高中数学选修2-3《正态分布》

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高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布

P(x1 <x<x2)=( x2)- (x1)
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质

人教版高中选修2-3《正态分布》教案

人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。

2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。

二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。

2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。

三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。

2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。

3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。

2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。

2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。

3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。

3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。

2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。

四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。

2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。

高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)通过高尔顿板试验,了解正态分布密度曲线的来源
(2)通过事例借助几何直观,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
2.过程与方法
(1)通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线,体验从有限到无限的思想方法
(2) 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质,体会数形结合的方法,增强观察、分析和归纳的能力
3、情感、态度与价值观
(1) 通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
(2)通过原则的学习,充分感受数学的对称美
2学情分析
在必修三的学习中,学生已经掌握了统计等知识,这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。

但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,学生理解比较困难。

3重点难点
重点:1、正态分布密度曲线的特点.
2、正态分布密度曲线所表示的意义.
难点:1、在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布
2、正态分布密度曲线所表示的意义
4教学过程。

《正态分布》说课稿

《正态分布》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《正态分布》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析《正态分布》是高中数学选修 2-3 中的重要内容，它是概率论与数理统计中的核心概念之一。

正态分布在实际生活中有着广泛的应用，例如，学生的考试成绩、产品的质量指标、人群的身高体重等许多随机变量都近似地服从正态分布。

通过对正态分布的学习，学生能够更好地理解随机现象，掌握用概率统计的方法解决实际问题的能力。

本节课是在学生已经学习了随机变量及其概率分布的基础上进行的，为后续学习其他统计知识奠定了基础。

二、学情分析学生在之前的学习中已经接触了离散型随机变量及其概率分布，对概率的概念和计算有了一定的了解。

但正态分布是连续型随机变量的概率分布，其概念和性质相对抽象，学生理解起来可能会有一定的困难。

此外，学生的数学运算能力和逻辑推理能力还有待提高，在教学中需要注重引导和启发。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正态分布的概念和正态曲线的特点。

（2）掌握正态分布的概率计算方法。

（3）能够运用正态分布解决实际问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察正态曲线，培养学生的观察能力和分析能力。

（2）通过推导正态分布的概率计算公式，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）正态分布的概念和正态曲线的特点。

（2）正态分布的概率计算方法。

2、教学难点（1）正态曲线特点的理解。

（2）正态分布的概率计算。

五、教法与学法1、教法为了突出重点、突破难点，我将采用讲授法、直观演示法和启发式教学法相结合的教学方法。

通过直观演示正态曲线，让学生获得感性认识；通过讲授法，让学生系统地掌握正态分布的知识；通过启发式教学法，引导学生思考问题，培养学生的思维能力。

《正态分布》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.4课时)

人教版高中数学选修2-3
第2章随机变量及其分布
2.4 正态分布
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：时间：2020.6.1
课前导入
你见过高尔顿板吗？在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
B. μ1<μ2, 1> 2 D. μ1>μ2, 1> 2
解析：由正态分布性质知，x=μ为正态密度函数图像的对称轴，故μ1<μ2，又越小，图像越瘦高，故 1< 2.
课堂练习
B 2. 设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X>c+1)=P(X<c-1)，则c等于（）
A.1
B.2
C.3
D.4
课前导入
下图就是一块高尔顿板示意图
球球槽
课前导入
如果把球槽编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.
这节课我们就学习——正态分布
新知探究
A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形
C．球的正投影一定是圆
D．圆锥的正投影一定是三角形
【答案】C 【详解】 A. 三角形的正投影不一定是三角形，错误 C. 球的正投影一定是圆，正确故选C.
B. 长方体的正投影不一定是长方形，错误 D. 圆锥的正投影不一定是三角形，错误

