1 200x -6 400=-50(x -12)2+800. ∵a =-50<0,∴当x =12时,W 取最大值,为800.答:当销售单价为12元时,每天可获得的利润最大,最大利润是800元. 12.(1)由题意可得,函数y 2的图象经过两点(3,6),(7,7),∴⎩⎪⎨⎪⎧9m -24m +n =6,49m -56m +n =7.解得⎩⎨⎧m =18,n =638.∴y 2的表达式为y 2=18x 2-x +638(1≤x ≤12).(2)设y 1=kx +b.∵函数y 1的图象过两点(4,11),(8,10),∴⎩⎪⎨⎪⎧4k +b =11,8k +b =10.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-14,b =12.∴y 1的表达式为y 1=-14x +12(1≤x ≤12).设这种水果每千克所获得的利润为w 元.则w =y 1-y 2=(-14x +12)-(18x 2-x +638)=-18x 2+34x +338,∴w =-18(x -3)2+214(1≤x ≤12).∴当x =3时,w 取最大值214.答:第3月销售这种水果,每千克所获的利润最大,最大利润是214元/千克.。
中考数学复习---函数的实际应用之利润最值问题专项练习(含答案)
中考数学复习---函数的实际应用之利润最值问题专项练习(含答案)1.某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y 是销售价格x (单位:元)的一次函数.(1)求y 关于x 的一次函数解析式;(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.【答案】(1)()y 309601032x x =−+≤≤(2)价格为21元时,才能使每月获得最大利润,最大利润为3630元【分析】(1)设()0y kx b k =+≠,把20x =,360y =和30x =,60y =代入求出k 、b 的值,从而得出答案;(2)根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式,配方成顶点式,利用二次函数的性质求解可得答案.(1)解:设()0y kx b k =+≠,把20x =,360y =和30x =,60y =代入可得203603060k b k b +⎧⎨+⎩==,解得30960k b =−⎧⎨=⎩, 则()y 309601032x x =−+≤≤;(2)解:每月获得利润()()3096010P x x =−+−()()303210x x =−+−()23042320x x =−+−()230213630x =−−+. ∵300−<,∴当21x =时,P 有最大值,最大值为3630.答:当价格为21元时,才能使每月获得最大利润,最大利润为3630元.【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用,解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系,并据此得出函数解析式及二次函数的性质,然后再利用二次函数求最值.2.某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤,如果以每件40元出售,那么一个月内能售出300件,根据以往销售经验,销售单价每提高1元,销售量就会减少10件,设T 恤的销售单价提高x 元.(1)服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元,并且尽可能减少库存,问T 恤的销售单价应提高多少元?(2)当销售单价定为多少元时,该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大?最大利润是多少元?【答案】(1)2元;(2)当服装店将销售单价50元时,得到最大利润是4000元【分析】(1)根据题意,通过列一元二次方程并求解,即可得到答案;(2)设利润为M 元,结合题意,根据二次函数的性质,计算得利润最大值对应的x 的值,从而得到答案.【详解】(1)由题意列方程得:(x +40-30) (300-10x )=3360解得:x 1=2,x 2=18∵要尽可能减少库存,∴x 2=18不合题意,故舍去∴T 恤的销售单价应提高2元;(2)设利润为M 元,由题意可得:M =(x +40-30)(300-10x )=-10x 2+200x +3000=()210104000x −−+∴当x =10时,M 最大值=4000元∴销售单价:40+10=50元∴当服装店将销售单价50元时,得到最大利润是4000元.【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识;解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质,从而完成求解.3.某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式y =24-x ,第一年除60万元外其他成本为8元/件.(1)求该产品第一年的利润w (万元)与售价x 之间的函数关系式;(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.①求该产品第一年的售价;②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?【答案】(1)232252w x x =-+-(2)①第一年的售价为每件16元,②第二年的最低利润为61万元.【分析】(1)由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量,再减去投资成本,从而可得答案;(2)①把4w =代入(1)的函数解析式,再解方程即可,②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量,再减去投资成本,列函数关系式,再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案.(1)解:由题意得:()860w x y =--()()82460x x =---232252,x x =-+-(2)①由(1)得:当4w =时,则2322524,x x -+-=即2322560,x x -+=解得:1216,x x ==即第一年的售价为每件16元, ② 第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,16,2413x x ì£ï\í-?ïî解得:1116,x # 其他成本下降2元/件,∴()()2624430148,w x x x x =---=-+-对称轴为()3015,21x =-=? 10,a =-<∴ 当15x =时,利润最高,为77万元,而1116,x #当11x =时,513461w =?=(万元)当16x =时,108476w =?= (万元)6177,w \#所以第二年的最低利润为61万元.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用,二次函数的性质,理解题意,列出函数关系式,再利用二次函数的性质解题是关键.4.某水果店将标价为10元/斤的某种水果.