二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案

第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题

[例1]：求下列二次函数的最值：

（1）求函数322

-+=x x y 的最值．

解：4)1(2-+=x y

当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．

（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x

解：4)1(2-+=x y

∵30≤≤x ，对称轴为1-=x

∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．

[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元， 1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润

则：)10300)(4060(1x x y -+-=

)60010(102---=x x

6250)5(102

+--=x

当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--=

)15)(20(20+--=x x

6125)5.2(202+--=x

当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，

则：)20400)(2030(x x y --+=

)20)(10(20-+-=x x

4500)5(202

+--=x

当5=x ，4500max =y （元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，

则：)]30(10800[--=x x y

)110(10--=x x

30250)55(102

+--=x

当55=x ，30250max =y （元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售

价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=． 则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩

⎨⎧=-=401b k ，• 即一次函数表达式为40+-=x y ．

⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，

所获销售利润为w 元

y x w )10(-=)40)(10(+--=x x

400502-+-=x x

225)25(2+--=x

当25=x ，225max =y （元）

答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出y 与x 的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销

售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480

x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …

元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．

解：⑴设y=kx+b 由图象可知，

3040020,:402001000

k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．

⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x

200001400202

-+-=x x

∵020<-=a ∴P 有最大值． 当35)

20(21400=-⨯=

x 时，4500max =P （元） （或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵44804500)35(2041802

≤+--≤x

16)35(12≤-≤x

∴31≤x ≤34或36≤x≤39．

作业布置：

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．

解：设每件价格降价x 元，利润为y 元，

则：)20)(70100(x x y +--=

600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并