高二数学(选修2-3人教B版)-正态分布

例：当 0, 1 时，正态变量（这时称它为标准正态变量）
(2,2) ，(3,3) 内取值的概率分别是 68.3%，95.4%，
在区间 (1,1) ，
99.7%.
典型例题
练习：设有一正态变量，它的概率密度曲线是函数
的图象，且
，则这个正态变量的均值与
标准差分别是(
A．10与8
答案： B
典型例题
例：某工厂生产的圆柱形零件的外直径 X (单位：mm）
2
服从正态分布 N (4,0.5 )，质检人员从该厂生产的1000个
零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7mm，试判
断该厂生产的这批零件是否合格？
典型例题
分析：
解题一定要将所求问题向 P( , ) ,P( 2 , 2 )
( 3 , 3 ) 这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
典型例题
例：某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分
2
布N (70,10 )，该年级有2000名学生，如果规定低于60分
为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
2
解：设学生的得分为随机变量 X ，
X N (70,10 ) ，则
的概率只有0.0026，而 5.7 (2.5,5.5) ，这说明在一次试
验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以
认为该批零件是不合格的．
典型例题
规律方法总结：
求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定 , 的值；
(2)将待求问题向( , ), ( 2 , 2 ),
（1）曲线在 x轴的上方，与x 轴不相交.

最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为φu ,σ(x)=222)(21σπσu x e --，x ∈(-∞,+∞)其中实数u 和σ（σ＞0）为参数.我们称φu ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.要点提示高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)=⎰ba dx x )(,σμϕ，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N(μ,σ2).参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.热点聚焦正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值πσ21；（4）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线；特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3）：说明函数x=μ时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-∞，＋∞）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，σ变化时总体分布的集中、离散程度.知识拓展若标准正态分布N （0，1）总体取值小于x 0的概率用φ(x 0)表示，即φ(x 0)=P(x<x 0),则φ(x 0)+φ(-x 0)=1;对一般正态总体N （μ,σ2）来说，可通过线性代换y=σμ-x 转化为标准正态总体N （0，1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ-a,μ+a ］上的概率若X —N （μ,σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P(μ-a<X≤μ+a)=⎰+-αμαμσμϕdx x )(,为直线x=μ-a,x=μ+a 与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积.对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(μ-a,μ+a ］的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分⎰+-αμαμσμϕdx x )(,计算得到. 深化升华几个特殊结论：P(μ-a<X≤μ+a)=0.682 6，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0.954 4,P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.997 4.2.3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间(μ-3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X 只取(μ-3a,μ+3a)之间的值，并简称之为3σ原则.深化升华从理论上可以证明，正态变量在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-∞,+∞）内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则.问题·探究问题 1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X 服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路:由X 服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7 (2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格.探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N （μ,σ2）;二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a ∈(μ-3σ,μ+3σ)，则接受统计假设，如果a (μ-3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P(ξ<1.8)=___________;(2)P(-1<ξ<1.5)=___________;(3)P(ξ>-1.5)=___________;(4)P(|ξ|<2)=___________.思路分析：由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(ξ<1.8)=φ(1.8)=0.964 1;（2）P(-1<ξ<1.5)=φ(1.5)-φ(-1)=0.993 2-1+φ(1)=0.993 2-1+0.841 3=0.774 5;(3)P(ξ>-1.5)=1-P(ξ≤-1.5)=1-φ(-1.5)=φ(1.5)=0.993 2;(4)P(|ξ|<2)=φ(2)-φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4.方法归纳利用公式φ(x)=1-φ(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x 0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P （X<x ）=φ(σμ-x )可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握.例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002).现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线.思路分析：这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解：设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率，即P(ξ≥μ)=2500010000=0.4，因为ξ—N(500,1002)，所以P(ξ≥μ)=P(100500100500-≥-μξ=1-p(100500100500-<-μξ) =1-φ(100500-μ). 于是有φ(100500-μ)=1-P(ξ≥μ)=1-0.4=0.6. 从标准正态分布表中查得φ(0.25)=0.598 7≈0.6，故φ(100500-μ)≈0.6，即μ≈525.由此可以估计录取分数线为525分.方法归纳本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型.例3正态总体N （0，1）的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x ∈R .（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；（2）求ｆ（ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析：对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.解：（1）对于任意的x ∈R ,f(-x)=2)(221x e --π=2221x e -πf(x).所以ｆ（ｘ）是偶函数；（2）令z=22x ,当ｘ=0时，z=0,e x =1, ∵e x 是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,e x >1，∴当ｘ=0，即ｚ=0时，22x e =e x 取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21（3）任取x 1<0,x 2<0,且x 1<x 2,有x 12>x 22, ∴2222212221,2x x e e x x x --<-<- 所以2222212121x x e e --<ππ,即f(x 1)<f(x 2).这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x 1>0,x 2>0,且x 1<x 2，有f （x 1）>f(x 2)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.拓展延伸已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称， μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于ｘ=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1深化升华通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用. 例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析：正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-3×0.05，27.45+3×0.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说.解：有两个零件不符合落在区间（27.45-3×0.05，27.453×0.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的.深化升华本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。