经过两次降价后,价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该水果每次降价的百分率;(2)从第二次降价的第1天算起,第x 天(x 为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示: 时间(天)x 销量(斤)120﹣x 储藏和损耗费用(元) 3x 2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x <10)之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)10%;(2)y =﹣3x 2+60x+80,第9天时销售利润最大,最大利润是377元【解析】【分析】(1)根据题意,可以列出相应的方程,从而可以求得相应的百分率;(2)根据题意和表格中的数据,可以求得y 与x (1≤x <10)之间的函数解析式,然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大,最大利润是多少.【详解】解:(1)设该水果每次降价的百分率为x ,10(1﹣x )2=8.1,解得,x 1=0.1,x 2=1.9(舍去),答:该水果每次降价的百分率是10%;(2)由题意可得,y =(8.1﹣4.1)×(120﹣x )﹣(3x 2﹣64x+400)=﹣3x 2+60x+80=﹣3(x ﹣10)2+380, ∵1≤x <10,∴当x =9时,y 取得最大值,此时y =377,由上可得,y 与x (1≤x <10)之间的函数解析式是y =﹣3x 2+60x+80,第9天时销售利润最大,最大利润是377元.【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和方程的知识解答.5.国庆节前,某超市为了满足人们的购物需求,计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解,甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示: 水果单价甲 乙 进价(元/千克)x 4x + 售价(元/千克) 20 25已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同.(1)求x 的值; (2)若超市购进这两种水果共100千克,其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍,则超市应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少?【答案】(1)16;(2)购进甲种水果75千克,则乙种水果25千克,获得最大利润425元【分析】(1)根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程,解之即可;(2)设购进甲种水果m 千克,则乙种水果100-m 千克,利润为y ,列出y 关于m 的表达式,根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍,求出m 的范围,再利用一次函数的性质求出最大值.【详解】解:(1)由题意可知:120015004x x =+,解得:x=16,经检验:x=16是原方程的解;(2)设购进甲种水果m千克,则乙种水果100-m千克,利润为y,由题意可知:y=(20-16)m+(25-16-4)(100-m)=-m+500,∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍,∴m≥3(100-m),解得:m≥75,即75≤m<100,在y=-m+500中,-1<0,则y随m的增大而减小,∴当m=75时,y最大,且为-75+500=425元,∴购进甲种水果75千克,则乙种水果25千克,获得最大利润425元.【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用,解题的关键是读懂题意,列出方程和函数表达式.6.某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元(1)问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元?(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克?②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出.若A 的数量不低于B 的数量,则A 为多少包时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元?【答案】(1)甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元;(2)①每日购进甲食材400千克,乙食材100千克;②当A 为400包时,总利润最大.最大总利润为2800元【分析】(1)设乙食材每千克进价为a 元,根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解;(2)①设每日购进甲食材x 千克,乙食材y 千克.根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完,利用进货总金额为180000元,含铁量一定列出二元一次方程组即可求解;②设A 为m 包,根据题意,可以得到每日所获总利润与m 的函数关系式,再根据A 的数量不低于B 的数量,可以得到m 的取值范围,从而可以求得总利润的最大值.【详解】解:(1)设乙食材每千克进价为a 元,则甲食材每千克进价为2a 元, 由题意得802012a a−=,解得20a =. 经检验,20a =是所列方程的根,且符合题意.∴240a =(元).答:甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元.(2)①设每日购进甲食材x 千克,乙食材y 千克.由题意得()402018000501042x y x y x y +=⎧⎨+=+⎩,解得400100x y =⎧⎨=⎩ 答:每日购进甲食材400千克,乙食材100千克.②设A 为m 包,则B 为()500200040.25m m −=−包. 记总利润为W 元,则 ()45122000418000200034000W m m m =+−−−=−+.A 的数量不低于B 的数量,∴20004m m ≥−,400m ≥.30k =−<,∴W 随m 的增大而减小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]:求下列二次函数的最值:(1)求函数322-+=x x y 的最值.解:4)1(2-+=x y当1-=x 时,y 有最小值4-,无最大值.(2)求函数322-+=x x y 的最值.)30(≤≤x解:4)1(2-+=x y∵30≤≤x ,对称轴为1-=x∴当12330有最大值时;当有最小值时y x y x =-=.[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?解:设涨价(或降价)为每件x 元,利润为y 元, 1y 为涨价时的利润,2y 为降价时的利润则:)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ,即:定价为65元时,6250max =y (元) )20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ,即:定价为57.5元时,6125max =y (元)综合两种情况,应定价为65元时,利润最大.[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?解:设每件价格提高x 元,利润为y 元,则:)20400)(2030(x x y --+=)20)(10(20-+-=x x4500)5(202+--=x当5=x ,4500max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?解:设旅行团有x 人)30(≥x ,营业额为y 元,则:)]30(10800[--=x x y)110(10--=x x30250)55(102+--=x当55=x ,30250max =y (元)答:当旅行团的人数是55人时,旅行社可以获得最大营业额.