创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 专题七 数学思想方法 第2讲 含答案

一、选择题

1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A.1 B.－12 C.1或－1

2

D.－1或1

2

解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.

当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－1

2或q ＝1(舍去).综上可知，

q ＝1或－1

2. 答案 C

2.过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )

A.a 2

B.b 2

C.2ab

D.a 2＋b 2

解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A. 答案 A

3.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2

D.3

解析 法一 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x －2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B.

法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. 答案 B

4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋3

4x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝

⎛⎦⎥⎤

－∞，

142 B.(1，＋∞) C.⎝

⎛⎭⎪⎫1，

142 D.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

1，

142 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ， f (x )＝ln x －14x ＋3

4x －1(x ＞0)，

所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2

－3

4x 2.

由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－1

2.

函数g (x 2)＝－x 2

2＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].

当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于

⎩⎨⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎨⎧1≤b ≤2，－12≥b 2

－4或⎩⎨⎧b ＞2，

－12≥4b －8.

解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤14

2， 第三个不等式组无解.

综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤

－∞，

142.故选 A. 答案 A 二、填空题

5.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.

解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －1

6.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝

________，y ＝________.

解析 不妨设AC ⊥AB ，有AB ＝4，AC ＝3，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则A (0，0)，B (4，0)，C (0，3)，M (0，2)，N ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，32，

那么MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，AB →＝(4，0)，AC →＝(0，3)， 由MN

→＝xAB →＋yAC →，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12＝x (4，0)＋y (0，3)， 即⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，－12＝(4x ，3y )，则有⎩⎨⎧4x ＝2，

3y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1

2，

y ＝－1

6. 答案

12 －1

6

7.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2

4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|

|PF 2

|的值为________.

解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，

∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2

|＝7

2.

若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，

解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.

综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或7

2.

答案 2或7

2

8.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2

2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________. 解析 原不等式即x 22a ≥1＋x

2－1＋x (x ≥0)，(*)

令

1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，

所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）2

2对t ≥1恒成立，

所以（t ＋1）2

a ≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2

]min ＝4，故a

的最大值是4. 答案 4 三、解答题

9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列的通项公式；

(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，