人教A版高中数学选修2-3课件正态分布

练习：
1．设离散型随机变量X~N(μ,σ2),则 P( X )=, 0.5 2．已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于( B ) A．a B．1－a C ． 2a D． 1 － 2 a 4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1) 2 ＝P(X<c－1)，则c＝ _____.
y
1 e 2
( x - )2 2 2
, x ( , )
点击进入几何画板 -3
-2
-1
0
1
2
3
x
课外思考请尝试从正态分布解析式的角度来分析正态曲线的对称性与最值的情 2
( x - )2 2 2
, x ( , )
2.正态分布:
0
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
a b
P (a X b)
则称随机变量X服从正态分布. 正态分布记作N（ μ，σ2）随机变量X服从正态分布，则记作X~ N（ μ，σ2）

b a
, ( x ) dx
1.正态曲线的性质
, ( x )
思考：观察正态曲线，结合 , x 的解析式及概率的性质, 你能说说正态曲线的特点吗 ?

特别有（熟记） Ρ( μ - σ < X ≤ μ + σ ) = 0.6826 Ρ( μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ ) = 0.9544 Ρ( μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ ) = 0.9974

人教版高中数学选修2-3-正态分布-课件

2.4
第一页，共23页。
两点分布 X 0 1
P 1-p p
超几何分布
X0
P
C
0 M
C
n N
M
C
n N
二项分布
1
C C 1 n 1 M N M
C
n N
…k
…
C Ck n k M N M
C
n N
…n
…
C
n M
C
0 N
M
C
n N
X0
1 … k …n
P
C
0 n
p
0q
n
C
1 n
p1q
n－1
…
Cnk pkqnk
距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近
于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度(mìdù)
曲线．
第五页，共23页。
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
m,s(x)
1 e
2s
(xm)2
2s2x( , )
式中的实数m、s是参数
正态分布密度曲线正态曲线
第六页，共23页。
探究发现
正态分布
特别(tèbié) 地有
P(msXms)0.6826, P(m2sXm2s)0.9544, P(m3sXm3s)0.9974.
第十五页，共23页。
例3.商场经营的某种包装的大米(dàmǐ)质量服从正态分布 N（10，0.12）（单位：kg）任选一袋这种大米(dàmǐ)质量在9.8~10.2kg的概率是多少？
…
C
n n
p
n
q
0
第二页，共23页。
复习与思考

新人教版A版选修2-3 高中数学正态分布

我们从上面看到，正态总体在 m 2 , m 2 以外取值的概率只有4.6％，在m 3 , m 3 以外取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％）， ( m 3 , m 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实通常称这些情况发生为小概率事件。际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
7 11 15 25 20 12 6 2
0.02
0.07 0.11 0.15 0.25 0.20 0.12 0.06 0.02
0.004
0.014 0.022 0.030 0.050 0.040 0.024 0.120 0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y 频率/组距
－－－－－－
=2

