河北省衡水市第二中学2020-2021学年第一学期新高考数学助力卷

则
；
（2）
，
，
，
，
，
，
即
；
（3）由题意知：
，
，
可能取值为 ， ， ， ，
；
； 则 的分布列为：
； ；
12
. 20．解：（1）根据题意，设 交 于点 D，过 O 作
在
中，
，
在
中，
， ，
，垂足为 E，
所以
，（
）.
（2）由（1）得：
，
设
，（
），
则
，令
，可得
，
当
时，
，函数
在区间
上单调递增，
当
来自百度文库
时，
，函数
在区间
D. 己知 N 为 DD1 中点，当
的和最小时，M 为 CC1 的中点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB =________．
14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动（无滑动滚动），点 D 恰好经
相离
7．已知 A，B，C 三点不共线，若 为( )
D. 满足
的直线 l 仅有 1 条
点 E 为线段 AD 的中点，且
，则
的值
A.
B.
C. 1
D.
8．一种药在病人血液中的量保持 1500mg 以上才有效，而低于 500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这
种药 2500mg，如果药在血液中以每小时 20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经
9．ACD 三、填空题
13． 16 3
四、解答题 17．解：
参考答案
2．B 6．A
10．AD
3．A 7．B
11．ABD
4． D 8．A
12．AC
14． 3n2 − 2n 15．
16．
法一：（1）∵
，∴
∴
，∴
，
∵△ABC 为正△，∴
，
∴ （2）设
，∴ ，∴
∴
，∴
设
，∴
，
，
9
∴ ∴
∴
令
，∴上式
令
，∴
∴ （2）不妨设
所以
在
时取得极大值，也是最大值；
上单调递减，
所以当
，即
时，侧面积 S 取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
；
答：侧面积 S 取得最大值时，等腰三角形的腰 的长度为
.
13
21．解：（Ⅰ）由题意第 个矩形的高是
，所以
（Ⅱ）（i）当 时，
，命题成立，
（ii）假设
时命题成立，即
，
则
时，
，
∴
时命题成立，
综上，
时，命题成真，即
过（
）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：
，
，答案
采取四舍五入精确到 0.1h）
A. 2.3 小时
B. 3.5 小时
C. 5.6 小时
D. 8.8 小时
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1．已知全集
则
（
）
A. C. {3,5}
B. {1} D. {1,3,5,9}
2．函数
的图像大致是（
）
A.
B.
C.
D.
3.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次
1 2
D． a + b 2
12．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 2，如图，M 为 CC1 上的动点，
（
）
平面 .下面说法正确的是
A. 直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点 M 与点 C1 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 点 M 为 CC1 的中点时，若平面 经过点 B，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
过坐标原点，设顶点
的轨迹方程是
，则
_____________.
4
16．如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱
都在平面 的同侧，如顶点 B、
C 到平面 的距离分别为
，则顶点 D 到平面 的距离为___________；
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）
由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角
正切值
0.439
0.444
0.450
0.455
0.461
年代
公元元年
公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )
A. 公元前 2000 年到公元元年
杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生 态型主题公园.欲在该公园内搭建一个平面凸四边形 ABCD 的休闲､观光及科普宣教的平台，如图所示，其中
百米，
百米，△ABC 为正三角形.建成后
将作为人们旅游观光､休闲娱乐的区域，
将作为科普宣教湿地功能利用､弘扬湿地文化的区域.
当
时，矩形
的周长有最大值，最大值为 22，
B. 公元前 4000 年到公元前 2000 年
C. 公元前 6000 年到公元前 4000 年
D. 早于公元前 6000 年
5．2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学”.已知某地区中小学生人数情况如甲 图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示.为了进一步了解该地区中小学生参与“家务 劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取 4%小学初中高中学段的学生进行调查，则抽取的样本容量、抽取 的高中生家中参与“家务劳动”的人数分别为( )
，
，圆锥的侧
面积为
（S 圆锥的侧面积
（R-底面圆半径，I-母线长））
（1）求 S 关于 的函数关系式； （2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大.求 S 取得最大值时腰 AB 的长度
21．（12分）在平面直角坐标系中，函数
在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把x
轴 上 的 区 间 [0,1] 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 在 每 一 个 小 区 间 上 作 一 个 小 矩 形 ， 使 矩 形 的 右 端 点 落 在 函 数
，
（Ⅲ）由（1）可求得 ，
则
，
所以
的几何意义表示函数
22．解：
的图象与 轴，及直线
和
所围曲线梯形的面积为 .