[例3]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表: 若日销售量y 是销售价x 的一次函数. ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?解:⑴设一次函数表达式为b kx y +=. 则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ,• 即一次函数表达式为40+-=x y .⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元,所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ,225max =y (元)答:产品的销售价应定为25元时,每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: ⑴在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中, “某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程.3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30•元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x )存在如下图所示的一次函数关系式.⑴试求出y 与x 的函数关系式;⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480x (元) 15 20 30 … y (件) 25 20 10 …元,•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案).解:⑴设y=kx+b 由图象可知,3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得, 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x .⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值. 当35)20(21400=-⨯=x 时,4500max =P (元) (或通过配方,4500)35(202+--=x P ,也可求得最大值) 答:当销售单价为35元/千克时,每天可获得最大利润4500元.⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x∴31≤x ≤34或36≤x≤39.作业布置:1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价_5_元,最大利润为_625_元.解:设每件价格降价x 元,利润为y 元,则:)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ,625max =y (元)答:价格提高5元,才能在半个月内获得最大利润.2.(2006年青岛市)在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕,•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:(1)在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对(x ,y )所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数关系式;(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 的值最大?解:(1)由图象可知,y 是x 的一次函数,设y=kx+b ,•∵点(•25,2000),(24,2500)在图象上,∴200025500,:25002414500k b k k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 , ∴y=-500x+14500.(2)P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润,最大利润为32000元.3.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg 蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元,写出p 关于x 的函数关系式;(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q -收购总额)?解:(1)由题意知:p=30+x,(2)由题意知:活蟹的销售额为(1000-10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000-10x)(30+x)+200x=-10x 2+900x+30000.(3)设总利润为W 元则:W=Q -1000×30-400x=-10x 2+500x=-10(x 2-50x) =-10(x -25)2+6250.当x=25时,总利润最大,最大利润为6250元.答:这批蟹放养25天后出售,可获最大利润.4.(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元) .(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?解:)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ,200max =y (元)(1)y 与x 之间的的函数关系式为;160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时,每天的销售利润最大,最大利润是200元.(3) 150200)30(22=+--x ,25)30(2=-x 28351>=x (不合题意,舍去)252=x答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为25元.12.(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为x (吨)时,所需的全部费用y (万元)与x 满足关系式9051012++=x x y ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价,(万元)均与满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用) (1)成果表明,在甲地生产并销售吨时,,请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润(万元)与之间的函数关系式;(2)成果表明,在乙地生产并销售吨时,(为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定的值;(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据(1),(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?解:(1)甲地当年的年销售额为万元;.(2)在乙地区生产并销售时,年利润.由,解得或.经检验,不合题意,舍去,.(3)在乙地区生产并销售时,年利润,将代入上式,得(万元);将代入,得(万元).,应选乙地.。