（6）当 m 一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中
0
三、特殊区间的概率及3 原则:
P( m X m ) 0.6826, P( m 2 X m 2 ) 0.9544, P( m 3 X m 3 ) 0.9974.
1 4、曲线与x轴之间的面积为 _______ .
m 取不同值的正态曲线图示固定的值，
m 1 m 0
m 1
0.5
均值 m 决定正态曲线的位置
5当
m 的变化而沿x 轴平移一定时，曲线随着
-1
0
1
取不同值的正态曲线图示固定 m 的值，
=0.5
μ=0
=1
标准差决定正态曲线的“体型”

高中数学选修2-3：第八讲正态分布含解析精品

第八讲正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________．【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=．又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。

人教版高中数学选修2-3-正态分布公开课课件

某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量X，它可以取大于等于0的所有数值.怎样描述这样的随机变量的分布情况呢？
设x表示产品的寿命（单位：h），如果我们对该产品有如下的了解：寿命小于500 h的概率为0.71，寿命在500～800 h之间的概率为0.22，寿命在800 ～1000 h之间的概率为0.07，这样我们可以画出大致的图像（见教材）图像比较简单，例如它没有告诉我们寿命在200 ～ 400 h之间的概率，如果我们想了解更多，图中的区间会分的更细，为了完全了解产品的寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最总我们会得到一条曲线（如下页图所示），这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当 x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞）时f (x)为减函数. 正态曲线
正态密O μ一定
ｘ
均值m表明了总体的重心所在，标准差s 表明了总体的离散程度。
正态曲线的性质
(1)曲线关于直线x=μ对称.
σ＝0.5
示总式体中的的平实均数数m与标、准s差(.s不同>的0m) 是，参数s ,分对别应表着
不同的正态密度曲线
正态分布密度函数的特征
f (x)
1
e x (
(x )2 2s 2
,
)
2 s
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
X=μ
σ
(3) f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
(2)曲线在x轴上方,与x轴不相交. (3)在x=μ时位于最高点.

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-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞, ] 时( x)为增函数.
当x∈（，+∞）时( x)为减函数. 标准正态曲线
正态曲线
( x)
y
μ= -1 σ=0.5
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
μ=0 σ=1
பைடு நூலகம்
μ=1 σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
25.415
25.475 25.535
产品尺寸（mm)
定义
概率情况
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品尺寸（mm)
25.475 25.535
复习
样本容量增大时频率分布直方图
频率组距
总体密度曲线
产品尺寸 (mm)
复习
集中与分散的程度
1
2
产品尺寸
(mm)
x1 平均x数2
正态曲线的函数表示式
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
（1）当x = 时,函数值为最大.
y
1
（2）, ( x)的值域为
(0,
]
2
=0
=1
(3), ( x)的图象关于 x 对称.
正态分布
引入
试验演示
复习及定义
研究正态曲线的特点
本课小结
正态曲线的特点具体认识
正态分布
阅读课本第 63 页至第 65 页内容. 今天,我们来认识: 1.正态分布; 2.正态分布密度曲线及其特点;
3.了解 3 原则.
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率组距
25.235 25.295 25.355
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
特殊区间的概率:
a
P( a ≤ a) , ( x)dx
分布密度曲线,简称正态曲线.
正态分布完全由参数和确定,因此正态分布
常记作 N (, 2 ) .如果随机变量服从正态分布,则
记为 N (, 2 )
易知落在区间(a,b]的概率为:
y
b
P(a ≤ b) , ( x)dx
a
y , ( x)
总体密度曲线
产品尺寸 (mm)
定义: 产品尺寸的总体密度曲线
就是或近似地是下面函数的图象：
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
其中实数和 ( 0) 为参数,分别表示总体的
平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总
体，其分布叫做正态分布. ( x) 的图象称为正态
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
正态曲线的性质
y X=μ ( x)
σ=0.5
1
e
(
x )2 2 2
2
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
正态曲线的特点
2答案
正态曲线的性质
( x)
1
2

e
( x )2 2 2
y
y
μ= -1
σ=0.5
μ=0
, x (, )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

a
b
的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平
= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4
x1
平均x数2
的意义函数规律
的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
1
2
产品尺寸
(mm)
平均数
的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的
a
x=μ
-a
+a
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实
际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.

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