消元——二元一次方程组的解法

这两个方程中未知数y的系数相同, ②-①可消去未知数y得 x=6 （②-①等式性质）
把x=6代入①,得 y=4.
像这样,通过对方程组中的两个方程进行加或减的运算就 可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做 加减消元法,简称加减法.
联系上面的方法,想一想应怎样解方程组
4x+10y=3.6 ① 15x-10y=8 ②
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例3:
3x+4y=16 5x-6y=33
能用加减法做吗?怎么做呢?试试看!
解：① × 3 ，得：9x+12y=48 ③ ②×2，得：10x-12y=66 ④ ③十④，得：19x= 11 x=6
把x=6代入①得 3x6+4y=16 y=-1/2
所以原方程组的解为 x=6
y=-1/2
例4: 用加减法解方程组 4x＋5y=23 ①
加减消元法解方程组基本思路和主要步骤：
基本思路： 加减消元： 主要步骤：
二元变一元
变形
同一个未知数的系数
加减
相同或互为相反数 消去一个元
求解
求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
例 7： 2台大收割机和5台小收割机工作2小时
收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机
工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台
小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
解：设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x 公顷和y公顷
2(2x5y) 3.6 5(3x2y) 8
新课导入
篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一 场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名 次，想在全部的10场比赛中得到16分，那么这个 队胜负应该分别是多少？
解法一：设胜x场，负y场，则有 x+y=10① 2x+y=16②
x+y=10 ① 2x+y=16 ②
①-②也能消去 未知数y,求得 x吗?
③×3，得 9x＋6y=27 ⑤ ④×2，得 10x－6y=30 ⑥ ⑤＋⑥，得 19x= 57 x=3
把x= 3代入③，得
3x+2y=9 ③
3×3＋2y=9
由②×15，得 5x-3y=15 ④
y=0 所以原方程组的解是 x=3
y=0
③④组成一个新的方程组：
3x+2y=9 ③ 5x-3y=15 ④
复杂方程先化简
（1） 5x－2y=4 ② 解：①×2，得 8x＋10y=46 ③
②×5，得 25x－10y=20 ④
③＋④，得 33x=66 x=2
把x=2代入②，得 5×2－2y=4， y=3
所以这个方程组的解是 x=2 y=3
(2)
2x 4y 2 3x 5y 1
加减法归纳：
用加减法解同一个未知数的系数绝 对值不相等，且不成整数倍的二元一 次方程组时，把一个（或两个）方程 的两边乘以适当的数，使两个方程中 某一未知数的系数绝对值相等，从而 化为第一类型方程组求解．
例5 用加减法解方程组
解：原方程组变形为 4x+5y=13
2（2x+1）=15－5y 3（y+1）=14-4x
①
4x+3y=11 ②
①－②，得：2y=2 y=1 把y=1代入①，得x=2
所以原方程组的解是 x=2 y=1
例6 用加减法解方程组
x1 y 2 ① 23
x y 1
②
35
解：由①×6，得
加/减 代入 写解
求值1 求值2 写出方程组的解
解方程组：
x
3
1
y 2
1
①
x
2
1 4
y
2
②
方法1：
解：原方程组可化为： 2x+3y=4 ③
2x - y=8 ④
方法2：
由③-④得: y= -1
由 ④得: y= 2x-8 ⑤
把⑤代入③ ，得: 2x+3 (2x-8) =4 x=7/2 把x=7/2代入⑤得
对于较复杂的二元一次方程组，应先化简 (去分母,去括号, 合并同类项等)，通常要 把每个方程整理成含未知数的项在方程的 左边，常数项在方程的右边的形式，再作 加减消元的考虑。
加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤：
处理系数
同一个未知数的系 数变成相同或相反的数
解:①+②, 得 19x=11.6
同减异加 x= 58
把x=
58 95
95
代入①,得y= -9
95
∴ 这个方程组的解为
x=
58 95
y=
-9 95
二
4x+10y=3.6
元
一
y=
-9 95
x=
58 95
次 方 程
①+②
一元一次方程
组
15x-10y=8
19x=11.6
归纳: 我们发现,如果二元一次方程组的两个方程中
7x+3y=36 ①
(3)
2x+9y=51 ②
所以,原方程组的解为
x = 1.25 y = -2.375
归纳：当两个方程中某个未知数的
系数成倍数关系时,我们也可以用加 减法,只不过在加或减之前,可先将一 个方程变形成与另一个方程中相同
未知数的系数相同,这样就可以达到 消元的目的.
看一看下面这个例子,我们又该如何解决呢?
某个未知数的系数相同或互为相反数,就可以直接用 加减法显得非常简便.
例1.用加减法解下列方程组:
(1) 4x+y=2 ①
(2)
4x-3y=-6 ②
3x 4x
+ 7y - 7y
= 27 ① =－13 ②
解: (1)①-②, 得 4y=8 y=2
解：① + ②，得 7x = 14 把 x = 2 代入①，得
复习：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 用含有一个未知数的代数式
1、变形
表示另一个未知数,写成 y=ax+b或x=ay+b
2、代入
把变形后的方程代入到另一个方程中， 消去一个元
3、求解
分别求出两个未知数的值
4、写解
写出方程组的解
y=-1
把y= -1代入② ，
解得:
x7 2
所以原方程组
的解是
x 7 2 y 1
每个二元一次方程组均可采用代入法和加减法求解，但在解题中 要根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法，使计算过程更简便。 当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数系数的绝对值是1或 有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中某个未知数 的绝对值相等或整数倍时，用加减法。
把y=2代入方程①,得
所以原方程组x的=0解是
3 ×2 + 7y = 27 y= 3
x =0 y =2
所以原方程组的解是 x =2 y =3
系数的绝对值成倍数关系：
例2:
3x+2y=-1 ①
(1)
2x+4y=-7 ②
(1) ①×2-②, 得
4x=5
x=1.25
把x=1.25代入②,得
y=-2.375