14
（1）根据对称性可知， ，
设边界
所在抛物线的解析式为
抛物线的图象经过 ， 两点，
， ，
，解得
，
边界
所在抛物线的解析式为
；
（2）设 点坐标为
，
四边形
是矩形，
，
，
，
矩形
的周长为：
，开口向下，
组 别
频
25 数
150
200
250
225
100
50
（1）该市把得分不低于 80 分的市民称为“热心市民”，若以频率估计概率，以样本估计总体，求从该市的市 民中任意抽取一位，抽到“热心市民”的概率；
（2）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Y 服从正态分布
， 近似为这 1000 人
得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求
后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台 ABCD，
，现从角落 A 沿角 的方向把球打出去，
球经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中，则
的值为（
）
3
A.
B.
C. 1
11．已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则
A．
a2
+
b2
1 2
C． log2 a + log2 b −2
D.
B． 2a−b
．以 AB 所
（1）求边界
所在抛物线的解析式；
（2）如图 2，该景区管理处欲在区域
内围成一个矩形
场地，使得点
在边界 AB 上，
点
在边界
．
上，试确定点 P 的位置，使得矩形
的周长最大，并求出最大周长．
8
衡水市第二中学 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（助力卷）
数学
一、选择题
1．B
5．C 二、选择题
（1）当
时，求旅游观光､休闲娱乐的区域
的面积；
（2）求旅游观光､休闲娱乐的区域
的面积的最大值.
18．（12 分）
某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距 s（km），水的流速为常量 a（km/h），船在静水中的最大
速度为 b（km/h）（
），已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在静水中的速度的平方成正比，
A. 2750，200
B. 2750，110
C. 1120，110
D. 1120，200
2
6．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两个定点
和
的轨迹为曲线 E，直线 l：
与 E 交于 A，B 两点，则（
连线的斜率之积等于 ，记点 P ）
A. E 的方程为
B. E 的离心率为
C. E 的渐近线与圆
；
（3）在（2）的条件下，该市为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（ⅰ）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；
（ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费（单元：元）
30
60
概率
0.75
0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与 数学期望． 附：参考数据与公式
的图像上.若用
，表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和.
（Ⅰ）求 的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：
（Ⅲ）求
的值，并说明
的几何意义.
；
7
22．（12分） 景区平面图如图 1 所示，
为边界上的点．已知边界
是一段抛物线，其余边界
均为线段，且
，抛物线顶点 E 到 AB 的距离
在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝
将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成 3 组派去三地执行公务（每地至少去 1 人），则不同的方案
有（
）种．
A. 150
B. 180
C. 240
D. 300
1
4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术 及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图 2 为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至” 的示意图，图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳 光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
5
比例系数为 k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？ 19．（12 分） 某市在创建“全国文明卫生城市”的过程中，为了调查市民对创建“全国文明卫生城市”工作的了解情况，进行 了一次知识问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分（满 分 100 分）统计结果如下表所示．
9．已知曲线 C : mx2 + ny2 = 1.
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y = − m x n
D．若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 10．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物
，∴ ，
于是
①
②
③
∴
当且仅当 法三：（1）由
时，∴
中，
，
面积最大为 ，
则由余弦定理 c
，∴
10
又△ABC 为正三角形，∴
∴
（2）在
中，设∠
，
由余弦定理得
∵△ABC 为正三角形，∴
由正弦定理得
，即
∴
，∴
(*)
∵
又由
，∴
，∴ 为锐角，∴
(**)
∴
(由*和**)
∴当
，即当
时，
取得最大值
.
18．解：
设船在静水中的航行速度为
，全程的燃料费用为 元，
由题设可得
，
，
所以 令
，得
，
或
（舍去），
11
①当 以当 ②当
时，若 时， 时，若
，
，
为减函数；若
；
，
，
为增函数；所
，
，
在
上为减函数，
所以当 时，
；
综上可知，若
，则当船在静水中的速度为
时，燃料费用最省；
若
，则当船在静水中的速度为
19．解：
时，燃料费用最省.
（1）设从该市的市民中任意抽取一位，抽到“热心市民”为事件 ，
衡水市第二中学 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（助力卷）
数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
，若
，则①
；
②
；③
20．（12分）
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面
用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的
6
高所在直线 旋转 180°而成，如图 2.已知圆 O 的半径为 10cm，设